一元函数的导数及其应用全章十大基础题型归纳（基础篇）-人教A版高中数学选择性必修第二册（解析版）

专题5.6一元函数的导数及其应用全章十大基础题型归纳（基础篇）

【人教A版（2019）]

题型1j瞬时速度]平均速度。|

1.（23-24高二下.陕西渭南.期中）某质点沿直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关

系为y（£）=C+23则该质点在1<t<3这段时间内的平均速度为（）

A.6m/sB.7m/sC.8m/sD.9m/s

【解题思路】根据平均速度的计算方法，列式计•算，即可得答案.

【解答过程】由题意知位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为yQ）=t2+2t,

则该质点在1型工3这段时间内的平均速度为华=吟警=立宇二=6（m/s）.

3—12

故选：A.

2.（23-24高二下.福建厦门・期中）如果质点4运动的位移S（单位：m）与时间£（单位：s）之间的函数关

系是S（t）=那么该质点在t=3s时的瞬时速度为（）

2222

A.--B.-C.--D.-

3399

【解题思路】根据瞬时变化率的定义求解即可.

【解燃过程】—=S（3+373）=一磊+彳=2

At-AC-3（3+AC）'

所以1而竺=lim[-^―]=

AJOAtAJOL3（3+At）J9

故选:D.

3.（23-24高二.全国.课后作业）一做直线运动的物体，其位移s与时间I的关系是s=3t-£2（位移：m,

时间:s）.

（1）求此物体的初速度；

（2）求此物体在t=2时的瞬时速度；

（3）求t=0到£=2时的平均速度.

【解题思路】（1）根据初速度的定义求解即可，

（2）根据瞬时速度的定义求解即可，

（3）根据平均速度的定义求解即可.

【解答过程】（1）初速度I，。=lim型省幽

At-*O△£

加TOAt

=Jim(3-At)=3(m/s)

⑵v=Hms(2+―(2)

At-0At

2

=3(2+At)-(2+At)-(3x2-4)

MAt

=

MAt

=04(-At-1)=-l(m/s),

所以此物体在t=2时的瞬时速度为-lm/s,方向与初速度方向相反，

（3）5=空三®="F=l（m/s）,

2-02、//

所以t=0到亡=2时的平均速度为lm/s.

4.（23-24高二上•上海•课后作业）自由落体运动中，物体下落的距离d（单位：m）与时间/（单位：s）

近似满足函数关系d=5j.

⑴求物体在［2,4］时间段内的平均速度；

（2）求物体在亡=3时的瞬时速度；

（3）求物体在t=Q（Q>0）时的瞬时速度.

【解题思路】（1）由平均速度计算公式即可知物体在［2,4］时间段内的平均速度为30m/s：

（2）根据导函数定义可知物体在亡=3时的瞬时速度为30m/s；

（3）根据（2）中的结论可知将亡=。（。>0）代入计算即可求得结果.

【解答过程】（1）由d=5d可知，第4s时的距离为4（4）=5x42=80；

第2s时的距离为d（2）=5X22=20；

所以平均速度为u==啜=30m/s

4-24-2

（2）根据导数的定义可知

v=limlim-］二三:=lim♦抡誉之=lim（10t+5At）=10t；

所以物体在t=3时的瞬时速度为v=lot=30m/s：

（3）由（2）的结论可知，物体在t=Q（Q>0）时的瞬时速度u=10am/s.

题型2'卜利用导数的定义解题OJ

1.(23-24高二下•四川凉山•期中)设函数f(x)在x=~处可导，且满足=g则/(x0)=

Ax—>02AN2

()

A.2B.1C.-1D.-2

【解题思路】由导数的概念求解即可得.

【解答过程】/(无0)=lim"W—)=2]im=2X2=1.

Ax-OAXAXTO2Ax2

故选：B.

