上海市长宁区2025-2026学年下学期九年级数学期中试卷（试卷+解析）

2025学年第二学期初三数学期中试卷

（考试时间：100分钟满分：150分）

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作

答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计

算的主要步骤.

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）［每题只有一个正确选项，在答题纸相

应题号的选项上用28铅笔正确填涂］

1.下列实数中，比3小的无理数是（）

A."B.况C.JTD.J（一3）2

2.上海市2025年全年地区生产总值约为5.67万亿元，其中5.67万亿用科学记数法表示为（）

A.5.67xlO10B.5.67x10"C.5.67xl012D.5.67x10”

3.己知OO及其所在平面内的直线/,P为直线/上的一点，如果OO半径为3,且。。=3,那么下列对

直线/的表述不正确的是（）

A,直线I可能经过圆心。B.直线/可能与。。相交

C.直线/可能与OO相切D.直线/可能与OO相离

4.在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6,6,7,5,

6,那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（）

A.平均数是6B.中位数是6C.众数是6D.方差是6

5.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1,其上有一个四边形44。（4、B、。、。均为格点），那么

下列说法中正确的是（）

A.四边形48co是菱形B.四边形48co的周长是20+2J5

C.四边形力3CD的面积是6D.4BC=NADC=45。

6.已知抛物线歹=以2+瓜+4〃工0）经过点力（1,1+21）,8（皿2）,当y>为时，x的取值范围是

n-6<x<4-n,那么，〃的值可能是（）

A.-1B.0C.1D.2

二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.计算：3〃.(—2/6)=.

8.请写出使代数式五有意义的。的一个值为：

a-\

Y7

9.方程—十]=一的解是_______.

x-3x-3

10.数据90、91、92、93、94的标准差是

x+2y=3

11.方程组<的解是________

X2-4/+9=0

12.已知线段Q=JJ，b=2,从1,石，近，岳,5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长

度，那么。，b,c是某直角三角形三边的长度的概率是.

13.如果关于K的方程一一45+2c-2=0有一根是x=0,那么该方程的另一根是.

14.已知点+在反比例函数y=§的图像上，那么在每个象限内，该函数的值歹隧x的值增大

而.(填“增大”或“减小”)

uno|UmUUD

15.在正方形48C。中，4c是其对角线，那么。卜卜3+/C的值为.

16.已知正八边形/4CL陀乩W的中心是点。，连接力C,AE,CE,点G是A/CE■的重心，如果

AC=6,那么线段OG的长等于.

17.在直角坐标平面内，如果存在正整数〃和常数比使得点4(x,y)满足工2=-沙+左，y2=nx+/c,

其中x+那么称点/为“〃-优点”.比如当〃=2,左二12时，点8(2,4)为“2-优点”(这是因为

满足2?=-2x4+12，42=2x2+12>2+4工0).已知点。在抛物线y=-/一31+2038上，且它还

是“2026-优点”，那么点C的坐标是

18.如图，在V49c中，N.4CN=90。，BC<AC.将V/6。绕着点C旋转，点,4.2的对应点分别

AE

是点O,E,如果点力恰好在直线。石上，且。£〃48,那么一的值为

AD

三、解答题（木大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，微在答题低的相应位置

±1

19.计算：疝+-|2-V3|-6cot60°.

3x-]>x-5

20.解不等式组：k+5x

---->—+1

3----2

21.某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本叫（万元）与隔热层厚度

x（厘米）满足关系式叫=20x.加建后该商场预计每年的能源消耗费用叼（万元）与隔热层厚度x

（厘米）满足关系式叫二-1--3工+36（（）工》48）.如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源

消耗费用之和为V（万元）.

（1）求y与x的关系式；

（2）已知该商场未来5年的相关计划费用〃（万元）满足p=y+Y—x,那么当192WpW208时，求

隔热层厚度x（厘米）的取值范围.

22.在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为

36。的等腰三角形称为黄金三角形，它具的=近二1的美妙性质.请运用上述信息，解决下

较长边的长2

列问题：

(Uffi)

（1）填空：等腰VNBC的顶角/力=36。，且48=4,那么底边8C=.

（2）如图1,在中，ZC=90°,Z5=18°,且44=4,求/C的长.

