人教版九年级数学上册第25章《实际问题与一元二次方程》每课时教学设计汇编（含三个教学设计）

25.3实际问题与一元二次方程

（第1课时代数数字、图形面积问题）（教学设计）

教学分析

教学内容,J解析

1.教学内容

本节课时是人教版2024版九年级二册第二十五章《一元二次方程》，第三节《实际问题与一元二次方程》

第1课时，是以代数数字关系、几何图形面积为核心背景的一元二次方程应用课.本节课聚焦两类基础必考模

型：一是连续整数、连续偶数、两位数数位数字关系问题；二是矩形、正方形等规则图形的边长变化、空

地留白、裁剪拼接面积问题.核心教学内容为：提炼数字、几何面积情境中的等量关系，建立一元二次方程

求解，规范“审、设、列、解、验、答”解题流程，结合整数特征、图形边长正数的实际意义取舍方程根，是

一元二次方程几何与代数综合应用的基础课时.

2.内容解析

本节课承接一元二次方程的解法，是方程建模思想在代数数字、几何图形领域的具体应用.此前学生已掌握

一元一次方程解决简单数字、面积问题，本节课因问题中存在三方关系、两变量乘积关系，必须借助一元

二次方程求解，是一次方程应用的进阶升级.同时，本节课的面积建模思路，为后续二次函数几何最值问题、

复杂动态几何问题奠定核心思维基础，是章节重点衔接课，也是中考基础应用题核心考点.本节课以静态基

础等量关系为蓝本，情境简洁、模型固定.数字问题核心依托”数位数值表示、连续整数差值规律”，面积问

题核心依托“规则图形面积公式、整体减局部等量关系”，题型经典、规律性强，适合学生掌握标准化建模方

法，规避复杂变式，夯实方程应用核心能力.通过数字、儿何双情境建模，培养学生数学抽象、直观想象、

数学建模核心素养，让学生体会代数与几何的融合思想，养成严谨审题、规范解题、验证取舍的数学学习

习惯.

基于以上分析•，本节课的教学重点为：掌握连续整数、两位数数字问题的设元方法与等量关系构建；利用

矩形、正方形面枳公式建立一元二次方程，规范解题步骤.

教学目标与解析

1.教学目标

（I）掌握连续整数、两位数数字问题的数显表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；完

整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根.

（2）经历“数字/图形情境一梳理等量美系一建立方程模型一运第求解一验证实际意义”的探究过程，提升文

字信息转化、几何图形量化、代数建模的能力.

（3）感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服应用题畏难情绪，提升数学解题的

严谨性与自信心.

2.目标解析

目标1立足教材基础题型，精准落实数字、面积两类核心模型，区别于增长率模型，聚焦整数特征、几何边

长取值限制，夯实一元二次方程基础应用体系，贴合新教材课时分层编排要求.

目标2通过梯度探究、变式训练，突破“数字设元错误、面积等量关系找错、忽略实际验根''三大痛点，固化

建模思维与规范解题流程.

目标3渗透数形结合、模型思想、分类验证思想，实现从“会解方程''到"会用方程解决实际问题”的能力升级，

契合初中数学核心素养培养要求.

学情分析

九年级学生已熟练掌握•兀二次方程各类解法，熟悉矩形、止方形面积公式，小学及初一已接触连续整数、

两位数数位的基础知识点，具备方程解应用题的基本思路，为本节课学习提供充足基础.学生对单一计算熟

练，但代数式表示实际量的能力薄弱，易混淆两位数“数位数字”与“数值大小”；几何面积问题中，难以快速

拆解图形、梳理增减面积关系；普遍存在重计算、轻验证的问题，容易出现解出小数边长、非整数数字等

不合理答案.数字、面积问题情境直观、贴近基础，相较于利润、动态问题更易理解，学生接受度高，适合

通过基础探究+小幅变式，逐步突破难点、规范习惯.

基于以上分析，本节课的教学难点确定为：准确用代数式表示多位数、连续整数类未知量；复杂图形（留

白、裁剪问题）中提炼“整体面积、局部面积”的隐性等量关系；结合整数、边长为正数的实际条件，精准取

舍方程的两个根.

^^教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

前面我们学习了一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题，同一元一次方程、二元一次方程（组）等一

样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，本节课继续讨论如何利用一元二

次方程解决实际问题.

（设计意图：提出问题引入新课）

新知探究

探究点1代数数字关系问题

活动1：已知两个连续正整数的乘积为132,求这两个连续正整数.

师生活动：引导审题：明确未知量为两个连续正整数，核心特征：后一个数比前一个数大1；

规范设元：设较小的正整数为x,则较大的正整数为x+1：

提炼等量关系：较小数x较大数=132；

列方程求解：x(x+l)=132,整理得x?+x-132=0,因式分解求解；

验根取舍：解得$=11,勺=-12,结合正整数条件，舍去负根，得出答案.

