长沙市某中学2026届九年级中考二模数学试卷（含答案）

2026年湖南长沙市多校联考中考二模九年级数学试题

一、单选题

1.据长沙统计局发布，初步核算，2025年全市实现地区生产总值为1573782000000元，数据1573782000000

用科学记数法表示为（）

A.1.573782xIO13B.1.573782x1012

C.1.573782x1011D.157.3782x1O10

2.如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（）

3.中国是世界上最早使用正负数，并进行负数运算的国家.我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两

算得失相反，要令正负以名之“，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数.若微信进账10

元记为+10,那么微信支出6元应记为（）.

A.+10B.-10C.+6D.-6

4.下列运算正确的是（）

A.2a+3a=5aB.y[a—迎=\!a—h

C.a6-i-a2=a3D.（a匕＞=a3b

5.劳动是一个人生存的根本，劳动最光荣，九年级（一）班第一组7名同学一周内参加劳动的时间如下（单

位：小时）：5,2,5,3,4,5,6,则下列统计正确的是（）

A.中位数是5,众数是5B.众数是5,平均数是5

C.中位数是5,平均数是5D.众数是5,中位数是3

6.如图，AB||CD,于点E,ZF=30°,则乙C的度数为（）

A

D

A.90°B.120°C.135°D.150°

7.的解集，正确的是（）

B.

8.如图是O。的弦，C。是。。的直径,与C。文于点E,点Z）是劣弧A8的中点，若C。=4,乙HC。=30°,

则DE的长为（）

A・1B.ic1D.2

9.如图，在匹48CD中，E为BC的中点，4E恰好平分NB4D,若CE=3,贝1」瓦48CD的周长为（）

C.18D.24

10.著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”.小明同学判断方程%+2=1实根的情

况时，构造了•次函数y=x+2和反比例函数y=%然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现

在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程％+2=［有一个正实数根和一个负实数根.请用类似

的方法判断方程/-4%-1=0实根的情况，你的结论是（）

A.只有一个正实数根B.有一个正实数根，两个负实数根

C.有两个正实数根，一个负实数根D.有三个正实数根

二、填空题

11.二次根式噂6%-彳。在实数范围内有意义,则x的取值范围是.

12.某校准备组织全校500名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中50名同学进行研学目的

地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为

术馆物馆馆馆

13.若％=2是关于x的一元二次方程+-2026=0（QH0）的一个解，贝心一2。-6的值为

14.如图，△48。中，Z.ACB=90°,Z/1=30°,COJ.48于点O,BD=1,则线段4。的长度为.

15.如图①是一种可折登圆桌，图②是其折叠前后的桌面示意图（阴影部分表示可折叠部分），已知折叠后

的桌面是一个面积为1m2的正方形，则可折叠部分的面积为_____m

16.某公司有七台办公电脑，编号依次为①〜⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态,

立即安排对•这七台电脑进行维修.已知维修①〜⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分

钟，26分钟，30分钟，14分钟，已知工作日每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失.若安排三名工

作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时

间内全部维修完时，总经济损失最小为元.

三、解答题

17.计算：V16+|-V3|-(K-3.14)°-2sin60°.

X2-l.X-lX

先化简,再求值:其中x=2.

18.x2+2x+l'2x2+xf

19.如图，在比△力8。中，Z-BAC=90°,以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点M,交AC于点N,

再分别以点M,N为圆心，大于：MN长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线4P,以点C为圆心，AC长为半

径作弧，交射线4P于点D,连接CO.

⑴求4WC的度数：

（2）若48=3,AD=4V2，求BC的长.

20.“珍爱生命，远离超速”.如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点

A处建一个监测点，测得点4到公路的距离4。=60米.当一辆小汽车行驶到点8处时，测得小汽车在监测

点A的南偏西53。方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点。处，此时，测得小汽车在监测点4的东南方向.（参

⑴求BC段的长度（结果保留整数）；

（2）判断小汽车在8C段行驶时是否超速，并说明理由.

21.为弘扬传统文化，传承国学经典，阳光中学举行了古诗文诵读大赛，其中，“木兰辞”，“满江红”，“少

年中国说“，“沁园春・长沙”四个节目获得特等奖.学校打算在这四个节目中选择一个参加长沙市国学经典诵

读大赛，校团委和学生会制定了调杳问卷，并随机抽取了50份问卷，得到如下待完善的统计图表.（A代表

“木兰辞”、3代表“满江红”、C代表“少年中国说”、。代表“沁园春•长沙”）

节目频数频率

A100.2

Ba0.3

C5b

D20

根据图表中所给信息，解答下列问题：

⑴表中a=,b=,c=；

(2)请补全条形统计图；

(3)为方便节目的排练，陈老师打算从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为节目排绦牵头人，请

用列表法或画树状图法列举所有等可能的结果，并求甲、乙两位同学都被选中的概率.