（3）如图2,已知点P是线段的黄金分割点（PM<PN）,在A/N的延长线上截取NQ二0N,将

线段绕点N顺时针旋转108。，得到线段NH,连接，。，请判断△N。，是否是黄金三角形？并说

明理由.

23.如图，正方形48CO中，点E在对角线8。上，点尸在边CO上（点尸与点C不重合），且

ZEAF=450.

(1)求证：AFBE=AECF：

(2)在图中延长力E与8C交于点H,如果CF=6DF，求证：BH=DF.

24.已知抛物线。i：＞=；/一工-3与x轴交于点力，B(点力在点8左侧)，与V轴交于点C.

(1)求V/4C的面积.

(2)如图，点。是抛物线第四象限上的一点，直线力。分别交OC、BC于点、E、F,如果

3

CotZPEC=-,求直线力。的表达式；

4

(3)在第(2)小题的基础上，将抛物线G：»二^^—工-3向左平移得到抛物线C?，直线与抛物线

交于例、N两点(点M在点N的上方).如果点4恰好是线段MN的中点.求抛物线G的表达式.

25.已知线段48是。。的一条弦，点C是。。上的一点.

（图I）（图2）（图3）

(1)连接4C、BC,如图1,如果力C=8C,ZC=45°,且AB=4yh，求。。的半径氏:

(2)当圆心。在线段48上时.

①如图2,已知点。在O。上，满足D4=Z)C,且，4K=S“c3,如果BC=2,求力C的长.

②如图3,已知点£在线段48上，满足力£：8七=2:3,如果沿着弦8c翻折OO后的弧线恰好经过点

E,求tan/44C的值.

2025学年第二学期初三数学期中试卷

（考试时间：100分钟满分：150分）

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作

答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计

算的主要步骤.

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）［每题只有一个正确选项，在答题纸相

应题号的选项上用28铅笔正确填涂］

1.下列实数中，比3小的无理数是（）

A."B.况C.7TD.J（一3）2

【答案】B

【解析】

【详解】解：A、"=2是有理数，不符合题意；

B、瓜<处=3,且通是无理数，符合题意：

C、7i>3,不符合题意；

D、J（—3）2=3,不符合题意.

2.上海市2025年全年地区生产总值约为5.67万亿元，其中5.67万亿用科学记数法表示为（）

A.5.67xlO10B.5.67x10"C.5.67xl012D.5.67x10''

【答案】C

【解析】

【分析】先将“万亿”单位换算为普通数字形式，再根据用科学记数法表示较大的数的形式为4X10”，其

中〃为正整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

【详解】解:5.67万亿=5670000000000=5.67x1012.

3.已知O。及其所在平面内的直线/,P为直线/上的一点，如果。。半径为3,且。。=3,那么下列对

直线/的表述不正确的是（）

A.直线/可能经过圆心OB.直线/可能与。0相交

C.直线/可能与。。相切D.直线/可能与。。相离

【答案】D

【解析】

【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论

【详解】解：设。。的半径为〃，圆心。到直线/的距离为4,

由题意得〃=3,P为/上一点，P0=3,

•・•点到直线的距离，垂线段最短，

d<P0=3,即dWI，

•・•直线与圆相离的判定条件为••，

・•・"不可能大于「，

・••直线/不可能与。。相离.

4.在2026年春季社会实践活动斗，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6,6,7,5,

6,那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（）

A.平均数是6B.中位数是6C.众数是6D.方差是6

【答案】D

【解析】

【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别正行计算即可.

【详解】解：A、平均数是（6+6+7+5+6）+5=6,故本选项说法正确，不符合题意；

B、把这些数从小到大排列为：5,6,6,6,7,

・.•中位数是6,故本选项说法正确，不符合题怠：

C、•.•6出现了3次，出现的次数最多，

,众数是6,故本选项说法正确，不符合题意；

D、方差为:|X[（5-6）2+3X（6-6）2+（7-6）2]=1,

・•・本选项说法错误，符合题意.