活动2：是否存在三边长是三个连续止整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个？

学生交流讨论：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x,x+1,x+2,其中x为正整数.

由勾股定理,得x2+(X+l)2=(X+2)2.

解方程，得$=3,9=-1(不符合题意，舍去).

因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5.

(设计意图：从最简单的连续整数入手，降低入门难度，让学生掌握连续数的设元技巧；延伸三个连续正

整数的直角三角形问题，贴合教材数字类核心考点，完整构建数字问题建模流程，初步强化“整数取值”的脸

根意识，落实本节课重点.)

探究点2几何图形面积问题

活动3：一个正方形的边长增加2cn面积增加24cm2,求原正方形的边长.

师生探究：

审题分析：图形为正方形，边长变化引发面积变化，已知变化量、求原边长；

设元：设原正方形边长为xcm,贝!新正方形边长为(x+2)cm；

等量关系：新图形面积-原图形面积二增加的面枳；

列方程求解：(x+2)2・x2=24,整理化简为一元二次方程并求解；

验根：边长为正数，舍去负根，规范作答.

活动4：用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一？

分析讨论：

假设细绳能围成面积为96m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为xm,由周长为40m,

可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.

独立解答:设矩形的一边长为rm,由矩形的周长为40m,可得此边的邻边长为(20—x)m;由矩形的面积为96m2,

得x(20-x)=96.

解方程，得西=12,W=8・

因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m,

12m.

追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？

学生讨论：符合实际意义，可以有一个满足条件的矩形.

思考：对于」.述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如:(1)可设•边长为xm,那么其邻边长为m;(2)

可设一边长为(10+x)m,那么其邻边长为(10-x)m.能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗?比较这些设

法，说说它们各自的特点.

学生讨论，交流.

(设计意图：遵循“简单图形一变式图形''贴合教材面积问题编排逻辑；分析讨论过程中通过画图辅助分析，

渗透数形结合思想，帮助学生突破复杂图形等量关系提炼的难点，掌握面积问题核心建模方法.)

探究点3归纳列一兀二次方程解决实际的通用步骤

活动5：师生共同归纳以上四个问题通用步骤：

审题意一巧设元一找等量一列方程一解方程一验实际一写答案.

(设计意图：及时梳理新知，固化标准化解题流程，帮助学生构建基础知识框架，规避解题随意性.)

典型例题

例1：两个连续偶数的积为168,求这两个连续偶数.

【分析】连续偶数差值为2,设元可设x、x+2,且结果需为偶数，进一步细化验根标准.

【详解】解：设这两个连续偶数为x、x+2,根据题意得：x(x+2)=168

解得：=-14,X2=12.

所以这分别两个连续偶数为12、14或・12、-14.

例2•在一块长16m宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图(I)

所示的是小明的设U方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为2m或12m.如

图(2)所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同.

(1)⑵

（1）你认为小明的结果对吗？为什么？

（2）你能帮小颖求出图（2）中的x吗?（万取314,结果精确到0.1）

（3）你还有其他设计方案吗？

【分析】本题考查了一元二次方程的应用；

（1）按小明的思路，利用矩形的面积公式列方程，解答验证；

（2）花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面枳公式列方程，进行解答，从而求

出半径：

（3）答案不唯一，符合要求即可.

【详解】（1）解：设小路的宽为皿1,则

（16-2x）（12-2x）=ixl6xl2

2>

解得：x=2,或x=12（舍去）.

故小明的结果不对.

（2）解：四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为，9，

故有乃产=2xl6x12,

解得：「々5.5m（负值舍去）.

（3）解：依此连结各边的中点得如图的设计方案.

（设计意图：落实本节深重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）

巩固练习

课本课堂练习（P21）.

（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的

理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补块，帮助教师及时调整教学策略）

拓展提升

1.如图，某校准备一面利用墙，其余各面用篱笆围成一个矩形花辅A8CO.已知旧墙可用的最

大长度为13m,篱笆长为24m,设垂直于墙的A8功长为x.

J，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、，，，，，，

AD

BC

⑴若围成的花圃面积为70"时，求的长；

(2)如图，若计划将花圃面积围成78m\请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求3C的长；如果不能，

请说明理由.

【详解】(1)解：设垂直于墙的A8边长为x.

根据题意得：8c=(24-2x)m,

则(24-2x)x=70,

解得：玉=5仔=7,

当士=5时，BC=14,七=7时，8c=10,

墙可利用的最大长度为13m,故6c=14舍去.

答:的长为10m：

(2)解：不能围成这样的花圃.理由如下:

依题意可知：(^-^)^-78,

即.“12丹39=0-=(-12)2-4乂以39<0,

所以方程无实数根，

答：不能围成这样的花圃.

