2027高考数学九大专题专项突破第1章 集合简易逻辑和不等式解析版

§1.1集合2

考点1:集合的表示：列举法、描述法3

考点2:集合元素的三大特征4

考点3:元素与集合间的关系5

考点4:集合与集合之间的关系6

考点5:集合的交、并、补运算7

考点6:集合与排列组合的密切结合9

考点7:集合的创新定义10

§1.2常用逻辑用语13

考点1:充分条件与必要条件的判断14

考点2:根据充分必要条件求参数的取值范围15

考点3:全称量词命题与存在量词命题的真假16

考点4:全称量词命题与存在量词命题的否定17

考点5:根据命题的真假求参数的取值范围18

§1.3等式与不等式的性质21

考点1:不等式性质的应用22

考点2:比较数(式)的大小与比较法证明不等式23

考点3:已知不等式的关系，求目标式的取值范围24

考点4:不等式的综合问题26

考点5:糖水不等式27

§1.4基本不等式及其应用29

考点1:基本不等式及其应用30

考点2:直接法求最值31

考点3:常规凑配法求最值32

考点4:消参法求最值33

考点5:双换元求最值34

考点6:“1”的代换求最值35

考点7:齐次化求最值36

考点8:利用基本不等式证明不等式38

考点9:利用基本不等式解决实际问题39

考点10:与a+b、平方和、ab有关问题的最值40

§1.5一元二次不等式与其它不等式解法43

考点1:不含参数一元二次不等式的解法44

考点2:含参数一元二次不等式的解法45

考点3:一元二次不等式与韦达定理及判别式47

考点4:其他不等式解法48

考点5:二次函数根的分布问题49

考点6:一元二次不等式恒成立问题50

11

§1.1集合

1、元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和∉．

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图(venn图)．

(4)常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

∗

符号NN或N+ZQR

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在

这个集合中就确定了．给定集合A={1,2,3,4,5}，可知1∈A，在该集合中，6∉A，不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．

集合A={a,b,c}应满足a≠b≠c．

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A={1,2,3,4,5}和B={1,3,5,2,4}是同一个集合．

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

2、集合间的基本关系

(1)子集(subset)：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我

们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”

(或“B包含A”)．

(2)真子集(propersubset)：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真

子集，记作A⊊B(或B⊃≠A)．读作“A真包含于B”或“B真包含A”．

(3)相等：如果集合A是集合B的子集(A⊆B，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集

LaoFan1

合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B．

(4)空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合

的真子集．

3、集合的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩

B，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪

B，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集

U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x∉A}．

4、集合的运算性质

(1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A．

(2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A．

(3)A∩CUA=∅，A∪CUA=U，CUCUA=A．

【解题方法总结】

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子

集有2n-2个．

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．

(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔CUB⊆CUA．

(4)CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)．

考点1:集合的表示：列举法、描述法

1(2024·广东江门·统考一模)已知集合A=-1,0,1，B=m|m2-1∈A,m-1∉A，则集合B

中所有元素之和为()

A.0B.1C.-1D.2

【答案】C

【解析】根据条件分别令m2-1=-1，0，1，解得m=0，±1，±2，

又m-1∉A，所以m=-1，±2，B=-1,2,-2，

所以集合B中所有元素之和是-1，

故选：C．

2LaoFan

2(2024·江苏·高三统考学业考试)对于两个非空实数集合A和B，我们把集合

x∣x=a+b,a∈A,b∈B记作A∗B．若集合A=0,1，B=0,-1，则A∗B中元素的个数为

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】A=0,1，B=0,-1，则A∗B=0,-1,1，则A∗B中元素的个数为3

故选：C

3(2024·全国·高三专题练习)定义集合A+B=x+yx∈A且y∈B．已知集合A=

2,4,6，B=-1,1，则A+B中元素的个数为()

A.6B.5C.4D.7

【答案】C

【解析】根据题意，因为A=2,4,6，B=-1,1，

所以A+B=1,3,5,7．

故选：C．

【解题总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然．

2、描述法，注意代表元素．

考点2:集合元素的三大特征

4(2024·北京海淀·校考模拟预测)设集合M=2m-1,m-3，若-3∈M，则实数m=()

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

【答案】C

【解析】设集合M=2m-1,m-3，若-3∈M，

∵-3∈M，∴2m-1=-3或m-3=-3，

当2m-1=-3时，m=-1，此时M=-3,-4；

当m-3=-3时，m=0，此时M=-3,-1；

所以m=-1或0．

故选：C

5(2024·江西·金溪一中校联考模拟预测)已知集合A=1,a,b，B=a2,a,ab，若A=B，则

a2023+b2022=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

a2=1a2=b

【解析】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可

ab=bab=1

a=-1a=1

知a≠1，解得a=1(舍)，和(舍)，所以a=-1，b=0，则a2023+b2022=(-1)2023+02022=-1，

b=0b=1

故选：A

2

6(2024·北京东城·统考一模)已知集合A=xx-2<0，且a∈A，则a可以为()

