2026-2027学年初升高入学分班考试数学试卷及答案解析

2026-2027学年初升高入学分班考试数学试卷

一、选择题（共30分）

1.（3分）实数-2的相反数是（）

11

A.-2B.2C.D.-

22

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.2V3-V3=2C.V2xV3=V6D.V123=2

3.（3分）若关于x的一元二次方程（a-2）『+2x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A.aW2B.心1且aW2C.且启2D.a>\

4.（3分）如图所示，在RtZXABC中，Z4CT=90°,NA=30°,CO是斜边人8上的高，BD=2,那么

AB等于（）

A.5B.6C.8D.12

5.（3分）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动

学具调成图1所示菱形，测得/8=60°,对角线AC=10c〃?，接着将该活动学具调成图2所示正方形，

最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接8E,则图3中的面积为（）

6.（3分）如图，四边形4BCO是。。的内接四边形，若N4BC=114°,则N4OC的度数为（）

A.134°B.132,C.76°D.66°

7.（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形4BCD与四边形EFG”都是正方

形.连结OG并延长，交BC于点P,点。为BC的中点.若EF=2,则4E的长为（）

A.4B.1+V2C.1+V5D.V3

8.（3分）如图，在RlAABC中：CO是斜边A8上的高.若tcmA=如则cos/BCO的值为（）

9.（3分）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图

中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

©

A.9nB.6TTC.3ITD.（3+V5）IT

10.（3分）如图，已知点P（6,3）,过点尸作轴于点M,PN_Ly轴于点N,反比例函数y=［的

图象交尸M于点A,交PN千点、B.若四边形OAP8的面积为12,则Z的值为（)

y

N

OM

A.6B.-6C.12D.-1

二、填空题（共24分）

11.（3分）已知方程|x-2y+4|+（Zv+5y-1）2=0,则（x+y）2024=.

12.（3分）若二次根式仔不有意义，则实数上的取值范围是.

13.（3分）如图，已知4〃8，21=70°,Z2=40°,则/3=度.

14.（3分）如图，过。。外一点P作圆的切线办，。以点A,3为切点，AC为直径，设NP=〃?°,ZC

=〃°,则小，〃的等量关系为.

15.（3分）如图，3c。的周长为36,对角线AC,8。相交于点。.点E是C。的中点，80=12,则

△。0七的周长为.

4尸1

16.（3分）如图，在△ABC中，点D、E、尸分别在AB、BC、AC上，MDE//AC,EF//AB,—=

FC2

若八8=12,则8。的长为.

A

F

—

BEC

17.（3分）已知一次函数），=2x-3与尸心”是常数,20）的图象的交点坐标是（2,1）,则方程组忧/一3

的解是.

18.（3分）如图，zMBC中，NB/1C=6O°,N/IBC=45°,"=2,。是线段上的一个动点，以人。

为直径画OO分别交AB、AC于E、F,连接EF,则线段E尸长度的最小值为.

三、计算题（共8分）

19.（8分）（1）计算：2sin60°+|-3|-V12-（-）

3

%2—1y—1Y

（2）先化简,再求值W丁一六，其中X满足方程A…=。.

四、作图题（共4分）

20.（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，△ABC

与AEFG的顶点都在格点上.

（1）作使△AIBI。与△ABC关于原点O成中心对称.

（2）已知△4BC与△EFG关于点P成中心对称，请在图中画出点P的位置，并写出该点的坐标.

五、解答题（共54分）

21.（6分）如图，点A,F,C,。在同一宜线上，BC//EF,AF=DC,BC=EF.求证：AB/7DE.

22.（6分）如图，在四边形A8C。中，AB//CD,过点。作NAQC的角平分线交A8于点E,连接4c交

DE于点O,AD//CE.

（1）求证：四边形AECO是菱形：

（2）若A/）=10,△ACQ的周长为36,求菱形AECO的面积.

23.（8分）某市紧急组织救灾物资援助灾区，安排大、小货车共16辆，分别从A、8两个仓库运送180

吨物资到积石山灾区.已知每辆大货车可装15吨物资，每辆小货车可装9吨物资，在每辆货车都装满

的情况下，这16辆货车恰好可以装完这批物资.这两种货车的运费如下表.

