第21章《四边形》重难点梳理卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版

第21章四边形重难点梳理卷-2025-2026学年数学八年级下册人

教版（2024）

一、单选题

1.在平行四边形A8CD中，Z4=7（）°,则/C的度数为（）

A.20°B.35°C.70°D.110°

2.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.对边相等B.对角线互相平分

C.对角线相等D.对角线互相垂直

3.如图，△A8C中，ZAC8=90。，A8=10,点。为斜边人B的中点，则。。为（）

A.4B.5C.6D.10

4.已知菱形的周长为20cm,一条对角线长为6cm,则该菱形的面积为（）

A.24cmzB.30cm2C.48cm2D.60cm2

5.若正多边形的内角和为720。，则它的每个外角度数为（）

A.72°B.60°C.52.8°D.45°

6.如图，V4BC中，A8=AC=8,点尸为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧,

分别交AB,AC,于点M,N,分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画孤，

两弧交于点。，画射线AD交8c于点E,连接EF,则石尸的长是（）.

7.如图，正方形A4c。的边长为4,以8为边在正方形外作等边三角形PCQ,连接外,

PB,则△aw的面积为（）

A.8B.86+16C.4J5+8D.4■亚

8.如图，M,N,尸，Q是菱形ABC。四边的中点，顺次连接点M,N,P,Q,且MN=2MQ,

则下列结论正确的是（）

A.MQ=^ABB.MQ=^ABC.MQ=与ABD.MQ=与AB

9.如图，菱形ABC。中，8。是其对角线，P是。D上一点，连接外，将△8CP沿斯折叠，

使点C落在8。上的C'处，得到△8CP,连接CP.若/4=120。，0=1,则线段尸。的

A.0.5B.1C.V3D.2

10.如图，已知正方形ABC。的边长为4,P是对角线8。上一点，PE1BC于点、E,PF_CD

于点F,连接4P,EF.给出下列结论：①PD=&OF；②四边形必。'的周长为8；③EF

的最小值为2；®AP±EF.其中正确结论的序号为（）

试卷第2页，共6页

A.①③④B.@@®C.①②④D.①②③④

二、填空题

11.在oABCD中，若4+NC=140。，那么/£>=.

12.如图，AB,BC,CD是正〃边形的三条边，在该正〃边形下方以8C为一边作正六边

形CEFGHB.已知44〃=80,则〃的值为.

13.如图，在平行四边形人4CO中，/QA〃的平分线AE交C。于£,AB=10,BC=6,

则EC的长等于.

14.如图，菱形48co的对角线4C,8。交于点。，若4=70。,则N2的度数为

15.如图，在正方形A8CQ中，点E是8。边上一点，点F在边CQ延长线上，且BE=DF,

连接E”，过点A作AN_L£F交E尸于交CD于N,若BE=5,CN=8,则.

16.如图，在oA8C。中.AC和3。相交于点。.E,F,G分别是08,0C,AD的中

点.连接痔，FG,GE.若BD=2AB,BC=\5.△£此；的周长为24.则QABCQ的面

积为.

三、解答题

17.图1、图2分别是6x8的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是1,请在图I、

图2中各画一个图形，分别满足下列要求：

(I)在图I中画出一个周长为18的平行四边形(非矩形)，所画的平行四边形的各顶点必须

在小正方形的顶点上；

⑵在图2中画出一个面积为24的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上.

18.已知，如图四边形ABCQ是平行四边形.

⑴作乙48。的平分线座交AD于三点(用尺规作图，不要写作法，保留作图痕迹)

(2)求证：AE=CD.

19.如图，在放ABAC中，Z4BC=90°,E、尸分别是4C、3c的中点，延长AB到点

使=连接。£、DF,OE交M于点G.求证：BG=FG.

D

2U.如图在矩形A8C。中，AB=b,BC=8,将矩形沿对•角线折叠，使点C落在点七.处,

试卷第4页，共6页

CE交BD于点F.求。尸H勺长.

ET------------------C

21.已知正方形ABC。的边长为6,点石为上一点，连接4E.

