2026年高考数学复习备考题型归纳讲义：指数函数的图像与性质（12个题型）学生版+解析

【第11讲：指数函数的图像与性质】

总览】

一.指数函数的特征及解析式（共4小题）

二.由指数函数的解析式求解参数（共1小题）

三.指数函数的定义域（共5小题）

四.指数函数的值域（共2小题）

五.指数函数图象特征与底数的关系（共6小题）

六.指数函数及指数型复合函数的图象（共3小题）

七.求指数函数及指数型复合函数的单调性（共4小题）

八.由指数函数的单调性求解参数（共2小题）

九.求指数函数及指数型复合函数的最值（共3小题）

十.由指数函数的最值求解参数（共5小题）

十一.指数函数的实际应用（共3小题）

十二.指数函数综合题（共4小题）

【知识点清单】

1.指数函数的特征及解析式

【知识点的认识】

1、指数函数的定义：

一般地，函数且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R,值域是（0,+

8）.

2、指数函数的解析式：

1y=0i（。>0,且“W1）

3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为x是任意一个实数时，〃是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

②规定底数〃大于零且不等于1的理由：

如果〃=0,当x>0时，〃恒等于0；当xWO时，/无意义；

如果比如y=（-4）S这时对于在实数范围内函数值不存在.

如果”=1,y=l'=l是一个常量，对它就没有研究的必要,

为了避免上述各种情况，所以规定。＞0且4W1.

2.指数函数的定义域

【知识点的认识】

指数函数的解析式、定义、定义域、值域

1、指数函数的定义：

一般地，函数且aWI）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0,+

8）.

2、指数函数的解析式：

y=ax（a＞0,且I）

3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为。＞0,x是任意一个实数时，公是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

②规定底数。大于零且不等于1的理由：

如果。=0,当苏＞0时,。'恒等于0；当xWO时,"无意义;

如果“V0,比如产（-4）S这时对于义在实数范围内函数值不存在.

如果。=|,y=H=l是一个常量，对它就没有研究的必要，

为了避免上述各种情况，所以规定”＞。且“#1.

3.指数函数的值域

【知识点的认识】

指数函数的解析式、定义、定义域、值域

1、指数函数的定义：

一般地，函数），=〃（a＞0,且〃WI）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R,值域是（0,+

8）.

2、指数函数的解析式：

y=ax（£?＞0,且

3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为。＞0,x是任意一个实数时，〃是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

②规定底数〃大于零且不等于1的理由：

如果。=0,当x＞0时，〃恒等于0：当xWO时，出无意义;

如果。＜（）,比如尸（-4）\这时对于x=/在实数范围内函数值不存在.

14

如果a=l,），=H=1是一个常量，对它就没有研究的必要,

为了避免上述各种情况，所以规定〃>0且

4.指数函数的图象

【知识点的认识】

1、指数函数（。>0,且。工1）的图象和性质:

y=ava>I0<a<I

图象

定义域R

值域（0,+8）

性质过定点（0,1）

当工>。时，y>l；当工>0时，0<y<l；

xVO时，OVyVIX<0时，y>\

在R上是增函数在R上是减函数

2、底数对指数函数的影响:

①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当〃>/时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴:

同样地，当OVaV/时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴.

②底数对函数值的影响如图.

③当。>0,且时，函数y=a"与函数y=的图象关于），轴对称.

【解题方法点拨】

利用指数函数的性质比较大小：

若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：

若底数不同而指数相同，用作商法比较；

若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值.

5.求指数函数及指数型复合函数的单调性

【知识点的认识】

1、指数函数单调性的讨论，•般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论。的取值范围即a

＞hOVaVl的情况.再讨论g(x)的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判

断.

2、同增同减的规律:

(l)y=^如果。＞1,则函数单调递增；

(2)如果OVaVl,则函数单调递减.

3、复合函数的单调性：

(1)兔合函数为两个增函数更合：那么随着自变量X的增大，丫值也在不断的增大；

(2)复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变最X的增大，内层函数的丫值就在不断的减小，

而内层函数的y值就是整个复合函数的自变量X.因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的y

值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量x不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函

数的y值就在增大.因此可得“司增”若复合函数为•增•减两个函数狂合：内层函数为增函数，则若随

着内层函数自变量x的增大，内层函数的y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量x不断增大，乂

因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的y值就在减小.反之亦然，因此可得“异减”.

