湖南省衡阳市2026年中考数学自检试卷（附答案）

中考数学自检试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.下列各数中，是无理数的是（）

A.；B.«C.3.1415926D.&

2.去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000.将2430000用科学记

数法表示，正确的是（）

A.243x104B.24.3x105C.2.43x106D.0.243x107

3.下列各式计算正确的是（）

A.a3*a2=a6B.(a3)4=a7

C.a64-a2=a4D.(2a2b)3=2a6b3

4.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.

以卜是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对祢图形的是（）

AB

DeepSeek微云人工智能

CDCfl

ChatGPT纳米AI

x+l>0

5.不等式组:x+2的解集在数轴上表示为（）

6.某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179,130,192,158,141.这组数据的中

位数是（）

A.130B.158C.160D.192

>»|♦2

7.若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范

X

围是（）

A.mV-2B.m<0C.m>-2D.m>0

8.如图，直线m〃n,点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB,过点A作AC_LAB,交直线m

于点C.若/1=60。，则/2的度数为（）

A.30°B.20°C.40°D.50°

9.用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（I）所示的壬方形ABCD,测得活动学

具成图（2）所示的四边形ABCD,测得NA=120。，则图（2）中BD的长是（）

D.

10,桔棒俗称“吊杆”“称杆”（如图1）,是我国古代农用工具,始见于《墨子•备城门》,是一种利用杠杆

原理的取水机械.桔梯示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，

AB=6米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，NAOM=120。.此时，点A到地面的距离为（）

图1

A.45.3）米

C.6米D.7米

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.因式分解：阳”-“in=.

12.分式方程上=1的解为________.

x.2x

13,计算：而■咐=.

14.抛物线y=3（x+1）2+4的顶点在第象限.

15.如图，在扇形纸扇中，若NAOB=15()u,OA=12,则茄的长为

16.如图1,△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2,动点P以每秒1个单位长度的速度从点B

出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP.设点P的运动时间为t(s),DP2为y.当动点

P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，

y=l：③当名饪6时,l<y<3；④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻二t2(tiVt2)分别对应yi和

yz,若n+t2=6,则yi>y2.其中正确结论的序号是.

三、计算题：本大题共1小题，共9分。

17.计算：(X314),-I--&+2nM30

四、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.先化简，后求值：(X+I)2-(X-2)(x+2),其中x=3.

19.某校为了解学生寒假参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查，家务劳动的项目主要包

括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等.学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统

请根据以上信息，解答下列问题:

(1)本次被抽取的学生人数为;

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是°；

(4)若该校有学生2400人，请估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以二的学生人数.

20.春节贴春联的民俗起于宋代并在明代开始盛行.南宋诗人陆游在《己酉元口》中写道：“桃符呵笔写，

椒酒过花斟这里的“桃符”就是春联.某超市在春节前夕欲购进A,B两种春联进行销售，已知购进1副A

种春联与2副B种春联共需18元，购进2副A种和3副B种春联共需31元.

(1)求A种春联和B种春联的单价分别为多少元？

(2)该超市计划购买A种春联和B种春联共300副，总费用不超过2100元,那么最多能购买A种

春联多少副？

21.如图，点C为矩形ABCD和正方形CEFG的公共顶点，点E,F在矩形的边AD,AB±,FG交BC

于点H.

(2)连接GE,若CD=4,F是AB的中点，求GE和GH的长.

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数户mx+n的组象与反比例函数p=±(ArO)的图象交于

x

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)若P是第四象限内双在线上的点(不与点B重合)，连接0P,过点P作y轴的平行线，与直线

AB相交于点C,连接OC.若△POC的面积为;，求点P的坐标.

23.如图，AB为。O的直径，过点A作。O的切线PA,C是。O上一点(点C与点A不重合)，且

PC二PA,连接AC,BC,BP,BP交。O于点D,交AC于点E,连接AD,CD.

p

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）若BD＞AD,AB=4，S、刈尸,求/PAD的度数：

（3）记4PCE的面积为Si,AABE的面积为S2,四边形PABC的面积为S,若满足

衣;6♦底,试证明：

①PC〃AB；

②PA・AD=AC・CD.