3

A.-2B.-1C.D.2

2

LaoFan3

【答案】B

【解析】∵x2-2<0，∴-2<x<2，∴A=x|-2<x<2，

3

可知-2∉A，∉A，2∉A，故A、C、D错误；-1∈A，故B正确．

2

故选：B

【解题方法总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。

考点3:元素与集合间的关系

7(2024·河南·开封高中校考模拟预测)已知A=x∣x2-ax+1<0，若2∈A，且3∉A，则a的

取值范围是()

551051010

A.,+∞B.,C.,D.-∞,

223233

【答案】B

【解析】由题意，22-2a+1<0且32-3a+1≥0，

510

得<a≤，

23

故选：B

2

8(2024·吉林延边·统考二模)已知集合A=xax-3x+2=0的元素只有一个，则实数a的值

为()

99

A.B.0C.或0D.无解

88

【答案】C

【解析】集合A有一个元素，即方程ax2-3x+2=0有一解，

2

当a=0时，A=xax2-3x+2=0=x-3x+2=0=，符合题意，

3

当a≠0时，ax2-3x+2=0有一解，

9

则Δ=9-8a=0，解得：a=，

8

9

综上可得：a=0或a=，

8

故选：C．

x2y2

9(2024·全国·高三专题练习)已知集合A=x,y+≤1,x∈Z,y∈Z，则A中元素的个

42

数为()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】由椭圆的性质得-2≤x≤2，-2≤y≤2，

又x∈Z，y∈Z，

所以集合A=-2,0,2,0,-1,0,1,0,0,1,0,-1,0,0,-1,1,-1,-1,1,1,1,-1

共有11个元素．

故选：C

4LaoFan

【解题方法总结】

1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别．

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是．

考点4:集合与集合之间的关系

10(多选题)(2024·山东潍坊·统考一模)若非空集合M，N，P满足：M∩N=N，M∪P=P，则

()

A.P⊆MB.M∩P=MC.N∪P=PD.M∩∁pN=∅

【答案】BC

【解析】由M∩N=N可得：N⊆M，由M∪P=P，可得M⊆P，则推不出P⊆M，故选项A错

误；

由M⊆P可得M∩P=M，故选项B正确；

因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P=P，故选项C正确；

由N⊆M可得：M∩∁pN不一定为空集，故选项D错误；

故选：BC．

k1

11(2024·江苏·统考一模)设M=xx=,k∈Z，N=xx=k+,k∈Z，则()

22

A.M⊊NB.N⊊MC.M=ND.M∩N=∅

【答案】B

11

【解析】因为x=k+=2k+1，因为k∈Z，

22

所以集合N是由所有奇数的一半组成，

而集合M是由所有整数的一半组成，故N⊊M．

故选：B

12(2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测)已知集合A=x|x2-x-12≤0，B=

x|x2-3mx+2m2+m-1<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为

()

55

A.-3,2B.-1,3C.-1,D.2,

22

【答案】C

【解析】由题意集合A=x|x2-x-12≤0=[-3,4]，

B=x|x2-3mx+2m2+m-1<0={x|(x-m-1)(x-2m+1)<0}，

若m>2，则2m-1>m+1，此时B=(m+1,2m-1)，

因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故BÜA，

2m-1≤4

5

故m+1≥-3，∴2<m≤；

2

m>2

若m<2，则2m-1<m+1，此时B=(2m-1,m+1)，

因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故BÜA，

LaoFan5

m+1≤4

故2m-1≥-3，∴-1≤m<2；

m<2

若m=2，则2m-1=m+1，此时B=∅，满足BÜA，

5

综合以上可得m∈-1,，

2

故选：C

13(2024·广东茂名·统考二模)已知集合A=xx≤1，B=x2x-a<0，若A⊆B，则实数

a的取值范围是()

A.2,+∞B.2,+∞C.-∞,2D.-∞,2

【答案】A

a

【解析】集合A=xx≤1=x-1≤x≤1，B=xx<．

2

a

要使A⊆B，只需1<，解得：a>2．

2

故选：A

【解题方法总结】

1、注意子集和真子集的联系与区别．

2、判断集合之间关系的两大技巧：

(1)定义法进行判断

(2)数形结合法进行判断

考点5:集合的交、并、补运算

14(2024·广东广州·统考二模)已知集合A=xx=3n-2,n∈N∗，B=6,7,10,11，则集合A∩

B的元素个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因为A=xx=3n-2,n∈N∗，B=6,7,10,11，则A∩B=7,10，