真题感知

1.(2025.来安校考)如图所示的是一张月历表，在此月历表上用个矩形任意圈出2x2个数(如17,18,24,

25),如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153,那么这四个数的和为()

六

日—•二三四五

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

A.40B.48C.52D.56

【详解】解：设最小数为x,则另外三个数为（X+D，*+7）,（X+8）,

根据题意可列方程，得1（X+8）=153,

解得\=9'X2=-17（不符合题意，舍去）,

...x=9,x+1=10,x+7=16,J+8=17,

•••匹个数分别为9,10,16,17,

...9+10+16+17=52,

故选：C.

2.（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个

面枳为40序的矩形场地.设矩形的宽为工〃?，根据题意可列方程（）

A.x(24-2x)=40B.x(24-x)=40

C.2x(24-2x)=40D.2x(24-x)=40

【解答】解：•••围栏的长度为24如矩形的宽为山〃,

矩形的长为（24-Zi）m.

根据题意得：x（24-Zv）=40.

故选：A.

3.（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直

角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据

题意可列方程（）

B.5(1+x2)=6C.x(5-x)=6D.5(1+x)2=6

【解答】解：由题意可得，x（5-X）=6,

故选：C.

4.（2025•威海）如图，某校有一块长28"、宽14机的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周

和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24病的9个矩形地块，请你

求出小路的宽度.

<---------20m---------a

【解答】解：设小路的宽度为了〃?，则9块矩形地块可合成长为（20-4x）m,宽为（14・4解m的矩形,

根据题意得：（20-4.r）（14-4A:）=24X9,

整理得：2?-17x+8=0.

解得：川二手X2=8（不符合题意，舍去）.

答:小路的宽度为加

5.（2025.周口统考）如图，利用一面墙（长度不限），用长20米长的篱笆围成一个矩形场地A8CO,并在

边8c上留出一个1米宽的门EF（不用篱笆），怎样围成一个面枳为45平方米的场地？

j|\D

BEFc

【详解】设矩形ABC。的边长则边4c=20-2x+l=（21-2x）m

根据题意，得*21-2x）=45

解得％=3,当=7.5.

当工=3时，21-2x=21-2x3=15.

当H=7.5时，21—2x=2I—2x7.5=6.

答：当矩形场地的长为15m,宽为3m或长为7.5m,宽为6m时，能围成一个面积为45平方米的场地.

（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以秒助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检

验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）

课堂小结

1.知识技能：（1）数字问题：掌握连续整数（差1）、连续偶数（差2）、两位数数位的代数式表示方法，

能根据“整数、正数''条件取舍方程根.（2）面积问题：熟练掌握正方形、矩形边长变化、留白裁剪问题的等

量关系，依托面积公式建立一•元二次方程.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程解应用题六步解题法，解

题格式规范完整.

2.思想方法：（1）模型思想：将数字关系、几何面积的实际问题，抽象转化为一元二次方程代数模型.（2）

数形结合思想：面积问题通过画图分析图形结构，直观梳理边长、面积等量关系，化几何问题为代数计算.

（3）转化思想：文字情境、图形信息转化为代数式、方程，实现几何与代数的互通转化.（4）严谨验证思

想：方程的数学解必须结合实际情境的取值限制筛选有效解.

3.易错提醒：（1）数字问题：设元错误，混淆连续整数、连续偶数的差值；忽略“整数、正数'要求，不舍

去不合理根：两位数数值直接用数位数字代替，计算错误.（2）面积问题：图形边长增减分析错误，混淆单

边、双边增减；误用面枳公式，等量关系列写颠倒；默认所有方程解都有效，忽略边长为正数的硬性条件.

（3）通用问题：解题步骤残缺，漏检验、漏作答、无单位，解题规范性不足.

（设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性.）

作业布置

必做题：课本习题25.3第1、2、5题.

探究性作业：课本习题25.3第6题.

（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练）

板15设计

主板书副板书

25.3实际问题与一元二次方程（第1课时）典型例题

一、核心模型：数字问题

二、核心模型：图形面积问题（预留区域，课堂书写化简、检验例题）

三、通用解题六步法例题

四、核心易错点

学生练习板演

教学反思

25.3实际问题与一元二次方程

（第2课时病毒传播、平均下降率问题）教学设计

^^教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》，第三节《实际问题与一元二次方程》，

第2课时病毒传播、平均下降率问题.本节课承接第1课时数字、面积基础应用，聚焦指数型变化数量关系.传

播问题重点探究两轮传染的人数变化规律，提炼链式传播的一元二次方程模型；平均下降率问题聚焦商品

降价、产量减产、污染治理等生活场景，掌握连续两次等量下降的通用计算公式.课堂延续“审、设、歹IJ、解、

验、答”六步解题规范，重点根据人数、数最的正整数、正数实际意义取舍方程根，是一元二次方程动态变

化类实际应用的核心课时.