2.(23-24高二下.江西赣州.期中)设/(%)存在导函数且满足liin=-1,则曲线y=f(x)上的

Ax-»O2Ax

点(1J(D)处的切线的斜率为()

A.-1B.-2C.1D.2

【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解.

【解答过程】解：因为/。)存在导困数且满足lim-2刈)=[22A尸;:弋)=-1，

Ax-02AxAXTO1-(1-2AX)

所以r(1)=-1,即曲线y="幻上的点(l,f(l))处的切线的斜率为一1,

故选：A.

3.(24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/⑺=3/-%,求总％巫出詈上

【解题思路】先求得/'(1+△》)—Ax)=lOAx,故可求题设的极限.

【解答过程】因为f(x)=3/一”.所以：

/(I+Ax)—/(I-Ax)=3(1+Ax)2—(1+Ax)-3(1-Ax)24-(1—△%)=lOAx.

..10Ax1八

故lim”“a了(-a=lim——=10.

Ax—O&xAX-»OAx

4.(23-24高二•全国•课后作业)已知函数40=｛一五求/'(4)•((一1)的值.

1+%2,%<0

【解题思路】根据导数的定义尸(孙)=妈。匿，分别求出尸(4)=9,尸(一1)=-2,即可得到答案.

【解答过程】当、=4时，4=-高+*=»福=需

AX

2V'4+4。fv'4+zlx+2)

Ay__________1_________

AX-2、'4+4X(、，'4+4x+2)

1股送二4㈣2刖(1刖+2)11

-2xV4x(v'4+2)-16

（）z（）2

当"T时’祟=_l+-l+zlx-l--l=Ax-2

由导数的定义,得广（-1）=lim（Ax-2）=-2,

4x-»0

•­•/，（4）r（-l）=-^X（-2）=-i

题型3函数图象与导函数的关系

1.(23-24高二下•广东茂名•期中)函数/Xx)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()

A.广⑴>r（2）>/（3）>0B.r（l）<r（2）<r（3）<0

c.o<r（i）<r（2）<r（3）D.o>广⑴>><）"⑶

【解题思路】由导数的几何意义分析可得/'(3),((2)和((1)的儿何意义，结合图象可得解.

【解答过程】r(l),广(2)和r(3)分别为函数/(外在％=1,无=2和％=3处切线的斜率，

即图中直线。％的斜率，

结合图象可得0>f(l)>((2)>尸(3).

2.(23-24高二下•陕西渭南•期末)已知函数/(%)的图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.o＜r（3）＜/（2）＜rwB.r（i）＜广⑵＜/（3）＜o

c.o＜r（i）＜r（2）＜/⑶D.尸⑶v[⑵＜r（i）＜o

【解题思路】根据导数的几何意义判断即可.

【解答过程】因为函数在[0,+8）上单调递增，所以广（工）NO,故排除B、D：

又函数增长趋势越来越快，在（1/（1））处切线。的斜率为广（1），

在（2,f（2））处切线"的斜率为尸（2）,在（3/（3））处切线小的斜率为尸（3），

由图可知0＜f（l）＜尸（2）＜尸（3）.

故选:C.

3.（23-24高二下•福建泉州•阶段练习）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-％+8,则

【解题思路】借助导数的几何意义计算即可得.

【解答过程】由题意可得/"（5）=-5+8=3,/⑸=-1,

故/（5）+（（5）=3-1=2.

故选：B.

4.(23-24高二下.河南南阳・期中)函数y=/(幻的图象如图所示，下列关系正确的是()

A.0<r(4)<r(5)</(5)-/(4)

B-0<八4)〈八5)—八4)<人5)

C.0<r(5)</(5)-/(4)<f(4)

D.0</(5)-/(4)<f(5)<r(4)

【解题思路】根据题意，分析/''(4),/(5)和/(5)-/(4)的几何意义，结合图象分析可得答案.