5.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1,其上有一个四边形力8。（力、B、C、D均为格点），那么

下列说法中正确的是（）

A.四边形力AC。是菱形B.四边形力8C。的周长是2近+26

C.四边形48。。的面积是6D.ZABC=ZADC=45°

【答案】C

【解析】

【分析】对于A,由勾股定理求得逐，BC=CD=2e，即可判断；对于B，求出四边形

48CO的周长即可判断：对于C：设力。和3。相交于点0,则50=4,40=1,CO=2,求出四边

形N8CQ的面积即可判断；对于D,由//8C>NC8Q=45。，/ADC>/CDB=45。,即可判断.

【详解】解：根据勾股定理，AB=AD=Jl2+22二#>，BC=CD=>j22+22=272>

，AB*BC,

二.四边形/BCD不是菱形，

..・选项A错误，不符合题意；

•••四边形ABCD的周长是2AB+2CD=4JI+2遥，

，选项B错误，不符合题意；

设/C和相交于点O,

则8。=4,40=1,。。=2,

...四边形力BCO的面积是，Q870+LQ8C0=LX4X1+LX4X2=6,

2222

」•选项C正确，符合题意；

•/Z/42?C>ZC5Z）=45O,ZADC>ZCDB=45°,

选项D错误，不符合题意.

6.己知抛物线歹=〃/+云+°（〃。0）经过点力（11+21）,8（叽21）,当y>为时，x的取值范围是

〃-6cx<4-〃，那么〃z的值可能是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关

系，由此可列不等式，求出〃，的范围，进而选出符合条件的选项.

【详解】解：•・•当y>为时，x的取值范围是〃一6<x<4-〃，

〃一6+4-〃

抛物线开口向下，对称轴为直线x=——-——=-1,

2

•/1+2/>2/,

•••点A较点B更靠近对称轴，即1一（一1）＜加一（一1）|,

整理得+

当加+120时,即〃72-1,有〃;+1〉2,解得〃?＞1,

当加+1＜（）时，即根＜-1,有一（〃7+1）＞2,解得〃？＜-3,

综上，加＞1或〃7＜-3,

••・只有D选项符合题意.

X=-I［不

--y=yo

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.计算：3〃.（一2〃%）=.

【答案】-6/力

【解析】

【分析】根据单项式乘单项式运算法则即可得到结果.

【详解】解：-{-2a-b）=3x（-2）（tz-6T2=-6a3b.

8.请写出使代数式正有意义的。的一个值为：.

a-1

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，确定。的取值范围，在取值范围内任取一个符

合要求的值即可.

【详解】解：由题意得，且Q—1W0,

，解得0且

。=2.

v7

9.方程一=十］二-的解是______.

x-3x-3

【答案】x=5

【解析】

【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求出一元一次方程的解后检验，即可得到原分式方程的

解.

Y7

【详解】解：--+1=--

x-3x-3

x+（x-3）=7

2x-3=7

2x=10

解得x=5,

检验：当x=5时，x-3=2wO,

・・・工二5是原分式方程的解.

10.数据90、91、92、93、94的标准差是.

【答案】V2

【解析】

【分析】先计算这组数据的平均数，再计算方差，最后求出方差的算术平方根即为标准差.

【详解】解：首先计算这组数据的平均数，得了='（90+91+92+93+94）=92,

5

再根据方差的计算公式计算方差，得

$2=3］（90一92）2十（91-92）2+（92-92）2+（93—92）2+（94-92）1

=-x10

5

=2>

标准差是方差的算术平方根，因此该组数据的标准差为正.

x+2y=3

11.方程组的解是________

X2-4J/2+9=0

x-0

【答案】3

y=2

【解析】

【分析】将/一4>2+9=0化为(x+2y)(x-2y)+9=0,进而根据x+2y=3得到x—2y=-3,联立

x4-2y=3

x+2y=3,工-2y=-3得<。.，求解即可.

x-2y=—3

【详解】解：•••/-4_/+9=0,

(x+2y)(x-2y)+9=0,

Vx+2y=3,

3(x-2j^)+9=0,

解得：x-2y=-3,

x+2j，=3

联立x+2y=3,工一2歹二一3得《

x-2y=-3

x=0

解得：3.

一

12.已知线段〃=百，6=2,从1,6，J7,如，5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长

度，那么。，b,。是某直角三角形三边的长度的概率是.

【答案】-##0.4

5

【解析】

【分析•】分类讨论，根据勾股定理求得C的值，进而根据概率公式，即可求解.

