解题技巧13 抽象函数的十大热点题型（原卷版） 2027年高考数学一轮复习

解题大招13玩转抽象函数的十大热点题型

题型01抽象函数的定义域题型06抽象函数的奇偶性

题型02抽象函数求值题型07抽象函数的对称性

玩转抽象函数的

题型03抽象函数的值域题型08抽象函数的周期性

十大热点

题型04抽象函数的解析式题型09解抽象不等式

题型05抽象函数的单调性题型10抽象函数性质的综合

知识梳理

知识点01抽象函数

1.抽象函数的概念

所谓抽象函数是指用函数符号(如/(幻表示)，却没有给出具体解析式的函数.

2.抽象函数的性质

(1)定义域：求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则.在同一对应法则的作用下，不论接受法

则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内.

①若已知函数的定义域为[4,勿，则复合函数/(其0)的定义域由劭求出.

②若已知函数f(g(x))的定义域为⑶b],则/(x)的定义域为g(x)在加时的值域.

(2)周期性

/(x+4)=/(x)nT="；/(x+a)=-/(x)nT=2〃；

f(x+a)=-^>T=2a；(人为常数)；f(x+a)=f(x+b)^>T=\a-t\

J\x)

(3)对称性:

对称轴：/(。一%)=/(〃+x)或者f(2a-x)=f(x)=>/(x)关于x=a对称;

对称中心：/(。-工)+/(。+工)=277或者/(2。一工)+/(工)=2/?=>/(x)关于(。力)对称；

特别地，如果/⑴同时关于x=4对称，又关于(Ac)对称，则/⑴的周期7=1。一母

知识点02单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题

i./(6在/?上是奇函数，且/(x)单调递增=若解不等式/(X)+/(%)>()，则有

X)+x2>0；

2j(x)在R上是奇函数，且/⑴单调递减n若解不等式/(*)+/&)>0,则有

$+々<0;

3j(x)在R上是偶函数，且/⑴在(0,内)单调递增=>若解不等式/(%,)>/(x2),则有可>同

(不变号加绝对值)；

4.7(x)在R上是偶函数，且/⑴在(0,y)单调递减=>若解不等式/(x,)>/(x2),则有冈〈网

(变号加绝对值)；

5j(x)关于［㈤对称,且/⑴单调递增=>若解不等式/日)+/a)>七,则有

x}+x2>2a；

6./(x)关于(。力)对称，且/⑴单调递减=>若解不等式则有

xt+x2<2a；

7j(6关于工=。对称，且广⑴在(。,+。。)单调递增=若解不等式/(%)>/(%)，则有

W-4〉居一《(不变号加绝对道)；

8j(x)关于x=a对称，且/(X)在(。,+8)单调递减=若解不等式/(^)>/(%2),则有

，一《<卜2一。|(不变号加绝对值).

知识点03抽象函数的模型

1.正比例函数模型：

/(x)=k^k0),对应：f(x±y)=f(x)±f(y)i

2.反比例函数模型:

仆)=&〃x+),)=

X,对应：/*)+〃)')[xJ(x)J(y)J(x+)，)均不为o].

3.一次函数模型：

模型1：若模X土y)=f(x)±f(y),则f(x)=模l)x；

模型2：若/(x±y)=/(x)±/(y),则f(x)为奇函数;

模型3：若f(x+y)=/。)+/()，)+m,则/U)=[/(!)+tn]x-m；

模型4：若/(x-y)=/(x)-/(y)+利,则/*)="(1)-m\x+m；

4.二次函数模型：

f(x)=ax2+bx+c(a0),对应：f(x+y)=/(x)+f(y)+kxy+m；

5.三次函数模型：

f(x)=ax'+bx2+cx+d[a0),对应:/(x)=/(x-y)+/(y)+xy(x-y)

6.幕函数模型：

模型1：/(x)=Y"，对应：f(xy)=f(x)f(y)；

模型2：f(x)=xm,对应：/(—)=~~~.

yf(y)

