专项突破（五）第2节 圆锥曲线的方程与性质-2026年高考数学二轮复习

第2讲圆锥曲线的方程与性质

—探究真题明确方向

1.（2025•全国I卷，T3）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的近倍，则。的离心率为（）

A.V2B.2C.V7D.2V2

2.（2025•全国II卷，T6）设抛物线C产=2川。>0）的焦点为E点力在。上，过力作。的准线的垂线，垂足

为B,若直线B/的方程为）=-2升2,则|力用等于（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2024•新课标II卷，T5）已知曲线C：/+产=160，>0）,从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足，

则线段尸P'的中点"的轨迹方程为（）

A2ex>）B〃=30）

C./e>0）D.g4=go）

4.（2024•新课标I卷，T12）设双曲线C：^-^=l（rz>0,〃>0）的左、右焦点分别为“，6,过人作平行干沙轴

的直线交C于4B两点,若用力|=13,\AB\=\0f则C的离心率为.

5.（2024,新课标II卷，T10）抛物线C：V=4x的准线为/,P为C上的动点，过P作GM：r+（片4>=1的一条

切线，0为切点.过尸作/的垂线，垂足为4.则（）

A./与04相切B.当P,A,8三点共线时，|P（?|=V15

C.当|P8|=2时，满足|P*=|P8|的点尸有且仅有2个

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为1072分.

考查方向：

一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线

的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与

三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.

1.答案D

解析设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2m2b,2c,由题意知/尸夕a,

于是c2=a2+b2=a2+la2=Sa2,则c=2^/2a,

即e=^=2V2.

a

2.答案C

解析对如>：y=-2x+2,令尸0,则尸1,

所以尸(1,0),p=2,所以抛物线C:V=4x,故抛物线的准线方程为x=・l,当尸-1时，尸4,

故仇-1,4),则为=4,代入抛物线C：产=4x得1=4.

所以MQ=|48|=也皆4+1=5.

3.答案A

解析设点A/(x,y)>

则P"yo),PQ,0),

因为W为尸P，的中点,

所以yo=2y,即P(x,2y),

又P在曲线x2+)r=16(y>0)±,

所以3+4产=160>0),

即注90),

22

即点”的轨迹方程为v/v-I。〉。).

4.答案2

解析|B*=13,|4乃|勺彳四=5,

且力凡，月「2,

22

|FIF2|=V|FM|-MF2|=12.

由双由线定义可得2%阴川-|<乃|=8,

2c=|回尸2|=12,

化简得a=4,c=6,

则。的离心率若=|.

5.答案ABD

解析A选项，抛物线)r=4x的准线为x=-l,

GM的圆心(0,4)到直线尸-1的距离显然是1,

等于图的半径，

故准线/和GM相切，A选项正确；

B选项，当〃，A,〃三点共线时，

即R1_L/,则2的纵坐标H-4,

由y3=4xp,

得到折4,故尸(4,4),

此时切线长|P0|=J|P4|2—厂2«42-#=5,B选项正确;

C选项，当|尸8|=2时，x尸1,

此时点=4工尸4,

故尸(1,2)或尸(1,・2),

当尸(I,2)时，力(0,4),5(-1,2),

不满足kpAkAB=-1;

当P(l,・2)时，,4(0,4),5(-1,-2),

勒=铲-6，

Th，

不满足kp/ikAB=-l,

于是P4_L4B不成立，C选项错误：

D选项，方法一(利用抛物线定义转化)

设抛物线C的焦点为尸，根据抛物线的定义，

\PB\=\PF]9这里尸(1,0),

于是|P川=|PB|时P点的存在性问题转化成|P川=|PF|时〃点的存在性问题,

/(0,4),F(l,0),//的中点为弓，2),

力厂中垂线的斜率为白毛，

kAF4

于是,4尸的中垂线方程为尸手，

与抛物线炉=4x联立可得V-16八30=0,

J=(-16)2-4XlX30=136>0,

即力尸的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个尸点，使得|P川=|PF|,D选项正确.