【详解】解：••・4=6，6=2,

••・线段a,b,c组成直角二角形时，

当。为斜边时，c=d6+b2=不

当。为斜边时，c=/22-（厨=1

・・・1，垂），布,后,5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长度，a,b,。是某直角三角形三

2

边的长度的概率是

13.如果关于x的方程4cx+2c—2=0有一根是1=0,那么该方程的另一根是.

【答案】4

【解析】

【分析】先根据一元二次方程根的定义，将已知根0代入原方程求出参数的值，再利用根与系数的关系计

算出方程的另一根.

【详解】解：将0代入方程d—4cx+2c-2=0中，

得2c-2=0

解得c=l,

设方程的另一根为£，

•・•其中一根为内=0,

/.工।+/=4。

0+x2=4x1

解得%=4.

14.已知点/(-4,6？+1)在反比例函数y二士的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大

.X

而.(填“增大”或“减小”)

【答案】增大

【解析】

【分析】根据点在反比例函数图象上确定左的符号，再结合反比例函数的性质判断y随x的变化规律.

【详解】解：•••点4(—4,〃/+1)在反比例函数y=§的图像上，

k=孙=-4(〃/+]),

•//u2>0，

/./n2+1>0»

.•/=-4(〃/+1)<0,

根据反比例函数的性质，当〃<0时，在每个象限内，y随X的港大而增大.

UUDIULUUUD

15.在正方形48。。中，4c是其对角线，那么。卜卜5+/C的值为.

【答案】叵

5

【解析】

【分析】本题可通过设正方形边长，建立平面直角坐标系，求H对应向量的坐标，再根据模长公式计算两

个模长，最后求解比值.

【详解】解：设正方形力BCO的边长为1,建立平面直角坐标系，令4(0,0),8(1,0),

n（o,i）,

可得而=（0_l』_l）=（7,0）,

・・.函=J(_iy+02=],

•・•懑=(1,0),^C=(l,l),

・•・而+祀=(I+1,O+1)=(2,1),

22

...~AB+AC\=yl2+\=45t

1_y/5

CD:AB-^-AC=

16.已知正八边形力3coEFWN的中心是点。，连接力C,AE,CE,点G是△4CE的重心，如果

AC=6,那么线段OG的长等于.

【答案】V2

【解析】

【分析】利用正八边形的性质，确定顶点共圆与各点位置关系，确定为等腰直角三角形，再结合勾

股定理以及三角形重心的性质计算0G的长度.

【详解】解：如图所示，

•・•正八边形ABCDEFMN的中心为点。，

.•.正八边形所有顶点都在以。为圆心的同•个圆上,

2AA

正八边形的中心角为一1二45。，顶点4CE之间各间隔I条边，相邻两点对。的中心角为

O

2x45°=90°,且4。,E三点共线，。是力E中点,

AZCJE=ZCF^=45°,ZJCE=90°,

.••△ZCE为等腰直角三角形，

••AE=V^C2+CE2=672，

••.OC」4E=3五，

2

•・•点G是△4CE的重心，

・•・OG=-OC=y[l.

3

17.在直角坐标平面内，如果存在正整数〃和常数k,使得点满足/=〃x+h

其中工十那么称点力为“〃-优点”.比如当〃=2,4二12时，点8(2,4)为“2-优点”(这是因为

满足2?=-2x4+12，42=2x2+12»2+4=0).已知点。在抛物线y=-/一3%+2038上，且它还

是“2026-优点”，那么点C的坐标是.

【答案】(-6,2020)或(2,2028)

【解析】

【分析】根据点/(、/)满足/=一町+0y2=nx+k,得/一＞2=一〃”+攵一("+《)，进而得

x-y=~nt即点力为“〃-优点”满足、一歹二一〃，设。卜,-?一3。+2038),将其代入工一少=一2026,

得关于c的一元二次方程，解方程即可求解.注意检验.

【详解】解：,点力(x,y)满足/=-〃y+k,y2=nx+k.

：.x2-y2=-ny+A—,

•••(x+y)(x_y)=_〃(x+y)，

•：x+0,

：.x-y=-nt

即点/为“〃-优点”满足x—y=-〃，

•・•点C在抛物线y=-x2-3x+2038±,

可设。(ci-3c+2038),

•・•点C是“2026-优点”，

：.c-(-c2-3c+2038)=-2026,

整理得C2+4C-12=0.

