2026年六年级下册奥数培优讲义：进位制问题（知识梳理+例题讲解+提升练习）原卷版+解析

专题47进位制问题

I知识点梳理I

一、基本概念

进位制是一种计数方式，指“逢n进一”（n为基数）的十数规则，如日常生活中的十进制（逢

10进一）。核心术语包括：

基数：进制的“底数”，n进制的基数为n（n>2,且为整数），表示每个数位上最多有n个数字

（0-n-l）o

位权：每个数位的“权重”，n进制中从右往左第k位（首位为第1位）的位权为M（k-l）。例如

十进制数123中,力”的位权是102（100）,“2”的位权是IO［（10）,“3”的位权是10°⑴。

表示方法：n进制数通常写成（abc）_n的形式，其中a、b、c为0〜n-1的数字，旦首位存0（如

二进制数（101）_2、八进制数（56）_8）。

常见进制：十进制（基数10,数字0-9）、二进制（基数2,数字0-1）、八进制（基数8,数字

0-7）、十六进制（基数16,数字0-9及A・F,A=l（）,B=ll,F=15）o

二、核心要素（必知）

1.数字取值范围：n进制中，每个数位上的数字只能是0~n-l（如二进制只能用（）和1,八进制

不能出现8或9）,且多位数的首位数字不能为。（如（U12）_n是无效的n进制数）。

2.进位规则：“逢n进一”，即某数位上的数字之和等于或超过n时，向高位进1,本位保留余

数。例如二进制中1+1=10（逢2进一），八进制中7+1=10（逢8进一）。

3.借位规则：“借一当暧，即做减法时，某数位不够减需向高位借1,借来的1相当于本位的no

例如十进制中10-3=7（借1当10）,二进制中10-1=1（7t1当2）。

4.进制转换关系：任意进制数都可与十进制互转，不同进制间可通过十进制间接转换（如二进

制转八进制：先转十进制，再转八进制）。

三、常见题型分类

1.进制转换类

n进制转十进制（如（101）_2T十进制）；

十进制转n进制（如53-二进制）；

不同进制互转（如二进制转八进制、十六进制转十进制）。

2.进制运算类

n进制下的加法（5[1（110）_2+（11）_2）；

n进制下的减法（如（100）_8-（12）_8）；

n进制下的乘法（如（12）_3x⑵_3）。

3.进制判断类

已知运算结果反推进制（如“在某进制下3x4=15,求该进制基数”）；

比较不同进制数的大小（如比较（100）_2、（5）_10>（4）_8的大小）。

四、核心解题方法（必会）

1.按权展开法（n进制转十进制）

原理：将n进制数的每一位数字乘以对应位权，再求和。

kk1

公式：（<!□<!□.1...did0）_n=dn><n+d（ZLixn-'4-...+dixn+d0xn°（d匚为首位数字，

d0为末位数字）。

示例：（1（）11）_2转十进制：1x23+0x22+1x21+1x2°=8+0+2+1=11。

2.除基取余法（十进制转n进制，整数部分）

步骤：将十进制数反复除以n,记录每次的余数，直到商为0,最后将余数倒序排列。

示例：将45转八进制:45+8=5余5,5+8=0余5,倒序得（55）_8。

3.乘基取整法（十进制转n进制，小数部分）

步骤：将十进制小数部分反复乘以n,取整数部分作为n进制小数的高位，直到小数部分为0

或达到精度要求。

示例：将例25转二进制：0.25x2=0.5（取整0）,0.5x2=1.0（取整1）,得（0.01）_2。

4.n进制运算法则

加法/减法：相同数位对齐，从右往左计算，逢n进一（加法）或借一当n（减法），结果按n

进制表示。

乘法:按十进制乘法计算乘积，再将结果转换为n进制（或直接在n进制下按“逢n进一”累加）。

5.进制判断法

已知n进制下的算式（如axb二c）,设基数为n,将a、b、c均按n进制转十进制，列方程求解

n,再验证n是否符合“数字取值范围”（各数位数字Vn）。

五、解题步骤（万能模板）

1.明确问题类型：判断是进制转换、进制运算还是进制判断，确定核心需求（如“转十进制”“求

基数

2.选择对应方法：转换用按权展开/除基取余，运算用n进制法则，判断用方程法。

3.分步计算：严格按方法步骤操作（如除基取余时记录余数、倒序排列），避免遗漏数位或计

算错误。

4.验证结果：转换后可反向转换验证（如n转十后，再一转n看是否一致）；运算后用十进制

验算（如n进制加法结果转十进制，与十进制下两数相加结果对比）。

［例题讲解I

一、基础题（n进制转十进制）

