随机变量及其分布 全章十一大基础题型归纳（基础篇）-人教A版高中数学选择性必修第三册（原卷版）

专题7.7随机变量及其分布全章十一大基础题型归纳(基础篇)

【人教A版(2019)]

题型1卜条件概率的计算。|

1.(2023下•广东肇庆•高二校考期中)已知P(O)=0.5,P(B)=0.3,P(8n4)=0.1,求P(E|4)=()

A•卷IC.gD.l

2.(2023下•河南•高二校联考期中)某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选

手答对第一道题的概率为|，连续答对两道题的概率为T川事件A表示“甲选手答对第一道题”,事件B表示“甲

选手答对第二道题”，则P(3|4)=()

A.；B.；C.；D.；

3234

3.(2023下•新疆阿克苏•高二校考阶段练习)某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2人参加

学校举办的文艺汇演活动.

(1)求男生甲被选中的概率；

(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率：

(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

4.(2023上•高二课时练习)在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中10个红球，10个白球，两

人依次不放回地各摸1个球，求：

(I)在第一个人摸出1个纤球的条件下.第二个人摸出1个白球的概率：

(2)第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率.

题型2L利用全概率公式求概率o

1.(2023上•湖北•高三校联考阶段练习)长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约30%的人近视,

而该校大约有20%的学生每天玩手机超过I小时，这些人的近视率约为60%,现从每天玩手机不超过1小

时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为()

A.-B.-C.-D.-

21402020

2.(2023下•福建泉州•高二校考期末)甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有2个

红球，2个白球和I个黑球，乙袋中有3个红球，I个白球和I个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,

再从乙袋中随机取出一球.若用事件和&分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件8表

示从乙袋中取出的球是红球，则尸(B)=()

A.-B.-C.-D.-

3052211

3.(2023上•上海•高二上海市第二中学校考阶段练习)某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流

水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为C.05,0.04,0.03

和0.02.

(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自

同一流水线的概率；

(2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？

4.(2023上•福建莆田•高三校考阶段练习)莆田是历史文化名城.著名的“莆田二十四景”是游客的争相打卡

点，莆田文旅局调查打卡二十四景游客，发现75%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，莆田文旅局为

大家准备了4种礼物，分别是莆田文化金属书签、莆阳古厝徽章、广化寺祈福香包、湄洲艺术摆件.若打卡二十

四景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机

获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡二十四景游客打卡景点情况相互独立.

(1)从全体打卡二十四景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；

(2)任选一位打卡二十四景游客，求此游客抽中广化寺祈福香包的概率.

题型3N离散型随机变量的判断

1.（2023下•河南周口・高二统考期中）下面给出四个随机变量:

①一高速公路上某收费站在卜分钟内经过的车辆数已

②一个沿工轴进行随机运动的质点，它在工轴上的位置小

③某派出所一天内接到的报瞥电话次数X；

④某同学上学路上离开家的距离匕

其中是离散型随机变量的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2023・全国•高二专题练习）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（）

①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数占；

②一个沿直线y=2%进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2；

③某同学射击3次，命中的次数总；

④某电子元件的寿命治；

A.①②B.③④C.①③D.②④

3.（2023下♦高二课时练习）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由.

（1）某机场一年中每天运送乘客的数量；

⑵某单位办公室一天中接到电话的次数；

⑶一瓶果汁的容量为5OO±2mL.

4.（2023下•高二课时练习）指出卜.列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.

⑴从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数；

（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；

（3）某林场的树木最高达30m,则此林场中树木的高度；

（4）某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.

题型4N求离散型随机变量的分布列

1.（2023下•河南新乡•高二统考期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为X,则X的

分布列为（）

A.

X12

11

P

22

B.

X01

11

P

22

C.

X012

111

P

424

D.

X012

111

P

244

2.（2023・全国•高二专题练习）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮1

次，设两人命中总次数为X,则＞的分布列为（）

A.

X012

P0.080.140.78

X012

P0.060.240.70

C.

X012

P0.060.560.38

D.

X012

P0.060.380.56

3.（2023・全国•高三对口高考）设离散型随机变量f的分布列如下表:

01234

P0.20.10.10.3m

则加=;作出2《+1的分布列；作出If-1|的分布列.