【解答过程】根据题意/"(4)的几何意义为y=f(x)在点B处切线的斜率，

/"G)的几何意义为y=f(x)在点A处切线的斜率，

/(5)-/(4)="?5-—41⑷，其几何意义为割线的斜率，

则有/(5)</(5)-/(4)〈/(4).

故选:C.

1.(24-25高三上•湖南长沙•阶段练习)已知定义在实数集RL：的函数/(%),其导函数为/''(x),且满足

f(x+y)=fM+/(y)+xy，/(I)=0,rd)=则/(2)=()

A.0B.1C.-D.-

22

【解题思路】先令y=x，代入求出方程；再求导，再令x=y=l,即可求出结果.

【解答过程】因为/(x+y)=/(无)+/(y)+xy,令、=%，则/(2%)=2f(x)+/,

则2((2%)=2/(%)+2%,再令％=y=l,代入上式可得2/(2)=2/(再+2=3,

所以尸(2)=*

故选：C.

2.(24-25高三上•江苏淮安•阶段练习)下列导数运算正确的是()

A.(cos3)z=-sin3B.(e3xY=e3x

C.G)'=-*D.(10g2wW

【解题思路】直接基本初等函数求导法则计算即可.

3xz3x/

【解答过程】因为(cos3)'=0,(e)=3e,(-)=(log2x)=.

故选：c.

3.(24-25高三上•河南南阳•阶段练习)求下列函数的导函数.

(1)/(x)=InVl+X2：

(2)y=^-In(x+l)：

(3)y=普H

(4)y=(x+l)(x4-2)(%+3).

【解题思路】(1)(2)(3)(4)利用求导公式、导数的运算法则逐一求出给定函数的导数.

【解答过程】(1)/(x)=InVl+x2=|ln(l4-x2),M/Xx)=;-7^7=-77.

44JL•aJL•4

(2)i_(l+】nx)(x+l)-jdnx_]_Inx

,—(x+1)2x+1-(x+l)z，

(3),_-2xsin(2x+l)-cos(2x+l)_2xsin(2x+l)+cos(2x+l)

/-x2~x2

(4)y'=(%+2)0+3)+(%+l)(x+3)+(%+l)(x+2)=3x2+12x+11.

4.(23-24高二下•青海西宁・期中)求下列函数的导数.

/.、cosx

(2)y=xeZx2+1；

(3)y=2x5-3x2-4；

(4)v=---

'sinx

(5)y=3lnx+ax(a>0,且QH1)；

【解题思路】直接根据导数的运算法则计算即可.

【解答过程】⑴、=喜，y，=-sinx(sinx-cosx)-cosx(cosx+sinx)

(sinx-cosx)2(sinx-cosx)2"

(2)y=xe2x2+1,y'=e2x2+1+4%2e2x2+1.

(3)y=2x5-3x2-4,y'=10x4-6x.

⑷y=Wy'=exsinx-excosxex(sinz-cosx)

sin2xsin2x

3

xx

(5)y—31nx+at=-4-a\na.

题型5卜求曲线切线的斜率(倾斜角)。I

1.(23-24高二下•河北保定•期中)曲线丫=一日%3一1在％=1处的切线倾斜角是()

A.-B.-C.-D.-

6363

【解题思路】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾符角的关系得到倾斜角的大小即可.

【解答过程】设曲线y=一苧/一1在％=1处的切线倾斜角为内

因为y'=-\/3x2,则y'l%=i=—\/3ntana=—V3=»a=—.

所以曲线y=一枭3一i在％=1处的切线倾斜角是个，

«iJ

故选：D.

2.(23-24高二下•广东中山•阶段练习)设/•(%)为可导函数，且满足lim卫管^=2,则曲线y=f(x)在

点(3,f(3))处的切线的斜率是()

A.6B.2C.3D.-

3

【解题思路】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可.

【解答过程】由题意，lim/(3+^)-/(3)=-lim/(3+Ax)~/(3)=2,

Ax-»O3Lx3Ax-»O

即［尸(3)=2,故/(3)=6,即曲线y=f(x)在点(3,/(3))处的切线的斜率是6.