例1：将二进制数（1101）_2转换为十进制数。

解题步骤：

1.明确类型：n进制转十进制，n=2,数为（1101）_2。

2.确定位权：从右往左第1位到第4位，位权分别为2。=1、2・2、22=4、23=8。

3.按权展开：1x8（第4位）+1x4（第3位）+0x2（第2位）+1x1（第1位）=8+4+0

+I=13。

4.验证：将13转二进制（除基取余法）：13:2=6余1,6+2=3余0,3+2=1余1,h2=0余1,

倒序得（1101）_2,正确。

答案：（1101）_2=13。

跟踪练习1：将八进制数（37）_8转换为十进制数。（提示：3x837x8°=24+7=31）

二、进阶题（十进制转n进制）

例2：将十进制数73转换为一六进制数。

解题步骤：

1.明确类型：十进制转n进制（n=16）,整数部分。

2.除基取余：73m6=4余9（第1位余数），476=0余4（第2位余数）。

3.倒序排列：余数从后往前为4、9,十六进制中9直接表示，故结果为（49）」6。

4.验证：(49)」6转十进制:4x16*+9x16°=64+9=73,正确。

答案：(73)io=(49卜6。

跟踪练习2：将十进制数58转换为二进制数。(提示：58:2=29余0,29：2二14余1,14*二7

余O7+2=3余1,3+2=1余1,1+2=0余1,倒序得(111010)_2)

三、挑战题(进制判断与运算综合)

例3：在某进制下，算式“5x6=33”成立，求该进制的基数。

解题步骤：

1.明确类型：进制判断，设基数为n。

2.转换十进制方程:左边5x6=30(十进制)；右边(33)_n=3xn1+3xn°=3n+3o

3.列方程求解：3n+3=30—3n=27-n=9。

4.验证：基数n=9,检查数字取值：3和3均V9,符合n进制数字范围；9进制下5x6=30(十

进制),30转9进制：30+9=3余3,即(33)_9,正确。

答案：该进制基数为9。

跟踪练习3：在某进制下，“12+25=41"，求该进制基数。(提示：设基数n,(ln+2)+(2n+5)=4n+l

一3n+7=4n+l—>n=6)

i提升练习1

1.“密码学”中，我们会用到进制转换，例如二进制要经过如下转换才能得到十进制：10011⑵

=1X24+1X2+1=19.]0>那么，十进制的25换成二进制等于()。

2.二进制数1011可用十进制表示为1x23+0x22+1x2+1=11，二进制数1101可用十进制

表示为1x23+1x22+0x2+1=13。那么二进制数101011用十进制表示为o

3.(101)2x(1011)2-(11011)2=()2o

4.一个自然数周游列国，它在七进制王国叫京6，在九进制王国叫五百，在八进制王国用

数字表示，叫()o(注：相同的符号表示相同的数字，不同的符号表示不同的数字)

5.勤奋智慧的中华民族在四千多年前就创造了十进制计数法，即“逢十进一”，如十进制数

2

abc=axl0+bxl0+cf世界各地的计数方法中,除十进制以外，还有十二进制、六十进制、

二进制等，与计算机发展密切相关的二进制技术，就是“逢二进一”，如二进制数101等于十进

制数（），在二进制加法中，1010+1011=（）（结果仍用二进制表示）。

用、、、、分别代表五进制中个互不相同的数字，如果（（adc»[aab\,

6.abcde5ode，}J,、J/J

是由小到大排列的连续正整数，那么（/方所表示的整数写成十进制的表示是多少？

7.小马虎将一些零件装箱，每个零件10g,装了10箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每

个次品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件都找出

来么？

8.有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱60（）个。如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠

每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？

9.有一个人拿着两只空瓶，其中一只可以容纳7斤水，另外一只可以容纳5斤水,现在要从

池中取出6斤水.请问，此人应当怎样用这两只空瓶取回6斤水来？

10.下式是一个八进制的除式，请在“□”中填上恰当的数字.