求四边形A8EG的面积；

⑵如图2,点尸，R分别在正方形A8C。的边A8,CO上，把正方形沿直线”翻折，使得

3c的对应边恰好经过点A,过点儿作AO_LFR于点。，连接AR,若=求线

段AR的长：

⑶如图3,点。是边OC上的一个动点，DQ=BEt过点。作QP_LAE于点”，连接叱，

试求线段3P的最小值，且直接写出此时四边形PEC。的面积.

22.已知，矩形/WCD中，AB=4cm,8c=8cm,AC的垂直平分线所分别交40、BC

图1图2备用图

⑴如图1，连接A尸、CE.求证四边形APCE为菱形，并求A尸的长；

(2)如图2,动点尸、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和各边匀速运动一周.即

点P自停止，点Q自CfOfEfC停止.在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为/秒，当A、。、P、

Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求/的值.

②若点P、。的运动路程分别为。、b（单位：cm,而工0）,己知A、C、P、。四点为

顶点的四边形是平行四边形，求〃与〃满足的数最关系式.

试卷第6页，共6页

《第21章四边形重难点梳理卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案

题号1234567891()

答案CCBABACBCC

1.C

【详解】解：•・•四边形ABCQ是平行四边形，

:.ZC=ZA,

VZA=70°,

:.ZC=70°.

2.C

【分析】本题考查矩形与菱形的性质，掌握两种图形性质的区别是解题关键，对比两个图形

的性质逐一判断选项即可解答.

【详解】解：•.■矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形对边相等，对角线互相平分，

.•.A选项对边相等、B选项对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意；

•.•矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，仅特殊菱形即正方形对角线相等，

••.C选项对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，符合题意；

•/菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，

.•.D选项对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质，不符合题意.

3.B

【分析】因为是斜边AB的中点，所以可直接使用直角三角形斜边中线定理，明确斜边中

线与斜边的数量关系.结合已知A8的长度，代入对应数量关系即可得到。。的长度.

【详解】在aABC中，^ACB=90,£＞是斜边A8的中点，

又同8=10,

：,CD=-AB=-x\O=5.

22

4.A

【分析】本题利用菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对

角线的长度，再用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算面积.

【详解】解：•・•菱形周长为20。〃，且菱形四条边相等，

，菱形边长为20+4=5（。〃）.

•••菱形・条对角线长为6。〃，且菱形对角线互相垂直平分，

答案第1页，共19页

，该对角线的一半长为6+2=3(°〃).

根据勾股定理，可得另一条对角线的一半长为-32=4(刖),

因此另一条对角线长为4x2=8(c〃?)，

，菱形面积为Jx6x8=24(a/).

5.B

【分析】先利用多边形内角和公式求出正多边形的边数，再根据任意多边形外角和为360。，

正多边形每个外角相等，计算得到每个外角度数.

【详解】解：设这个正多边形的边数为〃，

•••多边形内角和公式为("2)x180。，已知内角和为720。，

.\(,j-2)xl80o=720°,解得〃=6,

,任意多边形的外角和为360。，正多边形的每个外角度数相等，

该正多边形每个外角度数为不360~°=60。.

6

6.A

【分析】本题考查角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定

理.

根据作图可知AE平分/朋。，根据等腰三角形三线合一得到Z4E8=90。，继而根据直角

三角形斜边中线定理得到EF=^AB=4.

【详解】解：由作图可知AE平分

*/AB=AC,

：.AEA.BC,

・•・ZAEB=90°,

•・•点尸是48的中点,

EF=-AB=4.

2

7.C

【分析】过点P作小于点E,延长正交于点F,容易证明四边形打EC是矩形,

则痔=8C=4,由等边三角形的性质可得PC=CD=4,CE=^CD=2,由勾股定理可得

答案第2页，共19页

PE=2^3,则/=2囱+4,利用三角形面积公式进行计算即可.