车型A仓库（元/辆）8仓库（元/辆）

出发地

大货车15001800

小货车10001200

（1）大、小货车各有多少辆？

（2）若要安排货车中的10辆从A仓库出发，其余的6辆从8仓库出发.设从A仓库出发的大货车有

机辆，这16辆货车的总运费为卬，求W的最小值.

24.（8分）某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他

们一周的课外阅读时间进行了调整，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题:

（I）本次接受随机抽样调查的学生人数为,图①中〃，的值为.

（II）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数.

（Ill）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6人的学生人数.

8..............

4

8阅读时间h

25.（8分）小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图，他在山坡坡脚尸处测得古塔

顶端M的仰角为60°,沿山坡向上走25加到达。处，测得古塔顶端M的仰角为30°.已知山坡坡度

/=3：4,即lanB=不请你帮助小明计算古塔的高度ME.（结果精确到0.1〃?，参考数据：75=1.732）

E

26.(8分)如图，48是。。的宜径，过圆上点。的直线CO交84延长线于点。，且NOCA=/8.

(1)求证：CO是OO的切线；

(2)若CD=2,tanz.B=求A8的长.

27.(10分)如图，点8,。分别在x轴和y轴的正半轴上，OB,OC的长分别为f-8x+12=0的两个根

(OOOB),点A在x轴的负半轴上，且。A=OC=3OB,连接AC.

(1)求过A,B,C三点的抛物线的函数解析式；

(2)点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A,点。从点O出发，以每秒1个

单位长度的速度沿。。运动到点C,连接PQ,当点P到达点A时，点。停止运动，求SKPQ的最大值；

(3)M是抛物线上一点，是否存在点”，使得NACM=15'？若存在，请求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

2026-2027学年初升高入学分班考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共30分）

1.（3分）实数・2的相反数是（）

11

A.-2B.2C.-4D.-

22

解・：・2的相反数是2.故选：B.

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.&+百=遮B.2V3-V3=2C.V2xV3=V6D.+3=2

解：选：C.

3.（3分）若关于x的一元二次方程（〃-2）/+2・I=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A.B.且C.且aN2D.a>\

解：••・关于x的一元二次方程（4-2）/+2X-1=0有两个不相等的实数根，

••・a-2W0,A=22-4X（a-2）X（-1）=4a-4>0,解得：且.故选：C.

4.（3分）如图所示，在RtZXABC中，NAC3=90°,N4=30°,CO是斜边AB上的高，BD=2,那么

AB等于（）

A.5B.6C.8D.12

解：・・・NACB=90°,NA=30°,：.BC=^AB,VCD1AB,/.ZCD«=90",

V/«=90°-Z4=60°，：,Z«CD=90°-/«=30°，：.RD=1/?C,/.RD=

•:BD=2,・・・/W=8.故选：C.

5.（3分）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动

学具调成图1所示菱形，测得/8=60°,对角线AC=10c〃?，接着将该活动学具调成图2所示正方形,

最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接8E,则图3中ABCE的面积为（）

解：

图1连接4C，

•・•菱形A8C。中，AB=BC,

VZfi=60°,

・•・△4BC是等边三角形，

•••对角线AC=10cm

BC=\Ocm,

：,CE=BC=\Ocnh

图3过点上作E“_LBC,交8c的延长线于点H,

•••△OCE是等边三角形，

AZDCE=60°,

••・NEC”=30°,

1

:,EH=^CE=5cm,

/.△BCE的面积=[BC♦EHx10x5=25(cm2),

故选：。.

图1图2

6.（3分）如图，四边形A4C。是OO的内接四边形，若N/WC=114°,则/4OC的度数为（)

A.134°B.132,C.76°D.66°

解：•・•四边形ABC。是O。的内接四边形，

/.ZD=I8O-ZABC=18O0-114°=66°,

，NAOC=2NO=132°.

故选：B.

7.（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形A4CO与四边形EFG〃都是正方

形.连结DG并延长，交BC于点P,点P为8c的中点.若EF=2,则AE的长为（）

A.4B.1+V2C.1+V5D.V3

解：由题意，EF=HG=FG=2,AD//BC,BGLHC,DHLHG,4ADE=/GBP,

・•・ZADG=ZGPC.

丁点P为8。的中点，

：,PB=PG=PC.

：.NBGP=NGBP,NGPC=2NGBP.

:・/GPC-NADE=2NGBP-NADE,即NGQH=NGBP.