7.指数函数模型

模型1：/(%)="⑴R对应：f(x+y)=f(x)f(y)(其中〃幻>0)；

模型2：/(x)=[/(l)r，对应：=(其中f(x)>0)；

模型3：〃幻=卜⑴时，对应：/U+y)=/W(y)^；

tn

模型4：/(x)=ni,对应：/(x-y).

mJ/(y)

8.对数函数模型

模型1：/(x)=logaX(a>0且awl),对应：/(x")=〃/(x)；

模型2：/(x)=k)gaM〃>°且a")，对应：/(冷')=力))+/()')；

模型3：/(x)=logaX(a>。且工1，工/>0)，对应:/(-)=/U)-/(y);

模型4：/。)=[/(〃)+阳]嘀.1”(〃>0且¥1,%)，>0),对应：f(xy)=f(x)+f(y)+m,则

模型5：/(1)=[〃。)一〃7]108“工+〃«。>0且工1,1,>>0),对应：/(-1)=/W-/(y)+w.

9.正弦函数模型

/(x)=sinx,对应：f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)来源于

sin2a-sin2/?=sin(a+^)sin(a-/?)；

10.余弦函数模型

模型1：/（%）=coswx,对应:/（工+），）+/（工一））=2/"）/（丁）（73不恒加），则

模型2：/（x）=cos松，对应：八幻+/（刃=2/（歹）/（宁）（/*）不恒为0）：

模型3：/(X)=/COSWX,对应:f(x+y)+f(x-y)=蛆©/())(/(幻不恒为o).

11.正切函数模型

/（x）=tan松，对应：“X士'）=]黑累（/⑴/⑴=1）・

型解析

A题型01抽象函数的定义域

0口❽@

1.若y=/U）的定义域为（。，b）,则解不等式aVg（x）V”即可求出y=/l8（x））的定义域:

2.若」=•心（%））的定义域为（a,力），则求出g（x）在（a,5）上的值域即得y=«r）的定义域.

【典例1-1]（25-26高三上•新疆乌鲁木齐•阶段检测）已知）=/（力定义域为（1,3],则），=/（2x+l）的定

义域为（）

A.（2,6]B.（0,1]

C.(L2]D.(1,3]

仆）

【典例1・2】（25-26高三上•山东期中）函数〃x+l）的定义域为[—2,2],函数g"）=则

V2x-I(x-2)，

g（x）的定义域为（）

A.[0,2)(2,4]B.[-1,2)52,3]

C.表21(2,4]D.5,2J(2,3]

【跟踪训练】

1.（25-26高三上•广东佛山•阶段检测）已知函数/（"的定义域为。，7）,则函数的定义域为

)

A.(1,13)B.(2,14)C.(0,3)D.(1,4)

函数/（2x+l）的定义域为[T2],则函数、=旦»的定义域为

2.（25-26高二上•广东阳江•阶段练习）

X+1

A.{A|-I<X<2}B.{.d-I<x<5}

C.<x-\<x<—>D.{x|-l<x<5}

2

3.（2027高三・全国•专题练习）已知函数"2工+1）的定义域是（TO）,则“力的定义域为.

4.（2027高三・全国•专题练习）已知函数丁=/（』-1）的定义域为[-2,2],则函数.），=/（"的定义域

为,函数y=/（x+i）的定义域为.

学题型02抽象函数求值

QO混

一般采用赋值法，01，是常见的赋值手段.

【典例2】（2026•江西九江•模拟预测）己知函数〃力满足对任意实数乂儿都有

/（x+y）=/（x）+/（y）+2xy-2,且/⑴=3,贝lJ/（2026）=（）

A.20262+2B.20262+1C.20262D.20262-1

【跟踪训练】

1.(25-26高三上•福建泉州•阶段练习)若对任意的x,yeR,函数/")满足=〃x)+/()，),则

/0)=()

A.6B.4C.2D.0

2.(25-26高三上•广东深圳•期中)已知函数/(%)的定义域为(0,+8),Dx,ye(O，y),都有

/停)=/(”)-/(y)+l,且=则/(512)=()

A.-6B.-7C.-8D.-9

3.(2026•安徽•模拟预测)已知函数/。)满足f*+y)=f(x)+/(y)-l,则以下结论错•误•的是()

A./(O)=lB./(x)+/(-x)=2

C./(x+1)+/(x-1)=f(2x)+1D./(l+x)+/(l-x)=O

4.(2025・浙江绍兴•三模)已知定义在R上的函数/(可满足/5+)，)=〃刈+/()，)+个且八1)=1,则

/(100)=.