故选：A.

3.(23-24裔二•全国•随堂练习)求函数“x)=/在x=2处切线的斜率.

【解题思路】利用导数的几何意义即可求得/⑺在x=2处的斜率.

【解答过程】因为/a)=r,

所以Ay=f(2+Ax)—f(2)=(2+Ax)2-22=Ax(4+Ax),则詈=4+Ax,

所以/(%)在％=2处的斜率为lim3=Hm(4+Ax)=4.

4.(23-24高二下•陕西汉中•期中)己知函数/(%)=(x+2)ex.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设或口=二缁，XH-2,求曲线y=g(x)在x=0处的切线的斜率.

(X+2)

【解题思路】(1)求出导数尸(x),计算/(0)和f(0),由点斜式得切线方程并整理;

(2)求M导函数£(%),计算4(0)即得.

【解答过程】(1)fM=(%+3)e\则((0)=3,

又/(0)=2,

曲线y="幻在点(0J(0))处的切线方程为y-2=3x,即y=3x4-2.

(2)函数外幻=(x+2)ex,

••・刎=品

x+2

则丑)=喑A需

二或0)=%即曲线y=g(x)在X=0处的切线的斜率为;.

题型6利用导数判断单调性、求单调区间

I.(24-25高二上•全国•课后作业)函数/1幻=(%+l)e-x+x2-1的单调递减区间为()

A.(—ln2,0)B.(—co,—In2)C.(—ln2,+8)D.(0,4~co)

【解题思路】求出导数，解不等式尸(幻<0可得解.

【解答过程】r(z)=x(2-e-x),

令广(无)<0,则一In2cx<0,

所以/(%)在区间(Tn2,0)上单调递减.

故选:A.

2.(24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/3)=/(工一3),则()

A./(幻在写+8)内单调递增B./(外在内单调递减

C.八外在(一2,1)内单调递增D./(%)在(-8,-2)内单调递减

【解题思路】求得:(幻=3x(x-2),求得函数/(幻的单调区间，结合选项，逐项判定，即可求解.

【脩答过程】由函数f(X)=/(工一3),可得/(X)的定义域为(-8,+8),

且/'(%)=3%2—6x=3x(x—2),

令((%)V0,可得0Vx<2；令产(%)>0,可得％<0或%>2,

所以/(%)在区间(0,2)内单调递减，在(一8,0)和(2,+00)内单调递增，

由G，+8)0(2,+8),所以A错误；由OG(0,2),所以B正确；

由(-2,1)Z(-8,0),所以C错误；由(―8,—2)G(-8,0),所以D错误.

故选：B.

3.(2024高三•全国・专题练习)已知函数/"(幻二然，且/(1)=；J(4)=V.

(1)求的值；

⑵求/■(%)的单调区间；

【解题思路】(1)根据已知条件列方程组，从而求得a,6.

(2)求出/(x)的导数，由/'(X)>。和/(x)<U,求得单调区间.

f(i)=弋=2

【解答过程】(1)依题意,f小2：a，，解得a=0,b=3.

/⑷=WG

(2)由(1)得/•(%)=岛(％20)，/(0)=0,

赧xQ2+3)一4X2X_3(l+x)1T

当x>0时，/''(%)=

(户+3)22依(*2+3)2’

在区间(0,1)上f'(x)>o,f(x)单调递增，在区间(1,十8)上/(%)<0JQ)单调递减,

所以/(%)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+8).

4.(2024•辽宁鞍山•二模)已知函数/•(%)=|ax2-(a+2)x+21nx,aER.

(I)若曲线y=f(x)在％=2处的切线与y轴垂直，求实数a的值；

⑵时论函数义%)的单调性.

【解题思路】1)求导函数，根据导数的几何意义及切线与y轴垂直建立方程求解即可;

(2)求导函数，按照a40和a>0分类讨论，求出函数的单调性.

