导数的运算【七大题型】-人教A版高中数学选择性必修第二册（解析版）

专题5.2导数的运算【七大题型】

【人教A版（2019）]

＞题型梳理

【题型1基本初等函数的导数】.................................................................2

【题型2导数的四则运算法则】.................................................................3

【题型3复合函数的求导方法】.................................................................4

【题型4求曲线的切线方程（斜率）】............................................................6

【题型5已知切线（斜率）求参数】.............................................................8

【题型6函数图象的判断及应用】...............................................................9

【题型7导数运算的新定义问题】..............................................................12

A举一反三

【知识点1导数的运算】

i.基本初等函数的导数公式

函数导数

=c（c为常数）r«=o

r(x)=«x“T

/i»=sinxf(x)=cosx

f(x)=cosx7(x)=-sinx

f(x)=aK(a>0,且。#=1)ff(x)=ax\na

jM=exf'M=ex

fM=log(/x(a>0,且4H1)

fM=\nx/'&）=《

2.导数的运算法则

符号表达文字叙述

两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导

[/a）±g（x）r=/«）±e（x）

数的和（或差）

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第

[/(X)•g(X)]'=f(x)•gG)+/(x)•g'(x)

二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数

/'a)g(x)-/(x)g'a)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减

黑k(x)]2去分子乘分母的导数，再除以分母的平方

3.复合函数的导数

(1)爱合函数的定义

一般地，对于两个函数广/⑷和〃:虱T),如果通过变量〃J可以表示成X的函数，那么称这个函数为函

数产油)和〃=g(X)的复合函数,记作产几g(x)).

(2)复合函数的求导法则

复合函数广式g(x))的导数和函数产4〃),〃=g(x)的导数间的关系为y.J=»“',〃」，即y对x的导数等于y

对”的导数与〃对x的导数的乘积.

4.导数的运算的方法技巧

(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

【题型1基本初等函数的导数】

【例1】(2024•湖北•一模)已知函数/(%)=铲-尸⑴》,则()

A.=B.尸(1)=一；

C.f⑵=e2-eD./⑵=e2—e

【解题思路】求导，通过赋值逐项判断即可.

【解答过程】因为/(%)=「一((1%,所以/'(%)=眇一/'(1),

则广⑴=e一r⑴，所以尸(1)=3

则/(%)=铲所以f(l)=”⑵=e2-p/(2)=e2-e.

故选:C.

【变式1-1](23-24高二下•北京通州•期中)下列求导运算结果错误的是()

A.6)'=妥B.(1g.

C.(ex)z=exD.(sinx)z=cosx

【解题思路】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案.

【解答过程】对于A,。'=一会故A错误；

对于B,(Inx);=p故B正确;

对于C,(eX)'=e",故C正确；

对于D,(sin%)'=cos%,故D正确.

故选：A.

【变式1-2](23-24高二下•江苏淮安・期末)下列求导运算正确的是()

A.(In2)z=1B.(e3)z=3e

C.(谟)'=x-。”-1D.(COSX)'=-sinx

【解题思路】根据基本初等函数的导数公式计算可得.

【解答过程】对于A：(ln2)z=0,故A错误；

对于B：93)，=0,故B错误;

对于C：(砂)'=谟♦Ina,故C错误；

对于D：(cos%)'=-sin%,故D正确；

故选：D.

【变式1-3](24-25高三上.江苏淮安•阶段练习)下列导数运算正确的是()

A.(cos3)z=—sin3B.(e2xy=e3x

/

C.6)'=一2D.(log2x)=;

【解题思路】直接基本初等函数求导法则计算即可.

3x3z

【解答过程】因为(cos3)'=0,(eY=3e*,6)’=一妥，(log2x)=焉.

故选：C.

【题型2导数的四则运算法则】

【例2】(23-24高二下・江苏扬州•期中)下列导数运算正确的是()

A.(sinx)z=—cosxB.(?)=

C.(29=2*D.(廿=—壶

【解题思路】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可.

【解答过程】对于A,(sinx)z=cosx,故A错误；

对于B,停)'=中，故B正确；

对于C,(2xy=2x-ln2,故C错误；

对于D,(3)=Qf=—1r-2,故D错误.

故选：B.

【变式2-11(23-24高三上•湖北孝感•阶段练习)已知函数/(%)=+/(1川+/(1)戈+1,则((2)=()

A.e+2B.e—3C.e—5D.e—7

【解题思路】令％=1,解得尸(1)=-2,对函数，(乃=令-1+/(1)炉+](1次+1求导,令/=1,解得

f(l)=l,即可求得尸(2).

