新版北师版八年级上册数学全册教案（完整版）教学设计

新版北师版八年级上册数学全册教案（完整版）教学设计勾股定理第一章本章所需课时数6课时课标要求1.在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展空间观念。2.在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力。3.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性。4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。教材分析本章设计了以下的4节内容：第1节“探索勾股定理”；第2节“一定是直角三角形吗”，探索勾股定理的逆定理；第3节“勾股定理的应用”，巩固勾股定理及其逆定理；最后一节：“问题解决策略：反思”。在每节的编写中，按照“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开，首先通过具体问题情境引入研究的必要性，接着设计探究活动获得有关结论，然后运用探究得到的结论解决具体问题。主要内容本章主要内容：勾股定理及其探索；勾股定理逆定理；勾股定理的应用。教学目标1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系，进一步发展空间观念和推理能力。2.掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决简单的问题。3.通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值。教学重难点教学重点：掌握勾股定理及逆定理，理解勾股定理的面积验证。教学难点：掌握勾股定理及逆定理进行相关应用。教学建议1.注重使学生经历探索勾股定理等活动过程。2.注重创设丰富的现实情境，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用。3.介绍有关勾股定理的历史，体现勾股定理的文化价值。4.注意数形结合、化归等数学思想方法的渗透。章节课时分配1探索勾股定理（2课时）第1课时探索勾股定理第2课时验证并应用勾股定理2一定是直角三角形吗（1课时）3勾股定理的应用（1课时）问题解决策略：反思（1课时）整理和复习（1课时）1探索勾股定理课题第1课时认识勾股定理授课类型新授课授课人教学内容课本P2-4教学目标1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。2.让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。4.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国悠久文化历史的热情，激励学生发奋学习。教学重难点重点：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图探索勾股定理的方法。难点：理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系，并会进行简单的计算。教学准备多媒体课件、A4纸（或方格纸）、直尺教与学互动设计（教学过程）设计意图1.创设情境，导入新课教师展示课件：2002年第24届世界数学家大会在我国北京召开，图片显示的是本届世界数学家大会的会标：问题1：观察会标，这个图案是由哪些基本图形组成？学生：这个图形由四个全等的直角三角形组成了一个大正方形，中间还有一个小正方形。大正方形的边长是直角三角形的斜边，小正方形的边长是两直角边的差。问题2：直角三角形的三边之间满足什么样的数量关系？这节课我们就来探索直角三角形边长之间的奥秘。（教师板书课题：第1课时探索勾股定理）学生活动：观察展示的图片。进行联想、猜测。教师可先不做评价总结，让学生带着这些猜测进行下面的学习，进行验证。教师通过学生感兴趣的图片引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透爱国主义教育，同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。2.实践探究，学习新知【探究1】思考交流（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长度的平方之间有怎样的关系。与同伴交流。教师展示课件，追问：（2）如图1-2，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长度的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗?如果直角三角形如图1-3所示，结果又如何？你是如何计算的？与同伴交流。（一个小方格代表一个单位面积）学生可能活动：借助方格纸数正方形的面积进行验证。可能存在的问题：正方形C的面积不能通过直接数得到，教师可通过课件展示，进行引导。学生可能用到的方法不同，教师给予肯定。可能用到的求正方形C的面积的不同方法。发现结论：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。教师追问：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？课件展示，进行验证。填表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图分析：分析表中数据，你发现了什么？（3）如果直角三角形的两条直角边的长度分别为1.6度和2.4，那么上面所猜想的数量关系还成立吗?说说你的理由。（与同伴交流）通过探索，学生发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。教师总结：通过上面的活动，同学们一定已经发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，我国称上面的结论为勾股定理。学生动手操作，引导学生在动手操作中对勾股定理产生感性认识。教学中为了便于学生的计算、发现，可以要求学生在方格纸中绘制直角边长为整数的直角三角形。学生动手操作后,小组之间交流做一做（1）中的问题，基于测量值的计算肯定是有一定误差的，因而学生可能还难以确认所猜想的平方关系，必然产生进一步验证的必要性。问题（3）旨在让学生感受到勾股定理的一般性。这里两个直角边长1.6，2.4不是整数，对学生有一定的挑战性，同样应给学生一定的思考空间。如果学生确有困难，可以引导学生利用更细密的方格纸（如可以将方格纸的单位长度加细为原来的）进行验证，也可以利用上面的拼接或割补的方法。3.学以致用，应用新知考点认识勾股定理例1若一个直角三角形的两条直角边长都为1，则它的斜边长的平方是（）A.B.1C.2D.4答案：C变式训练【思想方法—分类讨论】若一个直角三角形的两条边长分别为3，4，则它的第三边长的平方是。答案：25或7例2如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=16，则S3=。答案：20变式训练如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4.若S1=48，S2+S3=135，则S4=（）A.183B.87C.119D.81答案：B考点勾股定理的简单应用例3如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草.他们少走的路长为（）A.2mB.3mC.3.5mD.4m答案：D变式训练如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸片（AE>DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则BC的长为cm.答案：20通过例题讲解，巩固对勾股定理及面积验证的理解，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。通过对勾股定理的简单应用，增强理解的同时，可以让学生理解勾股定理在生活中的实际应用，切实体会数学与生活的联系，也可以为第三节的学习做准备。4.随堂训练，巩固新知1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（）A.3B.4C.5D.6答案：C2.如图，点C是线段AB上的一点分别以AC，BC为边向两侧作正方形。