【解题方法点拨】

指数函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容.

-分析指数函数的解析式，确定其单调性：当时，指数函数单调递增；当OVaVl时，指数函数单调

递减.

-对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层指数函数确定复合函数的整体单调性.

-验证单调性的准确性.

6.指数函数的实际应用

【知识点的认识】

指数函数图象的应用：

函数的图象是直观地表示函数的一种方法.函数的很多性质,可以从图象I•一览无余.数形结合就是几何

与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象.利用

指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题.

22.指数函数综合题

【知识点的认识】

1、指数函数了=“，(。＞0,且aWl)的图象和性质：

0<a<1a>\

a>\0<d<l

图象

定义域R

值域（0,+8）

性质过定点（0，1）

当x>0时，y>\；当E>0时，OVyVl；

xVO时，OVyVlxVO时，y>1

在R上是增函数在R上是减函数

2、底数对指数函数的影响：

①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴;

同样地，当OVaV/时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近入•轴.

②底数对函数值的影响如图.

③当。>0,且时，函数y=ax与函数）=（｝”的图象关于），轴对称.

【解题方法点拨】

利用指数函数的性质比较大小：

若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：

若底数不同而指数相同，用作商法比较；

若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值.

。中分类1知识讲解与常考题型

一.指数函数的特征及解析式（共4小题）

1.若指数函数/（x）的图象过点（3,8）,则f（x）的解析式为（)

A.f(x)=A3B./(x)=2X

C./（x）=（i）xD./（x）=X5

2

2.若函数/（%）=4）闭+6一1的图象与工轴有公共点，则实数〃?的取值范围是.

3.如图，某池塘中的浮萍要延的面积），（单位：加2）与时间/（单位：月）满足关系式：），="（。＞0且a

#1）,则浮萍面积从4〃?2到12/宗至少需要经过个月.（精确到0.1）

4.已知函数f（x）=。弓尸+力的图象过原点，且无限接近直线.v=2但又不与该直线相交，则次1）=

二.由指数函数的解析式求解参数（共1小题）

5.函数），=（2/-3。+2）/是指数函数,则。的值为（)

1

A.-B.1C.1D.1或一

2~22

三.指数函数的定义域（共5小题）

函数f（x）=Ji一&尸的定义域为（

6.)

A.(-8,0)B.(0,+8)C.[0,I)D.[0,+8)

7.已知函数/（X）的定义域为（1,+8）,则函数F（x）=f（2x-3）+用口的定义域为（）

A.(2,3JB.(-2,引C.I-2,3]D.(0,3]

函数/（%）=+盘的定义域为

8.（）

A.(-3,0]B.(-3,1]

C.(-8,-3)U(-3,0]D.(-8,-3)U(-3,1]

（多选）9.已知函数〃%）=得，则下列结论正确的是（）

A.函数/（x）的定义域为R

B.函数/（x）的值域为（-1,1）

C.函数/（x）的图象关于），相对称

D.函数/（x）在R上为减函数

10.在（2a+1）-；中，实数a的取值范围是

四.指数函数的值域（共2小题）

11.函数y=22"/的值域为()

A.[2,+8)B.(-co,2JC.(0,1]D.(0,2]

12.已知］＜x＜2，求函数y=-48尸+2的值域为

五.指数函数图象特征与底数的关系（共6小题）

13.四个指数函数），=2'y=3Ly=（｝x，y=《尸的图象如图所示，则下列结论正确的是（)

A.图象①，②，③，④对应的函数依次为y=8尸，y=（1）x,y=2'和），=3工

B.图象①，②，③，④对应的函数依次为y=&）x,y=&F，y=2'和y=3'

C.图象①，②，③，④对应的函数依次为y=（尸，y=（；广，〉，=3、和y=2'

D.图象①，②，③，④对应的函数依次为y=8尸，y=（勺x，），=3工和），=2、

14.已知（修，y］）和（M，）2）是函数y=2”图象上的两点，则（）

A.丫1+丫222*1+必

、Vi+为灯+」2

B.%及工22

2

C.%乃之4勺-1+4X2-1+2X1+X2-1

*1+%2

yi+、2

D.>22

2

15.已知OVbVl,若〃+比6=/一。，则（）

A.a>b1B.a>b'2C.^〈小D./VZ/2

16.设。＞（）,SWR.下列各项中，能推出个的一项是（）

A.a>\,且s>0B.Q1,且sVO

C.0<a<\,且s>0D.OVaVl,且sVO

17.若函数/(x)=(4^-/2)2的大致图象如图所示，则()

