2026高考数学复习（湘教版）第八节 向量与距离及立体几何中的探索问题

第八节向量与距离及立体几何中的探索问题

【课程标准】1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为

工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件.

教材梳理夯实基础

1.点到直线的距离

(1)定义：如图，直线/的方向向量为。，点?为直线/夕I、一点，过点?作直线/

的垂线交/于点D,则|前脚为点P到直线/的距离.

设4为直线/上任意一点，则而是所在/上的投影向量，所以投影长|而|=

网18sNP孙=1矶繇=誓.

⑵距离公式：点P到己知直线/的距离d=1图7由2-国;

J网2-(曾已

⑶求空间一点P到直线/(PC/)的距离的算法程序如图所示.

2.点到平面的距离

(1)定义：如图，己知平面a的法向量为〃，力是平面。内的定点，。是平面a外一

点.过点尸作平面。的垂线/,交平面a于点0,则〃是直线/的方向向量，且点

产到平面。的距离就是屈在直线/上的投影向量9的长度.因此|丽|=粤.

【自主检测】

1.(多选)下列说法错误的是()

A.平面。上不共线的三点到平面夕的距离相等，则a〃4

B.点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度

C.直线/平行于平面”，则直线/上各点到平面a的距离相等

D.直线/上两点到平面。的距离相等，则/平行于平面a

答案：ABD

2.已知直线/经过点力(2,3,1)且向量〃=(¥，0,亨)为/的一个单位方向向

量，则点。(4,3,2)到/的距离为.

答案：v

解析：因为方=(一2,0,-1),n=俘，0,弓)为/的一个单位方向向量，所

以点P到/的距离d=J网2—/=Js-(-V2-y)2=y.

3.如图，在棱长为1的正方体加9co-43GOi中，E为线段4囱的中点，F为

线段Z8的中点，贝ij：

⑴点B到直线ACT的距离为；

(2)直线FC到平面AEG的距离为

答案（榜（2度

解析：（1）以。为坐标原点，。小，£>iCi,。。所在直线分别为x轴，歹轴，z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

上c

则/（I,0,1）,8（1,1,1）,C（0,1,1）,C|（O,1,0）,E（l,I，0）,F（l,I，1）,

所以初=（0,1,0）,苑=（一1,1,一1）,荏=（0,I，-1）,FQ=（-1,J,0）

，斤=（T，g，0），而=（。，p0）,取a=

通=（0,1,0）,U=^|=y（-1,1,—1）,则*=1,〃•〃=¥，所以点3到

直线/C］的距离为一（a.〃）2=/1-1=2^

（2）因为丽=西=（一1,0）,所以R7〃£G,所以/C〃平面4EG,所以点

厂到平面4EG的距离即为直线RC到平面4EG的距离，设平面力七G的法向量

为〃=（x,y9z）,则，_,'所以11所以|'取z=l,则

、rrECi=0,I-x+-y=0,（y=2z,

x=l,y=2,所以〃=（1,2,1）是平面力EG的一个法向量.又因为标=（0,J,0）,

所以点尸到平面曲的距离为寓=陋3嘤2'"=》即直线FC到平

面4EG的距离为上

学生用书第206页

考点探究提升能力|

考点一空间距离师生共研

典例a如图，尸为矩形48CO所在平面外一点，以_L平面43CD若已知44=3,

/。=4,PA=\f则点。到直线8。的距离为

答案：Y

解析：如图，分别以4D,4尸所在

直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则尸(0,0,1),8(3,0,0),D(0,

4,0),则加=(一3,0,1),丽=(-3,4,0),

故点尸到直线8。的距离d=J函2_(鬻y=j10_(丁=可,所以点p到

直线8。的距离为苦

典例日如图，在三棱柱/BC-481G中，力8_L平面3CG3,BC=^AB=^AAr

=2,8。1=2再，M为线段4?上的动点.

(1)证明：BC}±CM；

(2)若七为4G的中点，求点小到平面BCE的距离.

解：(1)证明：因为45_L平面33GC3Gu平面88CC,所以43_L8G,

在△8CG中，BC=2,5Ci=2>/3,8=44=4,所以8。+8.=。侪,所以

CBIBCi.