24.中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合白般好，隔裂分家万乘休”.在函数的学习中，常常利用数

形结合思想来探究函数的图象与性质.我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之

一函数”，例如一次函数y=5x+7经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”.

（I）在下列关于x的函数中，是“之一函数”的是（填序号）.

①y=2x；②i（切.0）；③y=x?-4x+3；

x

（2）①若关于x的二次函数y=mx2-4mx+m+2是“之一函数”，与x轴交于A（xi,0）,B（x2,0）两

点（其中X1VX2）,与y轴交于点C,且mxi-xi+mx2-X2=O,求该二次函数的解析式.

②在①的条件下，点P是二次函数产mx2-4mx+m+2图象第一象限上的点，问是否存在点P,使得

ZPCA=45°,若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.

（3）若关于x的二次函数y=ax?+bx+c是“之一函数”，其图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D,

与y轴交于点C,点M是AB的中点，点O是坐标原点，已知c》＞0,且「：””,试求：

2OA2OBOC

＞的最大值.

答案

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】B

11.【答案】m(m-n)

12.【答案】x=l

13.【答案】4

14.【答案】二

15.【答案】10小

16.【答案】①②④

1/.【答案】解：-V3+2a»3O

=I+3-75+G

=4

18.【答案】解：(x+l)2-(x-2)(2+x)

=x2+2x+l-(x2-4)

=x2+2x+l-x2+4

=2x+5,

把x=3代入得：原式=2x3+5=11

19.【答案】(1)100

(2)解：“3项”的人数为100-3-30-42・10=15,

人数/人

(4)解：若该校有学生2400人，请估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数

为：

•「3项及以上”的学生人数为15+10=25人,

A24OOx，5+10600(人)

100

答：估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数为600

20.【答案】(1)解：设A种春联单价为x元，B种春联单价为y元，

x♦2y■18

根据题意得•

2x♦3p=31

x-8

解得，

y»5

・•・A种春联单价为8元，B种春联单价为5元

(2)解：设购买A种春联a副，则购买B种春联(300-a)副,

根据题意得，8a+5(300-a)<2100

化简得3a<600

解得a<200

・•.最多能购买A种春联2()0副

21.【答案】(1)•・•四边形ABCD是矩形,

AZD=ZA=90°,

AZAFE+ZAEF=90°.

•・•四边形CEFG是正方形，

/.EF=CE,ZFEC=90°,

AZAEF+ZDEC=90°,

AZAFE=ZDEC.

在AAEF和^DCE中:

4

£AFE=/DEC,

EF=CE

?.△AEF咨△DCE(AAS),

AAE=CD

(2)解：如图，过点G作GM_LBC,交BC于M,

.,.ZGMH=ZGMC=90°,

•・•四边形ABCD是矩形，CD=4

AAB=CD=4,ZB=ZD=ZGMC=ZBCD=ZGMH=90°

•・・F为AB中点，

工BFHF」IB2

一

由［1)得4AEF^ADCE,

ADE=AF=2.

在RSCDE中，

CE=〃加+DE，=2'=2石

丁四边形CEFG是正方形，

；・(G二CE二(“二2石，ZGCE=ZBCD=90°

AZGCM=ZECD,

(南(可«

在RsGCE中，GE=JCG2+CE2-J2+22vlO

VZGMC=90°

.*.ZCGM+ZGCM=90°

VZGCE=90°,

.,.ZDCE+ZGCM=90°,

.\ZCGM=ZDCE

在ACGM和^CED中，

£GMC=ZD

<=£ECD

CG=CE

.*.△CGM^ACED(AAS)

AGM=DE=2=BF

在AFBH和^GMH中

"8〃■ZGA///

BF=GM

/FHB=ZG/7.W

:FBH^AGMH(ASA),

・•・FH=GH

丁/G-Ci：-2<5

:.GH\FG=v5

一

22.【答案】⑴解：由条件可得：1=刍，3=

3a

解得：k=-3,a=-l,

AA(-1,3),反比例函数的解析式为y=-

x

把A(1,3),B(3,1)代入y=mx+n得，

n,3

3m>w=-1

m■-I

解得，、

w=2

・•・一次函数的解析式为y=-x+2

(2)解：如图，设“汕

kmJ

由条件可知C(m,-m+2),

当点Ci在点Pi上方时，

CM=T"2-1?)，

•・・P是第四象限内双曲线上的点

m>0,

+2/w+3)=-

整理得，m2・2m+2=0,

VA=(-2)2-4X1X2=-4<0,

・•・该方程无实数根，此种情况不存在；

当点C在点P下方时，『。=-，2)=-3+IW-2

整理得，m2-2m-8=0

解得：mi=4,m2=-2(舍去)