D.m+n<0

18.若4、+3>2~)'+9%则()

A.2A--y>()B.2x-y<0C.x+2y>0D.2v+y>0

六.指数函数及指数型复合函数的图象(共3小题)

19.函数/(x)=/1-3年|-1的图象大致为()

20.已知函数/(x)=m「2(w>o,且〃?W1)恒过定点(°,扪，则在直角坐标系中函数g(x)=(}lx+W的

21.函数/(x)=/"的图像如图所示，其中。、〃为常数，则下列结论正确的是()

A.a>\,b<0B.a>\,h>0C.0<a<\,b>0D.0<t/<I,b<()

七.求指数函数及指数型复合函数的单调性（共4小题）

22.若函数/（幻=曲/（。＞（）,〃W1）满足/（-I）=4,则/（x）的单调递减区间是（）

A.(・8,]]B.[1,+8)C.[-1,+8)D.(-8,-1]

(。>

23.若函数f（x）=m7|0,41),满足/⑴=卷则/（X）的单调递减区间是（)

A.(-8,21B.[2,4-00)C.[-2,+oo)D.(・8,-2]

24.已知函数fQ)―2.-2丫+1,则/1)()

A.在（-8,I]上单调递增且值域为[I,+8）

B.在（-8,I]上单调递减且值域为[I,4-00）

C.在（-8,I]上单调递增且值域为（0,“

D.在（-8,1]上单调递减且值域为（（）,I]

25.已知函数/'（%）=-（g㈤+1,则不等式/（2m-1）V/（〃?+3）成立的实数m的取值范围

为.

八.由指数函数的单调性求解参数（共2小题）

26.设函数/（%）在区间（0,1）单调递减，则。的取值范围是（）

A.（-8,-2JB.[-2,0）C.（0,2]D.[2,+«＞）

27.设函数/（乃二白尸口-。）在区间（0,1）上单调递减，则〃的取值范围是（）

A.（・8,o]B.[-2,0]C.（0,2]D.[2,+~）

九.求指数函数及指数型复合函数的最值（共3小题）

28.函数/'（%）=77=1+2*-3的值域为（）

A.[-2,+8）B.[-I,+8）C.[0,+8）D.[1,+8）

29.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯

函数”为：设抚R,用㈤表示不超过x的最大整数,则），=[8称为高斯函数.例如[-2.1]=-3,[3.1]=

oX+l

3.已知函数fGOnWF，则函数），=[7•（X）]的侑域是（）

A.{0,1}B.(0,2)C.(0,I)D.{-1,0,1}

(多选)30.定义在R上的函数fCO满足/0093%)=/-4%+3,则()

A.函数/(x)的解析式为/(%)=3-4X31+3

B.函数/'(X)图象的对称轴为直线x=2

C.函数/(/)的单调递增区间为［k)g32,+8)

D.函数/(X)闻,1］上的最大值为48一6

十.由指数函数的最值求解参数(共5小题)

31.已知函数/(X)=|/・1|,满足/(a)=f(b)(aWb),在区间［小2加上的最大值为e・1,则人为()

A.1/73B.-C.-D.1

32

O

32.已知奇函数/(x)=ax+b*a'x在［-1,1］上的最大值为一，贝I。=()

3

A.工或3B.工或2C.3D.2

32

33.函数/(x)=ax(〃>0,aWl)在区间［1,2］上的最大值是最小值的2倍，则。的值是()

A.工或或B.工或2C.-D.2

222

(多选)34.若函数y=a^a>0且a*I)在区间［0,I］上的最大值与最小值的差为点则实数。的值为()

321

A.2B.—C.-D.—

232

35.已知函数/(x)=ax,g(x)=a2x+m,其中〃?>0,。>0且a#l.当-1,1］时，y=f(x)的最大

值与最小值之和为士

2

(I)求。的值；

(II)若〃>1,记函数。(x)=g(x)-2mf(x),求当疣［0,1］时,h(x)的最小值〃(〃?).