:•△GDHsACBG.

GCHG“rGCHG

—=-----,即-----------=------.

BGHDFG+BFHD

设AE=BF=HD=x,

x2

f，2+x-x"

1+遮或x=1一遮（舍去）.

故选：C.

8.（3分）如图，在RlZV\8C中：C7）是斜边上的高.若tam4=*则cos/BCO的值为（）

3344

A.一B.一C.一D.-

4553

解：在RtZ\AC4中，N4CB=90°，

••・NA+N8=90°,

•••。。是斜边A8上的高,

：,ZCDB=90°，

：・NB+NBCD=90°,

・・・N8CO=N4,

VtanA=o,

VZACB=903，

设8c=4%(x>0),

则AC=3x,

在RtaABC中，根据勾股定理，可得48=43x）2+（4x）2=5x,

.4AC3

••C°SAR=弓，

3

/.cosZBCD=F，

J

故选:B.

9.（3分）一个物体的二视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图

中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

A.9nB.6nC.3ITD.(3+V3)TT

解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形.

，正三角形的边长=sLo。=275,

・•・圆锥的底面圆半径是g,母线长是2百，

••・底面周长为2757T

.侧面积为一X2百TTX26=6n,

2

•・•底面积为

••・这个物体的表面积是9Tl.

故选：A.

10.(3分)如图，已知点P(6,3),过点P作轴于点M,PN_Ly轴于点M反比例函数y的

图象交EW于点人，交PN于点、B.若四边形O/IP8的面积为12,则%的值为()

A.6B.-6C.12D.-1

解：:?M_Lx轴于点M,尸N_y轴于点N,

・•・四边形OMPN是矩形，

又(6,3),

：.PM=3,PN=6,

/.S知形OMPN=PM*PN=18，

•・•点A、8在反比例函数y=。的图象上,

:，SM)NB—SAOMA=51kl

•；S四边形OAPB=S四边形OMPN-S^OMA-SdONB=12,

即18-W=12,

•・Z>0,

:・k=6,

故选：A.

二、填空题（共24分）

11.（3分）已知方程氏-2.y+4[+{2x+5y-1）2=0,则（/）,）2024=1

解：V|A-2y+4\+（2r+5y-1）2=0,

.（%-2y+4=0

••（2%+5y-l=0'

解得：忧；2,

（x+y）2023=（-2+1）2024=1,

故答案为：1.

12.（3分）若二次根式我不有意义，则实数工的取值范围是一^

解：•・•二次根式我"有意义，

••・2-xN。，

解得后2,

故答案为：xW2.

13.（3分）如图，已知a〃力，Nl=70°,Z2=40",则N3=70度.

解：由对顶角相等可得NAC8=N2=40°,

在△ABC中，由三角形内角和知N48C=180°-Zl-ZACB=10°.

又•・•“〃〃，

・・・N3=NABC=70°.

故答案为：70.

14.（3分）如图，过00外一点P作圆的切线以，PB,点A,B为切点,AC为直径，设NP=〃?°,ZC

=n,则m,n的等量关系为〃什2〃=180°.

解:连接CM，

VM,PB是O。的切线，

.\ZPAO=ZPBO=9Q°,

VZPAO+ZPBO+ZP+ZAOB=360°,

，NP+NAO8=18()°,

V4AOB=2ZC,

・・・NP+2NC=180°,

+2〃=180°.

故答案为：m+2/i=180°.

15.（3分）如图，的周长为36,对角线AC,BO相交于点O.点E是CO的中点，BD=12,则

△QOE的周长为15.

解：•・P44C。的周长为36,

A2（BC+CD）=36,则BC+CD=18.

•・•四边形48CD是平行四边形，对角线AC,8。相交于点0,80=12,

：.OD=OB=妙0=6.

又二点E是CD的中点,

AOF.是△AC/）的中位线，DE=|CD,

.・.0E=妙C,

•••△。。£：的周长=0。+。E+。£=聂。+劣（BC+CD）=6+9=15,

即△QOE的周长为15.

故答案为：15.

A

D

4尸1

16.（3分）如图，在中，点。、E、尸分别在43、BC、4C上，DE//AC,EF//AB,—=一,

FC2

若A8=12,则8Q的长为4.