方法二(设点直接求解)

设哼t),

由PB_L/可得次-1,/),

又力(0,4),\PA\=\PB\.

根据两点间的距离公式,

+(-4)2事I,

整理得凡16什30=0,

J=(-16)2-4XlX30=136>0,

则关于/的方程有两个解，

即存在两个这样的P点，D选项正确.

考点一圆锥曲线的定义与标准方程

例1(1)(2025・永州模拟)已知椭圆氏?(=1,点尸(・1,0),若直线工+^/^•金咫与椭圆七交于4，

B两点,则△48E的周长为()

A.2V3B.4C.4V3D.8

答案D

解析椭圆E：衿=1的长半轴长斫2,半焦距c="^3=l,

则点F(-l,0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1,0),

而直线48：x+肛-1=0恒过定点(1,0),

所以△/IB尸的周长为4a=8.

(2)(2025•西南名校联盟联考)设抛物线C：俨=2*(/户0)的焦点为£过C上一点X作其准线的垂线，设

垂足为瓦若cos/8/T，|4成=1°，则P等于()

A.lB.2C.3D.4

答案D

解析由题意可知，抛物缓。的焦点为尸C，0),

准线为广蓝，且|4F|=|4B|=10,

因为cosNB/l6］，

所以由余弦定理得

2MF|2-2MF|2cosZ5JF=200X(l-|)=80=|5F|2,即出”|=4遍,

设力(山，力),由|力?|=1+1=10,

所以XA=10-^,y\=2pxA=20p-p2.

设E为准线与x轴的交点，|EP|=p,

则贝Up=4.

［规律方法］求圆锥曲线的标准方程时的常见错误

(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；

(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为解=〃+〃，双曲线中的关系式为/=〃斗〃；

(3)确灵圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置.

跟踪演练1(1)(2025・赤峰模拟)经过点P(-4,0),0(0,-2)的椭圆的标准方程为.

22

答案YV

164

解析已知椭圆经过P(-4,0),。(0,-2)两点.

点P(-4,0)在x轴上，点0(0,-2)在y轴上，

.0.|-4|>|-2|,所以椭圆的焦点在x轴上.

对于焦点在x轴上的椭圆，设其标准方程为2=1(。>心0),

因为椭圆过点P(-4,0),所以斫4,

又椭圆过点。(0,-2),所以6=2.

将。=4,6=2代入椭圆标准方程亲3=1中，

可得衿=1，即衿L

(2)(2025•绍兴适应性考试)已知双曲线厂./.gi的左焦点为凡点力，8在「的右支上，且|48|=6,则

|凡4|十|FB|的最小值为()

A.4B.6C.10D.14

答案C

2

解析双曲线/学v：1,

则a=\.

设双由线的右焦点为由双曲线的定义可知，点/在双曲线的右支上，^\\FA\-\F2A\=2a=2,即

|£山=|万洲+2；

同理，点5在双曲线的右支上，贝力尸6H尸2身=2斫2,

即|尸5|=|户2引+2.

所以固41+|必|=(尸M|+2)+(即6|+2尸F2A|+|BB|+4.

则|正乂|十|65|冽4用,

当且仅当力，B,B三点共线时，等号成立.

又0网=6,则尸M|+|BB|+4冽+8|+4=6+4=10,即田川+尸身210.

所以田川十|“用的最小值为10.