4.(2023下•吉林长春・高二长春外国语学校校考期中)“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意

识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨论学习.甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人；乙组

一共有5人，其中男生2人，女生3人.现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

(1)设事件A为“选出的这4个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件4发

生的概率；

(2)用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布歹J.

题型5$两点分布

1.(2023下•山西运城・高二统考期中)已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)=2-

5P(X=1)=a,则a=()

A.；B.；C.；D.|

4233

2.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知随机变量&满足P(&=0)=p”P(fJ=l)=l-pp且0<pivp

i=l,2.若E(A)V以仁)，则().

A.Pi〈P2,且。(&)VD(G)B.Pi>p2，且。(Si)>。(《2)

C.Pi<P2,且。(0)>。&2)D.P1>p2,且。(G)VZ)G2)

3.(2023上•富二课时练习)在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50

元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.顾客甲从10张奖券中任

意抽取I张，求中奖次数X的分布列.

4.(2023上•高二课时练习)袋中有除颜色外都相同的红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关

心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X,才能使X满足两点分布，并求分布列.

题型6求离散型随机变量的均值O

I.（2U22上•江西南昌•高二校芍期水）已知某随机变量X的分布为

则E（X）等于（

A.0.9B.0.7C.1.2D.无法确定

2.（2023下•吉林白城•高二校名期末）元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相回的

小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为X,则E（5X-5）=（）

3.（2023上•全国•高三校联考开学考试）我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机

调查了120个学生，得到这些学生5天内每天坚持自主学习时长y（单位：小时）的频数分布表，假如每人

学习时间长均不超过5小时.

时长y◎1)[1,2)[2,3)[3,4)45]

学生数3024401610

（1）估计这120个学生学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

⑵以表中y的分组中各组的频率为概率，校领导要从120名学生中任意抽取两名进行家长座谈.若抽取的时

长厂。1）,则赠送家长慰问金100元;抽取的时长y6[1,2）,则赠送家长慰问金200元:抽取的时长”[2,5],

则赠送家长慰问金300元.设抽取的2名学生家长慰问金额之和为X,求X的分布列及数学期望.

4.（2024.云南大理.统考模拟预测）学校进行足球专项测试考核，考核分”定位球传准”和“20米运球绕杆射

门''两个项目.规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得()分；“20米运球绕杆射门”考核合格得6分，否

则得0分.现将某班学生分为两组，•组先进行“定位球传准”考核，•组先进行“20米运球绕杆射门”考核，

若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项H，直接判定为考核不合格：若先考核的项目合格，则进入

下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为

0.8,“20米运球绕杆射门”考核合格的概率为0.7,且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.

(I)若小明先进行“定位球传准''考核，记X为小明结束考核后的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.

题型7N求离散型随机变量的方差、标准差

1.(2022•浙江湖州•湖州市菱湖中学校考模拟预测)设0<a<1,随机变量X的分布列为

则当a在(0,1)内增大时()

A.D(X)增大

B.D(X)减小

C.D(X)先减小后增大

D.D(X)先增大后减小

2.(2023下•广东深圳•高二蛇口育才中学校考阶段练习)甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制,

规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负)，且每一局甲赢的概率都是:，随机变量X表示最线的比赛局

数，则()

A.E(X)=,,D(X)=0B.E(X)=,,D(X)=^

C.E(X)号,。(X)=.D.E(X)=^,D(X)=^

3.(2024・全国•高三专题练习)某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐

属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案:

方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且尸(X=20)=0.3,期

望E(X)=30.

方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益丫分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为030.4O3.

(1)请写出方案一的分布列，并求方差D(X)；

(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由.