因为48GBe=&AB,BCu平面4BC,所以BC|_L平面48C

又因为CWu平面力BC,所以3G_LC"

(2)由(1)知，ABlBCi,BC工BCi,ABLBC,

以2为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则8(0,0,0),C(2,0,0),Ci(0,2遮，0),4(-2,273,4),£(-1,273,2),

FC=(2,0,0),FE=(-1,2V3,2),

设平面8CE的法向量为〃=(x,y,z),

『匣="即|2x=0,

则

.nNE=0,、—％+2,⑶y+2z=0.

令y=V5,则〃=(0,W,-3).

又因为砧=(4,-2V3,-4),

故点4到平面BCE的距离.Ji—2旬售+(-4.(一3)|=取

2V3

・规律方法・

1.点到直线的距离

(1)设过点。的直线/的单位方向向量为〃，4为直线/外一点，点力到直线/的

距离，"同J一(万句2

(2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离.

2.求点面距一般有以下三种方法

(1)作点到面的垂线，求点到垂足的距离.

(2)等体积法.

(3)向量法.

对点练1.如图，在正三棱柱力BC.小BiG中，各棱长均为4,N是CG的中点.

⑴求点N到直线48的距离；

(2)求点Ci到平面ABN的距离.

解：建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),3(2百，2,0),C(0,4,0),C1(O,4,4).

因为N是CG的中点，

所以M0,4,2).

⑴前=(0,4,2),

布=(2百，2,0),

则|丽|=2遥，|荏|=4.

设点N到直线45的距离为小，

2

则4=J而广-偌t豹=720^4=4.

(2)设平面45N的一个法向量为〃=(工，y,z),

贝、n•丽=2j(3)x+2y=0,

71•前=4y+2z=0,

令z=2,则y=-1,尸今，

即〃=(苧,—1,2).易知C]N=(0,0,—2),

设点Ci到平面ABN的距离为必，

考点二立体几何中的探索性问题师生共研

典例§(2025・辽宁葫芦岛模拟)在三棱柱N8C8cl中，平面小平面

/8C,侧面小囱34为菱形，/ABB、=%AB\A.AC,AB=AC=2,E是4C的中

点.

(1)求证：48_L平面4BC；

(2)确定在线段4E上是否存在一点P,使得NP与平面小囱E所成角为g,若存

在，求山兽的值：若不存在，说明理由.

cA\

解:⑴证明：因为侧面力山山力为菱形，/ABBT=%则四是等边三角形，

取力3中点O,连接30,于是有

又平面力由iA4_L平面ABC,且3QU平面/必归4,平面A\ByBAC平面ABC=AB,

于是BO_L平面45C,又力Cu平面力BC,即有5Q_L4C,

又月囱_L//C,且BiOC,4Bi-Bi,BiO,ABiu平面ABBA,囚此ACJ_平面

而45u平面A\B\BA,

则力C_L4B,由四边形小B归力为菱形，得/归_L4囱，又ABi,4Cu平面/8C,

/8irMC=Z,所以4BJL平面451c.

(2)由(1)可知B0J_力伉囱。J_/C,力C_L平面小8出力，且48u平面4384所

以力

取BC的中点为。，连接。。，有力C,ODLAB,

以。为原点，｛砺，0D,西｝为空间正交基建立直角坐标系，

则8(1,0,0),4(—1,0,0),公(-2,0,V3),E(-l,1,0),当(0,0,V3),

^T=(2,0,0),港=(1,1,一⑹，

设平面力山if的一个法向量为〃=(x,ytz),贝4一2x0^

[n-A1E=x+y-J(3)z=0,

令z=l,得〃=（0,V3,1）,

令EP=AEA1,则~EP=(-A,-A,而=族+丽=(一九1-1

河),

L_卜⑶(lT)+y^|V3

依题意，sin~|cosn,~AP)|=~2

向国2j(T)2+(lT)2+(而用2

整理得,5左一24=0,解得，三或2=0,

所以存在满足条件的点P.前的值为|或。.

学生用书第207页

・规律方法・

1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此

列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定

范围内的解”等.

2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式,

解出参数.

对点练2.如图，四棱维S/8CO的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长

的企倍，P为侧棱SO上的点.