【解答过程】令x=l,得f(l)=l+/(l)+f(l)+l,解得尸(1)二一2,

所以尸(%)=e'T-4x+/(l),

令x=l,得/(1)=1-4+/(1)=-2,解得=

所以/(x)=eXT-2%2+%+i,所以/(%)=铲-1一4%+1,所以尸(2)=e—7.

故选：D.

【变式2-2](23-24高二下•内蒙古赤峰•期中)下列求导运算正确的是()

A.(cosx)f=sinxB.{x2+ln3)z=2x4-

C.(/e*)'=sinxD.(«)'=六

【解题思路】根据求导公式逐个分析判断.

【解答过程】对于A,(cosx)x=-sinx,所以A错误,

对于B,(x2+ln3)z=2x,所以B错误,

对于C,(x3ex)x=3x2ex4-x3ex,所以C错误，

对干D,(«)'==泰,所以D正确.

故选：D.

【变式2-3](23-24高二下•广东肇庆•阶段练习)已知函数/(%)=x(x-1)(%-2)(%-3)(x-4)(x-5),

求:(2)=()

A.0B.-12C.-120D.120

【解题思路】令g(x)=%(无一1)@一3)(%-4)(工一5),则/(幻=(x-2)g(x),求导后赋值即可.

【解答过程】令g(x)=x(x-l)(x-3)(%-4)(%-5),则f(%)=(x-2)g(x)f两边求导得到:(%)=g(x)+

(x-2V(x),令x=2,得到r(2)=g(2)=-12.

故选:B.

【题型3复合函数的求导方法】

【例3】(23-24高二下・四川遂宁•阶段练习)下列求导运算不正确的是()

1

A.(x2sinx+1)，=2xcosxB.(V2x-l)f=

C.[皿1-2创，=+D.(尹=宗

【解题思路】利用导数运算法则及求导公式，逐项求导判断即可.

【解答过程】对于A：(x2sinx+iy=2xsinx+x2cosx,A错误；

对于B,令(啰=1)'=；(2X-1)-)2=^^三，B正确；

2V2X-1

对于C：[ln(l-2x)]'=(-2)=在，C正确；

对于D：(9=二=2,D正确•

产(铲产ex

故选：A.

【变式3・1】(24-25高二上•全国,课后作.业)设定义在R上的函数/(%)的导函数为/•'(%),且f(%+l)=

>0,则需二()

A.4B.8C.16D.32

【解题思路】两边求导，运用复合函数导数规则，再结合累乘计算即可.

【解答过程】f3+l)=2/a)两边对力求导,得尸(x+l)-(x+l)'=2f'(x),即务”2,

所以第=2,第=2,…，儡=2,累乘可嚅=炉=32.

故选：D.

【变式3-2](23-24高二下•湖北期中)下列求导不正确的是()

A.[(3%+5)3了=9(3%+5产B.(e2y=0

C.(婴)'=2yD.(2-+cosxy=2-ln2-sinx

【解题思路】利用求导公式分别求出各个选项的导数，即可得出答案.

【解答过程】对于A,((3无+5)3)，=(3X+5)'・3(3X+5)2=9(3X+5)2,故A正确;

对于B,e2是常数，导数为0,故B正确；

(2sinx),x2-2sinx(.v2)*2xcosx-4sinx

对于C,(誓”故c错误:

对于D,(2,+cos%)7=(2，)'+(cos%)7=2x\n2—sinx,故D正确.

故选:C.

【变式3-3](23-24高二下•四川自贡・期中)设/o(x)=sin2x+cos2%,4(%)=灯(%)，4(%)=》'(%)，,••

/n+l(x)—fn'(%)，n€N,则为20(%)二()

A.22020(cos2x-sin2x)B.22021(-sin2x-cos2x)

C.22020(sin2x+cos2x)D.22021(—cos2x4-sin2x)

【解题思路】根据题意,依次求出;1a),似%),...,寻找出规律即可.

【解答过程】因为为。)=sin2x+cos2x,

所以(%)=%(x)=2cos2x-2sin2x=2(cos2x-sin2x),

ACv)=f^M=22(-sin2x-cos2x),

启(x)=f；(x)=23(-cos2x+sin2x),

%Q)=fi(x)=24(sin2x4-cos2x),

因为2020=505x4.