十一.指数函数的实际应用(共3小题)

36.抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，

进而造成环境污染、危害生物体健康.己知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：〃?g)与时间，(单

位：年)近似满足关系式)=入(1-e"),入r0,其中人为抗生素的残留系数，当1=10时，y=

则人的值约为(参考值：历2po.7)()

A.0.54B.0.34C.0.24D.0.14

37.碳14具有放射性.活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已

知碳14的半衰期约为5730年.即生物死亡/年后，碳14含量c（t）=C0（》褊，其中。0为活体生物组

织内碳14的含量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物

遗体中碳14的含量约为原始含量的0.92,己知&）242。023,则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝

代为（）

A.宋（公元960〜1279年）

B.元（公元1271〜1368年）

C.明（公元1368T644年）

D.清（公元1636T912年）

38.某种放射性元素的原子数N随时间，的变化规律是其中”，〃都是正常数，则该种放射性元

素的原子数由a个减少到士个时所经历的时间为小由2个减少到个时所经历的时间为t2,则三=（）

224七2

A.2B.1C./〃2D.e

十二.指数函数综合题（共4小题）

ox+l21

2023

39.已知函数/~+x+2023x»正数。，力满足：/（他-a）+f（。-2）=2,则——+--的

八71+2a+1b-1

最小值为.

40.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（〃及）与时间「（月；的关系有以下叙述：

①这个指数函数的底数为2；

②第5个月时，浮萍面积就会超过30〃?2；

③浮萍从4小2蔓延到12〃?2需要经过1、5个月；

④浮萍每月增加的面积都相等；

⑤若浮萍蔓延到2〃落3m2,6〃产所经过的时间分别为小0,3,则八+/2="：

其中正确的序号是.

《月)

41.己知定义在(-1,1)上的奇函数/(x).在在(-1,0)时，/(%)=242力

(1)试求/Or)的表达式；

(2)用定义证明/(外在(・1,0)上是减函数；

(3)若对于.隹(0,1)上的每一个值，不等式1・2》・/(外<4、-I恒成立，求实数/的取值范围.

42.设函数/(幻=&"-优"(〃>()且。#1)是定义域为R的奇函数；

(I)若/(I)>0,判断/(3的单调性并求不等式f(x+2：+f(-v-4)>0的解集；

⑵若/(I)=之且g(x)=户+。2・va),求月a)在“，+8)上的最小值.

谡后;针区创I绿

一、单选题

1.已知函数/(x)=/z,(〃>0且々=1),若/(X)在[0』上的最大值为例，最小值为N,且M-N=],

则实数。的值为()

A.gB.2或gC.I*D.

2.已知函数/(x)=1°一?t-2a：<°，在R上为单调函数，则0的取值范围是()

1I

A.--,+ooB.一8二

6I6

3.已知函数/（力的定义域为卜1,2],则函数鼠犬卜/仁月+小!^7的定义域为（）

A.[0,1]B.[—1,0]C.一31D..最。]

A.-25B.-15C.25D.15

6.设/(6=念(〃>1),若满足八/一4)+/(3"7)>1恒成立，则，"的取值范围是()

A.(-1,4)B.(4,+oo)C.(-oo,-l)D.(^O,-4)U(1,-KO)

8.设/3=归一1],如果a<〃<c,且/（〃）>/©>/（〃），则有（）

A.2"+2’<2D.2"+2'<JC.2"+2'>1D.2"+2'>2

二、多选题

9.已知是奇函数，g(x)是偶函数,且/(x)+g(x)=21则()

A.f(x)=2x-2-xB.fM>-2

C.g(x)=2，+2TD.^(log23)=y

三、填空题

10.设函数/(x)=QJ在区间(。/)上单调递减，则。的取值范围是.

11.函数〃x)=的-3川的定义域是.

12.已知函数/(x)=a-2'+2i是定义域为R的偶函数，则〃-2)=.

13.若函数y=ln(2T'-〃+1)的值域为R,求力的取值范围.

14.若函数)，=1%(9'-3'+同的值域是［0,内)，则〃?的取值范围是.

15.函数f(x)与指数函数g(x)=a'(〃>0且〃互为反函数,且g(x)的图象过点(-2,4),则

〃1)+〃2)=—.

四、解答题

16.若丫=二!£是偶函数，求其值域和对称性.

。・2

17.求函数/(刈4="一-R的图象的对称中心.

18.设/"(设是x的二次函数,gQ)=2，/a),且g(x+l)—g(x)=2旬•/,求函数f(x)和g(x)的解析式.