考点二椭圆、双曲线的几何性质

例2（1）（多选）（2025・常州模拟）已知点尸在椭圆。上，C的左、右焦点后,B在x轴上，尸人和勿'2分

别交C于另一点儿从△出尸2的周长为20,C的左顶点和上顶点之间的距离为包，设离心率为e,

那么（）

A.椭圆。的焦距为3

B.e=|

C.Z\PEB面积的最大值为12

D.FFi和斜率的乘积为定值

答案BC

解析因为点尸，力在椭圆上，所以|P*|+|P尸2|=2m

故的周长为|ZM|+MB|+|PB|=|?Q|+|PB|+MEi|+MB|=4a=20,解得片5,

因为左顶点和上顶点之间的距离为+/f/52+4=皿,解得斤4,

则c=>/a2-b2=3,焦距为2c=6,故A错误；

e-=1,故B正确；

a5

Sg昌X口咫XW从=12,

当点P位于），轴上时，△PAB的面积取得最大值12,故C正确;

设PQ,刃，则高=1，即产=16景，

因为尸】（・3,0）,尸2（3,0）,

所以kpF?_y

x-3‘

y2

故如1625-«,不是定值，故D错误.

3X2-925X2-9

（2）（多选）（2025・安阳模拟）已知a,B分别是双曲线C：F。］（6>0）的左、右焦点，斜率为反且过点

B的直线交C的右支于4B两点,4在第一象限，且MQ|=h4B|,贝U（）

A.点臼到C的渐近线的距离为V5

B.M£|=10

C.C的离心率为2

D.分别以Ba,QB为直役的圆的公共弦长为反

答案ACD

解析因为双曲线C：/看=］（b>o）,所以。=1,

又因为tanN8B*=M豆,

可得尸誓，

4

COS/BBRM，

4

又因为口尸||=M6|,

所以尸2|=MR\-\AF2\=2a=2,

14Kl=2。+|8乃|=4,

则在中，由余弦定理得18Pll2=|尸1出产+18/212-2用

即16=|Fi尸2『+4・2><2|后后|></,

解得用B|=4或|RB|=-3(舍去)，

则21历用|=4,即°=2,

所以b=y/c2-1=V3,

即点R到。的渐近线的距离等于V5,A正确；

。的离心率为金2,C正确；

a

在△川£中,由余弦定理可得3尸1问尸1尸2尸+|4尸2『・2|尸周以FzIcosN/尸汨,

222

则(|”2l+2)=4+RF2|-2X4X\AF2\X(-1),

解得|力砌-6,

所以M8|=|4R|=|力b2|+2。=8/10,B错误；

过点R作于点E,

因为NBEF产NFiEFaW，

则点E在以BE,KB为直径的圆上，

所以以BF1,为直径的圆的公共弦为EE,

且15Kl=2a+|3B|=4=|KB|,

所以|RE|=V42—1=行,D正确.

［规律方法］(1)在“焦点三南形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平

方的方法，建立与|PH|・|尸尸2|的联系.

(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求自片的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因

式分解得到.

(3)求离心率的范围时常利用最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立

不等式(不等式组)求解.

跟踪演练2（1）（2025・合肥质检）已知双曲线C：捺$=15>0,〃>0），过顶点力作C的一条渐近线的垂线,

交y轴于点8,且|48|=G2+炉,则c的离心率为（）

A.3B.2C.V3D.V2

答案D

解析不妨令渐近线方程为）喙，顶点4为5，0）,

则过顶点A与渐近线垂直的直线的方程为广0=*x-。），

令X=0,得产三则8（0,y）,

所以叱

又因为|力B\=yja2+b2,所以a=b,

又因为/=层+〃，

所以c=y/2a，所以e=\[2.

（2）（多选）（2025・临汾模拟）已知椭圆C：捺喏=13>6>0）的左、右焦点分别为B,B,A,4为椭圆。上

关于原点对称的两点，且|4?|=田/21，贝M）

\.AF\LAF2

B.四边形AF]BF2的周长为4a

C.四边形AF'BF?的面积为h2

D.椭圆C的离心率的取值范围为偿，1）

答案ABD

解析依题意，AB,RB互相平分,且|AB|=|ri/2l，

则四边形力厂山乃是矩形，令其半焦距为c,

对于A,AF\A_AFi,A正确；

对于B,四边形力”山尸2的周长为|"i|+M//2|+|8M|+|8'2|=4a,B正确；

对于C,四边形力R8巳的面积为2sg”2=1力川1“灯一„田”2）：（⑷"如"绪）一232°2=2反,C错误;

对于D,由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得即/力〃=〃C2,

即离心率G的取值范围为净1）,D正确.