解得。=—6或。=2,

当。二一6时，—。2一3c+2038=2020,

当。=2时，—C?—3c+2038=2028,

故点C的坐标为(-6,2020)或(2,2028).

检验:对于点(-6,2020),有x+y=-6+2020=2014/0；

对于点(2,2028),有x+歹=2+2028=2030/0.

两点均满足题意.

18.如图，在V43c中，Z/4CB=90°,BC<AC.将VNBC绕着点C旋转,、〃的对应点分别

是点。，E,如果点/恰好在直线。E上，且CE〃AB,那么一的值为

AD—

【答案】|

【解析】

【分析】由旋转，平行线的性质以及等腰三角形的性质证明NC/EM//CEU/Q,再对AAC。运用内角

和定理可求NCAE=30°,再利月直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：由旋转得/D=NB4C,AC=CD,NECD=NACB=90。,AB=DE

:"D=ACAD,

-CE//AB,

・•・NACE=ZBAC,

."CAE=NACE=/D,

：.BC=CE=AE,

在"CO中，由内角和定理得：Z.CAE+ZACE+90°+ZZ)=180°,

・•・3/。£=90。，

.­.ZCJE=30°,

:"CAE=AACE=ZZ）=30°,

•••AB=2BC,

:.DE=2AE,即力。二3力£,

AE1

:.——=-.

AD3

三、解答题（木大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，微在答题低的相应位置

上】

19.计算:V12+^l-|2-V3|-6cot600.

【答案】2+6

【解析】

【分析】先计算负整数指数耗、绝对值和特殊的三角函数值，再化简二次根式，最后计算加减法即可.

【详解】解：712+^-|2-V3|

-6cot60°

=2V3+4-(2-V3)-6x-

1)tan60°

=26+4-2+6-6x4

6

=2V3+4-2+V3-6x—

3

=20+4-2+0-2百

=2+6

3x-l>x-5

20.解不等式组：,x+5x-

32

【答案】一2《工<4

【解析】

【分析】先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集.

3x-l>x-5@

【详解】解:x+5xg

---->-4-1®

32

®:3x-l>x-5

3x-xN—5+1

2x>-4

解得xN—2,

—x+5x,

②：---->-+1

32

2（x+5）>3x4-6

2x+10>3x+6

解得x<4,

「•原不等式组的解集为-2Wx<4.

21.某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本嵋（万元）与隔热层厚度

x（厘米）满足关系式叫=20x.加建后该商场预计每年的能源消耗费用叫（万元）与隔热层厚度x

（厘米）满足关系式叫=-：/-3%+36（0«》<8）.如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源

消耗费用之和为y（万元）.

（1）求y与x的关系式；

（2）已知该商场未来5年的相关计划费用〃（万元）满足p=y+/—X,那么当192WpW208时，求

隔热层厚度x（厘米）的取值范围.

【答案】（1）

>=*+51+180（0<x<8）

（2）

3<x<7

【解析】

【分析】（1）根据题意可得：j=喝+5卬2,把叱=20x,W2=—gx2—3x+36（0WxW8）代入

y="+5叼即可得到与x的关系式；

（2）把y=—d+5x+180代入p=y+J一％,可得p=4x+180,根据192WpW208,可得关于x的

不等式组，解不等式组即可求出X的取值范围.

【小问1详解】

解：根据题意可得：>=%+5叱，

x2

T%=20x,w2=~~-3x+36(0<x<8),

二.y=20x+5(一;一—3工+36,

整理可得：^=-X2+5X+180（0<X<8）；

【小问2详解】

解：•••歹二一/+5%+180（04工二8）,

p=y+x-x

=—x~+5x+180+r一x

=4x+180,

vl92<p<208,

.-.192<4x+180<208,

解得：3<A-<7.

22.在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为

较短边的长V5-1

36。的等腰三角形称为黄金三角形，它具有的美妙性质.请运用上述信息，解决卜

较长边的长一2

列问题:

A

B

(Ml)

(1)填空：等腰VZ3c的顶角N4=36。，且45=4,那么底边BC=

(2)如图1,在中，ZC=90°,Z5=18°,且43=4,求4C的长.