所以心020(x)=22020(sin2x+cos2x).

故选：C.

【题型4求曲线的切线方程(斜率)】

【例4】(24-25高三上•北京房山•阶段练习)曲线y=E在点(1,1)处的切线方程为()

A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.%-y-5=0

【解题思路】求导后由导数的意义求切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；

【解答过程】求导可得/=等黑=77三豆，

，(2x-l)2(2x-l)2

所以切线的斜率为k=一1,

所以切线方程为y-l=-(％-1),即x+y-2=0,

故选：B.

【变式4-1](24-25高三上•河北衡水・开学考试)已知/'(x)=ln(—2x),则/'(%)在点处切线的斜

率为()

A.—B.-C.4D.-

【解题思路】求出函数f(x)=ln(-2x)的导函数，再把点(见,/(%))的横坐标代入求解即可.

【解答过程】因为f(%)=ln(-2x),

所以/(%)=9•(-2。二3

所以函数/'(%)在点(%(),/•(a))处切线的斜率为k=/''(%)=工，

X。

故选：D.

【变式4-2](24-25高三上.山西运城.开学考试)曲线/(%)=&-2)眇-一+2%在工=2处的切线方程是

()

A.y=(e2-2)(x-2)B.y=(e2-2)x-2

C.y=e2x-4D.y=e2x+4

【解题思路】根据题意，求得广(幻=(x-l)ex-2x+2,得到"2)=0且尸(2)=e2-2,进而求得切线方

程，得到答案.

【解答过程】由函数f(x)=(%-2)铲一7+2%,可得/(%)=[%-l)e"-2%+2,

则“2)=0且尸(2)=e2-2,即切点为(2,0),切线的斜率为e?-2,

所以函数/(%)在x=2处的切线方程为y=(e2-2)(%一2).

故选：A.

【变式4-3](24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)若函数f。)=Inx-ax+1的图象在％=2处的切线与

y轴垂直，则函数/'(X)的图象在％=1处的切线方程为()

A.x+y=0B.x-2y=0

C.2x—y+1=0D.x—2y—2=Q

【解题思路】由函数在x=2处的切线与y轴垂直，可求得Q=%再根据导数的几何意义求解可.

【解答过程】解：因为/(x)=Inx-ax+1,%>0,

所以/(%)=；a，

又因为函数在％=2处的切线与y轴垂直，

所以尸(2)=a=0,

解得a=去

所以/(Y)—\nx—+l,x>0,

所以/⑴/

即切点为(1*),

又因为尸(乃=：一点

所以在％=1处的切线的斜率A=r(i)=p

所以在％=1处的切线方程为：y-1=1(x-l),

即丁=)，x-2y=0.

故选:B.

【题型5已知切线(斜率)求参数】

【例5】(24-25高三上・北京•阶段练习)若直线y=2x是曲线/G)=%(e2x-a)的切线，则a=()

A.—eB.—1C.ID.e

【解题思路】利用导数，根据切点及切线的斜率求得正确答案.

【解答过程】/(x)=x(e2x-a),r(x)=(1+2%)e2x-a,

依题意,直线y=2%是曲线f(%)=x(e2x-a)的切线，

设切点为(3),则]刊：(2+;)：,

((1+2t)ezr-a=2((1+2t)e"=2+a

通过对比系数可得(1+2t)t=t,2t2=0,t=0,则a=-1.

故选：B.

【变式5-1](24-25高三上•湖南永州•阶段练习)已知函数/(%)=：+alnx,在点处的切线方程为

x-y=0,则a=()

A-eC.VeD.2

【解题思路】由导数的几何意义可得出f'(l)=1.即可求得实数。的值.

【解答过程】因为/'(%)=：+alnz,则/(%)=：-或，

因为函数/(%)在点(1,/(1))处的切线方程为X-、=0,则/(1)=。-1=1,解得a=2,

且“1)=1，则点(l,f(l))在直线x-y=0上，合乎题意.

因此，a=2.

故选：D.

【变式5-21(24-25高二上•全国•课后作业)若曲线y=正在点(4,2)处的切线也是曲线y=ae”的切线，则a=

()

A.白B.胃C.白D.-

2e224e34

【解题思路】先求出曲线y=4在点(4,2)处的切线方程，设切线与曲线丁二。^的切点为(右,。/。)，通过导

数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.