设AB=6，两个正方形的面积和S1+S2=20，则图中△BCD的面积为()A.4B.6C.8D.10答案：A为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。5.课堂小结，自我完善勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2。通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。6.布置作业课本P3随堂练习中的T1—T2。课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高和做题效率。板书设计第1课时认识勾股定理认识勾股定理勾股定理的内容投影区学生活动区提纲掣领，重点突出。教后反思为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理。依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点。在大正方形C的面积的求法中，学生有很多的办法，讨论时要求学生在小组进行交流，再请学生做小老师到讲台上讲解，以培养学生的语言表达能力，教师对学生的讲解进行点评，并给以鼓励，增强了学生学好数学的信心，体验成功的快乐。课堂教学中,要注意调动学生的积极性。让学生满怀激情地投人到学习中，有助于提高课堂效率。勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设间，从面积（数）入手，数形结合，师生共同突破本节课的难点。反思，更进一步提升。1探索勾股定理课题第2课时验证并应用勾股定理授课类型新授课授课人教学内容课本P4-7教学目标1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题。2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想。3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识。教学重难点用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题。教学准备教师：多媒体课件学生：四个全等的直角三角形纸板，收集关于勾股定理的资料教与学互动设计（教学过程）设计意图1.创设情境，导入新课教师展示课件：教师：在上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。如图，分别以直角三角形的三条边（a＜b）为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何说明的？与同伴进行交流。（教材P4）学生活动：思考，交流。教师：对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理。（教师板书课题：第2课时验证并应用勾股定理）通过这一环节，向学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证，培养学生严谨的科学态度。当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望。2.实践探究，学习新知【探究1】活动1：为了计算上图中大正方形的面积，引导学生进行适当地割补活动。教师导入，小组拼图。教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形。学生动手环节：请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论。学生通过自主探究，小组讨论可能得到如图1、图2的两个图形。活动2：层层设问，完成验证。教师提问：（1）如图1，你能表示大正方形的面积吗？有不同的方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书a+b2=4×1活动3：学生自主探究，利用图2验证勾股定理。教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证）【教材例题】例在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驰。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m；过了10s，测得汽车与他相距500m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？解：根据题意，可以画出上图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角。由勾股定理，可得AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002。所以BC=300m。蓝方汽车10s行驶了300m，那么它平均每秒行驶300÷10=30（m）。因此，蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s。【探究2】教师：如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“最长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗？教师展示课件。问题：观察图片，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。（教材P6思考·交流）师生活动：教师出示问题，让学生尝试利用上面的方法借助方格纸进行推导，教师引导。学生经过推导后可请一位同学展示自己的结论。设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，又培养学生的动手、创新能力。在活动2中，学生在教师的层层设问的引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.然后在活动3中让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理，目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了难点。通过解决例题：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决。学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a，b，c不满足a2+b2=c2。通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判别打下基础。3.追溯历史，激发情感活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍。国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图。2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机。约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的。按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识。趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法。在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。教材链接：P6阅读·思考。这个环节完全由学生来组织开展，教师提前布置任务，让同学收集勾股定理的资料。介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；通过让学生搜集材料，展示材料，既可以让学生得到充分的锻炼，同时也可以活跃课堂气氛。4.学以致用，应用新知考点1勾股定理的验证例1876年，美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，验证中用到的面积相等关系是（）A.S△EDA=S△CEBB.S△EDA+S△CEB=S△CDEC.S四边形AECD=S四边形DEBCD.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD答案：D变式训练如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定理正确性的图形。