4.(2023上•北京东城•高三北京五十五中校考阶段练习)不粘锅是家庭常用的厨房用具，近阳，某市消费

者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测，本次选取了食物接

触材料安全项F1中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨

性、耐碱性、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐

磨性”检测结果的数据如下：

检测结果检测结果

序号品牌名称不粘性耐磨性序号品牌名称不粘性耐磨性

1品牌1I级I级7品牌7I级I级

2品牌2II级I级8品牌8I级I级

3品牌3I级I级9品牌9n汲n级

4品牌411级II级10品牌10n级□级

5品牌5I级I级11品牌11n级n级

6品牌6n级I级12品牌12n级n级

(I级代表性能优秀，H级代表性能较好)

(I)从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是I级的概率:

(2)从前六个品牌、后六个品牌中各随机选取两个品牌的数据，求两个指标“不沾性、耐磨性”都是I级的品

牌个数恰为2个的概率；

(3)顾客甲从品牌A,k+1,k+2[k=l,4,7,10)中随机选取1个品牌，用“2=1”表示选取的品牌两个

指标“不沾性、耐磨性”都是I级，怎=0”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”不都是I级(:1,4,

7,10).写出方差Dfi，D%，Df7，DGo的大小关系(结论不要求证明).

题型8

L服从二项分布的随机变量概率最大问题Q|

1.(2022下•山东淄博•高二统考期末)若X〜8(10,0.5),则P(X=k)取得最大值时，k=()

A.4或5B.5或6C.10D.5

kk

2.(2023下•河南南阳•高二统考期末)设随机变量X~B(n,p),记队=C^p(1-Py-,k=0,1,2,…，儿在

研究Pk的最大值时，某数学兴趣小组的同学发现：若(7l+l)p为正整数，则k=(7l+l)p时，PLP5此

时这两项概率均为最大值；若(n+l)P为非整数，当&取W+l)P的整数部分，则队是唯一的最大值•以此为

理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的股子并实时记录点数1出现的次数.当投郑到第30次时，记录到

此时点数1出现7次，若继续再进行70次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为()

的概率最大

A.16B.17C.18D.19

3.(2024上•陕西西安・高二西安市铁一中学校考期末)某种植户对一块地的欣"GN'n>2)个坑进行播种，

每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为右且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至

少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.

(1)从n个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？

(2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？

(3)当九取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？

4.(2024・山东日照•统考一模)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会

成为改变人类社会发展的重要力量.某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的

结果进行应答.在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；

若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.

(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；

(2)在某次测试中，输入了n(nN6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个

数为X,*=上供=0,1「・,71)的概率记为「比=0，则〃为何值时，P(X=6)的值最大？

题型9超几何分布的判断

1.(2023•裔二课时练习)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3.456,还有4个同样大小的白球,

编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：

①X表示取出的最大号码；

②X表示取出的最小号码；

③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；

④X表示取出的黑球个数.

这四种变量中服从超几何分布的是()

A.①②B.®®C.①②④D.①②③©

2.(2022下•广东广州•高二统考期末)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4

个小球，设取的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是()

A.P(X=1)=1B.随机变量X服从二项分布

C.随机变量X服从超几何分布D.EW=1

3.(2022下.天津河西•高二校考期中)一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，6()个白球，

从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从()

A.二项分布，且E(X)=8B.两点分布，且E(X)=12

C.超几何分布，且E(X)=8D.超几何分布，且E(X)=12

4.(2023・高二课时练习)下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.

(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X,求X的分布列；

(2)有•批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X,求X的分布

列；

(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X,求X的分布列；

(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X,

求；f的分布列；

(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X,求X的分

布列.

题型10卜正态曲线的特点____________________

1.(2022下•浙江温州•高二校联考期中)设X〜N(〃i，曲)，V〜N(〃2,源)，这两个正态分布密度曲线如图所

c.P(Y>/z2)>P[Y>D.P(X<^2)>P(X<Ml)

2.(2022・江苏•高三专题练习)已知三个正态分布密度函数由。)=康eF~=1,2,3)的图象如

图所示，则下列结论正确的是()

A.6=<T2>(T3B.%>〃3

C四=%D.%<。3

3.（2023上.高二课时练习）已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示.

（1）写出此公司人均月收入的密度函数的表达式；

（2）求此公司人均月收入在8000〜8500元之间的人数所占的百分比.

4.（2023・全国•高二专题练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自

行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果:

坐公交车：平均用时3（）min,方差为36

骑自行车：平均用时34min,方差为4

⑴根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.

（2）分别用X和V表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，x和丫的概率密度曲线如图"）所示，如果某

天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.

（提示：（2）中X和丫的概率密度曲线分别反映的是X