考点三抛物线的几何件质

例3(1)(多选)已知0为坐标原点，点户为抛物线C：V=4x的焦点，点p(4,4),直线/：-〃沙+1交

抛物线C于45两点(不与P点重合)，则以下说法正确的是()

A.|FJ|>1

B.存在实数加，使得

C.若而=2而，则加=#

D.若宜线4与P8的倾斜角互补，则加=・2

答案ACD

解析由题意可知，抛物线的焦点为〃(1,0),准线方程为尸・1,

直线尸〃9+1恒过点E(l,0),如图所示.

设4(xi,yi),8(X2,>2),作44i垂直于准线尸・1,垂足为4,

根据抛物线定义可知，\FA\=\AAx\=x\-\-\,易知为20,所以L=»+l2l,

但当|必|=1时，点4与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此下力|W1,所以故A正确;

联立直线x=my^1和抛物线C：/=4工，得尸4〃/-4=0,所以JM=-4,xi》2言义,1,

此时85・丽=|次||OB|cosN/0〃=xiX2+yiy2=-3vO,

所以cosN/O8<0,因为N4O8E(。，兀)，

故乙40皮斗，所以不存在实数用，使得乙4O8V；,故B错误；

若万^2而，由几何关系可得“=・2尸2,结合丸理=-4,可得户=e或”=・注,

即8弓，&)或3©，-V2),将3点的坐标代入直线方程可得〃?奇，故C正确；

若直线力与尸3的倾斜角互补，则〃4+公8=0,即+''20,

「Xl二-4X2二~4一

整理得2myiy2-(4m+3)3+>2)+24=0,

代入yiy2=-4,yi+^=47n,

化简可得4m2+5/〃-6=0,解得”?=-2或

当用弓时，直线/过点P(4,4),不符合题意，所以机=-2,故D正确.

(2)(多选)(2025・云南大联考)已知抛物线C：y=2px(p>0)的顶点为O,焦点为R准线为/,P是抛物线

。上异于。的一点，过点。作尸。_U于点0,下列结论正确的是()

A.线段FQ的垂直平分线经过点P

B过点P目与抛物线。相切的直线垂直平分线段FQ

C.直线0/与直线尸尸可能垂直

D.若△P0”是直角三角形，则直线O0的斜率为±2

答案ABD

解析因为线段尸。的垂直平分线上的点到点E0的距离相等，且点P在抛物线C上，根据定义可知,

\PQ\=\PF\,所以线段尸。的垂直平分线经过点P,A正确；

Io［Fx

不妨设点P在第一象限，设尸（劭，J而），0（—士屈焉），F（1,0）,

线段理的中点坐标为（0,零）.

结合A选项的结论可得，

线段尸。的垂直平分线的斜率为

J2两2Px0

A*u02“u'

由y=2〃x,可得当时，尸麻,y=^,

所以过点尸的切线的斜率为耍，

2x0

所以过点P的切线与线段尸0的垂直平分线重合，

即过点尸且与抛物线。相切的直线垂直平分线段EQ,B正确；

品=10V2Pxo）»而=（-〃，，2p%o）,

若直线。尸与直线垂直，则而前=-夕卜（）一。+2内）=0,

解得p=0或松=去都不符合题意，所以直线。E与直线尸尸不可能垂直，C错误；

若△P。/是直角三角形，结合C选项的结论，只能是N0PA9O。，所以夕（，土p）,直线。尸的斜率为±2,

D正确.

［规律方法］利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直

角梯形等）来建立已知量与夕的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.