,33

•・-

m4

23.【答案】(1)解：如图1,PA是。0的切线，连接OP,0C,

A0A1PA,即NPAO=90。,

在AAP0和aCPO中，

PA・PC

OP^OP,

AO=CO

?.△APO^ACPO(SSS),

AZPCO=ZPAO=90°,

・,・半径OC_LPC,

・・・PC是。O的切线

（2）解：:AB为。O的直径，

AZADB=90°,

XVZPAO=90°,

.,.ZPAB=ZADB=90°,

ZPAD=900-ZBAD=ZABP,

设NABP=NPAD=0,AD=b,DB=a,贝"川湖=2,

a

AP=ABtan0=4tanO,

VBD>AD>/8=4，s”砧,则a>b,

AAH-f/>"阴=/+〃=16，；油-2日

XV（a+b）2=a2+b2+2ab

=16.X。

=（2^）*+2x2x2^+22

=（2v5f2）,

=或a/b=-（2♦（不合题意，舍去）,

又•・•,力:46，

/.（<!-/>）*=a1-241b-♦-/>'=16•.；二（2、行一2）»

Va>b,

"/>:26-2，

a■2>/5

h=2'

:・tarA=tanZPAD=tan^ABD=上二，

a3

/.ZPAD=30°

（3）解：①如图2,过点C作CF_LPB于点F,

p

图2

记APAE的面积为S3,△BCE的面积为S4,

:.01PExCF,S,=-BEKAD,S、=；PEx/D,S4=-BE^CF,

4，，4

AAS4=PEx^Dx1U£xCF=5,5,,

♦:&=屈•底,

.•.(可=“♦国二

「・、=s^s^2y[s^,

・•.、hS4=S-(S,+S.|2Tv?,

:.S/S产4J5S：,

・•・S；+S；+2S£=4S£=4SJ.,

HP5；>5]25»=0.

・•・('sj=0,

.*.S3=S4>

83+82=84+82,即SAPAB=SAABC,

AC至ljAB的距离和P至ljAB的距离相等,

APCAB：

②・・・PA_LAB,PC〃AB,

ZAPC=180°-ZPAB=180°-90°=90°,

APA1PC,

VPA,PC是。O的切线，

APA=PC,

・•・△PAC是等腰百角三角形，

/.ZPAC=45°,

/.ZCAB=90o-45o=45°,

.*.ZABC=900-45o=45°,

•・•四边形ABCD是圆内接四边形，

JNADO1800-ZABC=135°,

又TNADP二NADB=90°,

ZPDC=360°-l35°-90°=135°=ZADC,

••而.而，

AZACD=ZABD,

又YPC〃AB,

AZABD=ZCPD,

AZACD=ZCPD,

/.△ACD^ACPD,

.ACAD

••，

PCCD

.•・PC・AD=AC・CD,

又「PA=PC,

，PA・AD=AC・CD

24.【答案】（1）③

（2）解：①由题意可得：

即xi、X2为方程mx2-4mx+m+2=0的解,

*.*mxi-xi+mx2-X2=(m-l)(xi+X2)=0,Gp(m-1)-4=0,

解得m=l

・•.二次函数的解析式为y=x2-4x+3；

②由二次函数的解析式为y=x2-4x+3,

当y=0时，x2-4x+3=0,

解得X1=1,X2=3,

故点A(L0),B(3,0),C(0,3),

将点A(l,0)绕点C逆时针旋转90。得到点D(3,4),连接AC、CD、AD,取AD中点为G,连接CG并

延长，交抛物线与点P,如下图所示：

VZACD=90°,AC=CD,

，三角形ACD为等腰直角三角形，

即/DCA=45。.

•・・G为AD中点

故CGJ_AD,且G点坐标为,即G(2,2),

.-.ZCGA=90°

AZGCA=45°=ZPCA,

令直线CG函数表达式为ycG