□□

□□□

□□

旧

11.有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数

的和恰好是1111.那么原来的三位数是多少？

12.在6进制中有三位数〃和，化为9进制为彷求这个三位数在十进制中为多少？

13.某数在三进制中为12120120110110121121,则将其改写为九进制,其从左向右数第1位数

字是几？

14,二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？

八进制

01234567

数

二进制

000001()1()01110()101110111

数

15.在几进制中有125x125=16324?

16.将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数。现有一个四位数码互不相同，

且没有0的四位数它比新数中最大的小3834,比新数中最小的大4338。求这个四位数。

17.将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数）,

新数比原数大8802.求原来的四位数。

专题47进位制问题

I知识点梳理I

一、基本概念

进位制是一种计数方式，指“逢n进一”（n为基数）的I-数规则，如日常生活中的十进制（逢

1（）进一）。核心术语包括：

基数：进制的“底数”，n进制的基数为n（n>2,且为整数），表示每个数位上最多有n个数字

（0~n-1）©

位权：每个数位的“权重”，n进制中从右往左第k位（首位为第1位）的位权为叭匕1）。例如

十进制数123中,力”的位权是KF（io。）,“2”的位权是⑷（10）,“3”的位权是10°（Do

表示方法：n进制数通常写成（abc）」i的形式，其中a、b、c为0〜n-1的数字，且首位存0（如

二进制数（101）_2、八进制数（56）_8）。

常见进制：十进制（基数1（）,数字（）-9）、二进制（基数2,数字0-1）、八进制（基数8,数字

0-7）、十六进制（基数16,数字0-9及A-F,A=10,B=ll,F=15）o

二、核心要素（必知）

1.数字取值范围：n进制中，每个数位上的数字只能是（如二进制只能用（）和1,八进制

不能出现8或9）,且多位数的首位数字不能为0（如（012）_n是无效的n进制数）。

2.进位规则：“逢n进一'即某数位上的数字之和等于或超过n时，向高位进1,本位保留余

数。例如二进制中1+1=10（逢2进一），八进制中7+1=10（逢8进一）。

3.借位规则：“借一当暧，即做减法时，某数位不够减需向高位借1,借来的1相当于本位的no

例如十进制中10-3=7（借1当10）,二进制中10-1=11当2）o

4.进制转换关系：任意进制数都可与十进制互转，不同进制间可通过十进制间接转换（如二进

制转八进制：先转十进制，再转八进制）。

三、常见题型分类

1.进制转换类

n进制转十进制（如（101）_2T十进制）；

十进制转n进制（如53—二进制）；

不同进制互转（如二进制转八进制、十六进制转十进制）。

2.进制运算类

n进制下的加法（如（110）_2+（11）_2）；

n进制下的减法（如（100）_8-（12）_8）；

n进制下的乘法（如（12）_3x（2）_3）。

3.进制判断类

已知运算结果反推进制（如“在某进制下3x4=15,求该进制基数”）；

比较不同进制数的大小（如比较（100）_2、（5）」0、（4）_8的大小）。

四、核心解题方法（必会）

1.按权展开法（n进制转十进制）

原理：将n进制数的每一位数字乘以对应位权，再求和。

k

公式i...did0）_n=dnxn+d□.ixd-।+…+d[xn>+d0xn°（d□为首位数字，

d0为末位数字）。

示例：（1011）_2转十进制：1x23+0x22+1x21+1x2。=8+0+2+1=11。

2.除基取余法（十进制转n进制，整数部分）

步骤：将十进制数反复除以n,记录每次的余数，直到商为0,最后将余数倒序排列。

示例：将45转八进制:45+8=5余5,5:8=0余5,倒序得（55）_8。

3.乘基取整法（十进制转n进制，小数部分）