(3)如图2,已知点P是线段的黄金分割点（PM<PN）,在MN的延长线上截取NQ二。N,将

线段MW绕点N顺时针旋转108。，得到线段N”，连接HQ,请判断△NQ"是否是黄金三角形？并说

明理由.

【答案】(1)275-2

（2）V5-1

(3)是黄金三角形，理由见解析

【解析】

【分析1(1)由题意易得VA3C为黄金三角形，根据吃=避二1即可求解;

较长边的长2

(2)取力8中点Q,连接CO,易证△ZCOQBC。都是等腰三角形，再求出N/I0C=N8C0+N48c

短3^/1

=36。，证明△4C。是黄金三角形，且N/DC所对的边NC为较短边，根据：：；；：：；；二、2二！,三角

较长边的长2

求解;

(3)△NQ"是黄金三角形，连接AW,由旋转的性质得MN="N,zM/VW=108°，证明AMM/是

黄金三角形，设PM=x,求出PN=^4,MN=q邑，M”=(由+2卜，MD=(书+2卜，推

出MD=MH,求出NHND=NMDH=72。，进而求出/NHO=36。，即可说明.

【小问1详解】

解：•••等腰V44C的顶角N4=36°,

：.VABC为黄金三角形,且乙4所对的边4c为较短边，

•••48=4,

匹=而\,即竺二叵11,

AB242

.'.BC=2\'5—2；

【小问2详解】

解：取48中点。，连接CQ,

•••ZC=90°,力8=4,

:.CD=^AB=AD=BD=2,

"CD/BCD都是等腰三角形，

:.乙ABC=乙BCD,乙A=Z.ACD,

vZ^C=18°,

.^8CD=/-ABC=18°,

“ADC=乙BCD+Z-ABC=36°,

△ACO是黄金三角形，且N/DC所对的边4c为较短边,

”二逅二1,即竺二逅二1,

AD222

''AC=>[5—1；

【小问3详解】

解：是黄金三角形，理由如下：

连接A/〃，

由旋转的性质得MN=HN,乙MNH=108°,

=LNHM=1(180°-=36°,

.•.△MNH是黄金三角形,且腰氏MN,N”为较短边,

.MN_小一1

''MH2-'

设PM=X,

•:点P是线段MN的黄金分割点(PM<PN),

.PN一一由一1即PN二由一1

''MN2''PN+PM2'

...PN=必土％,

2

...MN=1±^,

2

••MH=Q15+2）x♦

•:ND=PN,

•••MD=MN+ND=（书+2）x,

•••MD=MH，

:•乙MHD=^MDH,

“NMH=36。,

.-.zWHD=AMDH=1（180°-Z/V/4W）=72°,

-/.HND=180°-Z.MNH=72°,

.-.ZW/VD=AMDH=72°,

.-.ZiVWD=180°-ZH/VD-Z.MDH=36°,HN=HD,

•・.△M9H是黄金三角形.

23.如图，正方形力3CO中，点E在对角线8。上，点E在边CO上（点尸与点。不重合），且

ZEAF=45°.

（1）求证：AFBE5ECF：

（2）在图中延长力上与8c交于点“，如果:CF=CDF，求证：BH=DF.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）连接力C,根据正方形的性质得到乙430=乙4CZ）=NA4C=45。，结合/"尸=45。，得

4FBF

到/8力£=/口尸，进而证明进而得到一=—,从而得出结论；

AFCF

（2）设则Cb="z，CP=（V2+l）a,在RtZ\/8C中，根据勾股定理求出

BE4B

AC=6AD，由（I）知△B/lEsCIF,则二:二二），进而求出BE=a=DF,再证明

CFAC

DTfRF

△ADESAHBE,进而得到r=利用。E=得到。£=40,进而求出

ADDE

ADBE

BH=----------=a=DF,从而得出结论.