解：VDE/7AC,EF//AB,

••・四边形4。七/是平行四边形，NBED=NC,ZB=ZCEF,

：.AD=EF,DE=AF,

ZB=ZCEF,

：./\BDES&EFC,

.DEBD

''FC-EF'

..竺—工

'FC~2

.DE1

,‘FC-2’

.BD1

^AD-2

一■8=12,

•BD_1

^12-BD~2

解得：80=4.

故答案为：4.

17.（3分）已知一次函数尸2x-3与尸质（k是常数，�）的图象的交点坐标是（2,1）,则方程组忱窘一3

的解是_忧乙

解：•・•一次函数y=2x-3与）=去（火是常数，ZW0）的图象的交点坐标是（2,1）,

・.•方程组器IL的解是仁:

故答案为：仁;

18.（3分）如图，△ABC中，NBAC=60°,N4BC=45°,AB=2,。是线段BC上的一个动点，以A。

V6

为直径画。0分别交A8、AC于£、F,连接EF,则线段Er长度的最小值为_丁_.

解：连接0£、。凡作OM_LEF于M,作AN_L8C于N,如图,

VZEOF=2Z«/AC=2X60°=120°,

而OE=OF,OM上EF,

・・・NOEM=30°,EM=FM,

1

在RtZXOEM中，OM=+（）E,

EM=*）E,

:・EF=2EM=WOE,

当OE最小时，E/7的长度最小，此时圆的直径的长最小，

即AD的长最小，

〈A。的长度最小值为AN的长，

而AN=专AB=>/2,

・・・0七的最小值为

."尸长度的最小值为bx^=乎.

故答案为四.

2

BC

DN

三、计算题（共8分）

19.（8分）（1）计算：2sin60°+|-3|-712-（二）

3

—1Y—1X

（2）先化简，再求值2r+----—一-»其中X满足方程/+4x-5=0.

X2+2Xxx+2

解：（1）原式=2X§+3-2VZ-3=-V5;

「、石t（X+1）（X-1）XX+lX1

（2）原式=•---------=-=----,

%（无+2）x-1X+2x+2x+2X+2

方程，+4x-5=0,分解因式得：（x-1）（x+5）=0,

解得：x=l（不合题意，舍去）或x=-5,

则原式=-I.

四、作图题（共4分）

20.（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，△ABC

与4EFG的顶点都在格点上.

（1）作△4BC1,使与△ABC关于原点。成中心对称.

（2）已知△ABC与AFFG关于点尸成中心对称，请在图中画出点尸的位置，并写出该点的坐标.

yk

（2）连接AE,BF,CG,相交于点P,

则AABC与AEFG关于点P成中心对称，

即点尸为所求.

由图可知，点尸的坐标为（-3,-1）.

五、解答题（共54分）

21.（6分）如图，点A,F,C,。在同一直线上，BC//EF,AF=DC,BC=EF.求证：AB；/DE.

证明：*：BC//EF,

JZACB=/EFD,

*：AF=CD,

：.AC=DF,

在△ABC和/中，

AC=DF

/-ACB=乙DFE,

BC=EF

:•△ABSADEF(SAS),

NA=N。,

:.AB〃DE.

22.（6分）如图，在四边形人BCO中，AB//CD,过点。作NAOC的角平分线交AB于点E,连接AC交

DE于点、O,AD//CE.

（1）求证：四边形AECO是菱形；

（2）若AQ=10,△ACQ的周长为36,求菱形A£CO的面积.

(I)证明：'：AB//CD,AD//CE,

工四边形4EC。是平行四边形，NCDE=NAED,

•・・。七平分乙4。。，

:./CDE=/ADE,

/.ZAED=ZADE,

.\AD=AE,

・•・平行四边形AEC。是菱形；

(2)解：由(1)可知，四边形AECD是菱形，

：.OA=OC,CD=AD=\0fOD=OE,ACIDE,

:△ACO的周长为36,

：.AC=36-AD-CD=36-10-10=16,

・・・OA=OC=8,

在RtZXAOO中，由勾股定理得：0D=7AD?一。取=也（）2-=6,

：.DE=2OD=\2,

・•・菱形A£CO的面积=DE=1x16X12=96.

23.（8分）某市紧急组织救灾物资援助灾区，安排大、小货车共16辆，分别从从、两个仓库运送180

吨物资到积石山灾区.已知每辆大货车可装15吨物资，每辆小货车可装9吨物资，在每辆货车都装满

的情况下，这16辆货车恰好可以装完这批物资.这两种货车的运费如下表.

