高中数学基础练习题-线面角求法（传统法与向量法）原卷版

L8线面角求法（传统法与向量法）

模块一：基础知识......................................................2

考点一：直线与平面所成角（传统法）................................2

考点二：用向量运算求直线，平面所成角..............................2

模块二：题型分类......................................................3

题型一：垂线法求线面加（传统法）..................................3

题型二：等体积法求线面角（传统法）................................4

题型三：求线面角（向量法）........................................5

题型四：线面向正弦转余弦问题......................................6

题型五：线面处范围问题.............................................7

题型六：利用线面角求参数..........................................8

题型七：线面向的探索性问题........................................9

模块三：综合巩固.....................................................11

L8线面角求法（传统法与向量法）

模块工基础知识

考点•：宜线与平面所成角（传统法）

1.定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.

2.范国：［0,自

3.求法：【图需要自己参照上图画】

常规法：过平面外一点B做即，平面a,交平面a丁点夕；连接心,则如用叩为直线功与平

而a的夹角.接下来在&中解三角形.即就4瑟'="=我金（其中力即点5到面a的距离,

AB东移为箕

可以采用等体积法求力，斜线长即为线段48的长度）；

4.求解线面角其他方法：

<1）等体积法

对于垂线段较难找出的问题，利用等体积法可以求出垂线段长度，设斜线与平面所成的角为忆垂线长度

h,斜线长I,则sin8=h/l.

<2）转化法

垂线段的长度是点到面的距离，可以利用线面平行，线上的点到面的距离都相等的这一性质，将该点或面

进行转化或者按比例进行转化.

（3）投影法

斜线段与它在平面上的投膨构成的角称为线面角，与另一条边（不一定是垂线段），构成三角形,利用解

三角形求出线面角，投影通过找出一个斜线所在面与已知面垂直，两平面交线即为投影的方法确定.

<4）角度互余

利用斜线与平面所成的角和斜线与平面的垂线的夹处的互余关系求解线面角.

（5）补体法

把不规则图形转化为规则的熟悉的图形，进而求解线面向.

考点工用向量运算求H线。平面所成向

设直线/的方向向量为平面。的法向量为「，直线与平面所成的角为夕，2与「的角为W,则有

①8s0=f^②sin8=|8sW=i^-M.（注意此公式中最后的形式是：sin8）

I列川同对

模块：：题型分类

题型：歪线法求线面角（传统法）

1.如图，必_L平面疑C,在直角三角形BMC中，/BCM=90。，NMBC=60。，BM=5,M4=3,求MC

与平面处所成角的正弦值.

2.已知为等腰I'［角三角形，P为空间一点，IL^C=BC=5V2,PCLACPCIBC,PC=5,."的

中点为M,连接尸M,CM,则PM■与平面4BC所成的角的大小为_________.

3.在长方体ZBCD-4B£D］中，45=2BC=244=2,则BD与平面4屈8所成的正弦值为（）

噜

21噜

A氏C

-3-D.

4.在正方体ZBCD-451cQ］中，44=2上为棱eg的中点，则/石与平面BRCG所成角的正切值为

5.如图，平行六面体488-451G4的校长均相等，“陛=幺3=皿8=60。，点瓦厂分别是极

DQ.8C的中点.

⑴求证：EF//'Y\i\\ABD；

⑵求内线EF与底而ABCD所成用的正弦值.

6.如图，在三棱锥尸一疑。中，24_L底面为C,44cB=90。，且2C=BC=R4=2,M是P3的中点,

则Z"与平面PBC所成角的正弦值是________.

题型工等体枳法求线向向（传统法）

1.如图，在四棱锥尸-数8中，底面288是边长为a的正方形，R4J_平面Z8CD.若R4=a,则直线

2.某车间生产一种圆台形零件,其下底面的直径为4,上底面的直径为8,已知Z5为上底面的直径，点尸

是上底面圆周上一点，且"=BP,尸。是该圆台的一条母线，且尸。=24，则尸。与平面4BC所成的角

的正弦值为（）

2334

A.-B.-C«—D9—

5545

3.如图，在四棱锥P-JBCD中，。及边长为4的正方形48co的中心，PO1平面NBCD,M,E分别

⑴求证：平面R4C_L平面尸8。；

⑵若PE=3,求点5到平面PEM的距离；

⑶若PE=3,求直线P5与平•面PEM所成角的余弦值.

遨用建求线面向（向|止法）

1.在四棱锥2-数8中，R4_L底面&CD,底面4CD是边长为1的正方形，AP=2,则直线尸3与平面

PCD所成角的止弦值为（）

A,正B.&C.也D.近

5533

2.如图，在长方体4BCD-4B£Di中，45=2,40=4,4^=3,4c交BC1丁点七.

⑴证明：直线〃平面4助；

（2）求4Z）与平面4处所成角的正弦值.

3.在正方体48。-4与64中，点M,N分别是4C,8。上的动点，当线段MN的长最小时，直线MN

与平面皿N所成角的正弦值为（）

A.也B.皂C.逅D.画

3366

4.如图，已知直角梯形4SCD,ABUCD,AD二DC=五,AB=2DC,44DC=90。，四边形2CFZ为

止方形，且平面aa芭_L平面知8.

⑴求证：BC±rill|JCFE；

⑵点M为线段石厂的中点，求直线3厂与平面比48所成角的正弦值.