【详解】解：如图，过点尸作PE_LC。于点E,延长PE交AB于点尸,

•・•四边形A8CO是正方形，

：・ZABC=/BCD=90。,BC=CD=AB=4,AB\\CDf

,/PE工CD,

:./PEC=NFEC=90°,

・•・四边形8明。是矩形，

，EF=BC=4,

•・•△PCD是等边三角形，

Apc=CD=4,CE=-CD=2,

2

由勾股定理可得，PE=ylPC，-CE?=44,-寸=26,

:・PF=PE+EF=2旧+4，

:=；A8PF=gx4x（2G+4）=46+8.

8.B

【分析】连接AC、BD,设AC与8。交于点。，根据菱形的性质得出4C1B。，

AO=CO=^-AC,=根据三角形中位线定理得出MQ=18。，MN=^AC,

2

设MQ=AO=x,则MV=49=2x,根据勾股定理求出A3MJA。+30?=石］，即可得出

答案.

【详解】解：连接AC、B/）,设AC与BD交于点O,如图所示；

BNC

答案第3页，共19页

•・•四边形"CO为菱形,

/.AC.LBD,AO=CO=—AC,BO=DO=—BD,

22

•:M,N,p,。是菱形/wa＞四边的中点，

:.MQ=；BD,MN=9C,

：.MQ=BO=-BD,MN=AO=-AC,

22

设MQ=BO=x,则MN=AO=2x,

VACJ.BD,

・•・ZAO8=900,

在RSAOB中，根据勾股定理得：

AB=dA(f+B(f=&，

.MQx石

••=-7=~~=9

/W&5

AMQ=^-AB.

9.C

【分析】首先由菱形的性质求出/C和/COB,然后由折叠的性质得出N8C尸和c'p的

长，进而求出,最后在△PC'。中求解PO即可.

【详解】解：：四边形ABC力是菱形，乙4=120。，

AZC=ZA=120°,ZADC=180°-ZA=60°.

•・"Q是菱形的对角线，

JZCDB=-ZADC=30°.

2

由折叠的性质可知/8C?=/C=120。，CP=CP=\.

•・•点(7在6£＞上,

・•・ZDCP=180°-ZBCP=180°-120°=60°.

在KPC'D中，^DPC=180°-^CDB-ZDC'P=180°-30°-60°=90°,

:.APCD是直角三角形，

:.CD=2CP=2,

产。二百.

答案第4页，共19页

10.c

【分析】①证明△P。尸是等腰直角三角形，则以即可判断：

②先证明△出必是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PECF

为矩形，则四边形PECE的周长=28C,即可判断；

③证明△AOPgACDP,则AP=PC,根据矩形对角线相等得PC=律，当”_1_比＞时，

垂线段最短，即可判断；

④证明得到进而求解.

【详解】解：连接PC，如图所示：

①•・•正方形ABC。的边长为4,P是对角线上一点，

/.ZP£)C=45°,

又•.,PFLCD,

：.ZPFD=90°,

为等腰直角三角形，

：・PD=6DF，故①正确；

②由①证明过程，同理得总是等腰直角三角形，

:.PE=BE,

ZPEC=ZECF=ZPFC=90。,

，四边形PEb为矩形，

，四i力形尸石B的周K:=2CE+2PE=2a+25E=2(CE+8E)=2"C=2x4=8,故②正确:

③•・•四边形P比户为矩形.

:.PC=EF,

•・•四边形A38为正方形，

:.AD=CD,ZADP=/CDP,

在ZW*和△CQP中，

答案第5页，共19页

AD=CD

ZADP=4CDP,

DP=DP

.-.△ADP^ACDP(SAS),

AP=PC,

:.AP=EF,即当A尸最小时，EF最小,

••・当人时，垂线段最短，即八2=36。=3X行百=2&时，历的最小值等于20，

故③错误；

④延长印交A8于M,延长AP交E尸于，，如图所示：

Q8O平分ZA8C,PM1AB,PE1BC,

;.PM=PE,

vAP=EF,ZAMP=NEPF=900,

R^AMPgRt△灯巴HL),

\1BAP?PFE,

・.・NAMP=90。，

.-.Z,R4P+z64PM=90o,

・.•ZAPM="PF,

:.NPFH+NHPF=90。，

/PHF=90°,

；.AP工EF,故④正确；

综上所述，①②④正确.