DE

【小问1详解】

证明：如图，连接4C,

•••四边形45。。是正方形，

:"ABD=NACD=ABAC=45°,

•••Z.EAF=45°,

ABAC=NEAF,

:"BAE+NEAC=Z.CAF+NEAC,

Z.BAE=Z,CAF>

•・•/ABE=N4CF,

:.AABES"CF，

AE_BE

7F~~CF

4FBE=AECF：

【小问2详解】

证明：如图，

设DF=a,则CF=y/2a，

:.CD=CF+DF=y/2a+a=^+^at

•••四边形48C。是正方形，

AD=BC=CD=[4i^a.N4BC=90。，

在RtZX/BC中，由勾股定理得：AC=yJAB2+BC2=41AB=41AD»

由（1）知，"BEs^ACF,

•_B_E__A_B____A_B_____1

,'CF~7C~42AB~42

.BE_1

,,扃一正’

解得BE=a,

BE=DF,

•••四边形48CZ）是正方形,

:.AC=BD=6AD、AD//BC,即

，/DAE=NBHE,

ZAED=NHEB,

.,.△ADEs4HBE,

.BHBE

'~4D~~DE，

•・•BD=6AD=6W+l）a=12+塔a,

DE=BD-BE=（2+e）a-a=16+l）a,

DE=AD,

eADBEADa

二.BH=----------=--------=a,

DEAD

'：DF=a,

:.BH=DF.

本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键.

1、

24.已知抛物线G：＞=^r一工一3与工轴交于点力，B（点力在点8左侧），与歹轴交于点C.

（1）求V48C的面积.

（2）如图，点。是抛物线第四象限上的--点，直线力。分别交OC、BC于点、E、尸，如果

3

CotZDEC=-,求直线力。的表达式；

4

（3）在第（2）小题的基础上，将抛物线C：y=；--x-3向左平移得到抛物线G，直线力。与抛物线

C?交于"、N两点（点M在点N的上方）.如果点力恰好是线段/WN的中点.求抛物线G的表达式.

33

【答案】（1）12（2）=一一

42

「、12163

（3）y=—x~+—x---

4416

【解析】

【分析】（1）根据抛物线解析式求出交点的坐标，即可求出力8和OC的长度，利用三角形的面积公式即

可求出答案.

（2）根据余切值和对顶角可求出。足的长度，从而知道E点的坐标，利用E点和力的坐标结合待定系数法

即可求出直线力。的长度.

（3）根据平移的性质设的抛物线，利用与直线40的交点，联立方程，设A/,N的坐标，即可用机去表

达两根之和，根据中点公式求出加值，即可求出C2的抛物线解析式.

【小问1详解】

1?

解：•••抛物线G：y=a"~一x-3与x轴交于点/，B,与丁轴交于点c,

・•・,/一'一=。时，x=6或工=-2,

4

x=0时，丁=一3,

.•.4（-2,0）,4（6,0）,C（0,-3）,

.48=6-（-2）=8,。。=3,

/.SbzAioRvC=—2AB*OC=—2x8x3=12.

【小问2详解】

3

解：•••Cot/OEC二一，由图可知，/DEC=/AEO,

4

3

CotZAEO=-，

4

0E3

.♦.---———•

A04

-A0=2,

•••直线力。交OC于点E,经过4点，设直线力。解析式为N=b+

3

—2k+b=0=——

4

二.I3，解得

b=——

2

33

直线”£）解析式为y=-1工-5.

【小问3详解】

解：•••抛物线C2是由抛物线Q.y=^x2-x-3向左平移得到的，

二•设平移机个单位，则。2的表达式为y=*（x+〃?『一（x+加）-3.

联立直线力。与。2的方程为一^I―5=Z（X+'"）~—（X+〃?）-3,

整理得，x2+（277?-1）X+m~-4m-6=0,

•••直线/O与抛物线。2交于〃、N两点，设”（须,必），Ngy?），

•••石,”2是方程—十（2加-l）x+〃/-4加一6二0的两根,

b

/.X]+x,=—=-(2/7?-1)=1-2m.

•••点力恰好是线段/VW的中点，力(-2,0),

x,+x1-2m_

/.----7-=-----=-2，

22

5

m=—

2

G的表达式为y=；（x+g63

■CH*'16

本题考查了一次函数和二次函数综合，熟练掌握相关知识是解题关键（两根之和公式斗+羽二-2,坐标

a

点中点公式土也，余切值是邻边比对边，平移左加右减）.

2

25.已知线段18是OO的一条弦，点C是。O上的一点.

（图I）（图2）