5.(2026•重庆•模拟预测)己知定义在R上的奇函数/(“满足/(1+X)=/(1T)+2X,则

7(2026)=.

院题型03抽象函数的值域

00混

求解方法有二：i是借助函数图象的变换求解，如函数图象左右平移，其值域不变；函数图象上下平

移，其值域也相应平移相同个单位；二是利用赋值法求解.

【典例3］(25-26高三上•陕西商洛•阶段检测)已知函数的定义域和值域均为似2］,则函数

y=2/(2x)+l的定义域和值域分别为()

A.［0,4］和［1,5］B.［0,4］和［1,3］

C.也1］和［1,5|D.似1］和［1,3］

【跟踪训练】

1.(25-26高三下•湖南长沙•阶段检测)已知函数)，=/(力的定义域和值域分别为［-1」］和［5,9］,则函数

y=/(x+i)的定义域和值域分别为()

A.［0,2］和［6,10］B.［-2,0］和［6,10］

C.［0,2］和［5,9］D.［—2,0］和［5,9］

2.（25-26高三上•浙江•阶段检测）已知函数“X）的定义域和值域都是［0』，则函数/（G）的定义域

和值域分别为（）

A.［l,应］和［TO］B.［l,和［0』

C.［—1,0］和［—1,0］D.［—1,0］和［0,1］

3.（25-26高三下•重庆•月考）已知/（%）满足f（%-y）f（y）=2f（%）J（%）H0,且f⑴=4,则f（2-%）+

/G）的值域为—

・题型04抽象函数的解析式

00混

主要方法有二：一是方程法，即构造关于函数（如/*））的方程（组），通过解方程（组）即得所求函数

（如/a））的解析式；

二是模型法，即结合所给条件确定相应函数的模型，再求出其待定系数，即得函数的解析式.

【典例4］（25-26高三上•上海金山•期末）设/（刈是定义在R上的函数，/（0）=0,且满足对任意盯

九等式/（2.y+x）=f（x）+6），（2x+2），+l）恒成立，则八幻的解析式为.

【跟踪训练】

1.（25-26高三上•江西南昌•阶段检测）已知函数/*）满足/（.*）+/住二］=l+x（x。（），xwl）,则/（工）的

解析式是（）

A./"）=g（旧+匕）B.=g1+卜白

C./（力寸X」―-4）D./（"）4

2\xx-i）2^xx-\）

2.（23-24高三上•河北保定,期末）已知函数/*）满足：Vx,veZ,/*+y）=/（%）+/（〉，）+20+1成

立，且/（-2）=1,则/（2#（〃eN）=（）

A.4〃+6B.8〃-1C.4n2+2n-\D.8n2+2»-5

3.（2025高三・全国•竞赛）设函数/（另对一切实数第了满足/3）=/〃），）+尺八力_（可）2,且

|/W-X2|<1,则函数/("=.

A题型05抽象函数的单调性

1.若给出的是“和型”抽象函数/(x+y)=…，判断符号时要比要变形为

X

f(x2)-/(X,)=一%)+玉]一fW，或变形为/(々)-/(再)=f(2)-/[Ui-X2)+X2]o

2.若给出的是“积型”抽象函数f(xy^)=,判断符号时要比要变形为

f(x2)-f(x])=fX[•上]一/(为),或变形为/(为)一/(七)=/(羽)一/占•土.

【典例5】(2026高三・全国•专题练习)设函数/(x)的定义域是R,对于任意实数机，〃，恒有

/(m+〃)=/(〃2)/5),且当汇>。时，wo</(x)<i.

⑴求证：/(0)=1,且当x<0时，有/(X)>1；

⑵判断了(%)在R上的单调性.