2.内容解析

本课时是一元二次方程实际应用的进阶核心课，承接静态等量关系应用，开启动态变化型方程建模学习.传

播问题、平均变化率问题是中考必考基础题型，其建模思想不仅适用于一元二次方程，更为后续二次函数

增减变化、指数函数规律学习奠定基础。同时，本节课完善了学生方程应用体系，实现从“静态数值、几何

面积”到“动态连续变化”的思维升级，在整章知识体系中起到承上启下的关键作用.本节课两类题型模型高度

固定、规律清晰：病毒传播问题核心是裂变式增长，每一轮传奥人数成倍增加，形成平方级数最关系；平

均下降率问题是连续两次同比例衰减，拥有标准化通用公式.相较于面积、数字问题，本节课更侧重变化规

律分析，重点培养学生动态数量分析能力，是代数建模思想的重要拓展.通过生活中的传染防控、物价调控、

产量优化等真实情境，让学生体会数学服务于生活、服务于社会的价值；在规律探究、模型归纳中，培养

学生逻辑推理、数学建模、严谨求真的核心素养，提升学生用数学眼光分析动态变化问题的能力.

基于以上分析，本节课的教学重点为：探究并掌握两轮流感传播问题的数量关系，正确建立一元二次方程;

熟记并灵活运用平均下降率通用公式解决实际问题：规范动态变化类应用题的完整解题步骤.

教学目标与解析

2.教学目标

（1）掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下降

率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去不合理

方程根.

（2）经历“情境观察一分析动态变化一提炼等量关系一归纳通用模型一变式应用巩固”的探究过程，掌握动

态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力.

（3）通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严谨

规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心.

2.目标解析

H标1精准落实教材两大核心题型，区分传播裂变模型与下降率衰减模型，掌握两类题型专属等量关系，区

别于上节课静态模型，完善一元二次方程应用知识体系，夯实中考基础考点.

目标2突破学牛静态思维局限，培养动态数后分析能力，解决学生“看不懂变化过程、列不准方程”的核心问

题，熟练掌握模型套用与验根技巧，提升数学建模核心能力.

目标3渗透模型思想、动态转化思想、数形推理思想，引导学生从特殊题型归纳通用规律，培养归纳总结、

举一反三的数学思维，契合新课标核心素养育人要求.

学情分析

学生已掌握一元二次方程所有解法，熟练掌握静态数字、面积类应用题建模方法，具备基础的方程建模能

力；上节课初步接触增长率模型，对比例变化问题有一定认知，为本节课学习奠定基础.学生擅长静态固定

数量计算，对动态两轮连续变化的过程拆解能力薄弱，容易混淆单轮、两轮传染总人数；极易混淆增长率

与卜.降率公式，且普遍存在忽略实际取值、不验根的解题漏洞.病毒传播、商品降价情境贴近生活，趣味性

强，学生学习积极性高；但动态变化过程较为抽象，学生容易凭直觉列式，需要通过分步拆解、数形梳理、

模型归纳突破难点.

基干以上分析，本节课的教学难点确定为：准确分析病毒两轮传染的裂变过程，理清每一轮的传染人数、

总患病人数；区分增长率与下降率公式，规避公式混用错误；结合人数为正整数、数量为正数的实际条件,

精准取舍方程的两个'实数根.

^^教学过程设计

新课存入

创设情景，引入新课

复习提问：列一元二次方程解决实际的通用步骤？

审题意T巧设元T找等量T列方程T解方程T验实际T写答案.

本节课学习该方法解一元二次方程.

(设计意图：通过复习列方程解应用题的核心知识，搭建新旧知识桥梁，让学生明确列方程解应用题的步

骤,自然引出课题.)

新知探究

探究点1病毒传播问题

活动1：平均1个人传染了多少个人？

问题某种传染病的传染速度很快，如果开始有I人被传染，经过两轮传染后共有121人被传染，那么每轮传

染中平均1个人传染了多少个人？

学生讨论交流，按通用步骤进行思考：

(1)审题梳理：初始患病人数1人，经过两轮完整传染，总人数121人，求单人每轮传染人数：

(2)规范设元：设每轮传染中平均一个人传染x个人；

(3)分步分析数量变化第一轮传染：1个患者传染x人，第一轮后总患病人数：1+x；第二轮传染：(1+x)个

患者，每人再传染x人，第二轮新增传染人数：x(l+x)；两轮结束后总患病人数：原有患者+两轮新增患者

=(1+x)+x(1+x)=(l+x)2;

(4)建立方程：(1+X)2=121；

(5)求解验根：解得玉=10,%=-12传染人数不能为负数，舍去负根；

(6)规范作答，梳理完整解题步骤.

师生共同总结模型归纳：一轮起始、两轮传播通用模型：初始1人传播，两轮后总人数为(1+x):(x为单人

每轮传染人数).

追问：按照这样的速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此你能体会到阻断病毒传播的必要性？

(1+X)3=(1+1O)3=1331

(设计意图：采用分步拆解的方式，将抽象的裂变传播过程具象化，突破学生动态分析难点；通过逐轮梳

理人数变化，让学生理解公式来源而非死记硬背，从根源规避公式套用错误，落实本节课核心重点，培养

逻辑推理能力.)