【解答过程】<1)依题意%>0,/(x)=1ax2-(a4-2)x+21nx,

则((%)=ax-(a+2)+j一7x+2=

因为在％=2处的切线与y轴垂直，所以广(%)=a—1=0,解得a=l；

(2)由(1)知广(无)=(2一?仁一】)(%)0),

当0时，由尸(x)>0得0vx<1,由/Q)<0得%>1,

所以/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间(1,+8),

当a>0时，分以下三种情况：

若a=2,则/'(%)N0在定义域内恒成立,

所以/(%)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；

若0VQ<2,令/'〈外>0得0<%V1或X>令/'(X)<0得1V%Vg

所以/(又)的单调递增区间为(0,1),(；,+8),单调递减区间为(1,》，

若a>2,令/(%)>0得0V%V:或%>1,令/'〈X)<0得:<x<1,

所以/(%)的单调递增区间为(0,；),(1,+8),单调递减区间为弓,1),

综上所述，当aWU时，/(X)在区间(U,l)单调递增，在区间(1,+8)单调递减;

当a=2时,/(%)在区间(0,+8)单调递增,无递减区间;

当0va<2时，/'(X)在区间(0,1),《,+8)单调递增，在区间(1,；)单调递减;

当a>2时，/(外在区间(0,；),(1,+8)单调递增，在区间&1)单调递减.

,由函数的单即求参数

I.(23-24高二下•湖北孝感・阶段练习)函数/(%)=e3-2的单调递减区间为(L+8),则e=()

【解题思路】根据/(x)的单调递减区间为(1,+8),而/(无)的定义域为(0,+8),/(%)的一个极值点为1,利

用:(1)=。即可得解a=1,然后再代入/(%)验证是否满足题意即可.

【解答过程】/■'(%)=a-(alnx+l)_a-1-alnx

因为/(%)的单调递减区间为(1,+S),而/(x)的定义域为(0,+8),

所以/"(")的一个极值点为1,

所以/'(1)="•=0,解得a=l.

所以/(%)=手一2,/，(%)=ay)=要

令((%)V0,要V0,解得X>1,

所以/(无)的单调递减区间为(L+8),符合题意，

综上，a=1,

故选:B.

2.(24-25高三上•重庆•阶段练习)若函数八幻=-以在［0,+8)上单调递减，则实数a的取值范围

为()

A.[0,+co)B.；,+8)C.U+8)D.[2,+oo)

【解题思路】根据题意，转化为尸(%)W0在［0,+8)上恒成立，即。之高在［0,+8)上恒成立，结合基本不

等式，即可求解.

【解答过程】由函数/•(%)=荷彳一。人可得/(幻=品-0,

因为函数/■(%)在［0,+8)上单调递减，可得/(%)<0在［0,+8)上恒成立,

即a>高在也+8)上恒成立,

当x=0时，a工0；

当x>0时)由、公：+1=j1；£(0,1)>所以a>1♦

所以a>1,所以实数a的取值范围为［1,+8).

故选：C.

3.(23-24高二上•江苏徐州•阶段练习)已知函数/Xx)=(x2-2x+a)ex.

a)/a)在［1,5］上是增函数,求。的取值范围;

(2)讨论函数八幻的单调性.

【解题思路】(I)利用导数与函数的关系得到(工2+。-2)^?0在［1,5］上恒成立，从而得解;

(2)首先求出定义域，再求出导函数/(%)=(/+。-2)铲，分a工2和aV2两种情况，求出函数的单调

区间.