22.近年来，我国的农业正在由传统农业向现代化农业转变.在科技兴农合作社，种田大户张叔叔购买1

架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；种田大户李伯伯购买2架A型无人机和4架B型无人机

共用了32000元.

(1)求1架A型无人机和1架8型无人机的价格分别为多少元？

(2)经营农庄的小刘需要购买A,8两种型号的无人机共10架，计划投资不超过50000元，那么A型无人机

最多能购买多少架？

23.如图，已知四边形/BCD是矩形，连接对角线BD,的平分线交CB延长线于点E,交AB于点F.

(1)求证：BD=BE；

(2)连接“，若tan乙4DE=g,CD=4,求CF的长.

24.如图，4B是。0的直径，弦CO148于点点P是。C延长线上一点，点E,产是。0上的两点，连

接PE,PF,P0,连接尸E并延长交P0于点N,交8A延长线于点G,已知PE是。。的切线且PE=Pr,BM=

CD=8.

(1)求证：PF是O。的切线;

⑵令3S⑷M)2=，―――,求,，关于，的函数解析式；(不考虑自变量，的取值范围)

(3)在点。运动的过程中，MG是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

25.我们约定：在平面直角坐标系中，当%1，%2,丫2满足％1+与=yi+力=1，且工工2,则称点(%1，%)

与点(0〃2)为一对“归一点二若某函数图象上至少存在一对“归一点”，则称该函数为“归一函数请你根据

该约定，解答卜.列问题：

(1)请你判断下列说法是否正确(在撅后相应的括号中，正确的打错误的打“X”).

①若点N(?i,2)是一对“归一点"，则m=-l,n=0.()

②若点W与点N是一对“归一点”，则MN的值一定为()

③一次函数y=%+1一定是“归一函数”.()

(2)己知反比例函数y=:是“归一函数”,

①求々的取值范围；

②当k=一6时，求该函数图象上所有对“归一点''的坐标；

(3)若关于X的二次函数y=x2-2ax+1是“归一函数”，求实数a的取值范围.

参考答案

1.B

解：1573782000000=1.573782x1012.

2.B

解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意;

B、球的三视图都是圆形，且大小•样，故此选项符合题意：

C、圆柱的主视图和左视图均是长方形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；

D、四棱锥的主视图和左视图均是三角形，俯视图是长方形，故此选项不符合题意；

综上，故选B.

3.D

【详解】•••微信进账10元记为+10,进账与支出是意义相反的两个量，

微信支出6兀应记为-6.

4.A

解：逐项分析如下：

A.v2Q+3Q=5Q,.,.该项计算正确，符合题意；

-逐中折瓦.••该项计算错误，不符合题意；

C.：Q6+Q2=a4HQ3,...该项计算错误，不符合题意；

D.v(ab)3=a3b3*加。，...该项计算错误,不符合题意，

综上，选A.

5.A

解：由题意可知，出现次数最多的劳动时间为：5,

・••众数是：5；

平均数为：5+2+5+；+4+5+6=拳

把7名同学的劳动时间从小到大的顺序排列：2、3、4、5、5、5、6,

，中位数为：5,

故选：A.

6.B

解：如图，过点七作9尸小8,

AB

图①

■:乙B=30°,

•••乙BEF=30°,

VBE±CEy

乙BEC=90°,

/.CEF=(BEC-乙BEF=90°-30°=60°,

*：AB||CD,

：.EFIICD,

.,.ZCEF+ZC=18O°,

：.LC=180°-乙CEF=180°-60°=120°.

7.A

%-3<0®

解:

.；>T②

解不等式①，得x<3

解不等式②，得工>一2,

・•・不等式组的解集为一2<xW3,

在数轴上表示如选项A所示.

8.B

解：连接4。，

•・•点。是劣弧48的中点，C。是0。的直径,

：.AB1CD,

vZ.ACD=30°,

Z.AOD=60°,

•••CD是。。的直径，CD=4,

ACO=DO=AO=2,

在RtA/lOE中，OE=AO-cos60c=2x^=1,

：，DE=DO-0E=2-1=1.