步骤：将十进制小数部分反复乘以n,取整数部分作为n进制小数的高位，直到小数部分为（）

或达到精度要求。

示例：将例25转二进制:0.25x2=0.5（取整0）,0.5x2=10（取整1）,得（0.01）_2。

4.n进制运算法则

加法/减法：相同数位对齐，从右往左计算，逢n进一（加法）或借一当n（减法），结果按n

进制表不。

乘法:按十进制乘法计算乘积,再将结果转换为n进制（或直接在n进制下按“逢n进一”累加）。

5.进制判断法

己如n进制下的算式（如axb二c）,设基数为n,将a、b、c均按n进制转十进制，列方程求解

n,再验证n是否符合“数字取值范围”（各数位数字Vn）。

五、解题步骤（万能模板）

1.明确问题类型：判断是进制转换、进制运算还是进制判断，确定核心需求（如“转十进制”“求

基数

2.选择对应方法：转换用按权展开/除基取余，运算用n进制法则，判断用方程法。

3.分步计算：严格按方法步骤操作（如除基取余时记录余数、倒序排列），避免遗漏数位或计

算错误。

4.验证结果：转换后可反向转换验证（如n转十后，再一转n看是否一致）；运算后用十进制

验算（如n进制加法结果转十进制，与十进制下两数相加结果对比）。

I例题讲解I

一、基础题（n进制转十进制）

例1：将二进制数（1101）_2转换为十进制数。

解题步骤：

1.明确类型：n进制转十进制，n=2,数为（1101）_2。

2.确定位权：从右往左第1位到第4位，位权分别为2。=1、2・2、22=4、23=8。

3.按权展开：1x8（第4位）+1x4（第3位）+0x2（第2位）+1x1（第1位）=8+4+0

+I=13。

4.验证：将13转二进制（除基取余法）：13:2=6余1,6+2=3余0,3+2=1余1,h2=0余1,

倒序得（1101）_2,正确。

答案：（1101）_2=13。

跟踪练习1：将八进制数（37）_8转换为十进制数。（提示：3x837x8°=24+7=31）

二、进阶题（十进制转n进制）

例2：将十进制数73转换为一六进制数。

解题步骤：

1.明确类型：十进制转n进制（n=16）,整数部分。

2.除基取余：73m6=4余9（第1位余数），476=0余4（第2位余数）。

3.倒序排列：余数从后往前为4、9,十六进制中9直接表示，故结果为（49）」6。

4.验证：(49)」6转十进制:4x16*+9x16°=64+9=73,正确。

答案：(73)io=(49卜6。

跟踪练习2：将十进制数58转换为二进制数。(提示：58:2=29余0,29：2二14余1,14*二7

余O7+2=3余1,3+2=1余1,1+2=0余1,倒序得(111010)_2)

三、挑战题(进制判断与运算综合)

例3：在某进制下，算式“5x6=33”成立，求该进制的基数。

解题步骤：

1.明确类型：进制判断，设基数为n。

2.转换十进制方程:左边5x6=30(十进制)；右边(33)_n=3xn1+3xn°=3n+3o

3.列方程求解：3n+3=30—3n=27-n=9。

4.验证：基数n=9,检查数字取值：3和3均V9,符合n进制数字范围；9进制下5x6=30(十

进制),30转9进制：30+9=3余3,即(33)_9,正确。

答案：该进制基数为9。

跟踪练习3：在某进制下，“12+25=41"，求该进制基数。(提示：设基数n,(ln+2)+(2n+5)=4n+l

一3n+7=4n+l—>n=6)

।提升练习i

1.“密码学”中，我们会用到进制转换，例如二进制要经过如下转换才能得到十进制：10011⑵

=1X24+1X2+1=19(|0>那么，十进制的25换成二进制等于()0

【答案】11001

【分析】先用2除从25开始的每次得到的商，得到商和余数，直到商为0结束，再将所有余

数倒序排列，得到二进制数即可。

【详解】用25除以2,求商和余数；

25+2=12……1(商为12,余数为1)

用商12除以2,求商和余数；

12+2=6(商为6,余数为0)

用商6除以2,求商和余数；

6+2=3(商为3,余数为0)

用商3除以2,求商和余数；

3+2=1……1(商为1,余数为1)

用商1除以2,求商和余数；

U2=0……1(商为0,余数为1)