故集合A∩B的元素个数为2．

故选：B．

1

15(2024·河北张家口·统考二模)已知集合A=xx-24-x>0，B=x>0，则

3-x

∁RA∪∁RB=()

A.2,3B.3,4

C.-∞,2∪3,+∞D.-∞,3∪4,+∞

【答案】C

1

【解析】A=xx-24-x>0=x|2<x<4，B=x>0=x|x<3，

3-x

即A=2,4，B=-∞,3，

所以，∁RA=-∞,2∪4,+∞，∁RB=3,+∞，

6LaoFan

所以，∁RA∪∁RB=-∞,2∪3,+∞．

故选：C．

16(2024·广东·统考一模)已知集合M=x∣xx-2<0，N={x∣x-1<0}，则下列Venn图

中阴影部分可以表示集合{x∣1≤x<2}的是()

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】xx-2<0⇒0<x<2，x-1<0⇒x<1，

选项A中Venn图中阴影部分表示M∩N=0,1，不符合题意；

选项B中Venn图中阴影部分表示∁MM∩N=[1,2)，符合题意；

选项C中Venn图中阴影部分表示∁NM∩N=(-∞,0]，不符合题意；

选项D中Venn图中阴影部分表示M∪N=-∞,2，不符合题意，

故选：B

17(2024·全国·高三专题练习)2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看

电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召．现有《青

春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，

观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人．其中，只观看了《青春之歌》和《建党

伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》

的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为．

【答案】3

【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三

支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有21-4-6-3=8(人)，

因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有23-4-7-3=9(人)，

因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有26-6-7-3=10(人)，

因此，至少看了一支短视频的有3+4+6+7+8+9+10=47(人)，

所以没有观看任何一支短视频的人数为50-47=3．

故答案为：3

LaoFan7

【解题方法总结】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

考点6:集合与排列组合的密切结合

∗

18(2024·全国·高三专题练习)设集合X=a1,a2,a3,a4⊆N，定义：集合Y=

x

a+aa,a∈X,i,j∈N*,i≠j，集合S=x⋅yx,y∈Y,x≠y，集合T=x,y∈Y,x≠y，分别用

ijijy

|S|，|T|表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是()

A.|S|=6B.|S|=16C.|T|=9D.|T|=16

【答案】D

【解析】不妨设1≤a1<a2<a3<a4，则ai+aj的值为a1+a2，a1+a3，a1+a4，a2+a3，a2+a4，a3+

a4，

显然，a1+a2<a1+a3<a1+a4<a2+a4<a3+a4，所以集合Y中至少有以上5个元素，

不妨设x1=a1+a2，x2=a1+a3，x3=a1+a4，x4=a2+a4，x5=a3+a4，

则显然x1x2<x1x3<x1x4<x1x5<x2x5<x3x5<x4x5，则集合S中至少有7个元素，

所以|S|=6不可能，故排除A选项；

2

其次，若a1+a4≠a2+a3，则集合Y中至多有6个元素，则|S|max=C6=15<16，故排除B项；

对于集合T，取X={1,3,5,7}，则Y={4,6,8,10,12}，此时T=

12123344555563

,,,,,,,,2,,,,,,,3，|T|=16，故D项正确；

35235453643252

xixjxixj

对于C选项而言，∀i≠j，xi≠xj，则与一定成对出现，-1-1<0，所以|T|一

xjxixjxi

定是偶数，故C项错误．

故选：D．

19(2024·全国·模拟预测)已知集合A，B满足A∪B=1,2,3，若A≠B，且A&B，B&A表

示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为()

A.9B.4C.27D.8

【答案】C

【解析】当A=∅时，集合B可以为{1,2,3}；

当A={1}时，集合B可以为{2,3}，{1,2,3}；

当A={2}时，集合B可以为{1,3}，{1,2,3}；

当A={3}时，集合B可以为{1,2}，{1,2,3}；

当A={1,2}时，集合B可以为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}；

当A={1,3}时，集合B可以为{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}；

当A={2,3}时，集合B可以为{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}；

当A={1,2,3}时，集合B可以为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．

故满足题意的“AB互衬对”个数为27．

故选：C

8LaoFan

20(2024·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测)已知集合A满足：①A⊆N，②∀x，y∈

A，x≠y，必有x-y≥2，③集合A中所有元素之和为100，则集合A中元素个数最多为()