探究点2平均下降率问题

活动2：哪种食品成本的年平均下降率较大？

问题；两年前生产It甲种食品的成本是10000元，生产It乙种食品的成本是12000元.随着生产技术的进步，现

在生产h甲种食品的成本是6000元，生产11乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？

追问1:甲乙两种食品成本年平均下降额是多少？

甲乙两种食品成本年平均下降额分别是(10000-6000)-2=2000(元)，(12000-7200)-?2=2400(元).

追问2：平均下降额与下降率有什么不同？

平均下降额是指平均下降的数值，下降率是比值

追问3：怎样比较哪种食品成本的年平均下降率较大？

可以分别求出两种食品成本的年平均下降率，再进行比较.

师生探究建模先求出甲种食品年平均下降率

(1)设元：设平均每年降价的百分率为X；

(2)分步表示价格：

甲种食品一年后成本：10000(l-x)；

甲种食品二年后成本：10000(l-x)(l-x)=10000(l-x)2；

(3)等量关系：原成本x(l-下降率/二二年成本；

(4)列方程求解：10000(1-x)2=6000；

(5)解方程，得不。0.225,«1.775

(6)验根取舍：下降率小于1、大于0,舍去不符合范围的根，规范作答.

学生自主求解甲种食品年平均下降率：得x产0.225,x2«1.775

追问4：经过计算，你得出什么结论？

食品年平均下降率相同

追问5：年平均下降额大，平均下降率就大吗？

年平均下降额大，平均下降率不一定大

师生共同总结模型归纳：

平均变化率通用模型：

连续两次增长：a(l+x)2=b：连续两次下降：a(l-x)2=b(a初始星，x变化率，b最终量).

(设计意图：结合生活经济情境，自然过渡下降率模型，通过对比增长率公式，帮助学生区分异同、精准

记忆；分步推导价格变化，让学生掌握公式推导逻辑，避免机械套用，突破公式混淆的教学难点.)

探究点3传播问题、下降率变式提升

活动3：讨论交流有2人感染流感，经过两轮传染后共有288人感染流感，求每轮平均每人传染的人数.

突破初始人数不为1,总人数公式调整为2（1+X）2=288,引导学生灵活变通模型，突破固定思维.

活动4：讨论交流某某工厂2023年年生产总值为50万元，经过增产到2025年年生产总值为98万元，求平均每

年增长的百分率.

学生讨论交流增长率设元后，列式建立方程50（1+x）2=98.

学生小组纠错•、对比辨析，强化两类模型的区别与应用场景.

（设计意图：通过初始人数非1的传播变式、下降率题型拓展为褶长率，拓展模型应用范围，培养学生灵活

变通的解题能力；通过易错对比训练，精准击破本节课高频误区，深化重难点掌握，实现学以致用、举一

反三.）

典型例题

例1.春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经

过两轮传播后，就有256人患了甲型流感.若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数.

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程并解答是解题关键.设每人每轮传

染的人数为x人，则第一轮传染后有（1+力人患病，第二轮传染后有I+K（*"）"=（"2+2X+1）人患病，据

此列出方程求解即可.

【详解】解：设每人每轮传染的人数为x人，

由题意得，"X+（"X）X=256,

解得x=15或x=-17（舍去），

.••每轮每人传染的人数为15人.

例2.某汽车零部件生产企业的利涧逐年提高，据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为3.92亿元.求该

企业从2020年到2022年利润的年平均增长率.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为工，理解题意,

找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键.

【详解】解：设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为x,

由题意得：2（山）』92,

解得：内=0.4=40%,9=-2.4（不符合题意，舍去），

••该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为40%.

例3,利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取

了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件.

（1）若降价6元，则平均每天销售数量为件；

（2）为了让顾客更实惠，每件商品降价多少元时，该商店每天销售利涧为1200元？

【分析】本题考查一元二次方程的应用.

（1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，列式计算即可；

（2）设每件商品降价4元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可.

找湮等量关系，正确的列出方程，是解题的关键.

【详解】（1）解：由题意，得：20+6+2x4=32（件）.

故答案为：32；

（40-x）|20+-x4）=1200

（2）设每件商品降价“元，由题息，得：,

整理，得：-30x+200=0,

解得：％=1°"2=20,

•••让顾客更实惠，

应降价20元；

答：每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元.

（设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）

巩固练习

课本课堂练习（P22）.

（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的

理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）

拓展提升

1.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率

相同.（1）求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当

的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少

库存，那么每千克应涨价多少元？

【详解】(I)解：设每次下降的百分率为X,

依题意得：50(17)2=32,

解得：%=0-2=20%,”1.8(不符合题意，舍去).

答：每次下降的百分率为20%.

(2)设每千克应涨价y元，则每千克盈利(1°+以元，每天可售出G00—2。〉)元，

依题意得：(1°+y)(500-2°)，)=6000,

整理得：/一15)，+5°=°,

解得：)『5,%=1().