【解答过程】(1)因为f(%)=(K-2x+Q)eX,所以/•(%)的定义域为R,

则/'(%)=(2%—2)ex+(x2—2x+a)ex=(x2+a—2)ex,

因为/a)在［1,5］上是增函数，即f'a)>o在口,5］上恒成立，

则仔+a-2)ex>0在［1,5］上恒成立，

因为e">0在”,5］上恒成立，所以/+Q-2N0在［1,5］上恒成立，

2

即a-2>一炉在［1,5］上恒成立,即Q-2>(-X)max,

因为14%45,所以14/425,则一254-％24一1,

所以a-22-1,则a>1.

(2)由(1)得?(%)=(%2+a-2=x,

当aN2时,f(x)>0,则/(幻在R上是增函数：

当a<2时,f'M=[x2—(2—a)]ex=(x4-V2—a)(x—V2—a)ex,

所以/''(%)=0<=>x=±V2-a；

frM>0«x<-72-a或%>V2-a；

f'W<0<=>—y/2—a<x<>J2-a,

所以/(%)在(-，2-a,V2-a)上是减函数，在(-8,-V2-a)和(V2-a,+8)上是增函数.

4.(23-24百二下•四川自贡・期末)已知函数/'(X)=泮+7炉_伽+1)x+r

(1)若/㈤的单调递减区间为卜求实数a的值；

(2)若函数y=/(%)在［2,3］单调递减，求实数Q的取值范围.

【解题思路】(1)求出函数的导数，根据f(x)的单调递减区间为卜或1］,可得一11是。-l)(x+a+1)=0

的两根，即可求得答案；

(2)由函数y=f(x)在［2,3］单调递减，可得/(工)工0在［2,3］上恒成立,即可推出aW-1在［2,3］上

恒成立，从而求得答案.

【解答过程】(1)由题意得/''Q)=%2+Q¥—(a+i)=(x—i)Q+a+D，

因为/(x)的单调递减区间为［一51］,即(⑶=(%-l)(x+a+l)<0的解集为卜g,1］,

故一”是Q-l)(x+Q+1)=0的两根，即一(a+1)=一|,,a=-p

当a=_］时,r(x)=(x-l)(x+1),由尸(x)W0,解得一|斗工1,

等号仅在％=一11时取得，即/(力的单调递减区间为卜*1］,符合题意，

故《=一；.

«5

(2)函数y=〃无)在［2,3］单调递减,即/(%)40在［2,3］上恒成立,

即(％-l)(x+a+1)工0在［2,3］上恒成立，此时

即aW-%—1在［2,3］上恒成立,而(一%—l)min=-4,故aW-4,

经验证当Q=-4时，/''(%)<0即。-l)(X-3)<0,A1<X<3,

等号仅在x=3,1时取得，此时函数y=/(%)在［2,3］单调递减，符合题意,

故a<-4.

题型8利用导数求函数的极值

1.(23-24高二下•湖北孝感・阶段练习)函数/■(%)=31nx+1%2-4%的极大值为()

A.-2B.C.-3D.4

【解题思路】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值.

【解答过程】函数f(x)=31nx+12一以的定义域为(0,+8),

又f，(幻=--4X+3=仁-3)0-1),

令/'(幻=0，则x=l或％=3,所以当0<%<1或x>3时/(幻>0,当1Vx<3时/(x)V0,

所以/(幻在(0,1),(3,+8)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

所以/(幻的极大值为/⑴=0+|-4=

故选：D.

2.(23-24高二下•重庆•期末)若函数/(%)=(7+以+1旄*,在％=-1时有极大值6eT,则/(无)的极小值

为()

A.0B.-e-3C.—eD.—2e3

【解题思路】根据题意可知/''(-1)=0,/(-1)=6c-1,求解b,再利用导数判断函数的单调性，求解函数

的极小值.

【解答过程】f'M=ex[x2+(b+2)无+b+1],

由题意可知，fC-l)=0,/(-l)=6e-1,

ID：?甘+*°,解得：b=—4,

即

—+l)e'=6e1

当匕=-4时，/'(%)=ex-(x2—2x—3),令/'(%)=0,

得x=-1或％=3,

X(-CO,-1)-1(-1，3)3(3,+8)

frM+0—0

fM单调递增极大值6e一】单调递减极小值-2e3单调递增

所以函数的极小值为-2e3.