(1)求证：ACLSD；

(2)若SQ_L平面为C,求平面以。与平面D4c夹角的大小;

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE〃平面么C若存在，求

SE：EC的值：若不存在，请说明理由.

解：(1)证明：如图，连接3。交力C于点。，连接SO.

由题意知，SOJ_平面43。，以O为坐标原点，

以OB,OC,OS所在直线分别为工轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系.设底

面边长为Q,则高SO=。，

于是S（0,0,半，0（-苧。，60），C（0,苧。，

于是方=（0,苧a,0）,而=（—殍a,0,_彳。

则瓦•罚=0,所以无_L而，

故OC_LS。，从而力C_LSD

⑵由题设知，平面A4C的一个法向量为丽=ffa,0,弓a）,平面04c的一

个法向量为沃=（0,0,yCl）.

设平面总C与平面。4C的夹角为仇

则cos9=|cos（OS,DS）|=黑］鬻=¥，

所以平面玄。与平面D4c夹角的大小为30°.

（3）假设在棱SC上存在一点E使8E〃平面PAC.

由Q）知丽是平面2/C的一个法向量，

且赤=住00,fa）,CS=（0,斗,当a）.

设豌=t召（OWtWl），

因为4a,0,0）,C（0,枭0）,

所以BC=（一亨a,Ya,0），

则融=阮+而=就+而=（一号a,ya（l-t），当a）

2

由露•万5=0,得一3+0+?2/=（）,

解得Z=｛当SE：EC=2：1时，BEVDS.

由于BEC平面刃C,故BE〃平面R4c.

因此在棱SC上存在点E,使BE〃平面R1C,此时SE：EC=2：1.

考点三折叠问题师生共研

典例口（2025•湖南长沙模拟）如图①所示，四边形45CO为直角梯形，AD//BC,

ADLAB,NBCO=60°,AB=24BC=3,七为线段CO上一点，满足4C=CE,

b为4E的中点，现将梯形沿座折叠（如图②），使平面3CE_L平面45ED

（1）求证：平面力CE_L平面8CE；

（2）能否在线段AB上找到一点P（端点除外）使得直线AC与平面PCF所成角的正

弦值为浮？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

4

解：（1）证明：在直角梯形力中，CE=BC=3,NBCD=60°,

因此△3CE为等边三角形，从而BE=3,

又44=2代，

由余弦定理得4/=12+9—2X2d5x女os30°=3,

所以4g+8后2=4炉,SPAEA.BE,且折叠后4E与位置关系不变，

又因为平面BCE上平面/1BED,且平面BCEC平面ABED=BE,

所以平面8CE,因为4Eu平面4C£,所以平面4CE_L平面8CE

（2）因为△4C£为等边三角形，F为BE的中点、,

所以。/_L3E,又因为平面8C£J_平面48EO,且平面3CEA平面

所以CrJ_平面ABED,

取48的中点G,连接尸G,则/G〃力£,从而FGLBE,以尸为坐标原点建立如

图所示的空间直角坐标系：

则475,-1,o）,c（o,o,手），则面=（百，-|,一竽），

假设在48上存在一点P使直线NC与平面PCR所成角的正弦值为f,且而=4荏,

4

Ae(o,1),

因为8(0,I，0),所以荏=(一6，3,0),故而=(一同X3九0),

所以9=方+q=(/(3)(1-2),1(22-1),一手)，又定=(0,0,苧)，

设平面尸C77的法向量为〃=(x,y,z),则

n-CP=0fV(3)(1-^)x+|(2A-l)y—^z=0,

n丽=0=1半z=0,

令0=2(2—1)得〃="(3)(2/l-1),2(A-1),0),

所以|cos(CA,n)I=「,——"号=—,

112x/3-V3(2a-l)2+4(A-l)24

解得1=］或2=3舍),

Lb

综上可知，存在点P是线段的中点，使得直线力C与平面PC/所成角的正弦

值为当

4

・规律方法・

翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含

的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面

上的性质发生变化.

对点练3.图①是由矩形/。石氏RtA/lAC和菱形组成的一个平面图形，

其中48=1,BE=BF=2,Nb8C=60°.将其沿力&8C折起使得8E与8b重合,

连接。G,如图②所示.