9.C

解：•・•四边形/8co是平行四边形，

：.AD||BC,

：.LDAE=匕AEB.

•・3E平分NB4D,

：,LBAE=4DAE,

：.£BAE=Z.AEB,

•'•AB=BE.

•・•£为BC的中点，

：.BE=CE=3,

：.BC=BE+CE=6,AB=BE=3,

・・・瓦48。。的周长为2乂（3+6）=18.

10.B

解：当％=0时，原方程不成立，

»•X*0,

将方程/-4%-1=0的常数项移到等式右边，得

x3-4x=1,

变形整理得/-4=p

在同一平面直角坐标系中画出y=x2-4与y=：的大致图象如解图,

•・•两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点,

・•・方程》3一4%-1=0有一个正实数根，两个负实数根.

1一1.%>、-19

解：・・•二次根式-19在实数范围内有意义,

/.6x-19>0,

解得%>7-

12.200

解：由统计图可知，这50名同学中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为20名，500x^=200(«),

・•・估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为200名.

13,-1012

解：・."=2是关于x的一元二次方程Q/+及一2026=0(af0)的一个解，

A4a+2/)-2026=0,

：.2a+b=1013,

；・1-2Q-b=1-(2。+b)=1-1013=-1012.

14.3

解：•・•在A/WC中，NAC8=90。，ZA=30°,

，NB=60。，

CDLAB,

/.ZBCD=30°,

；・在RtABCD中,BC=2BD=2,

・••在RS48。中，AB=2BC=4,

：.AD=AB-BD=4-\=3f

故答案为3.

⑸J)

【详解】解法一：如解图①，设圆形桌面的圆心为。，连接AC，

B

图①

•・•正方形力BCD的面积为之

：-AB=BC=1m,4力BC=LADC=90°,

••/C为O。的直径，AC=y/2AB=V2m»

•八4近

••°力=？m

2

阴影=S（DO-S正方形ABCD=兀XG）-1=住—1）2

m

解法二：如解图②，设圆形桌面的圆心为0,连接。40B,

图②

•・•正方形48CD的面积为h2

：.AB=BC=CD=AD=lm，

V0A=0B,0A10B,

・・・44。8是等腰直角三角形,

..0=。8=枭8=枭，〃08=9。。,

90兀x（算

=4（S病形Aoy_SAAOB）=4X

S阴影=4s弓形Ay360一倒G】）in

16.955

解：根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小.当这七台电脑由一个人全

部维修完的总时长为13+17+9+20+26+30+14=129（分钟），当由三人同时维修时，平均每人维修

的时间为129+3=43（分钟），故需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得3人的维修时间等于

43分钟或尽可能接近43分钟，可以使得维修时间最短.

第一人可以维修①⑥号，维修时间是13+30=43（分钟），维修顺序为①⑥，此时损失最小，为

（13x2+30）x5=280（元）；

①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间+其维修时间.

第二人可以维修②⑤号，维修时间是17+26=43（分钟），维修顺序为②此时损失最小，为

（17x2+26）x5=300（元）；

②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间+其维修时间.

第三人可以维修③④©号，维修时间是9+20+14=43（分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为

（9x3+14x2+20）x5=375（元）；

③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间+其维修时间，④号从

故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和+其维修时间.

综上，七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为280+300+375=955（元）.

17.3

解：原式=4+6一l-2x£=4+b一1一遮=3.

⑻去I

解.：原式=端尹x-1x-lx-l=___L=J_,

x+12x+1x+1x-1x+1x+1x+1x+1

当x=2时，原式=六=，

19.(1)45°

(2)5

(1)解：由作图痕迹可知4户平分乙艮4C,CA=CD,

vZ.BAC=90°,

:.Z.DAC=-/-BAC=-x90°=45°,

22

:.Z.ADC=Z.DAC=45°.

(2)解：由(1)可知4AOC=NO4C=45。，

•••/.ACD=180°-45°-45°=90°,

即A4CD是等腰直角三角形，

•••AD=4VL

AC=4,

在RQ48C中，由勾股定理得=/AR?+4c2=J32+42=S.

20.(1*C段的长度约为140米

(2)小汽车在8c段行驶时没有超速，理由见解析

(1)解：在Rt△力BO中，AO=60,LBAO=53°,

AO

・•・BO=AO-tan53°«60x-=8D,

3

在R“4C0中，“AO=45。,

：-LACO=LCAO=45°,

：.CO=AO=60,

：,BC=BO+CO=80+60=140(米)，

答：BC段的长度约为140米；

(2)解：小汽车没有超速，理由如下：

小汽车行驶的速度/=丹=28(米/秒)，

V28米/秒=100.8千米/时＜120千米/时，

二小汽车在8c段行驶时没有超速.