【解答过程】丫=逐的导数/=表，令x=4,则歹=%

所以曲线y=正在(4,2)处的切线方程为y-2=i(x-4),

即x-4y+4=0.

y=Qe"的导数y'=aex,设直线x-4y+4=0与曲线y=ae*切于点(Xo，ae”。)，

x

则曲线y=ae，在点(%o，Qe，。)处的切线方程为y—ae*。=ae°(x-x0),

即%---^-y+l-xo=0,所以(az。一％解得a=>.

4

2。ll-x0=4,

故选:D.

【变式5-3](2024高三•全国・专题练习)已知/(%)=x3+nx—52,g(x)=x2-31nx,若直线x+y+?n=0

是曲线y=/(x)与曲线y=g(x)的公切线，则m-n=()

A.-30B.-25C.26D.28

【解题思路】根据题意，分别设出与曲线y=f(x)以及与曲线y=gQ)的切点坐标，然后结合导数的几何意

义，代入计算，即可求解.

【解答过程】设直线x+y+m=0与曲线y=/(%)相切于点(a,-Q-m),与曲线y=g(x)相切于点(瓦一匕-

m),b>0.

由0。)=x2-3mx知“(%)=2x-p乂两曲线的公切线斜率为-1,则2b—合一1,解得匕=1或b=—|(舍

去).

所以1—31nl=-1一7九，解得m=—2.

由/(%)=x3+nx—52知/'(x)=3x2+n,又两曲线的公切线斜率为-1,则3a?+n=—1,即几=—3a2—1,

故a?—(3a2+l)a-52=—a+2,整理得M=-27,故a=-3,

所以n=-3a2-1=-28,故m-n=26.

故选：C.

【题型6函数图象的判断及应用】

【例6】(23-24高二下•辽宁鞍山,阶段练习)函数人切=;^11%+85%的导数/(%)的部分图象大致为()

八』

A.B.

【解题思路】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除.

【解答过程】因为/(%)=xsinx+cosx,所以尸(无)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

令g(x)=/'(%)=xcosx,xeR,则g(一%)=—xcosx=—g(幻，

所以函数g(x)=xcosx是奇函数，故A,C错误；

又g(n)=ncosir=-Ti<0,故B错误•

故选:D.

【变式6-1](23-24高二上•安徽芜湖・期末)若函数/•(%)=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点在第三象限,

则函数尸(%)的图象大致是()

【解题思路】依题意可得再求出尸(%),即可判断.

【解答过程】因为函数/(%)=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点在第三象限，

a>0

一,所以£33又尸(x)=2ax+b,则r(幻的图象单调递增，且与y轴交于正半轴.

3<0心。

(4a

故选：C.

【变式6-2](23-24高三下•福建.阶段练习)设函数/"(无)=-3%--的导函数为9(幻，则血%)|图象大致

是()

【解题思路】先求导数得g(x),再根据|g(x)|奇偶性舍去B,C,根据|g(x)|过原点。，舍去人.即可得结果.

【解答过程】因为f(%)=-cos%-所以((%)=sinx-47，所以g(%)=sin%-43,

所以函数g(x)是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数|g(%)|为偶函数，其图象关于y轴对称，所以

选项B,C错误；又因为其图象过原点0,所以舍去A.

故选：D.

【变式6-3](23-24亩二下•天津河北•期中)下列四个图象中，有一个图象是函数/*(%)=1/一+

(a2-4)x+8(a*0)的导数的图象,则/'(一2)的值为()

【解题思路】求出函数/'(%)的导数，由导函数的特性确定函数图象，进而求山。值作答.

【解答过程】函数f(x)=-Q%2+(。2一4)%+8,求导得尸(x)=/-2ax+a?-4=(%-a)2一4,

于是函数y=r(x)的图象是开口向上，对称轴为X=Q的抛物线，①②不满足，

又aHO,即函数y=/'(%)的图象对称轴不是)，轴，④不满足，因此符合条件的是③，

函数y=/'(%)的图象过原点，且G>0,显然/(0)=0,从而a=2,

/Q)=l3-2x2+8,所以/(-2)=；x(-2)3-2x(-2)2+8=

(5xJ*5

故选：D.