又••要尽快减少库存，

J=5

答：每千克应涨价5元.

五题感知

1.(2025•凉山州)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，

若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是()

A.560(1+x)2=]860B.560+560(1+x)+560(l+2v)=1860

C.560+560(1+x)+560(1+A)2=1860D.560+560(l+2x)2=1860

【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁56()(1+x)吨，三月份生产钢铁56()(1+x)2吨，

又•.•该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，

••列方程为560+560(1+x)+560(1+x)2=1860.

故选：C.

2.(2025♦重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客

达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为()

A.10%B.20%C.22%D.44%

【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为X，

根据题意得：25(1+x)2=36,

解得：XI=0.2=20%,X2=-2.2(不符合题意，舍去)，

该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.

故选：B.

3.（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本

的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.

（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；

（2）2024年该超市用不超过780（）元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲

种商品.

（2）设购进），件甲种商品，则购进（100—），）件乙种商品，利用进货总价=进货单价x购进数量，结合进

货总价不超过7800元，可列出关于），的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.

【解答】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为乂

根据题意得：125（1—幻2=80,

解得F制=0.2=20%,X2=1.8（不符合题意，舍去）.

捽：乙种商品每件讲价的年平均下降率为20%：

（2）设购进y件甲种商品，则购进（1（）（）一），）件乙种商品，

根据题意得：（125-25x2）y+80（100-v）＜7800,

解得：龙40,

D的最小值为40.

答：最少购进40件甲种商品.

（设计意图：在学习完知识后加入中考等辰题练习，不仅可以郡助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检

验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）

皿、结

1.知识技能：（1）流感传播模型：掌握两轮链式裂变传播的数量规律，初始1人传播总人数（1+X/，初始

多人可灵活套用a（l+x）2=b；明确总人数为正整数，需合理验根.（2）平均下降（增长）率模型：熟记连续

两次下降（增长）通用公式a（l#x）2二b,可应用于降价、减产、减排（涨价、增产、增排）等所有等量衰减

（增加）问题.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程应用题审、设、歹k解、验、答六步规范，能根据人

数、百分率、数量的实际取值范围取舍方程根.

2.思想方法：（1）动态建模思想：将生活中连续变化、裂变衰减的动态实际问题，抽象为固定的一元二次

方程数学模型.（2）分步转化思想：复杂两轮变化问题，拆解为单轮变化逐一分析，化繁为简、化动态为静

态.（3）对比归纳思想：对比增长率与下降率、初始1人与初始多人传播模型，归纳通用规律，构建系统化

知识体系.（4）严谨验证思想：数学方程解需结合实际情境筛选，保证结果符合现实逻辑.

3.易错提醒：（1）传播：问题误区：混淆新增传染人数和两轮后总人数；死记公式，不会变通初始人数不

为1的题型；忽略人数为正整数，不舍去负根.（2）下降率问题误区：增长、下降公式混用，下降率误用（1+x）

列式；忘记百分率取值范围（0<K<1）,保留不合理根.（3）通用误区：设元不规范，漏写“百分率”含义；

解题步骤残缺，无检验、无完整作答；计算平方项时出现运算错误.

（设计意图：对本课的知识进行总烤，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性.）

作业布置

必做题：课本习题25.3第4、7题.

探究性作业：课本习题25.3第8题.

（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练）

板B设计

主板书副板书

25.3实际问题与一元二次方程（第2课时）典型例题

一、病毒传染问题（两轮裂变）

二、平均下降率问题（两次衰减）（预留区域，课堂书写化简、检验例题）

三、解题六步法例题

四、核心易错点

学生练习板演

教学反思

25.3实际问题与一元二次方程

（第3课时单循环赛问题）（教学设计）

^^教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》第三节《实际问题与一元二次方程》第3

课时单循环比赛问题.本节课承接前两课时数字面积、病毒传播与变化率模型，聚焦两两组合元重复的计数

类实际问题.核心内容包括：理解单循环赛制的比赛规则、推导单循环比赛总场数通用公式、利用一元二次

方程解决球赛、握手、互赠卡片等同模型实际问题。课堂持续落实“审、设、歹h解、验、答''六步解题规范,

重点结合队伍人数、比赛场数为正整数的实际意义取舍方程根，完善一元二次方程组合计数类建模体系.

2.内容解析

本节课是•元二次方程实际应用的收官基础课时，是中考应用题经典必考题型.前两课时分别覆盖静态等量

关系、动态变化关系，本节课聚焦组合计数关系，填补了方程建模中“两两组合计数”的知识空白，形成完整

的一元二次方程应用模型体系.同时，本节课的组合公式推导思维，为高中排列组合知识做好铺垫，兼具承

上后下的重要作用.本节课题型模型唯一、规律极强，核心逻辑为任意两个对象只发生一次组合、无重复、

无遗漏.区别于传播问题的裂变增长、变化率的比例增减，单循环问题木质是组合计数问题，数量关系固定,

可实现公式化建模，题型变式统一（球赛、握手、互通电话），易于学生归纳掌握、举一反三.通过体育赛

事、社交互动等生活化情境建模，培养学生数学建模、逻辑推理、数据分析核心素养：在公式自主推导、

变式辨析中，培养学生归纳总结、严谨求实的学习品质，体会数学模型在生活计数问题中的普适性.