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【解析】对于条件①A⊆N，②∀x，y∈A，x≠y，必有x-y≥2，

若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，集合中

有11个元素，

又0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110>100，0+2+4+6+8+10+12+14+16

+18=90<100则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合A中元素个数最多不能

超过10个，

故若要集合A满足：①A⊆N，②∀x，y∈A，x≠y，必有x-y≥2，③集合A中所有元素之和

为100，最多有10个元素，

例如A=0,2,4,6,8,10,12,15,18,25．

故选：B．

【解题方法总结】

利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法

考点7:集合的创新定义

21(2024·全国·校联考模拟预测)对于集合A，B，定义A-B=xx∈A，且x∉B．若A=

{x|x=2k+1,k∈N}，B={x|x=3k+1,k∈N}，将集合A-B中的元素从小到大排列得到数列

an，则a7+a30=()

A.55B.76C.110D.113

【答案】C

【解析】因为A=1,3,5,7,9,11,⋯，B=1,4,7,10,13,16,19,22,25,⋯，

*

所以A-B=3,5,9,11,15,⋯，所以a7=21．A-B相当于集合A中除去x=6n-5n∈N形

式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以a30=89．

则a7+a30=110，

故选：C．

22(多选题)(2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测)由无理数引发的数学危机一直延续到19世

纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称

戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也

结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为

两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一

个元素，则称M,N为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是()

A.M=xx<0，N=xx>0是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，N也没有最小元素

【答案】BD

LaoFan9

【解析】对于A，因为M=xx<0，N=xx>0，M∪N={x|x≠0}≠Q，故A错误；

对于B，若M=x∈Q|x<0，N={x∈Q|x≥0}，则满足戴德金分割，

此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；

对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则a<b，

则M=x∈Q|x≤a，N=x∈Qx≥b，而(a,b)内也有有理数，

则M∪N≠Q，故C错误；

对于D，若M=x∈Q|x<2，N={x∈Q|x≥2|，

则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，

故选：BD

23(2024·湖北·统考二模)已知X为包含v个元素的集合(v∈N*，v≥3)．设A为由X的一些

三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含

在唯一的一个三元子集中，则称X,A组成一个v阶的Steiner三元系．若X,A为一个7阶的

Steiner三元系，则集合A中元素的个数为．

【答案】7

【解析】由题设，令集合X={a,b,c,d,e,f,g}，共有7个元素，

所以X的三元子集，如下共有35个：

{a,b,c}、{a,b,d}、{a,b,e}、{a,b,f}、{a,b,g}、{a,c,d}、{a,c,e}、{a,c,f}、{a,c,g}、{a,d,e}、{a,d,

f}、{a,d,g}、{a,e,f}、{a,e,g}、{a,f,g}、{b,c,d}、{b,c,e}、{b,c,f}、{b,c,g}、{b,d,e}、{b,d,f}、{b,d,

g}、{b,e,f}、{b,e,g}、{b,f,g}、{c,d,e}、{c,d,f}、{c,d,g}、{c,e,f}、{c,e,g}、{c,f,g}、{d,e,f}、{d,e,

g}、{d,f,g}、{e,f,g}，

因为A中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以

A中元素满足要求的有：

{a,b,c}、{a,d,e}、{a,f,g}、{b,d,f}、{b,e,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有7个；

{a,b,c}、{a,d,f}、{a,e,g}、{b,d,e}、{b,f,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有7个；