【题型7导数运算的新定义问题】

【例7】(2024・安徽・模拟预测)给出定义：若函数"%)在。上可导,即尸(x)存在，且导函数尸⑺在。上

也可导，则称/(%)在。上存在二阶导数，记/(%)=(r(X))'.若广(%)V0在。上恒成立，则称/(%)在。上

为凸函数.以下四个函数在(04)上不是是凸函数的是()

A./(x)=sinx+cosxB./(x)=Inx-2x

C./(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe~x

【解题思路】根据给出的导数新定义逐项判断即可.

【解答过程】对于A：/(x)=sinr+cosx,/'(%)=cos%—sinx,f'rM=—sinx—cosx,

则/(x)在(0j)上恒有/〃(幻<0,故A错误；

对于B：/(x)=Inx-2x,/'(%)=[—2,/"(%)=—/，

则/(%)在(0彳)上恒有/"(%)V0,故B错误；

对于C：f(x)~-x3+2x-1,fr(x)=-3x2+2,fr，W=-6x,

则/(%)在(0,f上恒有/"(%)<0,故C错误：

xxxwx

对于D：f(x)=-xe-,f(x)=-e-+xe-f/(x)=(2-%)e-,

则/(x)在(0弓)上恒有/”(x)>0,故D正确.

故选：D.

【变式7-1](23-24高二上.河北.阶段练习)曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：

记/'(%)是/(均的导函数，/'"(")是/(%)的导函数，那么曲线y=f(%)在点(%,/Go))处的曲率K=

―"(々*”3,则曲线/(x)=sinx+cos%在点(:,夜)处的曲率为()

{1+/(勺)]2注MJ

A.0B.—C.—D.V2

92

【解题思路】

根据曲线的曲率定义，对函数/G)=sinx+cos无求导得出尸(x),再对/'(%)求导得出/'"(%),将&=：代入

K=,仁°)、求解即可.

【解答过程】对函数f(%)=sinx+cos%求导,得/'(%)=cosx—sinx,

对:(幻求导,得f"(x)=-sinx-cosx,所以尸Q)=cos.-sin：=0,f"(：)=-sin；-cos^=-V2,

所以曲线/(%)=sinx+cos%在点V5)处的曲率K=—I，§=卜'%=V2.

47{1+/(q)『忤(1+02)2

故选：D.

【变式7・2】(2024•河南南阳•模拟预测)对于三次函数f(%)=收+bx2+cx+价工0),定义:设/〃(%)是

函数y=/•(%)的导函数y=/(%)的导数，若/〃(%)=0有实数解力,则称点(%,八%))为函数y="幻的“拐

点”.现已知/(%)=炉-3x2+2%-2.请解答下列问题：

(1)求函数/⑺的''拐点"A的坐标；

(2)求证：/幻的图像关于“拐点”4对称，并求/(一2020)+/1(-2019)+•••f(2019)+f(2022)的值.

【解题思路】(1)根据“拐点”的定义求出('(%)=0的根，然后代入函数解析式可求出“拐点”4的坐标.

(2)设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明，利用对称性可得结果.

【解答过程】(1)•••/(无)=3/-6%+2,f〃(x)=63-6,，令尸(无)=6%-6=0,

得x=l.

有/⑴=13-3+2-2=-2,；・"拐点”A为(1,一2).

(2)证明：设P(x(p尢)是y=/1%)图像上任意一点，则=XQ-3xg+2x0-2.

PQb，yo)是关于“拐点”4(1,一2)的对称点为P<2-x0,-4-%).

把点P，坐标代入y=f。)得左边=-4-y0=-xl+3舄-2x0-2,

右边=(2—%o)3—3(2—%o)2+2(2—XQ)—2=—XQ4-3XQ-2XQ—2,••・左边=右边.

・••点P'(2-x0t-4-y0)在y=的图像上.

・•・y=/(>)关于“拐点”对称.

由对称性可得f(x)+f(2-x)=-4

/(-2020)+/(-2019)+…/'(2019)+/(2022)=2021x(-4)+/(I)=-8086.

【变式7-3](2024.安徽.一模)给出以下三个材料：

①若函数外幻可导，我们通常把导函数/(幻的导数叫做/'(工)的二阶导数，记作广(工).类似的，函数八切的二

阶导数的导数叫做函数外幻的三阶导数，记作广〃(幻，函数八外的三阶导数的导数叫做函数f(x)的四阶导

数……，一般地，函数/(幻的n-1阶导数的导数叫做函数/(幻的〃阶导数，记作/⑺。)=n>4；

②若?iGN*,定义加=nx(n-l)x(n-2)x---x3x2xl：