(1)证明：图②中的4,C,G,。四点共面，且平面48C_L平面8CGE；

(2)求图②中的平面BCG与平面ACG夹角的大小.

解：(1)证明：由已知得力。〃8邑CG//BE,

所以4)〃CG,

所以力O,CG确定一个平面，从而4C,G,。四点共面.

由已知得N8_L8E,AB±BC,且BECBC=B,BE,BCu平面BCGE,

所以48_L平面BCGE.

又因为力Bu平面ABC,所以平面月3C_L平面BCGE.

(2)过点E作E〃J_8C,垂足为〃.

因为£77u平面BCGE,平面BCGE_L平面48C,平面3CGEC平面48C=5C,

所以E”_L平面ABC.

由已知，菱形3CGE的边长为2,NEBC=60二可求得8〃=1,EH=y/3.

所以以〃为坐标原点，沆所在的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系H-xyz,

则4(一1,1,0),C(l,0,0),

G(2,0,V3),CG=(1,0,V3),

AC=(2,-1,0).

设平面力CG。的法向量为〃=(x,y,z),

则性n=0,即卜+阪=0,

l/Cn=0,2x—y=0.

令Z=—V5,则x=3,y=6,

所以可取〃=(3,6,-V3).

又平面4CGE的法向量可取,〃=(0,1,0),

匕匕［、？/\nmV3

所以cos〈〃，m)

1nlim|2

因此平面BCG与平面/CG夹角的大小为30°.

学生用书第208页

考教衔接精研教材

［真题再现］(2024•天津卷节选)如图，已知直四棱柱/BCD-小BCOi中，/1O_L

AB,AB//CD.AAi=2,AB=2AD=2,1,N是8G的中点，M是。。的

中点.求点8到平面的距离.

A

解：以力为坐标原点，以43,AD,44所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如

图所示的空间直角坐标系，

依题意得,8(2,0,0),C(l,1,0),Z)(0,1,0),5i(2,0,2),Ci(l,1,2),

Pi(0,1,2),

则M(0,1,1)N住,J,2),

所以£)1N=G，—j,0),CBi=(l,—1,2),CM=(-1,0,1).

设平面CBM的法向量为〃=(xi,y\,zi),

则「理=0,即卜一力+2z1=0,

.mCM=0,I-%i+Zi=0,

取xi=l,得zi=l,yi-3,则〃=(1,3,1).

易知西=(0,0,2).

设点8到平面CBiM的距离为d,

则公四1=3=出

所以点6到邛面。囱/W的距离为答.

［教材呈现］(湘教版必修二P106T13)四面体S-ABC中，2BC是等腰三角形，

AB=BC=2a,SA=3a,ZABC=\20°tS/1_L平面NBC,求点力到平面SBC的距

离.

点评：这两题考查相同的知识点，设问的形式和笈质基本一样，都是考查求点面

距问题，同时高考题又考查综合应用所学知识解决问题的能力.

课时测评60向量与距离及立体几何中的探索问题翟需

用书P429

（时间：60分钟满分：100分）

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

Q基础排查练

1.（13分）如图，在梯形力BCD中，AD//BC,ZABC=^,AB=BC=^AD

以_1_平面力8c。，且必=〃，点/在上，且。凡1_尸C.

（1）求点力到平面PC厂的距离；（5分）

（2）求AD到平面PBC的距离.（8分）

解：（1）由题急知力尸，45,力。两两垂直,建立空间直角坐标系，如图,

则4(0,0,0),B(a,0,,0),

P(0,0,〃)•

设F(0,tn,0),

则而=(-Q,m-Q,0),而=(—a,-a,a)-

因为b_LPC,所以而_L而，

所以沃•丽=(-Q)•(—Q)+(m-a)(—a)-\-0a=a1—a(m—a)=0,

所以〃z=2a,即9(0,2〃，0).

7

设平面PC/的法向量为〃=(x,ytz),

n-CF=-ax+ay=0,

则

.n•。户=—ax—ay-Vaz=0,

%=v

解得,取x=1,得〃=（1,1,2）.

（z=2x,

设点力到平面PC/的距离为d,

由元=（a,a,0）,

ZB,_|^4C-n|_axl+axl+Dx2_V6

付d=~^r=飞=”

=

(2)由于BP=(—a,0,a),BC(0fa,0),

而=(O,0,a).