19.每逢节假日，汕头小公园开埠区总是游人如织，这里的骑楼风貌、非遗展演、戏亭印象、时尚潮玩，

总能让慕名而来的游客感受至IJ“最朝最老”的潮汕文化.经统计，汕头小公园开埠区2021年至2023年春节期

间的游客人数如下表所示：

年份2021年2022年2023年

年份代码X123

游客人数y(单位：万人)120180270

根据上述数据，汕头小公园开埠区春节期间的游客人数y(万人)与年份代码x(注：记2021年的年份代码

为工=1,2022年的年份代码为K=2,依此类推)有两个函数模型可供选择：①)，=履'伏②

y=nijx+n{m>0)

(1)试判断哪个函数模型更合适(给出判断即可，不必说明理由)，请根据你的判断结果以及表中数据求出该

函数模型的函数解析式；

(2)为提升游客的旅游体验，汕头市需提前做好各项准备.请问大约在哪一年，汕头小公园开埠区春节期间的

游客量约是2022年的3倍？(参考数据：x/2«1.41,1.73,1g2»0.30,ig30.48)

20.若关于x的方程2x25卡到-3x5仔”-〃7=0恰有两个实根，求加的取值范围.

9V-1

21.设函数/(力=

9~3+1

⑴若/(x)的定义域为R，求。的取值范围;

(2)若a=l,求/(”的值域.

【第11讲：指数函数的图像与性质】

题型旅理

一.指数函数的特征及解析式（共4小题）

二.由指数函数的解析式求解参数（共1小题）

三.指数函数的定义域（共5小题）

四.指数函数的值域（共2小题）

五.指数函数图象特征与底数的关系（共6小题）

六.指数函数及指数型复合函数的图象（共3小题）

七.求指数函数及指数型复合函数的单调性（共4小题）

八.由指数函数的单调性求解参数（共2小题）

九.求指数函数及指数型复合函数的最值（共3小题）

十.由指数函数的最值求解参数（共5小题）

十一.指数函数的实际应用（共3小题）

十二.指数函数综合题（共4小题）

【知识点清单】

1.指数函数的特征及解析式

【知识点的认识】

1、指数函数的定义：

一般地，函数），=“'（。＞0,且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R,值域是（0,+

8）.

2、指数函数的解析式：

¥=公（。＞0,且“W1）

3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为x是任意一个实数时，/是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

②规定底数。大于零且不等于1的理由：

如果〃=0,当工＞0时，/恒等于0；当xWO时，炉无意义；

如果。＜0,比如尸（-4）S这时对于/在实数范围内函数值不存在.

14

如果4=1,），=H=1是一个常量，对它就没有研究的必要，

为了避免上述各种情况，所以规定〃>0且

2.指数函数的定义域

【知识点的认识】

指数函数的解析式、定义、定义域、值域

1、指数函数的定义：

一般地，函数），=〃（。>0,且。声1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R,值域是（0,+

8）.

2、指数函数的解析式：

x

y=a（A>0,且a#I）

3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为。>0,x是任意一个实数时，外是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

②规定底数〃大于零且不等于1的理由：

如果a=0,当4>0时・，乐恒等于0；当xWO0寸，出无意义;

如果〃V0,比如y=（-4）\这时对于1=；在实数范围内函数值不存在.

如果。=1,y=H=l是一个常量，对它就没有研究的必要，

为了避免上述各种情况，所以规定。>0且aWl.

3.指数函数的值域

【知识点的认识】

指数函数的解析式、定义、定义域、值域

1、指数函数的定义：

一段地，函数），=〃（〃>0,且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R,值域是（0,+

8）.

2、指数函数的解析式；

y=ax（«>0,且nW1）

3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为。>0,x是任意一个实数时，仆是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

②规定底数〃大于零且不等于1的理由：

如果。=。，当x>0时，“'恒等于0；当xWO时，/无意义；

如果〃VO,比如y=（-4）\这时对于在实数范围内函数值不存在.

如果。=1,y=N=l是一个常量，对它就没有研究的必要，

为了避免上述各种情况，所以规定〃>（）且〃W1.