11.110。〃10度

【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，先由NA与NC的和求出乙4的度数,

答案第6页，共19页

再利用邻角互补求出N。的度数.

【详解】解：•・•四边形A8CQ是平行四边形,

，/A=/C,/A+/O=180。.

•••/A+/C=140。，

:.2—140。，

JNA=70。.

•••/A+/O=180。，

/.^D=180o-70°=110°.

【分析】先根据正多边形内角和公式求出正六边形的一个内角度数，再根据点〃处的三个角

之和为360。求出正〃边形的一个内角度数，最后利用正〃边形内角公式列方程求解〃的值.

【详解】解：正六边形的一个内角为鱼型吧=120。.

6

由图可知，正”边形的一个内角、正六边形的一个内角与NA4”构成一个周角.

设正〃边形的一个内角为。，

则a+120。+80°=360°.

解得a=160。.

根据正〃边形内角公式，得(〃—2N18()。=[60。.

n

解得刀=18.

经检验，〃=18是原方程的解且符合题意.

13.4

【分析】利用平行四边形性质得出A6〃C。，AD=BC=6,CD=AB=\0,利用平行结合

角平分线可得"A=DE=6,即可求解.

【详解】解：•・•四边形ABC。是平行四边形，

AAB//CD,AD=BC=6,CD=AB=U)t

:・ZDEA=/BAE,

答案第7页，共19页

4£平分/胡/),

,ZDAE=NBAE,

，ZDEA=ZDAE,

•'•DA=DE=6,

/.EC=CD-DE=10-6=4.

14.20。/20度

【分析】根据菱形对边平行得到NQAC=N1=7O。，根据AC1/3。，得到N2=20。.

【详解】解：•・•四边形人8c。是菱形，

AD//BC,AC1BD,

.\ZO5C=Zl=70o,

vAC±BD,

.•.N8OC=90°,

Z2=90°-Zf>BC=20°.

is5A

2

【分析】连接AE、AREV,首先结合正方形性质可证得△A8EgAAO/?(SAS),推出ZsA斯

为等腰直角三角形，结合4V_L律，推出△M4石、为等腰宜角三角形，

AM=ME=MF=-FE,再证明△NMEgJW"(SAS),设BC=CD=a,得EC=a-5,

EN=FN=a—3,然后在RtZ\ECN中，根据勾股定理求出正方形的边长，最后在Rt^ACE

中，根据勾股定理求出所长，即可求出4例长.

【详解】解：连接心、AE.EN,

•・•正方形ABCO,

ZABC=ZADC=/BCD=/BAD=90。，AD=AB=BC=CD,

，ZABC=ZADC=ZADF,

•・•在AABE和△AD/中,

答案第8页，共19页

AB=AD

<NA4C=NADF,

BE=DF

・•・△/WEGAAORSAS）,

***ZBAE=Z.DAF，AE=AF,

,//BAD=ZBAE+ZDAE=90°,

・•・ZEAF=ZDAF+NDAE=90°,

・•・△人所为等腰直角三角形，

，ZAEM=ZAFM=45°,

VANA.EF,

ZMAE=ZFAM=45°f

：.AAIAE.AMM为等腰直角三角形.