{a,b,c}、{a,d,g}、{a,e,f}、{b,d,e}、{b,f,g}、{c,d,f}、{c,e,g}，共有7个；

{a,b,d}、{a,c,e}、{a,f,g}、{b,c,f}、{b,e,g}、{c,d,g}、{d,e,f}，共有7个；

{a,b,d}、{a,c,g}、{a,e,f}、{b,c,e}、{b,f,g}、{c,d,f}、{d,e,g}，共有7个；

{a,b,d}、{a,c,f}、{a,e,g}、{b,c,e}、{b,f,g}、{c,d,g}、{d,e,f}，共有7个；

{a,b,e}、{a,c,d}、{a,f,g}、{b,c,f}、{b,d,g}、{c,e,g}、{d,e,f}，共有7个；

{a,b,e}、{a,c,f}、{a,d,g}、{b,c,d}、{b,f,g}、{c,e,g}、{d,e,f}，共有7个；

{a,b,e}、{a,c,g}、{a,d,f}、{b,c,d}、{b,f,g}、{c,e,f}、{d,e,g}，共有7个；

{a,b,f}、{a,c,d}、{a,e,g}、{b,c,e}、{b,d,g}、{c,f,g}、{d,e,f}，共有7个；

{a,b,f}、{a,c,e}、{a,d,g}、{b,c,d}、{b,e,g}、{c,f,g}、{d,e,f}，共有7个；

{a,b,f}、{a,c,g}、{a,d,e}、{b,c,d}、{b,e,g}、{c,e,f}、{d,f,g}，共有7个；

{a,b,g}、{a,c,d}、{a,e,f}、{b,c,e}、{b,d,f}、{c,f,g}、{d,e,g}，共有7个；

{a,b,g}、{a,c,e}、{a,d,f}、{b,c,d}、{b,e,f}、{c,f,g}、{d,e,g}，共有7个；

{a,b,g}、{a,c,f}、{a,d,e}、{b,c,d}、{b,e,f}、{c,e,g}、{d,f,g}，共有7个；

共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素．

故答案为：7

【解题方法总结】

1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方

10LaoFan

法并不难，难在转化．

2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要

根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。

LaoFan11

§1.2常用逻辑用语

一、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p，则q”为真(记作p⇒q)，则p是q的充分条件；同时q是p的必要条件．

2、从逻辑推理关系上看

(1)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；

(2)若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的的充要条件(也说p和q等价)；

(4)若p⇏q且q⇏p，则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件．

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的

必要条件．所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得p成立，必须要q成立(即

如果q不成立，则p肯定不成立)．

二．全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”

表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”

可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．

(2)存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“∃”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成

立”可用符号简记为“∃x0∈M，P(x0)”，读作“存在M中元素x0，使p(x0)成立”(存在量词命题也叫存

在性命题)．

三．含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p:∀x∈M，p(x)的否定¬p为∃x0∈M，¬p(x0)．

(2)存在量词命题p:∃x0∈M，p(x0)的否定¬p为∀x∈M，¬p(x)．

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．

【解题方法总结】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A=x|p(x)，B=x|q(x)．

12LaoFan

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件(p⇒q)，q是p的必要条件；若A⊊B，则p是q的充分不必要条

件，q是p的必要不充分条件，即p⇒q且q⇏p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”．

(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=B，则p与q互为充要条件．

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于(=)大于(>)小于(<)是都是任意(所有)至多有一至多有一

个个

否定词语不等于(小于等于大于等于不是不都某个至少有两一个都没

≠)(≤)(≥)是个有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立，要判断全

称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个

反例．

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个

存在量词命题就是假命题．

考点1:充分条件与必要条件的判断

【解题总结】

1、要明确推出的含义，是p成立q一定成立才能叫推出而不是有可能成立．

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．

3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．

24(2024·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测)已知向量a=m2,-9，b=1,-1，则“m=-3”是

“a⎳b”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若m=-3，则a=9,-9=9b，所以a⎳b；

若a⎳b，则m2×-1--9×1=0，解得m=±3，得不出m=-3．

所以“m=-3”是“a⎳b”的充分不必要条件．

故选：A．

LaoFan13

25(2024·全国·高三专题练习)已知直线a⊥平面α，则“直线a⎳平面β”是“平面α⊥平面β”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若“直线a⎳平面β”成立，设l⊂β，且l⎳a，又a⊥平面α，所以l⊥平面α，又l⊂β，所以

“平面α⊥平面β”成立；

若“平面α⊥平面β”成立，且直线a⊥平面α，可推出a⎳平面β或a⊂平面β，

所以“直线a⎳平面β”不一定成立．

综上，“直线a⎳平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要条件．

故选：A．

11

26(2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)“cos2α=-”是“cosα=”的()

22

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

11

【解析】cos2α=2cos2α-1=-，cosα=±，

22

11

所以“cos2α=-”是“cosα=”的必要不充分条件．

22

故选：B

27(2024·天津南开·南开中学校考模拟预测)已知a，b∈R，则“a>b”是“a2>b2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】若a=0>b，则a2>b2不成立，若a>b且a<0=b，此时a2>b2推不出a>b，所以“a>

b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．

故选：D

考点2:根据充分必要条件求参数的取值范围

【解题总结】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系．

2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错．

28(2024·山东潍坊·统考二模)若“x=α”是“sinx+cosx>1”的一个充分条件，则α的一个可能

值是．

ππ

【答案】(只需满足α∈2kπ,2kπ+k∈Z即可)

42

ππ2

【解析】由sinx+cosx>1可得2sinx+>1，则sinx+>，

442

ππ3ππ

所以，2kπ+<x+<2kπ+k∈Z，解得2kπ<x<2kπ+k∈Z，

4442

π

因为“x=α”是“sinx+cosx>1”的一个充分条件，故α的一个可能取值为．

4

14LaoFan

ππ

故答案为：(只需满足α∈