将所有余数倒序排列得到二进制数为：11001⑵。

那么，十进制的25换成二进制等于11001。

【点睛】本题主要考查十进制转化为二进制的问题，采用2去除商，得到所有的余数，将余数

倒序排列的方法。

2.二进制数1011可用十进制表示为1x23+0x22+1x2+1=11，二进制数1101可用十进制

表示为1x23+1x22+0x2+1=13。那么二进制数101011用十进制表示为。

【答案】

43

【分析】将二进制数转换为十进制数的方法是：从右到左每一位上的数字乘以对应的2的次方,

再将所有结果相加。

【洋加军】1x25-I-0x244-1x23-I-0x22+1x214-1x2°

=32+0+8+0+2+1

=43

因此二进制数101011用十进制表示为43。

3.(101)2x(1011)2-(11011)2=()2。

【答案】11100

【分析】从高位开始，按照2的权重展开，逐位求和，先将二进制转成十进制，再进行运算,

最后利用除2取余法，再将结果转成二进制即可。

【详解】(101)2=1x22+1x2°=(5)io

3I

(1011)2=1X2+1X2+1X20=(11)io

43

(11011)2=]x2+1X2+1x2'+1x20=(27)io

(101)2x(1011)2-(11011)2

=(5)10x(ll)10-(27)10

=(28儿

=(11100)2

4.一个自然数周游列国，它在七进制王国叫五G，在九进制王国叫阮5，在八进制王国用

数字表示，叫()。(注：相同的符号表示相同的数字，不同的符号表示不同的数字)

【答案】370

【分析】将七进制下的数和九进制下的数都转化成十进制后，二者相等，再确定口、△、。的

值，再将其转化成八进制。

【详解】设七进制下的数是诙，那么九进制下的数是砺；

«x72+Z?x74-c=cx924-^x94-6t

24。=40。+/?

由于首位不能为()，且不能大于6,只有当。=5,b=0,c=3时成立；

5X72+0X7+3

=245+0+3

=248

十进制下是248；

248+8=31

31-8=3....7

3+8=0……3

所以八进制下这个数是370。

【点睛】本题考查的是进制问题，倒取余数法是将十进制转化成其它进制的重要方法。

5.勤奋智慧的中华民族在四千多年前就创造了十进制计数法，即“逢十进一”，如十进制数

〃历uQxlOZ+8xlO+c，世界各地的计数方法中，除十进制以外，还有十二进制、六十进制、

二进制等，与计算机发展密切相关的二进制技术，就是“逢二进一”，如二进制数101等于十进

制数（），在二进制加法中，1010+1011=（）（结果仍用二进制表示）。

【答案】510101

【分析】根据十进制数的算法，二进制数Qhc=ax22+〃x2+c，根据公式得出二进制数101

等于十进制数5。在“二进制”加法中，满二进一。列出这样的竖式计算。当1+1=2时，写0

进1。

【详解】二进制101=lx2'+0x2+l=lx4+0+l=4+l=5

在“二进制”加法中，满二进一。可以列出这样的竖式计算。

1010

+J0|11

10101

则如二进制数101等于十进制数5；

在二进制加法中，1010+1011=10101

6.用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果（ode},（ad（“（aah\,

是由小到大排列的连续正整数，那么（赢卜所表示的整数写成十进制的表示是多少？

【答案】108

【分析】五进制中的五个数分别为0,1,2,3,4由于是连续的正整数，且（嬴％和（嬴公，

个位与十位均发生了变化，无知是发生了进位，所以c=4,b=0,a-d=l,进而推算出这5

个数的数值各是多少，得出

（赢卜的数值，再根据其它进制化成十进制的方法求解。

【详解】由于是连续的正整数，且

（嬴方，（嬴卜，个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，

因［adc）5—（ade）5=1，

所以C—e=l.

又因(aab)5—(adc)5=1，即：

(5a+b)—(5d+c)=1,所以5(a—d)+(b—c)=1；

由于a,b,c,d,e都是。至4之间的不同整数，

从而可以推知：a—d=l,c—b=4.