车型A仓库（元/辆）3仓库（元/辆）

出发地

大货车15001800

小货车10001200

（1）大、小货车各有多少辆？

（2）若要安排货车中的10辆从A仓库出发，其余的6辆从8仓库出发.设从A仓库出发的大货车有

机辆，这16辆货车的总运费为W,求W的最小值.

解：（I）设大货车有工辆，小货车有y辆.

由题意,得卜52犷*80,

解得［;益，

答：大货车有6辆，小货车有10辆.

（2）•・•从A仓库出发的大货车有，〃辆，

・••从A仓库出发的小货车有（10-加）辆，从B仓库出发的大货车有（6-机）辆，从B仓库出发的小

货车有10-（10-w）=〃?辆.

由题意，得W=1500，〃+1000110-m）+1800（6-m）+1200〃?=-100m+20800.

V-100<0,

・・・W随机的增大而减小.

又•••（）WmW6,

，当〃?=6时，W有最小值，最小值为-6X100+20800=20200.

答：总运费W的最小值为20200元.

24.（8分）某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他

们一周的课外阅读时间进行了调整，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题:

（I）本次接受随机抽样调查的学生人数为40,图①中机的值为25.

（II）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数.

（III）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6人的学生人数.

1212

5力10■["To.............................

6/23O%8

6----------------^-T................

m%6

小44

%2

20

56

8阅读时间h

国②

610

解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：—=40（人），图①中，，，的值为而x100=25；

（2）•・•这组样本数据中，5出现了12次，出现次数最多,

・•・这组数据的众数为5；

•・•将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为6,有半=6,

•••这组数据的中位数是6；

4x6+5x12+6x10+7x8+8x4

由条形统计图可得^==5.8,

•••这组数据的平均数是5.8.

8+4

（3）—x1200=360（人）.

40

答：估计该校一周的课外阅读时间大于6/2的学生人数约为360人.

故答案为：（1）40,25.

23.（8分）小明同学在综合实践活动中对本地的一座占塔进行了测量.如图，他在山坡坡脚尸处测得古塔

顶端M的仰角为60°,沿山坡向上走25机到达。处，测得古塔顶端用的仰角为30°.已知山坡坡度

/=3：4,即tan。/请你帮助小明计算占塔的高度ME.（结果精确到0.1〃?，参考数据：V3«1.732）

M

PE

解:作。ULEP交EP的延长线于C,作。凡LME于F,作于〃,

则£＞。=尸"=尸£：,DH=CP,HF=PE,

设DC=3x,

3

，CP=4x,

由勾股定理得，PD2=DC2+CP2,即252=(3x)2+(4K)2,

解得，x=5.

则QC=3x=15,CP=4,v=20.

工DH=CP=23PH=FE=DC=\5,

设MF=ym,

则ME=(y+15)m,

MF

在中，tanZ/WDF=

MF

在RlZXMPF中，tanNMPE=釜,

贝也盛镰邛…,

\'DH=DF-HF,

•，•V3y-(y+15)=20,

解得，y=7.5+10V3,

・•・ME=MF+FE=7.5+1073+15^39.8(/«),

答：古塔的高度ME约为398〃.

26.（8分）如图，A8是。0的直径，过圆上点。的直线C。交84延长线于点。，且/OC4=N8.

（1）求证：CO是。0的切线；

（2）若CD=2,tanz.B=1,求4B的长.

•「AB是。0的直径,

/.ZACB=90°，

AZCAB+ZB=90°；

又・・・O4=0C,

：.ZCAB=ZACO,

VNACQ=NB,

・・・NACO+NACO=NOCO=90°,

即CD1OC.

又・・・oc是。。的半径，

J直线。。是。。的切线；

(2)解：Vtanz.B=2，

AC1

•••_,

BC2

VZACD=ZB,ZD=ZD,

J/\ACDs4CBD,

•_C_D__DAAC1

"DB~CD~CB~2

・・.QB=4,04=1,

：.AB=DB-AD=3.

27.(10分)如图，点B,。分别在“轴和)，轴的正半铀上，OB,OC的长分别为1-8.什12=0的两个根

(0008),点A在工轴的负半轴上，且OA=OC=3O8,连接AC.

(1)