设平面08c的法向量为〃i=(xo,yo,zo),

n^BP=-ax+az=0,

由,x00

、n1DC=ay0=Q,

得配一z。'取x0=i,得〃|=（1,0,1）.

（%=0，

设点力到平面P3C的距离为儿

因为4O〃8C,4OC平面0BC,BCu平面PBC,所以力。〃平面28。，

所以人为力。到平面PBC的距离，

所以力=聆=卷=,.

|司V22

2.（13分）（2024•山东青岛模拟）如图，在三棱台43C4SG中，平面

_L平面力8C,AB=AC,/BAC=3,AB=2AiBl=4,BB[=CC1=®

（1）求四棱锥4dCG3的体积；（5分）

（2）在侧棱8以上是否存在点后,使得二面角E-4C-3的余弦值为节?若存在，说

明点E的位置；若不存在，说明理由.（8分）

解：⑴在三棱台彳4C-N山iC中,取3c的中点。|,连接小Oi,

因为NBAC=$48=24囱=4,则4B|=4G=2,N囱4G=*有

BC=4叵,%的=2&,4O|_LBQ,小。=迎，

因为平面BCGB|_L平面4BC,平面NBC〃平面/归iG,

则平面5CG8i_L平面小HC,平面BCGSn平面由8IG=8IG,小。仁平面

A\B\C\,于是4OiJL平面BCC山

在梯形4CG8]中，B8I=CG=J5,则梯形BCCB的高〃=-「"胃

"-(何=1,

因此梯形BCCiBi的面积5=1(2>/2+4>/2)x1=3&,

所以四棱锥4-8CGS的体积忆=旨/1。1=3x3V2xV2=2.

(2)取8C的中点0,连接力。，因为48=4C,则40_L8。，

在等腰梯形8CG囱中，。，。分别为上下底边囱G,8。的中点，有00i_L8C,

而平面8CG81平面48C,平面BCG81G平面,4BC=8C,。。仁平面BCC由i,

于是OOi_L平面48C,以。为原点，分别以04,0B,。。1所在直线为x,y,z

轴建立空间直角坐标系，

则力(2&,0,0),3(0,2V2,0),C(0,一2夜，0),当(0,或，1),令豌

=mBBi(0<m<\),则£(0,2\[2—7(2)m,zn),

设平面4CE的法向量为〃=(x,y,z),而85=(2A/2,2加，0),CE=(0,472-

J⑵m,m),

(11斤=2J(2)x+2J(2)y=0,

则I_,zr——\令X=加，得〃=(m,-m,4鱼-

[n-CE=(4a-J(2)m)y+mz=0,

/⑵m),

因为OOi_L平面48C,则西=(0,0,1)为平面48C的一个法向量，记二面角

E-4C-B的平面角为仇

于是cos9=|cos仇，西川=崎=「、而尸弋,

向1°川J2m2+(4.标『10

即6〃,+加一2=0,而0<〃7<1,解得〃1=；,

所以存在点E为8山的中点时，使得二面角E-AC-B的余弦值为宗.

3.(17分)(2024•广东茂名模拟)在四棱锥尸-446中，平面玄。平面43CZ),

PA=PD,。为NO的中点.

(1)求证：POJ.BC；(5分)

(2)若4B〃CD,AB=8,AD=DC=CB=4,PO=2^7,点£在棱PA上，直线

/E与平面力BC。所成知为％求点E到平面PC。的距离.(12分)

解：(1)证明：因为玄=尸。，。为4。的中点，

所以00_L4D

又因为平面RiO_L平面力88,平面以。G平面48。。=力，

所以。。_1_平面力8C。，又BCu平面ABCD,

所以尸O_L6c.