21.(1)15,0.1,0.4

(2)见解析

同

(1)解：Q=50X0.3=15,b=-^-=0.1,c=^=0.4.

DUOV

(2)解：补全条形统计图如解图：

(3)解：列表如下:

甲乙丙T

甲乙，甲丙，甲丁，甲

乙甲，乙丙，乙丁，乙

丙甲，丙乙，丙丁，丙

T甲，丁乙，丁丙，丁

由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学都被选中的结果有2种,

・•・/)(甲、乙两位同学都被选中)=卷=；.

22.(1)1架A型无人机的价格为8000元，1架B型无人机的价格为4000元

⑵最多能购买2架A型无人机

(1)解：设I架4型无人机的价格为x元，1架B型无人机的价格为)，元，

由通意得［2x+4y=32000,

解得俨=80。。，

明=4000,

答：1架A型无人机的价格为8000元，I架〃型无人机的价格为4000元；

(2)解.：设购买4型无人机〃?架，则购买B型无人机(10-/n)架，

由题意得8000m4-4000(10-m)<50000,

解得m<2.5,

•••m为非负整数,

rn最大可取2,

答：最多能购买2架人型无人机.

23.⑴见解析

⑵苧

【详解】(1)证明：•・•四边形ABC。是矩形，

.\AD||BC,

LADE=乙E,

•••。£•平分4力08,

A/.ADE=Z.BDE,

:.乙BDE=Z.E,

；・BD=BE；

(2)解：由(1)可知.Z.ADE=LE,

Vtanz/IDF=-2,

/.tanE=

2

在Rt△COE中，

VzDCE=90°,tanF=CD=4,

•CE=—=^=8

・*ianE1r

2

设8C=%,则BE=80=8—%,

在BCD中，由勾股定理得BO?=C/)2+BC2,

即(8—刈2=42+%2,

解得x=3,

・・・BC=3,BE=8-3=5,

在RtABE/中，Z.EBF=90°,tanf=BE=5,

BF=BE-tanF=5x-=

22

在RtZkBCF中，由勾股定理得CF=-BF?+BC?=J©?+32=亨.

24.(1)见解析；

⑵y=%

(3)MG为定值，定值为值费

【详解】(1)证明：如解图①，连接OE,OF,

在A。"与A。"中，

PE=PF,

01OP=OP,

OE=OF,

••△OEP=△OFP(SSS)，

：.LOEP=乙OFP,

p,

产

GA\\MOJB

图①

〈PE是。。的切线,

:.乙OEP=90°,

・"OFP=90。，

•••0/是0。的半径，

・・・PF是。0的切线；

(2)解：如解图②，连接OC,OF,

TAB1CD,CD=8,

：.MC=MD=-CD=-x8=4,

22

设0。的半径为r，・・・8M=8,

：.0M=BM-OB=8-r,

由勾股定理得。。2=OM2+CM?,

即产=(8—厂)2+42,

解得r=5,

・・・0M=8-r=3,

设MP=a,由勾股定理得OP2=PM2+OM2=Q2+9,

___________i_____________i

2

(coszOPF)2+Mg(5P)+^2

1_1_1_1

=PF242=a2_1616==；；

源十。2+32M+9+^275^75

(3)解：在点尸运动的过程中，MG为定值，定值为值半：

如解图②，连接。E,

*：PE=PF,

，易得/ENO=90°,

(Z.PMO=乙GNO=90°,

tZ.POM=4GON,

AAOPM-△OGN,

.OP_OM

••CG-ON'

：.0PON=OM-OG,

(^OEP=乙ONE=90°,

t4EOP=乙NOE,

：.AOEPFONE,

,OPOE

OEON

：.0E?=OP,ON,

：.0E2=OMOG,即52=3OG,

解得OG=y,

・•・MG=OG-OM=年-3若，

・••在点尸运动的过程中，MG为定值卷

25.⑴①Y,②x,③x

(2)①kv1且kHO；②(3,-2),(-2,3)

⑶。>；

4

(1)解：①由题意，得m+2=1,1+九=1,

解得m=-l,n=0,①正确；

2

②设点'(小,月)，则%+小=%+%=1，则MN=7Ui-x2y+(7i-y2)=

7(Xi+%2)2—4%I%2+Qi+丫2)2—4yly2