（1）画出拼成的这个图形的示意图；（2）说明勾股定理的正确性。解：（1）如图，（2）证明如下：因为大正方形的面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为c2+4×ab，所以(a+b)2=c2+4×ab，a2+b2+2ab=c2+2ab，所以a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。考点2勾股定理的应用例如图，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，它们同时出发，一小时后分别到达A，B两地，此时甲、乙两渔船相距（）A.8海里B.10海里C.12海里D.13海里答案：B变式训练由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，求甲树原来的高度。解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，由题意，可得BC=13m，DC=12m，在Rt△BCD中，BD2=132-122=52，所以BD=5m，则AD=9m。在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=92+122=152，所以AC=15m，故AC+AB=15+4=19（m）。所以甲树原来的高度是19米。通过例题讲解，巩固学生对勾股定理的验证的理解，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。通过变式训练巩固所学知识，灵活运用勾股定理的面积验证解决问题。运用勾股定理解决数学问题，提高学生分析问题的能力，这种数学建模能力的培养，有利于学生规范解题步骤，提高学生的数学推理和表达能力。通过实际问题的解答，进一步培养学生应用数学的意识，更好的促进学生对本节课重难点的理解和突破，帮助学生不断完善认知结构。5.随堂训练，巩固新知1.如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（）A.140米B.120米C.100米 D.90米答案：C2.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A.10B.13C.15D.26答案：B为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。6.课堂小结，自我完善教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获。教师适当引导，鼓励学生交流，总结。归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；教师了解学生对本节课的感受并进行总结；培养学生的归纳概括能力。7.布置作业课本P8习题1.1中的T1、T2、T3、T5。课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。板书设计第2课时验证并应用勾股定理验证并应用勾股定理勾股定理eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(验证\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(拼图法,面积法)),简单应用))投影区学生活动区提纲掣领，重点突出。教后反思勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其历史价值和应用价值。因此上课过程充分挖掘其内涵。特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力。勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，特意设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2。这样学生较容易地突破了本节课的难点。由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生畅谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，对勾股定理历史的感悟以及对勾股定理应用的认识等。反思，更进一步提升。2一定是直角三角形吗课题一定是直角三角形吗授课类型新授课授课人教学内容课本P10-11教学目标1.理解勾股定理的逆定理的具体内容及勾股数的概念。2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否为直角三角形。3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力。4.体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。教学重难点重点：经历勾股定理的逆定理的探索过程，进一步发展推理能力。难点：利用勾股定理的逆定理解决实际问题。教学准备多媒体课件、直尺、有13个等距的结的绳子（每个小组一根）教与学互动设计（教学过程）设计意图1.创设情境，导入新课教师提问：在古埃及，古埃及人曾用有13个等距的结的绳子得到了直角，同学们你们知道古埃及人是用什么方法得到直角的吗?拿出准备好的绳子，每个小组1根，动手操作并交流讨论。答案预设：13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个同学同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第1个结处。教师追问：直角三角形有哪些性质呢？学生可能说出的答案：（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余；（3）两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；教师重点强调勾股定理。教师提问：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？（教师板书：2一定是直角三角形吗）学生思考。通过情境引入吸引学生注意力，然后复习回顾直角三角形的性质和勾股定理，为本节课要学习的内容作准备。2.实践探究，学习新知【探究】教师展示课件。教师：下面有三组数，分别是一个三角形的三边长，，：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；=4\*GB3④7，24，25。问题1：这三组数都满足a2学生认真计算，也可借助计算器辅助计算。答案预设：①3，4，5满足a2②5，12，13满足a2③8，15，17满足a2=4\*GB3④7，24，25满足a2+b2问题2：分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分小组讨论，每个小组可以任选其中的一组数。学生充分讨论后，汇总各小组实验结果如下：①3，4，5可以构成直角三角形；②5，12，13可以构成直角三角形；③8，15，17可以构成直角三角形；=4\*GB3④7，24，25可以构成直角三角形。猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。提问：利用量角器手工测量结果可能有误差，有没有更有说服力的理由?答案预设：理由一：锐角三角形和钝角三角形中，任意两边的平方和都不等于第三边的平方。因此，以3，4，5为边长的三角形不是锐角三角和钝角三角形，一定是直角三角形。（其他同理）理由二：以3和4为邻边构造三角形，观察随着夹角的增加第三边的变化趋势。随着夹角增大，第三边的长度也越来越大，根据勾股定理，夹角是直角的时候，第三边长度是5，夹角不是直角的时候，第三边长度肯定不是5，因此，边长为3，4，5的三角形一定是直角三角形。（其他同理）（本问题可能需要教师进行一定的引导，若学生有其他回答，合理的答案教师及时给与肯定。有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让学生有一个直观的认识。）明确猜想，引出勾股数的定义。反思总结：提问：（1）同学们还能找出哪些勾股数呢？（2）今天的结论与前面学习的勾股定理有哪些异同呢？（3）到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？