4.指数函数的图象

【知识点的认识】

1、指数函数（。>0,且。工1）的图象和性质：

y=axa>10<a<1

图象

定义域R

值域（0,+8）

性质过定点（0,I）

当x>0时，y>l；当七>0时，OV），V1：

xVO时，OV），V1xVO时，y>\

在R上是增函数在R上是减函数

2、底数对指数函数的影响：

①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴;

同样地，当OVaV/时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴.

②底数对函数值的影响如图.

③当加>。，且时，函数产ax与函数），=（尸的图象关于），轴对称.

【解题方法点拨】

利用指数函数的性质比较大小：

若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较:

若底数不同而指数相同，用作商法比较；

若底数、指数均不同，借助中间曷，同时要注意结合图象及特殊值.

5.求指数函数及指数型复合函数的单调性

【知识点的认识】

1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即〃

>1，0<。<1的情况.再讨论g(x)的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判

断.

2、同增同减的规律：

(1)如果a>l,则函数单调递增；

(2)如果OVaVl,则函数单调递减.

3、复合函数的单调性：

(1)复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，丫值也在不断的增大；

(2)复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的V值就在不断的减小，

而内层函数的丫值就是整个复合函数的自变量x.因此，即当内层函数自变量x的增大时，内层函数的y

值就在不断的减小，即整个复合函数的自变最X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函

数的丫值就在增大.因此可得“司增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随

着内层函数自变量x的增大，内层函数的丫值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量x不断增大，又

因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的丫值就在减小.反之亦然，因此可得“异减”.

【解题方法点拨】

指数函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容.

-分析指数函数的解析式，确定其单调性：当4>1时，指数函数单调递增；当OVaVl时，指数函数单调

递减.

-对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层指数函数确定复合函数的整体单调性.

-验证单调性的准确性.

6.指数函数的实际应用

【知识点的认识】

指数函数图象的应用：

函数的图象是直观地表示函数的一种方法.函数的很多性质，可以从图象上一览无余.数形结合就是几何

与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象.利用

指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题.

22.指数函数综合题

【知识点的认识】

1、指数函数），=标（。>0,且的图象和性质:

OVaVla>\

y=axa>10<a<1

图象

值域（0,+8）

性质过定点（0,1）

当x>0时，y>\；当X>0时，OVyVl；

x<0时，OCyVlxVO时，>'>1

在R上是增函数在R上是减函数

2、底数对指数函数的影响：

①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近），轴;

同样地，当OVaV/时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近人•轴.

②底数对函数值的影响如图.

③当。>0,且时，函数y=a*与函数），二（》、的图象关于），轴对称.

【解题方法点拨】

利用指数函数的性质比较大小：

若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：

若底数不同而指数相同，用作商法比较；

若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值.

拟型分类解弧常善题型I

一.指数函数的特征及解析式（共4小题）

1.若指数函数/（））的图象过点（3,8）,则/（“）的解析式为（）

A.f(x)=/B.f(x)=2X

C./（x）=（i）*D./（x）=X5

2

【考点】指数函数的特征及解析式.

【分析】利用待定系数法求解即可.

【解答】解：设/（X）=/（。＞0且“W1）,

•・•指数函数/（X）的图象过点（3,8）,・・・/=8,

；・。=2,

・・・/（x）=2\

故选：B.

【点评】本题主要考查了指数函数的定义，属于基础题.

2.若函数/（幻=4）闭+小一1的图象与工轴有公共点，则实数〃?的取值范围是[0,1）.

【考点】指数函数的特征及解析式.

【分析】问题转化为=闵有实数解，结合指数函数的性质即可求解.

【解答】解：因为函数/■（%）=（3闭+771-1的图象与1轴有公共点，

即爪一1二一4）闵有实数解，

因为|x|20,

所以0V（乙）国W1,

3

1

则-1W-（-）W＜0,故-1W〃L1VO,

3

解得ow〃?V1.

故答案为：[0,1）.

【点评】本题主要考查了指数函数性质的应用，属于基础题.

3.如图，某池塘中的浮萍圆延的面积），（单位：〃?2）与时间，（单位：月）满足关系式：）,="（。＞0且

刘），则浮萍面积从4〃?2到12/小至少需要经过1.6个月.（精确到0』）

【考点】指数函数的特征及解析式.

【分析】结合指数及对数运算即可求解.

【解答】解:由图象可得，。=2,f(X)=2\

由浮萍面积为4层时,2M=4,即刀=2,

若浮萍面积为12〃?2时，2孙=12,EPx2=Iog212=2+log23,

贝X2-X|=log23^1.6.