经检验，得c—4,b—0,e—3,a=2,d—1,于是有

(cde)5=(413)5,

=4x52+1x5'+3x5°,

=4x25+5+3,

=100+5+3,

=108；

答：那么(弥b所表示的整数写成十进制的表示是108。

7.小马虎将一些零件装箱，每个零件l()g,装了1()箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每

个次品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件都找出

来么？

【答案】能

【分析】解决这个问题有一个巧妙的方法：根据二进制数与十进制数的对应关系解题即可。

【洋解】将10箱钢珠分别编为1〜10号，然后从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢

珠，从3号箱中取4个钢珠，从4号箱中取8个钢珠……从10号箱中取512个钢珠，共取出

1+2+4+8+…+512=1023个钢珠，将这些钢珠放到天平上称，本来应重10230克，如果轻

了n(l<n<10)克，就看n是由1,2,4,8,16,…512中的那些数字组成，则数字对应的那

些号箱就是次品。在这个方法中，第10号箱也可不取，这样共取出511个钢珠，如果重500

克，那么1,2,4号箱是次品。

答：能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来。

【点睛】进制在生活中的运用，正确理解“不同的进制数与十进制数的对应关系“，是解答此题

的关键。

8.有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个。如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠

每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？

【答案】1次

【分析】不同的进制数与十进制数的对应关系，即：每个十进制数都能表示成一个相应的二进

制数，反之，也是。所以，解决这个问题有一个巧妙的方法。将10箱钢珠分别编为1〜10号，

然后从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢珠……，这样共取了

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（个）钢珠，重量是:55x10=550（克）,如果轻了n（l<n<10）

克，那么第几号箱就是次品。在这个方法中，第10号箱也可不取，这样共取出45个钢珠，如

果重450克，那么10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品。

【详解】将1（）箱钢珠分别编为1〜10号，然后从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢

珠......,这样共取了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（个）钢珠,重量是：55x10=550（克），

如果轻了n（l<n<10）克，那么第几号箱就是次品。或者第10号箱也可不取，这样共取出45

个钢珠，如果重450克，那么10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品。所以要找出这

箱次品最少要称1次。

答：要找出这箱次品最少要称1次。

【点睛】进制在生活中的运用，正确理解“不同的进制数与十进制数的对应关系“，是解答此题

的关键。

9.有一个人拿着两只空瓶，其中一只可以容纳7斤水，另外一只可以容纳5斤水,现在要从

池中取出6斤水.请问，此人应当怎样用这两只空瓶取回6斤水来？

【答案】（1）用容积为5斤的空瓶装满水，倒入容积为7斤的空瓶中，这时7斤瓶中有5斤水.

（2）再用容积为5斤的空瓶装满水，往容积为7斤的瓶中倒，直到注满为止.这时，容积为

5斤的瓶中还剩3斤水，而7斤的瓶中装满了水，把水倒31水池中，使7斤瓶为空瓶.

（3）把5斤瓶中的3斤水倒入7斤瓶中，然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，直到注

满为止.这时，5斤瓶中还剩一斤水，而7斤瓶中又一次装满，将7斤瓶中水倒回水池中，使

7斤瓶为空瓶.

（4）将5斤瓶中剩下的1斤水倒入7斤瓶中.然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，此

时7斤瓶中正好装了6斤水.

【分析】本题是一个进制问题，容积为7斤的空瓶，可以装。斤、1斤、2斤……最多可以装

7斤，再多装就需要“进位”（倒掉重装），这类似于八进制记数法.对容积为5斤的空瓶的情

形，则类似于六进制记数法.

要得到6斤水，先从算法上实现这一步.首先把6表示成5和7的加减运算式6=5+5+5+5-7-7

然后在实践中实现这个算式，表示装水，表示倒水.

【详解】由于6=5+5+5+5・7・7,因此可以做如下操作：

（1）用容积为5斤的空瓶装满水，倒入容积为7斤的空瓶中，这时7斤瓶中有5斤水.

（2）再用容积为5斤的空瓶装满水，往容积为7斤的瓶中倒，直到注满为止.这时，容积为

5斤的瓶中还剩3斤水，而7斤的瓶中装满了水，把水倒回水池中，使7斤瓶为空瓶.

（3）把5斤瓶中的3斤水倒入7斤瓶中，然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，直到注

满为止.这时，5斤瓶中还剩一斤水，而7斤瓶中又一次装满，将7斤瓶中水倒回水池中，使

7斤瓶为空瓶.