（4）通过合作探究，你能总结出一个数学结论的发现要经历哪些过程吗？【归纳总结】勾股定理的逆定理：如果三角形三条边的长度，，满足a2+b2勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。【教材例题】例一个零件的形状如图1-14所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图1-15所示（单位：cm），这个零件符合要求吗?教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答。然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程。解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角。因此，这个零件符合要求。通过学生的合作探究，得出“如果一个三角形的三边长，，满足a2+b2引导学生进行一些理性的思考，得出更有说服力的理由，验证刚才的猜想。让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论。进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系。利用勾股定理的逆定理解决实际问题，使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系。3.学以致用，应用新知考点1勾股定理逆定理的应用例下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）A.2，3，4B.2，3，5C.3，4，5D.2，4，5答案：C变式训练如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=1cm，DA2=26，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是cm2。答案：8.5考点2勾股数例下列各组数中，为勾股数的是（）A.0.6，0.8，1B.2，3，4C.，，D.3，4，5答案：D变式训练在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：则当a=24时，b+c的值为()A．162B．200C．242D．288答案：D通过学生对勾股定理及逆定理的的应用，让学生明确它们之间的练习与区别，培养学生的推理能力。4.随堂训练，巩固新知1.木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（）A．3，4，5B．6，8，10 C．5，12，13D．7，15，17答案：D2.【新趋势—开放性问题】将勾股数3，4，5扩大到原来的2倍、3倍、4倍……可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…我们把3，4，5这样的勾股数称为“基本勾股数”，请你写出两组不同于以上所给出的“基本勾股数”：。答案：5，12，13（答案不唯一）3.若三角形的三边长满足|c2-a2-b2|+（a-b）2=0，则此三角形的形状是。答案：等腰直角三角形为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。5.课堂小结，自我完善勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边的长度a，b，c满足a2说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角，最长边所对角为直角。勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。常见勾股数：①3，4，5；②9，40，41；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15.通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。6.布置作业课本P11—12习题1.2中的T1、T2、T3、T4。课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。板书设计2一定是直角三角形吗提纲挈领，重点突出。教后反思1．充分尊重教材，以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形的三边长a，b，c，满足a22．注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。3．在利用今天所学知识解决实际问题时，引导学生对公式变形进行简便计算。4．注重对学习新知理解应用偏困难的学生的进一步关注。5．对于勾股定理的逆定理的论证可根据学生的实际情况做适当调整，不做要求。反思，更进一步提升。3勾股定理的应用课题3勾股定理的应用授课类型新授课授课人教学内容课本P13-14教学目标1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念。2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，渗透数学建模的思想，提高分析问题、解决问题的能力。3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性。教学重难点重点：熟练运用勾股定理求最短距离。难点：能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。教学准备多媒体课件，大小相同的圆柱体和长方体各2~3个教与学互动设计（教学过程）设计意图1.创设情境，导入新课教师展示课件。教师：观察图1、图2，回答问题。问题1：图1是学校的简易平面图，从东校门到教学楼怎样走最近？问题2：如图2，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，蚂蚁的爬行路线有几种？最短路线是多少？教师活动：将学生4人一组分组，问题2中引导学生借助准备好的圆柱体辅助解决问题。学生活动：学生讨论，交流，寻找解决问题的途径。合作交流：充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。问题求解：学生很容易算出：路线1中A→B的路线长为AC+d，路线2中A→B的路线长为。所以路线1的路线长比路线2的路线长要短。学生在路线3和路线4的比较中可能出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AC剪开圆柱得到侧面展开图，路线3中A→B是折线，路线4是线段，根据“两点之间，线段最短”可判断路线4较短，最后通过计算比较路线1和路线4即可。结论展示：路线1中A→B的路线长为AC+d>AB；路线2中A→B的路线长为>AB；路线3中A→B的路线长为AO+OB>AB；路线4中A→B的路线长为AB。得出结论路线4最短。教师追问：若圆柱的高等于12cm，底面圆的周长等于18cm，怎么计算最短路径的长度？让我们一起走进本节课的内容——勾股定理的应用。（教师板书：3勾股定理的应用）学生回答：利用勾股定理求解。教师展示课件。解：由题意，得AC=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=122+92=225，即AB=15（cm）。即蚂蚁从A到B的最短路线是15cm。通过问题1复习公理：两点之间线段最短；通过问题2的创设情境、引入新课，激发学生探究热情。让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法。本环节通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解。在活动中体验数学建模，培养学生与人合作交流的能力，增强学生的探究能力、操作能力、分析能力，发展空间观念。2.实践探究，学习新知【探究1】教师展示课件。问题展示：装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD和边BC是否分别垂直于边AB。问题1：如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？学生活动：先独立思考，之后小组可交流讨论，汇总结果。答案预设：结合之前学习的知识，容易想到，通过测量各边长度，利用勾股定理逆定理验证△ABC和△ABD是否是直角三角形即可。