AM=ME=MF=-FE

2t

•・•在△'〃£；和JW/中，

ME=MF

<NNME=ZNMF,

MN=MN

:.△NME、NMF（SAS）,

:,NE=FN,

•・•设8C=CQ=a,

又,：BE=DF=5,CN=8,

/.EC=a-5,EN=FN=DN+FD=S=a-3,

「在RtZXECN中，/BCD=90。,

・••根据勾股定理,EN2=CN2+EC2,即（4—3）2=8?+（4—5）2,

解得：a=20,

AEC=15,FN=17,FC=FN+CN=25,

•••在Rl△尸CE中，ZBCD=90°,

・•・根据勾股定理，FE2=FC2+EC2,BPFE2=2524-152=850,

解得：FE=5A/34,

答案第9页，共19页

.,“_5后

••AM=-------

2

16.144

【分析】连接。b，由平行四边形的性质推出80=200,OC=^AC,DC=AB,

AD=BC=\5,AD//BC,由等腰三角形的性质推出NDE4=90。，由直角三角形斜边中线

的性质得到FG=AG,推出NG4/=NG£4,由三角形中位线定理推出E尸=38。=7.5,

EF〃BC,得至1]律〃4。，推出NE/O=NG4O,得到NG£4=NEFO,由EF=FG=7.5,

得到ACJLEG,判定四边形EFOG是平行四边形，推出力尸=氐；=9,由勾股定理求出

4

AF=12,得至l]AC=§A尸=16,因此oA8co的面积=AADC面积的2倍=AC•。产二144.

【详解】解：连接。/，如图：

•・•四边形ABC。是平行四边形，

:./3D=2OD,OC=-ACDC=AB,AD=BC=\5,AD//BC,

2f

•.•BD=2AB,

:.0D=DC,

•.•”是。。的中点，

/.DFA.AC,

ZDE4=90\

:.FG=-AD=7.5,

2

..FG=AG,

.-.ZG4F=ZGM,

•；E,尸分别是08,OC的中点，

.•.所是△OAC的中位线，

:.EF=-BC=7,5,EF//BC,

2

:.EF//AD,

答案第10页，共19页

NER7=NG4O,

/.4GFA=NEFO,

♦;EF=FG=75,

:.FAA.EG,

-DFLAC,

:.EG\\DF,

\'EF\\GD,

二•四边形EFDG是平行四边形，

:.DF=EG,

VAEFG的周长=EF+FG+EG=24,

：.EG=9,

:.DF=9,

由勾股定理得到：AFZAD-DF?=12,

VFC=-OC,()C=-AC

22t

:.FC=-AC,

4

4

AC=—AF=16,

♦.•△4。。的面积=34。。产，

.QABCQ的面积面积的2倍=ACDF=16x9=144.

17.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)画出边长分别为4,5的平行四边形，即可求解;

(2)画出对角线分别为6,8的菱形，即可求解.

【详解】(1)解：如图，平行四边形即为所求；

131

答案第11页，共19页

,•*AB=C£）=V32+42=5»BC=AD=4

・••四边形48CZ）是平行四边形，且周长为2X（5+4）=18；

（2）解：如图所示，四边形EFG”即为所求.

图2

18.⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）按照尺规作用平分线的基本方法，作出乙4BC的平分线，使其与人。交于点£

即川.

（2）先利用平行四边形的性质得到A。"4。、AB=CD,再结合角平分线的定义和平行线

的性质推出NA8E=NAE8,进而得到=最后通过等量代换证明AE=CO.

【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）证明：•・•四边形48co是平行四边形，

AAD\\BCtAB=CD,

・•・ZAEB=NEBC,

:班：平分乙ABC,

:.ZABE=/EBC,

,ZABE=ZAEB,

/.AB=AE,

/.AE=CD.

19.证明见解析

【分析】连接的、EF,根据题意，Eb是VABC的中位线，则砂〃AB,EF=；AB,进

答案第12页，共19页

而得到4。〃律，BD=EF,因此四边形3以法是平行四边形，由平行四边形的性质可得

BG=FG.

YE、”分别是AC、BC的中点，

:."是V4BC的中位线，

AEF//AB，EF、AB,

2

•・•点。在AB的延长线上，且8O=；A8,

AHD//EF,BD=EF,

・•・四边形/加/话是平行四边形，

/.BG=FG.

20.竺

5

【分析】由矩形的性质可得CD=A8=6,ZBCD=9O°,由勾股定理可得80=1(),由折叠

?4

的性质可得4_L6D,即NCH)=9(r,由等面积法求出C/=G",最后再由勾股定理计算即

可得出结果.