（4）将5斤瓶中剩下的1斤水倒入7斤瓶中.然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，此

时7斤瓶中正好装了6斤水.

10.下式是一个八进制的除式，请在中填上恰当的数字.

□□

□□□

□□

旧

71

12)1075

I06

【答案］———

3

【分析】仔细观察式子，由商的个位数字乘除数后为1匚，可知，除数为12,且商的个位数字

为1.可以根据余数逐步向上递推，从而确定每个空格所表示的数字.

【详解】先把算式中的各“□”用字母表示，得算式

FG

A2)BCDE

H1J

KE

1L

3

由于所以A=l,G=l,L=2

由L=2fKF.12♦3■：5，即K=1,E=5

再由12xF■丽，可以推出F=7,H=l,1=0,J=6

由此推出B=l,C=0,D=7.

于是这个算式为：

71

12)1075

1。0

I5

!2

3

11.有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数

的和恰好是1111.那么原来的三位数是多少？

【答案】704

【详解】设原三位数为戒，则新三位数为赤，根据位值原理有，嬴+诙=101(。+。)

+20/?,又1111=101x11,且b为一位数，所以a+c=U,〃=()；原数为8的倍数，贝U

。=4,。=7,所以原来的三位数是704.

12.在6进制中有三位数诙，化为9进制为砺，求这个三位数在十进制中为多少？

【答案】212

【分析】(abc)6=ax6?+bx6+c=36a+6b+c；(cba)9=cx92+bx9+a=81c+9b+a；所以

36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数。所

以3b也必须是5的倍数，又(3,5)=1。所以，b=0或5。

①当b=0,则35a=80c：则7a=16c：(7,16)=1,并且a、c^O,所以a=16,c=7。但是

在6,9进制，不可以有一个数字为16。

②当b=5,贝ij35a=3x5+80c；则7a=3+16c；mod7后，3+2c三0.所以c=2或者2+7k(k

为整数)。因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80x2,a=

5o所以(abc)6=*'(552)6”=5x62+5x6+2=212。这个三位数在十进制中为212。

【详解】由分析可知：

①当b=0,则35a=80c；则7a=16c；(7,16)=1,并且a、c，0,所以a=16,c=70但是

在6,9进制，不可以有一个数字为16。

②当b=5,贝ij35a=3x5+80c；则7a=3+16c；mod7后，3+2c三0.所以c=2或者2+7k(k

为整数I因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2：35a=15+80x2,a=

5。

所以(abc)6="(552)6”=5x62+5x6+2=212。

答：这个三位数在十进制中为212。

【点睛】本题考查九进制和十进制的转化，明确九进制和十进制转化的方法是解题的关键。

13,某数在三进制中为12120120110110121121,则将其改写为九进制,其从左向右数第1位数

字是几？

【答案】5

【分析】先将三进制数转化为十进制数，可以用每个数位上的数字乘对应的权重，累加后得出

十进制，再根据“除K取余法”，降十进制数除以9,返回商继续除以9.直到商为()，然后将

依次所得的余数，倒序排列即可得到答案。

【详解】(12120120110110121121)3

=1X3,9+2X318+1X3,7+2X3,6+0X3,5+1X3,44-2X3,3+0X3,2+1X3,,+1X3,0+0X394-1X38+

1X37+0X36+1X35+2X34+1X33+1X32+2X31+1X3°

=1162261467+774840978+129140163+86093442+0+4782969+3188646+0+177147+

59049+0+6561+2187+0+243+162+27+9+6+1

=(2160553057)10

2160553057:9=240061450……7

240061450:9=26673494...4

26673494+9=2963721...5

2963721=9=329302...3

329302:9=36589....1

36589+9=4065……4

4065+9=451...6

451:9=50...1

50+9=5...5

5+9=0...5

所以(2160553057)10=(5516413547)9

所有：改写为九进制，其从左向右数第1位数字是5。

【点睛】本题考查的知识点是不同进制之间的转换，其中其它进制转为十进制方法均为累加数

字*权重，十进制转换为其它进制均采用除K求余法。

14,二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少?

【答案】25363255

【分析】八进制数用二进制数表示，用三位二进制数就可以了。二进制数有8