跟踪演练3（多选）（2025・黄山模拟）已知抛物线C），=2px的焦点为尸，点力（8,8）在抛物线上，过点尸

作直线交抛物线于“但，川），Ng，歹2）两点，贝M）

A.|MN|的最小值为4

B.以线段MV为直径的圆与直线尸・2相切

C.当M?=2丽时，则|MN|=9

D.丽丽=-12

答案BCD

解析由题设82=2/;X8np=4,

伽1

O\/Fx

必

则C：y=8.r,F(2,0),

可设MN：x=ty+2,

联立抛物线得炉-8伊-16=0,显然』>0,

所以出十)2=8］,y\y2=-l6,

则|MN|=V1+文31+丫2)2—4力力=8(1+尸)28,

当且仅当片0时等号成立，A错误；

由抛物线的定义知|MN|=x1+*+4,

而"N的中点横坐标为空，

所以MN的中点与直线--2的距离为号分2,

即为|MN|的一半，

所以以线段为直径的圆与直线尸・2相切，B正确；

若加=2前，不妨设y>0>)，2,

则yi=2园,而y”=・16,

所以yi=4或,玖=-2企，

则jn+y2=8z=2V2=>/=Y»

所以xi+x2=/()'i+y2)+4=yX2A/2+4=5,

则|MN|=M+X2+4=9,C正确；

由OMON=xiX2^”2=(f2+1»i/+2@i+y2)+4=-16/2-16+16/2+4=-12,D正确.

专题强化练

［分值：90分］

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

”2

1.(2025•温州模拟)双曲线32=1(〃>0)的一个焦点为(0,2),则〃等于()

31

B3C3D

A.V33-

答案A

解析由题意得〃=*+1=4,所以%V5.

2.(2025・红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知椭圆C：《咛1的右焦点为“(2,0),则。的长轴长

为()

A.V10B.2V10C.V2D.2V2

答案B

解析因为椭圆。的右焦点为月（2,0）,所以c=2,且焦点在x轴上，所以加2_6=4,解得加三WI5,所以椭

圆。的长轴长为

3.（2025•江苏七市调研）已知椭圆C：为鼻乂心。）的右顶点与抛物线f=8x的焦点重合，则。的离心率为

（）

*B.：若D.苧

答案D

解析由题意得炉=8工的焦点为（2,0）,

则斫2,而6=1,得到c=V5,离心率为当

4.（2025•河南豫东名校模拟）已知抛物线C：产=2夕必>0）,过。的焦点厂的直线交C于48两点，交C的

准线干P,且丽=3而，\AF\=3,则C的方程为（）

A./=vB./=2x

C.y1=4xD.j*2=6x

答案C

解析记C的准线与x轴的交点为“，过4,8分别作准线的垂线，垂足为小，B1,

因为丽=3而，

所以|P5|=3］即,又出则=|用,则|尸8|=3|8囱|,

由于"|=3,所以|A4i|=3,

由MBB'S△44可知招*缁，

M4I|8所|

|尸川=9,

所以|PF|=6,而巴切=〃，

由/\PFMsNBB\可知/尸|EW|=2,

即C的方程为产=4上

5.（2025•烟台、东营模拟）已知4，m）为抛物线产283>0）上一点，若过点力且与该抛物线相切的直线交

x轴于点（-2,0）,则p的值为（)

A.lB.2C.4D.8

答案c

解析不妨令〃?>0,由y=y/2px,

则y嚼r监,

所以切点为A的切线的斜率为A=l,

则切线为尸x+2,故加专2,

又谆=2〃火/2,

即"尸〃（负值舍去），则夕2=p=p=4.

6.（2025•广州测试）已知点?在双曲线C芸=1（*0,6>。）上，且点尸到。的两条渐近线的距离之积等于［，

则CR勺离心率为（）

A.3B.2C.V3D.V2

答案D

解析设P（x0,y0）.

•・•点P在双曲线C：4^=1（«>0,3>0）上，

・x0>Q-i

即b2XQ-a2yQ=a2b2.