问题2：李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm。AD边垂直于AB边吗？答案预设：解：在△ABD中，∵，，∴，∴△ABD是直角三角形，∠DAB=90°，∴AD和AB垂直。问题3：如果李叔叔随身只带了一把长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？教师活动：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论，对学生的合理做法及时给与肯定。【教材例题】教师展示课件。例今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》）题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图）。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？学生活动：利用生活常识与已有的知识将数据与图形相结合，标出对应的数据，小组讨论找出直角三角形并利用勾股定理解答。解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为（x+1）尺。由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC2即52解得x=12。12+1=13。因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。运用勾股定理的逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题。利用方程将几何与代数联系起来，将实际问题与数学模型再次形象地联系到一起，以期加深学生的印象。3.学以致用，应用新知考点1最短路径问题例如图所示，在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20s内从点A爬到点B？解：将正方体按如图方式展开，在Rt△ABC中，由勾股定理，得由题意，得蚂蚁20s爬行可爬行20×1=20（cm），∵500＞202，∴不能在20s内从点A爬到点B。变式训练如图，一只蜘蛛在一个长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体木块的顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少？解：（方案一）如图1，连接AG，当蜘蛛从点A出发先到BF上再到点G时，因为AB=3cm，BC=5cm，所以AC=AB+BC=3+5=8（cm）。因为CG=BF=6cm，所以在Rt△ACG中，AG2=AC2+CG2=82+62=100。（方案二）如图2，连接AG，当蜘蛛从点A出发先到EF上再到点G时，因为BC=5cm，所以FG=BC=5cm，所以BG=5+6=11（cm）。在Rt△ABG中，AG2=AB2+BG2=32+112=130。（方案三）如图3，连接AG，当蜘蛛从点A出发先到EH上再到点G时，因为GF=BC=5cm，AE=BF=6cm，EF=AB=3cm，所以AF=AE+EF=6+3=9（cm）。在Rt△AFG中，AG2=AF2+GF2=92+52=106。因为130>106>100，所以在第一种方案中蜘蛛能最快抓到苍蝇，其路线如图1所示，这时AG2=100，所以AG=10cm，所以蜘蛛走过的路程是10cm。考点2勾股定理的实际应用例如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长。学生活动：利用生活常识与已有的知识将数据与图形相结合，标出对应的数据，小组讨论找出直角三角形并利用勾股定理解答。解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为（x-1）m。在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即（x-1）2+32=x2，解得x=5。故滑道AC的长度为5m。变式训练假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们在点A登陆后先往东走8km到达C处，又往北走了2km，遇到障碍后又往西走了3km，再往北走了6km后往东拐，仅走了1km就找到了藏宝点B，如图，登陆点A到藏宝点B的距离是________。答案：10km本题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化。本题中学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智，运用方程的思想并利用勾股定理建立方程。4.随堂训练，巩固新知1.如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（）A.20cmB.22cmC.28cmD.32cm答案：A2.如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m。从A处环绕油罐建梯子，梯子的上端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要()A.10πmB.26mC.13πmD.15m答案：B为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。5.课堂小结，自我完善师生相互交流总结：1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解。2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。本课时内容量略多，教师可根据实际情况适当删减。鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史。6.布置作业课本P14—15习题1.3中的T1、T2、T3、T4。课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。板书设计3勾股定理的应用提纲挈领，重点突出。教后反思本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建摸思想。在设计中，注重以下两点：1．要充分利用好教材提供的素材“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处。2．合理使用教材提供的练习本节课通过“实践探究，学习新知”“学以致用，应用新知”把教材中的知识点重组，使练习有梯度，既巩固了基本知识点，又训练了学生的应用能力。3．突破重点、突破难点的策略在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力。4．评价方式根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力。在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值。反思，更进一步提升。问题解决策略：反思课题问题解决策略：反思授课类型新授课授课人教学内容课本P16-18教学目标1.掌握将立体图形展开成平面图形的方法，能正确找出两点间的最短路径。2．熟练运用勾股定理计算立体图形表面两点间的最短路径长度。教学重难点重点：熟练运用勾股定理计算立体图形表面两点间的最短路径长度。难点：根据立体图形的特征，选择合适的展开方式，准确找出最短路径。教学准备多媒体课件教与学互动设计（教学过程）设计意图1.创设情境，导入新课教师展示课件。如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1）在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？学生活动：学生讨论，交流，寻找解决问题的途径。合作交流：充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。学生可能汇总的方案：问题求解：学生很容易算出：路线1中A→B的路线长为AC+d，路线2中A→B的路线长为。所以路线1的路线长比路线2的路线长要短。学生在路线3和路线4的比较中可能出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AC剪开圆柱得到侧面展开图，路线3中A→B是折线，路线4是线段，根据“两点之间，线段最短”可判断路线4较短，最后通过计算比较路线1和路线4即可。