【详解】解：•・,四边形A3CD为矩形，

・・・CO=A8=6,46=90。，

•**BD=>IBC2+CD2=10»

由折叠的性质可得：CE1BD,即NC77)=90。,

V5Rcn=-BCCD=-BDCF,

△"22

.r，BCCD24

BD5

DF=^CD2-CF2=y.

21.(1)22.5

答案第13页，共19页

⑵半

(3)6应-6,36-18人

【分析】⑴咯BCG(ASA),可得BE=CG=3,再根据S四边磔的=山.+S。.解

答即可求解；

(2)延长AO交8c于点H,利用折叠的性质可得O”=O4=Ji6,BF=HF,BH=HA,

NB=N®=90。,即得八9=加+丽=2屈，B'A=BH=JA#-人8?=2，设

8/=8'F=_r,则AE=6-x,利用勾股定理得工=当，即得4"=半，OP=屈口F=叵,

333

再根据尸/?5。=；4*。4得刊?=2西，得到。/?=罚?-。/=争，最后利用勾

股定理解答即可求解：

(3)延长P。交的延长线于点M,连接PD,可证△〃£＞四△人HE(AAS),得到MD=AB,

进而得到AO=M£),即得到尸。=人。=6,由BP+PDN3D,80=后行=6近，可知

当点8、P、。三点共线时，社的值最小，利的最小值=6拒-6,过点尸作出/JLA8于点

H,利用等腰直角三角形的性质可得8/7=?”=6-3拒，即得4，=48-8"二3夜，

AP=\lAH2+PH2=672-V2»得至“加=〃仞2_4尸=6{2+正，最后根据

际边形阻Q=S正方形八改.。-S&w解答即可求解.

【详解】(1)解：•・•四边形A8CO是正方形，边长为6,

/.AB=BC=6tZABE=NC=90。,

/.ZABG+ZCBG=90°,

•••4G_LAK于点〃，

：・？ABG?BAE90?,

:.*AE=/CBG,

••.△A8—8CG(ASA),

：.BE=CG,

•••点E为BC中点，

，BE=CG=3,

答案第14页，共19页

'・S四边形八班&=S,ABG+S^BEC=1x6x6+1x3x3=22.5；

（2）解：如图，延长4。交/3C于点〃，

由折叠得，OH=OA=M，BF=&F，BH=B'A,Z5=ZBZ=90°,

，A”=痴+所=2710,

,8Z=BH=《AH?-AB?=^（2V10）2-62=2,

i&BF=B,F=x,］）HAF=6-x,

在RIAAZTF中，「陵+B,F?=A尸，

J22+X2=（6-X）2,

Q

解得x=§,

・，kA810

..AF=6—=——,

33

•••AO_LFR于点0,

「・OF=y/AF2-OA2

,•*S^nArFfR\=2-FRAO2=-AFDA,

/.—xFRxA/TO=—X—X6,

223

解得FR=2M,

，OR=FR-OF=2M

,AR=JOA'OR?=邯）

答案第15页，共19页

(3)解：如图，延长尸。交A。的延长线于点M,连接P。，则NMDQ=/A8C=9。。,

・•・ZAPM=90°,

:.NM+NM4P=90。，

VZBAE+ZA14P=90°,

ZM=ZBAE,

乂：DQ=BE,

.•・△MDQ^^ABE(AAS),

:・MD=AB,

•/AD=AB,

AAD=MD,即点。是4W的中点，

*/ZAPM=90°,

PD=AD=6,

,:BP+PD>BD,BD=、/6?+6?=6>/2»

・♦・当点B、P、。三点共线时，42的值最小，此时/步的最小值=6&-6,如图,

■

BEC

过点P作PHLAB于点H,

VZABD=45°,

是等腰直角三角形，

/.BH=PH,

答案第16页，共19页

设BH=PH=a,则/+〃2=(6夜一6『，

解得〃=6-3夜，

:・BH=PH=6-3叵，

・•.A”=A8-8”=6-(6-3夜)=3拒,