又双由线C：1（。>0,Q0）的两条渐近线分别为bx+ay=0和/>x-qy=0,

点2到双曲线C的两条渐近线的距离之积为

\bxo+ay0\\bx0-ay0\_\（bx0+ay0）（bx0-ay0'）\

“2+庐（2+Fa2+b2

一佐2吊一。2油。2b2

•二嘤4，即〃=2乩

c"2

又声。斗炉,

，心从，C2=2<72,

，e千后技

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2025・乐山检测）设。为坐标原点，椭圆C5哈1（〃泌>0）的左、右焦点分别为H，尸2,点4（0,3）为定

点、,而点3在椭圆。上，且位于第一象限，若04=以£|=2|。乃|,则（）

A..a2-b2=3

B.ZFI5/72=60°

C.当的面积为6-3百时，C的方程为*=1

03

D.当48〃x轴时，C的离心率6上学

答案ACD

解析对于A,由\AB\=\AF^2\OF^,

则N。力b2=30。，又|。4|=3,

；・|OB|=V5,即c=V3,

；・岸-淤=3,故A正确；

对于B,由对称性可得・•・点a，后，6在以点力为圆心，2遍为半径的圆上，

，/尸归“2弓正2=30。，故B错误；

对于C,VZFI5F2=30°,

由椭国焦点三角形面积公式得S"18F2=〃tan15°=6-3V3,

A/>2（2-V3）=6-3V3,

解得沁3,则46,

・••椭圆C的方程为主=1,故C正确；

对于D,当/8〃x轴时，可得忖3,由椭圆焦点三角形面积公式得〃tan15o=1x2cX.

即NQ-近）=36,

解得炉=9+6百，

・・・标=12+6K，则为「总序

解得。呼L故D正确.

8.（2025・锦州质检）某数学研究小组发现，函数尸争］的图象是双曲线，设其焦点为M,N,点P为其图

象上任意一点，贝ij（）

A.直线j空x是它的一条渐近线

B.它的离心率为竽

•5

C.点（遍，2）是它的一个顶点

D.||PM-|PM=2乃

答案ABD

解析因为在函数）普哼中，xKO,当£>0时，户与，

所以函数产约旦在第一象限的图象夹在直线产噂工和歹轴之间且无限接近于两直线，

SX*5

令於）

因为迷-X尸：/（x），所以函数）等理为奇函数，图象关于原点对称，

6X

所以直线j岩X和y轴是双曲线的渐近线，所以A正确；

因为丙渐近线的夹角为会所以双曲线的焦点所在的直线是两渐近线的夹角的角平分线所在直线，即产伍,

V3x,V3(Y--x=--y

联立《或12

/=代x,V=-^-1^=--3V2

所以顶点坐标为住，斗），（一当，一苧），所以C错误；

两顶点之间的距离为J俘+3+（苧+苧?=2V6,因为焦点为“，N,点尸为其图象上任意一点，根

据双曲线的定义可得11PMT尸21=2遍，所以D正确；

若将双曲线绕其对称中心（原点）顺时针旋转々可使直线尸Vlt变为X轴，其渐近线变为直线尸弯，则双曲

线的离心率e=Jl+（法）'所以B正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2025•泰州调研）过抛物线产4x的焦点作斜率为1的直线/交抛物线于48两点，则以/婚为直径的圆

被y轴截得的弦长为.

答案2五

解析设力（X1,巾），4（X2,/），

直线【的方程为尸X-1,

将其代入V=4x中并整理得f・6x+l=0,

所以X1+X2=6,

所以,48的中点即以48为直径的圆的圆心，其横坐标为3,所以圆心到y轴的距离为3,[45|="叩+也=8,

所以以48为直径的圆的半径为4,由已知及垂径定理得以46为直径的圆被y轴截得的弦长为

2,42-32=2夕.