故选：D.

3.(24-25高三上•江苏淮安•开学考试)已知函数/⑴=枭3_亨/+2ax.

•54

(1)若。=1,求函数/■(%)的极值;

⑵讨论函数/(外的单调性.

【解题思路】(1)对/(X)求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解：

(2)f'[x)=(x—a)(x—2),对a分a=2,a>2和aV2讨论单调性即可.

【解答过程】(】)/(x)=-\x2+2x,/z(x)=(x-1)(%-2).

所以xvl或x>2时，f(x)>0,1VXV2时，f'(x)<0,

则/(%)在(1,2)上递减,在(一8,1),(2,+8)递增,

所以/'(%)的极小值为/'(2)=极大值为"1)=

36

(2)f(x)=(x-a)(x-2),

当a=2时,//(x)>0,所以f(%)在(-8,+8)上递增,

当a>2时，％<2或a时，f'(x)>0；2VxVa时，f\x)<0,

所以/(%)在(-8,2),(a,+8)上递增，在(2,a)上递减,

当aV2时，％<a或%>2时，f(x)>0；aVx<2时，f\x)<0,

所以f(%)在(一8,a),(2,+8)上递增；在(出2)上递减.

4.(24-25亩三上•福建宁德•期中)已知函数f(%)=W+a为R上的奇函数•

⑴求a；

(2)若函数g(x)=2(ex+l)/(x)+2%，讨论g(x)的极值.

【解题思路】(I)由/(0)=0,解得。=一点再代入检验即可:

(2)利用导数求解即可.

【解答过程】(1)因为函数/(%)=六+a为R上的奇函数,

由/(0)=0,a=

l-ex

此时f(%)=

2(y+1)'

x

r.i.i、工—eexe--ie-i-e-rz、

所以/(x)为奇函数.

所以Q=_J；

(2)由(1)得:g(x)=2(即+l)f(%)+2%=2%-e"+l,g(%)定义域为R,

g'(x)=2-ex,

由g'(x)>。得力Vln2；由g'(x)V0,得%>ln2,

•••g(x)在(-8,ln2)上单调递增，g(x)在(ln2,+8)上单调递减,

所以g(x)在％=E2处取得极大值，

9。)极大w=/(ln2)=21n2-1；无极小值.

题型9卜利用导数求函数的最值

1.(24-25高三上•江西•阶段练习)函数/(%)=(3x-1九2》的最小值为()

A.—3e-3B.--e-3C.0D.—4e-2

2

【解题思路】先利用导数求出函数的单调性，进而求解即可.

【解答过程】由/(%)=(3x-l)e2x,得/''(%)=(6x+l)e2x,

令((%)<0,得％〈一去令r(x)>0,得%-&

OO

所以函数/(%)在上单调递减，在(_1+8)上单调递增，

所以/(%)=(3%-De?》的最小值为/(一J==-^e4.

故选：B.

2.(24-25高三上•陕西咸阳•阶段练习)若不=［是函数f(x)=ax2+in(3x)的一个极值点，则当；时,

f(x)的最小值为()

A.-2+ln3B.—\+In3—1C.——+In—D.-2e?+ln3+1

e222

【解题思路】根据函数的极值点，借助于求导求得a的值，继而得到函数解析式，利用函数的单调性即可求

得函数的最小值.

【解答过程】由/'(x)=ax?+ln(3x)求导得，f\x)=2ax+

依题意，((1)=2aX；+4=a+2=0,解得a=-2,

ZZ—

2

此时，/-(x)=-2x+ln(3x),则7•'(;<)=—4x+：=(I+2X1-22因%>。，

故当0VXV决寸,f(x)>0,当工*时，f(x)<0,

即函数/(无)在(0,今上递增，在(；,+8)上递减，即:是/(幻的极大值点.