结论展示：路线1中A→B的路线长为AC+d>AB；路线2中A→B的路线长为>AB；路线3中A→B的路线长为AO+OB>AB；路线4中A→B的路线长为AB。得出结论路线4最短。教师追问：若圆柱的高等于12cm，底面圆的周长等于18cm，怎么计算最短路径的长度？让我们一起走进本节课的内容——勾股定理的应用。（教师板书：问题解决策略：反思）学生回答：利用勾股定理求解。教师展示课件。解：由题意，得AC=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=122+92=225，即AB=15（cm）。即蚂蚁从A到B的最短路线是15cm。通过复习和设问引入新课，激发学生学习的兴趣，为后续学习起到引领和铺垫作用。让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法。通过对例题的探索，渗透建模思想．通过探求过程，让学生学会分析立体图形中隐藏的几何模型(直角三角形)，能够将立体图形转化为平面图形，体会勾股定理在生活中无处不在。2.实践探究，学习新知【探究1】教师展示课件。问题展示：师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法。解决问题之后，对解决问题的过程、方法及问题的变化等方面进行反思，可以加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解，丰富解决问题的经验，提高解决问题的能力。问题如图，一个圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?教师活动：（1）在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？（2）沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。学生活动：分小组讨论，然后小组内选出代表回答问题。教师活动：提出以下问题，组织学生进行讨论，并选择两名同学进行回答。（1）以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同?（2）如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？学生活动认真思考，分组讨论，有不明白的地方抓紧趁老师巡视的时候，请教老师。最后小组得出结论。实施计划（1）如图，将圆柱剪开，确定侧面展开图的形状，以及与圆柱的对应关系。（2）在图中标出点B的位置。（3）在图中确定A，B两点之间最短的路线，并计算它的长度。回顾反思（1）在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？与同伴进行交流。（2）这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？例如，改变圆柱的形状，改变点A、点B的位置，改为沿着圆柱表面爬行......这时又会有哪些新的问题？选择部分问题进行研究，并与同伴进行交流。（3）解决这个问题的经验，还可以应用到哪些问题中？例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题？（4）生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问题的方案。（5）对于解决问题之后的回顾反思，你有哪些体会？与同伴进行交流。解决问题之后的反思，一般可以关注以下几个方面：反思解决问题的过程，强化解决问题的经验；比较解决问题的方法，形成多样的解决问题的方法；思考方法的本质，促进方法的运用；改变问题的条件，研究更多的问题。3.学以致用，应用新知考点问题解决策略：反思例如图，圆柱形木桩底面周长是30cm，高为25cm，在木桩底部S处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的木桩另一面距顶部5cm的点F处有一只苍蝇，求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度。解：将圆柱侧面展开如图所示。SF2∴SF＝25cm。答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度为25cm。变式训练如图，已知一个长方体的长、宽、高分别为6，5，3，在长方体的底面上点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上与点A相对的点B处的食物，则需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少？解：①当长作为直角三角形的一条直角边，宽与高的和作为另一条直角边时，路线如图1所示。在Rt△ABG中，AG2＋BG2＝AB2，∵AG＝5＋3＝8，BG＝AC＝6，∴AB2＝82＋62＝100.∴AB＝10；②当宽作为直角三角形的一条直角边，长与高的和作为另一条直角边时，路线如图2所示。在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，∵AE＝6＋3＝9，BE＝AH＝5，∴AB2＝52＋92＝106；③当高作为直角三角形的一条直角边，宽与长的和作为另一条直角边时，路线如图3所示。在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∵AD＝6＋5＝11，BD＝AF＝3，∴AB＝32＋112＝130。∵100＜106＜130，∴需爬行的最短路程是10。本题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化。通过圆柱和长方体中的最短路径问题的练习，加深了学生对立体图形中隐藏的几何模型(直角三角形)以及将立体图形转化为平面图形的理解，既培养了学生的识图能力，又为后面的学习奠定了坚实的基础。4.随堂训练，巩固新知1.如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱的高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为()A．10cmB．20cmC．24cmD．100cm答案：B2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离。解：利用展开图中两点之间线段最短可知，AB2＝[(3＋2)×3]2＋202＝625＝252，所以蚂蚁走的最近距离为25。通过课堂检测，及时获知学生对所学方法策略的掌握情况，并最大限度地调动学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高。5.课堂小结，自我完善师生相互交流总结：1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解。2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。本课时内容量略多，教师可根据实际情况适当删减。鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史。6.布置作业课本P17-18问题回答。课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。板书设计☆问题解决策略：反思问题解决策略：反思1．圆柱体上的两点间的最短距离。2．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离。3．生活中两点间的最短距离。4．总结：利用勾股定理解决立体图形的最短路程问题。投影区学生活动区提纲挈领，重点突出。教后反思在教学过程中，关注学生的空间想象能力和转化思想的培养，对于学生在展开立体图形和运用勾股定理计算过程中遇到的困难，及时给予指导．通过小组合作探究和练习，帮助学生巩固知识，提高解决问题的能力．同时，反思教学方法和教学环节的合理性，以便在今后的教学中进行改进和优化。反思，更进一步提升。第二章实数第二章本章所需课时数11课时课标要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解实数。2.掌握必要的运算（包括估算）技能。3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。