基于以上分析，本节课的教学重点为：理解单循环赛制规则，推导并掌握单循环比赛总场数公式;

利用单循环通用模型建立一元二次方程，解决球赛、握手等同类实际问题.

教学目标与解析

3.教学目标

（1）理解单循环赛制的比赛规则，自主推导并掌握单循环总场数公式；能识别球赛、握手、互通电话等同

模型问题，熟练建立一元二次方程求解；能根据实际意义检验根的合理性，舍去非正整数、不合理的根，

规范解题步骤.

（2）经历“情境感知一手动枚举-规律推导一模型归纳-变式应用”的探究过程，掌握组合计数类问题的建

模方法，提升从生活情境中提炼数学规律、抽象数量模型的能力.

（3）感受数学与体育、生活的紧密联系，体会数学的工具性价值；在自主探究与合作交流中，增强探究意

识与学习自信心，养成严谨规范的解题习惯.

2.目标解析

目标1精准落实教材单循环核心模型，区分单循环与双循环问题差异，掌握组合计数类一元二次方程应用的

专属等量关系，完善前三课时所有方程应用模型体系，夯实中考基础考点.

目标2突破学牛.“死记公式、不懂原理、混淆循环类型”的短板，实现从机械套用到理解推导、灵活变式的能

力提升，熟练掌握计数类应用题的验根技巧与解题规范.

目标3渗透模型思想、归纳推理思想、数形结合思想，通过枚举特例推导通用规律，培养学生从特殊到一般

的数学思维，契合新课标核心素养培养要求.

学情分析

学生已熟练掌握一元二次方程解法，经历前两课时建模训练，熟练掌握应用题六步解题法，具备一定的数

学建模和规律探究能力，对生活化应用题接受度较高.学生容易凭直觉计数，无法理解单循环公式的推导原

理，多依赖死记硬背；极易混淆单循环（不重复）与双循环（重复）模型，是本节课最大易错点；同时习

惯性忽略计数类问题“结果必须为正整数”的验根要求.球赛、握手情境贴近学生生活，趣味性强，学生探究

积极性高；从具体枚举到抽象公式的梯度学习，符合九年级学生由具象到抽象的认知规律，易于突破难点.

基于以上分析，本节课的教学难点确定为：理解单循环公式的推导逻辑，明白公式中“X-1”和，!”的实际意

2

义：区分单循环与双循环问题，规避两类模型公式混用错误；结合队伍数、人数为正整数的条件，精准取

舍方程的实数根.

^^教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

情境：学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场,

求一共有多少个班级参赛？

师生活动：

1.教师通俗解读单循环规则：任意两队只赛一场，不重复、不主客场双赛；

2.抛出疑问：若有3支队伍、4支队伍，分别需要比赛多少场？引导学生手动枚举计数；

3.学生枚举：3队比赛3场，4队比赛6场，发现无法逐•枚举多队伍场次，引出公式推导的必要性。

（设计意图：以学生熟悉的校园球秣情境导入，直观解读单循环核心规则，通过少量队伍枚举，让学生初步

感知数量规律，制造多队伍计数的认知冲突，激发探究欲望，为公式推导铺垫具象基础.）

新知探窕

探究点1自主探究，探究模型

活动1：参加比赛有几支队伍？

设有x支队伍参赛，遵循单循环赛制.

追问1.每一支队伍需要和除自身外的多少支队伍比赛？（x-l支）

追问2.所有队伍累计的总比赛次数（含重复）是多少？（x（x-l）场）

追问3.单循环每两队只赛一场，存在重复计数，需要如何修正？（除以2去重）

师生归纳总结：

总场数=总配对次数+2,得出单循环通用公式：总场数='x（x-l）

2

规范解题：结合导入情境列方程

解：设共有x个班级参赛，根据题意得：

lx（x-1）=21

2

2

整理得：X-X-42=0

解得：%]=7>x2=—6

根据班级数量为正整数，舍去x=-6

答：一共有7个班级参赛.

（设计意图：分层设问引导学生自主拆解公式构成让学生理解“x-1是每队对手教、除以2是去除重复场次”

的核心原理，从根源理解公式、杜绝死记硬背，突破本节课教学难点，落实核心重点.）

探究点2模型归类，同类迁移

活动2：归纳同模型题型

学生交流讨论：所有两两发生一次互动、无重夏的问题均适用单循环公式，如：

1.体育单循环球赛、棋类比赛；

2.多人两两握手、两两拥抱；

3.多人之间互通一次电话；等等.