【跟踪训练】

1.(25-26高二下.四川南充.阶段练习)已知/(%)是定义在R上的函数，且对任意实数乂儿

/(x-+2.y)=/(x)+2/(j).

⑴若/⑴=-2,求吗)/(|)的值•

⑵若%>0时恒有试判断函数/Xx)单调性，并说明理由.

2.(25-26高三上•北京•阶段检测)已知函数/(可的定义域为R+,对任意的a/£R“，都有

f(a)+f(b)=f(ab).当0<%<1时，f(x)>0.

⑴求/⑴的值，并证明：当x>l时，〃x)<0；

(2)判断/(x)的单调性，并证明你的结论；

⑶对于任意的xe[2,3],不等式/(4，-5”/(，〃2)恒成立，试求常数机的取值范围.

►题型06抽象函数的奇偶性

0O混

判断抽象函数奇偶性的步骤：

(1)验证定义域的对称性；

(2)应用赋值法构造关于/(x)和/(-幻的关系。

(3)处理非标准自变量形式：若条件中出现如/--1)为奇函数的描述，需注意自变量替换规则：奇函

数定义应改写为/(-x-1)=-f(x-l).

【典例6](25-26高一下•河北保定•阶段练习)已知定义在R上的函数“X)满足：

f(x+y)=/(x)+/(y)-3xy(x+v).

(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;

⑵若川)=1,求/(一2)；

⑶若心>0,/(力+/>0,判断并证明y=/(x)+f的单调性.

【跟踪训练】

1.(2027高三•全国•专题练习)已知函数“X)(XGR,且XHO)对任意不等于。的实数巧，公都有

/(中2)=/($)+/(占),则〃力为()

A.奇函数B.偶函数

C.非奇非偶函数D.既为奇函数也为偶函数

2.(2026高二下•山东青岛•竞赛)已知了("是定义在R上不恒为0的函数，/(x+1)为奇函数，/(2A-1)

为偶函数，则()

A./(-3)=0B./(O)=OC.42)=0D.〃4)=。

3.(25-26高三上,山东•阶段练习)已知定义在Io,0)U(0,y)上的函数/(X)满足

(v)/(

/(y)-/(x)={；;\当x>0时，fM>0,且/⑴=1.

⑴求/(2)J(-1)；

(2)判断/(力的奇偶性，并说明理由；

⑶判断/(x)在(-oo,0)上的单调性，并说明理由.

A题型07抽象函数的对称性

1.对称性：

对称轴：f(a-x)=f(a+x)f(2a-x)=/(x)=>/(x)关于R=〃对称；

对称中心：/(…)+/(〃+」)=劝或者/(2a-x)+/㈤=2匕=>/(X)关于(〃4)对称;

2.如果/(X)同时关于X=4对称，又关于伉。对称，则/(X)的周期丁=,一百

3.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题

①/（工）在R上是奇函数，且/（x）单调递增=若解不等式/（x,）+/（x2）＞0,则有

*+x2＞0；

”r）在R上是奇函数，且/（X）单调递减=若解不等式/（xI）+/（x2）＞0,则有

X[+*2＜0;

②/⑴在R上是偶函数，且/⑴在（0,”）单调递增=若解不等式/（芭）＞/（%），则有

|^|＞|%2|（不变号加绝对值）；

/⑴在H上是偶函数，且/但在（0,+8）单调递减=若解不等式/（%）＞/（%），则有㈤＜|司

（变号加绝对值）.

③/（外关于（。力）对称，且/（x）单调递增=若解不等式/（幻+/（4）＞2'则有

M+电〉2〃；

/（x）关于（〃/）对称，且/（x）单调递减=＞若解不等式/（X1）+/（X2）＞2/7,则有

X]+工2＜2。；

④/（X）关于X=4对称，且/（X）在（4内）单调避增=＞若解不等式/（x,）＞/（x2）,则有

W-4＞卜2一。|（不变号加绝对管）；

/（X）关于对称，且/（X）在（。,+8）单调递减=若解不等式/（X,）＞/（X2）,则有

,一《＜k2-（不变号加绝对值）.