题型叫：线曲角正弦转余弦问题

1如图，已知ZEJ.平面X3CD,CFUAE,AD3BC,ADJ.AB,AB=AD=1,BC=2.若ZE=2,CF=\,

则肝与平面BDE所成角的余弦值为__________.

B

2.已知四棱柱ABCD-44GA的底面是边长为2的正方形,侧楂与底面垂直,若点C到平面4与4的

距离为警，则直线耳―如所成角的余弦值为()

3而3s「Mn行

A.V.------U•-----

10~w1010

3.如图,在底面为矩形的四棱锥P-^4BCD中，平面R4D_L平面江CD.

(1)证明：AB1PD；

<2)若PA=PD=AB,^APD=90°,设。为P3中点，求汽线X。与平面P8C所成角的余弦值.

4.止三棱柱4比二4»£的所仃桢长都相等，则ZC；和甘血84仁£所成角的余弦值为()

A.叵D.当

4B-TC.T

题型五：线血角范围间速

1.如图，在中，/月。8=5，XO=4,§0=2，RtAZOC可以通过Rtz^ZOB以直线40为轴旋转

得到，且二面角B-NO-C是直二面角.动点。在线段.4万上.

(1)当。为X6的中点时，求异面直线NO与。。所成角的余弦值;

⑵求C。与平面ZOB所成角的正弦最大值.

2.四极锥尸-研8,E4，平面458,底面458是菱形，PA=AB,平面平面产5c.

⑵设〃为尸C上的点，求尸C与¥面4区以所成角的正弦值的最人值.

3.如图，网锥的底面上有45CD四点，［颜如为=而二五以^9，点E在线段4G匕若

_9

匕-BDE=^G-.iBCD•

⑴证明：GC〃平面包有；

⑵若“CG为等边三角形，点尸在劣弧冠上运动，记G尸与干向EZ出所成的角为。，求sina的最小值.

4.如图，在长方体中，点尸是长方形45GA内一点，/4PC是二面角的平

面角.

⑴证明：点尸在4G上；

⑵若48=8。，求直线P2与平山iPCD所成角的正弦的最大值

题型六：利用线血角求参数

1.如图，菱形43CZ）中，AABC=60°，4。与5。相交于点。，力石J_平面N3CD，CF||AE,AB=2，

CF=3.若直线。尸与平血2m所成的角为45°,则/石=.

A

2.如图所示空间直角坐标系彳-个二中，P（x,y;）是正三棱柱皿-44G的底面44G内一动点,

44=袒=3,白线R4和底面初。所成角为则尸点坐标满足（）

C.f+y2=27D.x2+y2+z2=27

3.在三棱锥尸-疑。中，PA，PB，PC互相垂直，P4=PB=4,M是线段上一动点，且直线NM

与平面尸8。所成角的正切值的最大值是有，则三棱锥P-弱C外接球的体积是（）

A.30万B.32乃C.34万D.36乃

4.如图，在正四棱柱288-43£鼻中，底面边长为2,宜线Cg与平面NCR所成角的正弦值为g,则正

A.1B.2C.3D.4

5.己知四面体幺BCD中，ABtBC,BD两两丽l'LBC=8。=拒，*55平面幺8所成角伽沏值为寺,

则点5到平面4CD的距肉为（）

A后述C.立D,迈

2355

题型七：线面向的探索性问题

L如图，直角三角形面和等边三角形加。所在平面互相垂直，AB=AC=2,E是线段加上一点.

⑴设E为4D的中点，求证：BELCD-,

⑵苏直.线CO和平面BCE所成外的正弦值为叵，求差的值.

2.如图，平行六面体力BCD-48£乌的所di棱长都相等，N氏4D=60,，cos/6,4=cos/。，4=3,E为

4

枝十CBC的中点，尸在楼4纥上运动，章=2丽.

(1)证明：当a=g时，E尸〃平面4皿；

⑵是否存在点尸，使得直线5尸与平面ECR所成角的止弦值为叵？若存在，求出2的值；若不存在,

14

请说明理由.

3.如图，在三棱柱ZBC-481G中，CG_1■平面N5C,AA.=AC=BC=2,^ACB=90°,O是Cg的中点.

⑴求平面4处与平面48c夹加的余弦值；

⑵在宜线8上是否存在一点尸,使得仍与平面4皿所成角的正弦值为3,若存在，求出o的长;

若不存在,请说明理由.

模块:一:修会巩固

1.如图，在四棱锥。-H5c中，4*C=9（r.ZQ=X5=8C=&D.E为线段NC的中点，BD=BC.

⑴证明：BE工CD；

⑵求<\!ABE与平面BCD所成角的正弦值.

2.在四棱锥尸-在8中，底面48为止方形，4Pl平面CDP,AP=DP.

⑴求证：平面4BCD_Z平面〃>P；

⑵若。是。尸中点，求直线BP与平面方C0所成角的正弦值.

3.如图，在四极锥P-JBCD中，尸4_1_平面幺88,NA4D=90。，PA=AB=BC=^AD=1,BC//AD,

已知。是棱尸。上靠近点尸的四等分点，则C0与平♦面P4B所成角的正弦值为（）.

C.也D,1

296

4.如图，四棱锥尸一在CD中，CD_L平面R4D,AB1/CD,AB=\,CD=2,M为棱尸。上一点.

⑴若M为尸。的中点，证明：氏Vf〃平面RW;

⑵若尸/=PD=ZD=2,ILR4//平一面8MD,求直线PC与平向BMD所成角的正弦值.

5.在正四核柱中，AB=2,^=4,石在线段Cg匕［ICE^^