教师提醒：题目出现“只一次、两两一场、不重复''为单循环；“主客场、互赠、双向互动''为双循环.

及时巩固：某次座谈会结束后，在场所有人两两握手一次，统计总握手次数为45次，求参会总人数？

学生独立识别单循环模型，套用公式列方程求解，规范验根作答，教师巡视纠错.

（设计意图：完成单一题型到通用模型的迁移，帮助学生建立题型识别思维，实现举一反三，为后续拓展

变式训练奠定基础.）

典型例题

例1・九年级江门市新会区会城创新初级中学校考期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手

15次，有多少人参加聚会？

【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握

\_

手（尤一1）次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有5Mx-1）次，设出未知数列方程解答即可.

x（x-l）

———-=15

【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意列方程得，2,

解得N=6,X2=-5（不合题意，舍去）；

答：有6人参加聚会.

例2.某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），

根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛.

（1）比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？

（2）如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？

【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，

（1）设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，则每个队伍比赛（”T）场，根据题意列出方程，即可解答；

（2）设至少需要"天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答：

解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2.

【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请人个队参赛，则每个队伍比赛（“一1）场，

x（x-l）

——^=4x7

根据题意可得2,

解得西=8,巧二-7（舍去），

故比赛组织者应计划邀请8个队参赛；

（2）解：根据题意可得邀请10个队伍参赛，则每个队伍比赛9场，

设至少需要。天完成比赛，

解得。之9,

故至少需要9天完成比赛.

（设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）

巩固练习

课本课堂练习P23.

（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的

理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）

拓展提升

1.如图，在6'8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1,动点P,Q分别从点F,A出发向右移动，点P的

运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动.

⑴请你在图1中，画出2秒时的线段

（2）在动点P,Q运动的过程中，△「QB能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若天能，请说明

理由.

【详解】（1）解：•••点P的运动速度为每杪2个单位，点Q的运或速度为每杪1个单位，

点P运动的路程为：2x2=4（2个单位），点Q运动的路程为：2x1=2（个单位），

•••68的网格纸中，每个小正方形的边长都为1,

・•.2秒时线段尸。如图1所示:

图1

（2）解：在动点P,Q运动的过程中，△PQ"能成为等腰三角形.

i杪时，点P运动的路程为：i个单位，点Q运动的路程为21个单位,

如图2所示：过点Q作■于H,

则0=2,个单位，AQ=f个单位，产七=(8—2/)个单位，=个单位

依题意得：四边形A"所为矩形，

=ZA=Z.E=90°,4/=8石=6个单位，尸石=人4=8个单位，

又・；OHIEF,

.•・匹边形.HQ为矩形，

...AQ=FH=1个单位,Q"=4F=6个单位，

：.HP=FP—*H=I个单位,

222

在Rt△尸。〃中，由勾股定理得：PQ=HP+()H=r+36t

在R38庄中，由勾股定理得：+B炉=(8-2疗+36,

又由叱=(8—)[

分三种情况讨论如下：

,2_8

①当PQ=P8时，厂+36=(8-力)一+36,整理得：3f=8,解得：'一3,

②当PQ=BQ时，'+36=(87),整理得：16/=28,解得：'Z,

③当尸B=时，(8-2)+36=(8-ip,整理得:3r-⑹+36=0,

...组别式△=(-16『+4x3x36=-176<0

...方程3J-⑹+36=0没有实数根，

••・不存在PB=BQ

=87

综上所述：当‘一3秒或I秒时，△PQ8是等腰三角形.

(设计意图:强化本节课核心知识的拓展.)

直题感知

1.(2025.青岛校考)某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元时，

可销售40个，售价每上涨1元，销量将减少3个.如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元,

设这种文具盒的售价上涨x元，根据题意可列方程为()

A(22+15)(40-3x)=156R(x-15)[40-3(x-22)]=156

C(22+A-)(40-3X)=156D(22+x)(40-3x)-15x40=156

【详解】根据题意知，每件商品的利润为(22-15+x)元，销售量为(3一3工)件，

则可列方程为(22+xT5)(40-3x)=156,

故选：A.

2.(2025.荆州统考)要组织一次排球邀请蹇，参蹇的每两个各队方间都要比蹇一场，根据场地和时间等条

件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程

为()

Ax(x+1)=28Bx(x-1)=28

Cgx(x+l)=28lx(x-l)=28

【详解】每支球队都需要与其他球队赛aT)场，但两个队之间只有1场比赛，

L(x-1)=28

二•可列方程：2,

故选：D

3.我市为了增强学生的体质，组织了一次排球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行

了28场比赛，则参加比赛的球队共有()

A.4个B.6个C.8个D.10个

【详解】解：设参加比赛的球队共有x个，

解得：*=8,々=-7(舍去)，

••・参加比赛的球队共有8个,

故选：C.

4.（2025•深圳统考）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