【典例7】（25-26高三上•安徽合肥・期末）已知函数/（x）为定义在R上的奇函数，函数

F（.r）=fu-D+i.则”（一!一+F（^22^=（）

,L2000J12000J12000J12000J

A.2000B.1999C.4000D.3999

【跟踪训练】

1.（2026・河南周口•三模）已知函数八外的定义域为R,/（3+x）+/（-l-x）=0,且/"）在（2,转）上单

调递增，则（）

A./(-ln6)>-/⑶>/(-2-e)B./(-2。>-/⑶>/(-ln6)

C./(-2-e)>/(-ln6)>-/(3)D.-/(3)>/(-In6)>/(-2'e)

2.(2026•安徽阜阳•二模)已知的定义域为R,f(x)的图象关于点(1,2)对称，

g(x)=f(x-2)+3xt且g(x)的图象关于点(1,0)对称,则g(19)=()

A.99B.78C.66D.52

3.(2025高三•全国•专题练习)已知定义在R上的函数/(x)满足"2-x)=/(4+x).若方程/(x)=0有

5个根，则这5个根之和为一.

4.(2026・湖南长沙•三模)已知函数的定义域为R,“X)的图象关于点(1,2)对称，

,且g(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(19)=.

5(X)=/(X-2)+3X

学题型08抽象函数的周期性

巧妙赋值，从而得到函数的周期，再借助函数的周期求值.

【典例8】(2026•陕西渭南•三模)已知/(力是定义在R上的奇函数,〃x+l)是偶函数，则/(2026)=

()

A.0B.-2C.2D.4

【跟踪训练】

1.(25-26高三上•湖北咸宁•期末)已知/(3)是定义在R上的倡函数，且/(4r)=/(x),当0WxW2

时，/(x)=2x-l,则/(2026)=()

A.-1B.1C.3D.7

2.(2025高三•全国•专题练习)已知函数/(x)的定义域为R,且

2025

f(x+y)+f(x-y)==1,则Z/(k)=()

Jt=l

A.-3B.-2C.0D.1

3.(2025•全国•模拟预测)已知函数/")及其导函数/'(x)的定义域均为R，记

g(x)=/'(x),y=〃2x—l)+l是定义在R上的奇函数,且〃2x+1)的一个周期为2,则()

A.2为f(x)的周期B./(2025)+/(-2023)=2

C.g(r)=g(x)D.g(3+x)=g(3-x)

4.125-26高二下•吉林白山•期末)已知〃x+l)是定义在R上的奇函数，旦〃X+4)=/(27),当“(1,3]

时，/(x)=ex-2\贝i」/(2025)+/(2026)=

”题型09解抽象不等式

一般利用抽象函数的单调性、奇偶性或对称性脱去抽象不等式中的符号“f”，转化为具体不等式求解.

【典例9】(2026•河南新乡•模拟)已知定义在R上的函数/")满足Wx,)*R,

f(2xy-l)=f(x)f(y)+f(y)+2x-3t〃0)=—1,则不等式”x)>3—2”的解集为()

A.B.(-1,-Kc)C.(—[)D.(e,-1)

【跟踪训练】

1.(2026•河南•模拟预测)已知函数/Cr)是定义在R上的偶函数，且在[。,内)上单调递增，若

/(-1)=4,则不等式〃工一1)£4的解集为()

A.1-2.0]B.[-1,11C.|0,2]D.(-oo,2]

2.(25-26高三上•安徽宣城•期末)已知/(可是定义在R上的奇函数，且/(x)在(TO,0)上单调递减，

/(-2)=0,则(x+l)/(x)>0的解集为()

A.(-2,2)B.(f-2)U(1,2)

C.(-1,2)D.(—2,—1)5。，2)

3.(25-26高三上•安徽阜阳•期中)已知偶函数/(X)在(YO,0]上单调递减，且"4)=0,则不等式

巾㈤>。的解集为()

A.(-4,0)u(4,+co)B.(-o),-4)u(0,4)

C.(-4,0)u(-L4)D.(-8,-4)D(4,+e)

4.(25-26高三上•浙江•期中)定义在R上的函数/(幻满足/(%+、)=/(无)+/(y),当％<0时，f(x)<

0,且满足f（2）=1,则不等式/Q-2）<2的解集为.