又因工€［益］,故得函数f(%)在苞：)上递增，在(呆)上递减.

ee//

因/(6=一1+E3—l,/(e)=-2e2+ln3+1,显然/©)>/(e),

故/(%)的最小值为f(e)=-2e2+ln3+1.

故选:D.

3.(2024・辽宁大连•模拟预测)已知函数f(x)=a/+;c-ln%aWR.

(1)若a=l,求函数y=/(x)的最小值；

(2)若函数y=/(均在区间［1,3］上是减函数，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)求导得函数的单调区间，进一步得最值；

(2)/CO=2数+1-：=空产式0在区间［1,3］上恒成立，分离参数即可求解.

【解答过程】(1)当。=1时，/(x)=x2+x-Inx,

且广⑺=2x+l-k

•••/'(%)=2x+1-->0：即>0；

,XX

•••x>0,.-.2x24-x-1>0,x>I，

所以y=/(外在(0*)上单调递减，在G，+8)上单调递增.

所以当％=3时，函数y=/(x)的最小值为:一In；.

N4z

(2)因为函数y=/(外在区间［1,3］上是减函数,

所以r(公=2ax+l-i=2。丁1<0在区间［1,3］上恒成立.

当且仅当2a/+X-1W。在［1,3］上恒成立，

则a"在［1,3］上恒成立,

令力⑴=统一/=*一｝2.t=^G

显然力⑴在区叫羽上单调递减，在区间七,1］上单调递增，

则&Q)mln一五(3_一'

所以。工一%实数。的取值范围为(一8,-非

4.(24-25高三上•广东•阶段练习)已知函数f(x)=7+2/+%+2,xe［-1,1

(1)求曲线y=/(外在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)求/(外的最大值和最小值.

【解题思路】<1)根据导数的几何意义计算即可求解；

(2)利用导数研究函数f(x)的单调性，即可求出函数/'(>)的最值.

【解答过程】(1)由题意知，fix)=3x2+4x4-1,则((1)=8,

又/(1)=6,所以切点为(1,6),

所以曲线y=/Xx)在点(1,6)处的切线方程为

y-6=8(x-1),即y=8x-2.

(2)/(%)=3x24-4x4-1=(3x+1)(4+l),xG[—1],

令((x)<0=>-1<x<>0=>-|<x<-1或一1<x<1,

所以/(、)在(一1,一：)上单调递减，在[一5,一1)、(一：,1]上单调递增，

«5C

故/(%)在[一；,1]上的极大值为/(-1)=2,极小值为/(一：)=3

又/(一｝=”(1)=6,

所以/•(%)在[一:,1]上的最大值为6,最小值为

Zo

_____题__型___1_0____在实际问题中的应用S

I.(23-24高二下・甘肃•期中)某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件.已知年利润)，(单位：万元)

与年产量.1(单位：万件)满足y=g(x)=ax3+2/-2,若年产量是2万件，则年利润是T万元(生产的

均可售完).要使生产厂家获得最大年利润，年产量为()

A.7万件B.8万件C.9万件D.10万件

【解题思路】根据题意，得到9(%)=-；/+2%2-2,%2(),利用导数求得函数g(x)单调性，得出函数的

6

额最大值点，即可求解.

【解答过程】由年利润y与年产量%满足y=gW=ax3+2X2-2,XE[0,10],

因为年产量是2万件，则年利润是¥万元，所以g(2)=8a+8-2==,解得Q=-；，

336

所以。(%)=一，/+2x2-2,xG[0,10],可得g'(x)=-1x2+4x=-1x(x-8),

当％G[0,8)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当(8,10]时，g\x)<0,g(x)单调递减，

所以，当％=8时，g(x)取得最大值，

即年产量为8万件时，厂家获得的年利涧最大.

故选:B.

2.（23-24高二下•重庆沙坪坝•期中）不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠

物资