4.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。5.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。8.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。教材分析从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段，中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的，同时实数也是后继内容（如一元二次方程、函数等）学习的基础。因此，本章学习内容具有基础性，应要求学生能熟练掌握有关实数的运算，适应后续学习的需要。学生以前经历过数系的第一次扩充，已经积累了一些数系扩充的学习经验，感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程，感受数系扩充的必要性.。本章大致按照如下线索展开内容：无理数的引入—无理数的表示—实数相关概念及其运算（包括简单的二次根式化简），实数的应用贯穿于内容的始终。具体地，教科书首先通过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念；然后通过具体问题的解决，引入平方根、立方根的概念和开方运算。由于在实际生活和生产实际中，人们常常通过估算来求无理数的近似值，为此教科书安排了一节“估算”，介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验计算结果的合理性等。接着，教科书用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。最后，介绍了二次根式的概念及其化简和运算。主要内容本章主要内容：认识无理数；算术平方根及平方根的认识；立方根的认识；无理数的估算；用计算器开方；实数的认识及分类；二次根式的相关概念及运算法则。教学目标1.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程，发展抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力。2.结合具体情境理解估算的意义，能进行简单的估算，进一步发展数感和估算能力。3.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式及其相关概念；会求平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简，发展运算能力。4.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值。教学重难点教学重点：算术平方根、平方根、立方根，二次根式的混合运算。教学难点：无理数的概念以及它与有理数的根本区别，二次根式的混合运算。教与学建议1.注重概念的形成过程，让学生在概念的形成过程中，逐步理解所学的概念。2.鼓励学生的自主探索和合作交流。3.注意运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系。章节课时分配1认识实数（2课时）第1课时认识非有理数第2课时认识无理数2平方根与立方根（4课时）第1课时算术平方根第2课时平方根第3课时立方根第4课时估算及用计算器开方3二次根式（3课时）第1课时二次根式的概念及乘除性质第2课时二次根式的化简及加减运算第3课时二次根式的混合运算回顾与思考（2课时）1认识实数课题第1课时认识非有理数授课类型新授课授课人教学内容课本P25-26教学目标1.通过拼图活动，让学生感受非有理数产生的实际背景和引入的必要性。2.能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由。3.通过实践活动，体会到非有理数在现实生活中大量存在。4.感受非有理数的广泛性，提高学生学习的自主性。5.借助计算器探索非有理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想。教学重难点重点：通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在。难点：能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由。教学准备多媒体课件、正方形纸片、直尺、剪刀。教与学互动设计（教学过程）设计意图1.创设情境，导入新课教师活动：提出问题让学生思考并回答，然后再给出答案。教师：同学们还记得什么是有理数吗?学生：整数和分数统称为有理数。教师追问：那整数分为哪些数？分数又为哪些数呢？学生：整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数。继续追问：有理数是如何分类的呢？学生回答，教师可适当板书或展示课件。教师：除了有理数外还有没有其他的数呢？学生思考。教师：这节课我们就一起走进非有理数的世界。（教师板书：第1课时认识非有理数）温故知新，作必要的知识回顾，便于后续问题的说理，为本节课要学习的内容作准备。2.实践探究，学习新知【探究】活动1教师展示课件。（让学生拿出提前准备好的正方形）教师：下面是两个边长为1的小正方形，请同学们动手剪一剪，然后将它们拼成一个大的正方形。学生活动：分组操作，探索不同剪法和拼法。答案预设：拼法一：拼法二：拼法三：可能还会出现其他不同的结果，教师及时进行点评。活动2教师活动：提出问题让学生思考并回答，然后再给出答案。问题1：设大正方形的边长为a，a满足什么条件？答案预设：一个小正方形的面积为：S小正方形=1×1=1，则S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2，∴S大正方形=2。根据正方形面积公式：S大正方形=a2，∴a2=2。问题2：a可能是整数吗？说说你的理由。（学生一般回答a不是整数，理由可以用自己的话回答，合理即可。学生讨论完成后，教师可以引导总结，规范语言）答案预设：（1）从“数”的角度：∵a2=2，而12=1，22=4，32=9···∴12<a2<22，1<a<2，∴a不是整数。（2）从“形”的角度：由上面的拼图过程可知，大正方形的边长等于边长为1的小正方形的对角线的长。在Rt△ABC中，AC=1，BC=1，AB=a，根据三角形的三边关系，斜边AB满足：AC-BC<a<AC+BC，即0<a<2，且a≠1，∴a不是整数。问题3：a可能是分数吗？并与同伴进行交流。答案预设：，，。从上面的式子中发现：两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，而a2=2是整数，∴a不是分数。【归纳总结】满足等式a2=2的a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。【探究2】尝试·思考（教材P25）教师展示课件。师生活动：教师提出问题，学生思考，按照上面探究的方法，解答并判断给出的数是否为有理数。问题1：如上图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？答案预设：设直角三角形的斜边长为b，根据勾股定理，得b2=12+22=5，根据正方形面积公式得：S正方形=b2，∴以图中直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5.问题2：设该正方形的边长为b，b满足什么条件？答案预设：∵正方形的边长为b，根据正方形面积公式，得S正方形=b2，而S正方形=5，得出b2=5，∴b满足b2=5。问题3：b是有理数吗？答案预设：∵b2=5，4<b2<9，∴2<b<3，∴b不是整数，∵两个相同最简分数的乘积仍然是分数，而b2=5是整数，∴b不是分数。结论：b既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数。【归纳总结】a2=2b2=5数a，b确实存在，但都不是有理数。思考·交流教师活动：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？......借助计算器进行探索。（3）小明将他的探索及过程整理如下：还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？（4）面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？与同伴进行交流。