5.（25-26高三上•福建漳州•月考）已知函数/（幻的定义域是R,若对任意的x,y£R,都有/（x+y）=

fW+/（y）成立，且当%>0时，fM<0,则/a-2）+/（X2-2x）>0的解集为.

I►题型10抽象函数性质的综合

抽象函数综合应用问题解题策略

1.赋值法：取特殊值（如x=0、x=y、y=-x）,求特殊函数值、奇偶性.

2.换元变形：合理代换自变量，推导单调性、周期性、对称性.

3.数形结合：依托性质草图辅助分析，简化不等式、方程问题.

4.巧用结论：熟记周期、对称间的关联规律，快速推理.

5.定义域优先：解题全程紧盯自变量取值范围，避免出错.

【典例10】（多选）（25-26高三上•河南商丘・期末）设函数/（好的定义域为R,若存在实数々伏>0）,使

得对于任意xeR,都有/*+幻</*）,则称为"阶减函数"，下列命题正确的是（）

A.存在球阶减函数〃/*）在R上不单调递减

B.存在4阶减函数不是“欣阶减函数”（〃eN",且〃之2）

C.函数/（、•）=-"］是"1阶减函数〃（其中卜］表示不大于X的最大整数）

D.Wk>0,函数/*）=［幻—不是”阶减函数”（其中国表示不大于x的最大整数）

【跟踪训练】

1.（25・26高三上•浙江•期中）已知〃力是定义在R上且不恒为0的连续函数，若

/（x+y）+/（x-^）=/W/（y）»/（1）=0»则（）

A./（O）=-2B./（x）为奇函数

C./（X）的周期为2D./（另的值域为［-2,2］

2.（25-26高三•全国•一轮复习）已知定义在R上的单调函数/«）,满足Vx,yeR,

/（9）=/（力/3,则下列说法不正确的是（）

A./⑴=1B./（X）可能是单调递减函数

c./（X）为奇函数D.若/（8）=2,则/（2"）=2m

3.（多选）（25-26高三上•山东泰安•期末）已知定义在R上的函数/*）满足/（/*））=x,且外1-1）为奇函

数，则下列选项正确的是（）

A./3）的图象关于直线对称B./（0）+/（-1）=-2

C./（-x）+/W=-2D./（1）+/（2）+•+/（40）=-860

4.（2025・上海闵行•一模）若定义域为R的函数/（X）满足：对任意的％和V,都有

/(小/

小+，）=3且|/（力|工1,就称这个函数是“优美函数〃.

⑴判断并证明优美函数”X）的奇偶性;

⑵若优美函数/（"的值域为（-1,1）,且当x>0时，0<〃力<1,判断并证明优美函数“X）的单调性；

⑶若题（2）中优美函数/⑴还满足/⑴$且不等式誓倦>黄磊对任意的xeR恒成立,

试求实数用的取值范围.

巩固提升

1.（25-26高三上•山东•期中）函数〃x+l）的定义域为[-2,2],函数雇工）=则g（x）的定

72xT（x—2）

义域为()

A.[0,2)(2,4]B.[-1,2)52,3]

C.(；，2)U(2,4]加J(2,3]

D.

2.(2025•黑龙江大庆•三模)已知/")是定义在R上的奇函数，g@)是定义在R上的偶函数，若函数

八幻-g*)的值域为[-3,2],则函数/(3x)+g(3x)的最大值为()

A.2B.3C.6D.9

3.(25-26高三上•河南•期中)已知函数是定义在[-43上的图象连续不间断的奇函数，且

{y\y=fM,xe[0.6/1}=\m,M1,若则/(用的值域是()

A.[rn,M]B,C.D.

4.(25・26高二下•河南驻马店•期末)已知定义域为R的函数〃x)满足：VXGR,/(6-A)+/|»=4,且

%，王£[3,铉),玉工%，都有以