Y2*2

10.（2025•承德NT20名校联合体调研）双曲线C：号=l（G>0,6>0）的左、右焦点分别为E,凡，直线

J_x轴且与双曲线。在第一象限交于点P.设△BP/72内切圆的半径为〃，若|尸乃|，4厂，则双曲线。的离心率

的取值范围为

答案[3,+8）

解析设内切圆E与△APB的三边分别相切于点M,M0,如图，

则|£制=|町=W。|十，且r1加|=用。1，

甲2M=IBM，|P0l=|PM，

所以尸2=尸2,

因为直线PB的倾斜角为90。,

所以/£尸2河=45。,

所以|BM=I乃川不

因为|RM=2c-『|0a|,|P0|=|/W|=|PBM，

由双由线的定义可知，\PFx\-\F2N\=\FiM\-\F2M\=2a,即2cy-r=2m

所以Lc-m又『勺|=9，所以?、4(CF),

贝b2^4ac-4a2,即c2-4ac+3a2^0,

两边同时除以标，贝1|/.4«+320,

解得e23或eWl,又e>l,则e的取值范围是［3,+°°).

四、解答题(共26分)

11.(13分)(2025•南宁模拟)已知双曲线。的中心为坐标原点O,且焦点在x轴上，点P(4,-3)在双曲线。上,

其一条渐近线方程为V5x+2y=0.

(1)求双曲线C的标准方程；(6分)

(2)过点0(0,2)且倾斜角为45。的直线/与双曲线。交于A1,N两点，求△QWN的面积.(7分)

解⑴已知双曲线。的中心为坐标原点O,且焦点在x轴上，故设其标准方程为《昌1(。>0,6>0),又其

渐近线方程为岳+2y=0,

即驾，①

a2

又点P(4,-3)在双曲线C上，代入得协力1,②

联立①②，解得。=2,b=W,

所以双曲线C的标准方程为普1.

43

(2)直线/过点0(0,2)且倾斜角为45。，故其方程为尸x+2,将其代入双曲线方程，联立得学普1,化简

得X2+16x+28=0,解得xi=-2和X2=-14,

代入直线/,求得yi=0和玖=-12,

不妨取M(・2,0),;V(-I4,-12),所以20的4。切园=1乂2义12=12.

12.(13分)(2025•蚌埠适应性考试)已知椭圆C：再=1(。>6>0)的离心率为g,点《3,§在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程；(5分)

(2)过点。(0,6)的直线(非y轴)交椭圆于4,B两点,以为直径的圆经过原点O,求直线,48的方程.(8

分)

解(1)由c=W，得a=2c,

则标=4(?2=62+〃，

所以b2=3c2,

将点P(3,3代入椭圆方程得依l1，解得。2=3,所以椭圆C的标准方程为卷$1.

(2)依题意直线N8的斜率存在，设直线4B的方程为尸去+6,点46的坐标分别为(xi,〃)，(%2,仪).

y=依+6,

方法一联立方程

37+4/=36,

消iy得(3+软2濡+48无#108=0,

依题意,/=(4弘)2-4X108(45+3)=144(4%2_9)>0,

所以|川＞|,

口,

且汨+'2-4=8/^c，巾片豆1市08,

依题意画•赤=0,

即XIA2+(AXI+6)(te+6)=0,

整理得■(/+1闪工2+6AQ」十人2)+36=0,

从而俘+1)・盗4'64^翳36=0，

所以216-36公=0,解得心=-V5,〃2=迷，

满足I中

从而直线N8的方程为j^=±V6x+6.

方法二将y=kx+6即6=y-kx代入3/+4产=36,得3/+年=0，-32,

整理得，3(5+2〃(3+3-必=0,

依题意,4=(2%)2-4X3(3-r)＞o,

所以同＞|,又。4LOB,

依题意，koA-koB—'y2~3~^1,

XiX23

解得人士在，满足固

所以直线,4〃的方程为尸号后X+6.

思维创新

（每小题6分,共12分）

v2

13.（多选）（2025・济宁模拟）若双曲线C：的左、右焦点分别为Fi,F?,过C的右支上一点尸作圆（x-

3）2+y=l的切线，切点为力，8,则下列结论正确的是（）

A.若西阳=0,则△PRB的面积为9

B.若0为圆（#3）2+^=1上的一动点，则|尸尸2|十尸。的最