结论：事实上，a=1.41421356...，b=2.23606797...，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。学生动手操作，以小组探究的形式，通过拼图活动，得到正方形，增强学生动手能力和解决问题的能力。教师通过追问的方式,引导学生进行一些理性的思考，让学生自然感受到除了有理数外还有其他数的存在。让学生体会如何从数和形的角度思考问题。从不同角度感受数a的特点。通过归纳数a的特点，培养归纳概括能力。选取客观存在的“无理数”实例，让学生进一步深刻感受除有理数外还有别的数存在,为“新数”（无理数）的学习奠定了基础。3.学以致用，应用新知考点非有理数例如图，等边三角形ABC中的边长是2，高AD为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴D是BC的中点，且BC=2，∴BD=CD=1。在Rt△ABD中，由勾股定理，得h2=22-12=4-1=3。∵1<h2<4，∴1<h<2，∴h不是整数。∵两个相同最简分数的乘积仍然是分数，而h2=3是整数，∴h不是分数。∴h不可能是整数，也不可能是分数。变式训练在下图所示的正方形网格中，画出符合要求的线段。（1）长度是有理数的线段；（2）长度不是有理数的线段。通过例题的探究让学生进一步感受除有理数外还有别的数存在，感受无理数的广泛性。4.随堂训练，巩固新知1.已知a2=17，则a是（）A.整数B.分数C.有理数D.非有理数答案：D2.以下各正方形的边长不是有理数的是()A.面积为25的正方形B.面积为的正方形C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形答案：C为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。5.课堂小结，自我完善1.通过本课学习，请问你有什么收获与体会？2.客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3.除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？（教师以问题呈现的方式引导学生自己进行知识梳理）让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯。6.布置作业课本P26随堂练习的T1。课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。板书设计第1课时认识非有理数提纲挈领，重点突出。教后反思1.生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的。本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的氛围。在教学中，不要盲目地抢时间，让学生能够充分地思考与操作。2.化抽象为具体常言道：“数学是锻炼思维的体操”，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，因此对“新数”的学习不能仅仅停留在感性认识，还应要求学生充分理解，并能用恰当的数学语言进行解释。正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对“新数”的理解，充分感受“新数”的客观存在，让学生觉得“新数”并不抽象。3.强化知识间的联系，注意纠错既然称之为“新数”，那它当然不是有理数，亦既不是整数，也不是分数，所以“新数”不可以用分数来表示，这为进一步学习“新数”，即第2课时的教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这一点。反思，更进一步提升。1认识实数课题第2课时认识无理数授课类型新授课授课人教学内容课本P26-28教学目标1.探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。2.能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力。3.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力。教学重难点重点：比较无理数与有理数的区别，能辨别出一个数是无理数还是有理数。难点：探索无理数是无限不循环小数的过程。教学准备多媒体课件、计算器。教与学互动设计（教学过程）设计意图1.创设情景，导入新课教师活动：提出一个上节课的重点问题让学生思考，并点名学生回答，然后再给出答案。教师展示课件。问题：若a2=2,则a分数，整数，有理数。(填“是”或“不是”)学生回答：不是，不是，不是。追问：数a确实存在，但又不是有理数，那它到底是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目。（教师板书：第2课时认识无理数）借助上节课的问题引出新知，体现了知识之间的前后衔接。2.实践探究，学习新知【探究1】教师活动：教师课件展示文字，让学生先思考总结数据的共同特征，从而归纳出无理数的概念（无限不循环小数）。一般地，不是有理数的数都是无限不循环小数吗？为了研究这个问题，我们不妨看看有理数的小数表示有什么共同特征。【探究1】把下列各式表示成小数，你发现了什么？3，45，59，-845学生活动：学生思考，并独立完成。答案预设：3=3.0；45=0.8；59=0.5；-845=-0.1提问：这些小数都属于哪一类形式？答案预设：有限小数或无限循环小数。师生活动：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式。说说你的发现。答案预设：分数只能化成有限小数或无限循环小数。即任何有限小数或无限循环小数都是有理数。追问：除了有限小数和无限循环小数，还有哪类小数？学生：无限不循环小数。教师：经过之前的学习我们已经知道，像这样的数，既不是整数又不是分数，它们属于无限不循环小数，我们把这样的数成为无理数。（教师板书：无限不循环小数成为无理数）强调：判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数。想一想：你能找到其他的无理数吗？答案不唯一：0.2323323332…（两个2之间依次多1个3）1.41421356…，2.2360679…，3.1415926…（圆周率）等。总结：无理数的常见形式主要有三种：①一般的无限不循环小数，如1.41421356…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数。②圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数。③开方开不尽的数(下一节学到)。【教材例题】例下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数?3.14，-43，0.57解：3.14，-43，0.50.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）是无理数。有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数。通过更多的例子，让学生熟悉求无理数近似值的估算方法，进一步体会无理数的“无限”与“不循环”的特点。回顾有理数的情况，明确有理数都可用有限小数或无限循环小数表示。为后面引出无理数的概念作准备。通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念。通过想一想加深对无理数概念的认识和理解。3.学以致用，应用新知考点无理数的识别例下列各数中，哪些是有理数?哪些是无理数？0.351，，，，6，…（相邻两个2之间3的个数逐次加2），，…（由相继的正整数组成）解：有理数有；0.351，，，，6；无理数有：…（相邻两个2之间3的个数逐次加2），，…（由相继的正整数组成）。变式训练下列各数中，是无理数的为（）A.3.14B.1C.0.305305530555…D.0.44444…答案：C通过例题加深对无理数概念的认识和理解。4.随堂训练，巩固新知1.下列说法不正确的是（）A.所有的整数和分数都是有理数B.无理数一定是无限小数C.无限小数一定是无理数D.无理数不能写成分数的形式答案：C2.以下各正方形的边长是无理数的是（）.A.面积为25的正方形B.面积为的正方形C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形答案：C为学生提供自我检