(2)由48=8,AD=DC=CB=4,

可知四边形力8CQ为等腰梯形，易知8。=4百，

因为力〃+8。2=/82,所以

建立如图所示的空间直角坐标系，

P(0,0,2⑺，力(2,0,0),8(-2,4V3,0),C(-4,，0),。(一2,0,

0)，

平面48CO的法向量为〃=(0,0,1),

设E(x,ytz),则荏=(%—2,y,z),

方=(x,y,z-2\<7),而=(-2,4V3,-2"),

因为直线4E与平面ABCD所成角为｝

所以sin^=|cos(n,AE>\=-=======

611V(x-2)2+y2+z22

所以/—4x+4+y2—3/=0,①

因为点E在棱P8上，所以方=；1而(0«1),即(乜y,z-2V7)=A(-2,4A/3

,-2V7),

所以工=一2九y=4闹Xz=2夕―2夕2,代人①解得，=；或2=5(舍去).

PE=(-1,2V3,-V7),而=(-2,0,-2V7),丽=(-4,2V3,-277),

设平面PCQ的法向量为〃i=(%i，zi),

m:PD=—2%i-2j(7)2i=0,

m，PC=-4、i+2J(3)yi—2j(7)z1=0,

令zi=l,得xi=-近，％=一?，

所以〃1=(一夕，-,1),

所以点E到平面尸CO的距离［=畀=第=2息=空.

|m|I3£-y3131

4.(17分)图①是直角梯形力3cO,AB//DC,ZP=90°,AB=2,DC=3,AD=

V3,最=2前.以BE为折痕将△37折起,使点C到达Ci的位置,且AC\=>/6,

如图②所示.

（1）证明：平面8GE_L平面N3E。；（5分）

⑵求直线8G与平面月GQ所成角的正弦值.（12分）

解：（1）证明：在图③中，连接力凡JC,AC交BE于点、F.

因为屈=2丽，DC=3,

所以CE=2,所以4B=CE.

又N3〃C。，所以四边形力ECB是平行四边形.

又因为在RtzMCO中，AC=卜+（何=20,

所以4尸

在图④中，因为/C产遍，所以4尸+C/=4乙，所以C尸JL/凡

由题意得CFLBE,又BEC4F=F,BE,AFu平面4BED,所以GFJ_平面ABED,

又C/u平面BGE,

所以平面3GE_L平面ABED.

(2)如图④，以。为坐标原点，DA,反的方向分别为x,y轴的正方向，元7的方

向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则0(0,0,0),4(百,0,0),Bg2,0),

E(0,1,0),F停，I，0)，J仔,I，V3),

所以BCi=(一一：,百)，£>i4=(V3,0,01,OCi=(F，|

设平面力G。的法向量为〃=(x,y,z),

(n-D^4=0,fJ⑶x=0,

由(----付〈3.----

[n-DCi=0,x+-y+7(3)z—0,

取z=J5,得〃=(0,-2,V3),所以|n|=J7.

记直线BCi与平面AC]D所成的角为仇

则sin0=呵n=°41+3|=也

人」s】n“阳||川2xV7I7•

®综合运用练

5.(20分)如图，在四棱锥产dBCD中，平面P3CJ_平面ZBCDAPBC是等腰三

角形，且尸8=PC=3.在梯形43C。中，AB//DC,ADLDC,AB=5,力。=4,

DC-3.

(2)求平面4P3与平面08C夹角的余弦值；(6分)

(3)棱3c上是否存在点。到平面PA4的距离为当，若存在，求出黑的值；若不

1UCo

存在，说明理由.(10分)

解：(1)证明：因为AB〃CD,4?《平面PCO,CDu平面PCQ,

所以48〃平面PCD.

(2)因为/BCD是直角梯形，AB//DC,ADLDC,AB=5,AD=4tQC=3,

所以名C=j42+(5-3尸=2而,又PB=PC=M

所以点P到直线BC的距离为

因为平面P8CJ_平面/8CQ,所以点尸到平面N8C。的距离为2.

以。为原点，以。4DC及平面NBCO过。的垂线为坐标轴建立空间直角坐标

系(图略).

所以4(4,0,0),8(4,5,0),C(0,3,0),P(2,4,2),

所以而=(2,1,-2),南=(0,5,0),丽=(4,2,0),

设平面408的法向量为〃i=(xi,yi,zi),平面P8C的法向量为〃=(工2,户，Z2),

贝俨丽=2》i+力-2z1=0,

、m•荏=5%=0,

(n：PB=2x2+-2^2=0,

(n-CB

=4X2+2y2=0,

令的=1,&=1可得"=(1