故答案为：1.6.

【点评】本题主要考查了指数及对数的运算，属于基础题.

4.已知函数/•(%)=尸+b的图象过原点，且无限接近直线尸2但又不与该直线相交，则人I)=

【考点】指数函数的特征及解析式.

【分析】根据指数函数的性质确定出。的值，即可求解.

【解答】解：因为函数/(%)=。8尸+8无限接近宜线y=2但又不与该直线相交，

所以b=2,

乂函数/'(%)=Q8尸+b的图象过原点，

所以ax(5o+2=0，

解得4=-2,

所以/(%)=-2X8)X+2，

所以/'(1)=-2x1+2=1.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题.

二.由指数函数的解析式求解参数(共1小题)

5.函数y=(2/-3〃+2)".是指数函数，则a的值为()

A.-B.1C.-iD.1或工

222

【考点】由指数函数的解析式求解参数.

【分析】根据指数函数的结构形式得到关于”的方程，解出即可.

【解答】解：•・•函数y=(2层-3。+2)出是指数函数，

.\2a2-3a+2=1,解得：a=i,a=I(舍)，

故选：A.

【点评】本题考查了指数函数问题，考查底数。的范围，是一道基础题.

三.指数函数的定义域(共5小题)

6.函数/(%)=Ji一&尸的定义域为()

A.(…，0)B.(0,+8)C.[0,1)D.[0,+8)

【考点】指数函数的定义域.

【分析】由根式内部的代数式大于等于()，求解指数不等式得答案.

【解答】解：由1一&尸之0,得&尸W1，即x20.

・•・函数/(%)=J1一(5*的定义域为[0,+°°).

故选：D.

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.

7.已知函数/(x)的定义域为(1,+8),则函数尸(%)=/(2'-3)+后三的定义域为()

A.(2,3]B.(-2,3]C.[-2,3]D.(0,3]

【考点】指数函数的定义域.

【分析】尸(工)的定义域为y=f(2>—4),y=VT=两个函数定义域的交集，列出不等式组求解即可.

【解答】解•：由题可知，卜”-3>1={%>2=>2<X<3,故函数产(》)的定义域为(2,31.

-x>0x<3

故选：A.

【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题.

8.函数/'(%)=VTW+焉的定义域为()

A.(-3,0]B.(-3,I]

C.(-«>,-3)U(-3,0]D.(-oo,-3)U(-3,11

【考点】指数函数的定义域.

【分析】由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不为0联立不等式组求解.

【解答】解•：要使原函数有意义，

（1-e"20.

则，解得-3Vx《0・

（%4-3>0

・・・函数f（%）=小堂+高^的定义域为（-3,0].

故选：A.

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.

（多选）9.已知函数f（%）=W1,则下列结论正确的是（）

A.函数/（x）的定义域为R

B.函数/（X）的值域为（・1,1）

C.函数/（x）的图象关于y粕对称

D.函数/（x）在R上为减函数

【考点】指数函数的定义域；函数的值域；函数的单调性.

【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质逐一判断即可.

【解答】解：A：因为2、>0,所以函数/（工）的定义域为R,故A正确;

2X—1?

B：=—Y——=1---Y——，

八，2*+12“+1

199

由2"＞0=2*+1＞1=0＜册＜1=一2＜一高〈0=-1〈一篇＜1,

所以函数/（幻的值域为（-I,1）,故B正确;

C：因为/（r）==一/（办

所以函数/（工）是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误;

D：因为函数），=2斗1是增函数，因为），=2'+1>1,所以函数丫=岛是减函数,

9

因此函数f（x）=1-舟■是增函数，故Q错误.

故选：AB.

【点评】本题主要考查分式函数的性质，利用分子常数法分别进行判断是解决本题的关犍，是中档题.

10.在（2Q+1）4中，实数。的取值范围是—（一^，+8）—.

【考点】指数函数的定义域.

【分析】由负分数指数塞化为根式，根据偶次根式有意义求出参数的范围.

11

【解答】解：（2。+1）-2二天£,故2〃+1>0,

解得Q>—。故实数。的取值范围是（一\+00）.

故答案为：（一^，+8）.

【点评】本题主要考查指数函数定义域的求解，属于基础题.

四.指数函数的值域（共2小题）

11.函数y=22"/的值域为（）

A.[2,+8）B.