高考数学一轮复习 课时规范练65　离散型随机变量及其分布列、数字特征（北师大版）

课时规范练65离散型随机变量及其分布列、数字特征(分值:93分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.(2025·江苏南京模拟)若随机变量ξ的分布列为ξ-2-1123P0.20.12m0.25m则P(|ξ|<2)的值为()A.0.3 B.0.4 C.0.55 D.0.852.(2025·重庆江北区模拟)已知一组数据x1,x2,…,x7的方差为3,则数据2x1+1,2x2+1,…,2x7+1的方差为()A.3 B.7 C.12 D.133.设离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,且P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3),又ξ的数学期望Eξ=3,则ab的值为()A.12 B.-23 C.13 D4.(2025·浙江宁波模拟)将2个小球随机地投入编号为1,2,3,4的4个盒子中(每个盒子容纳的小球个数没有限制),记1号盒子中小球的个数为ξ,则Eξ=()A.12 B.23 C.712 5.某实验测试的规则如下:每位学生最多可做3次实验,一旦实验成功,则停止实验,否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为p(0<p<1),实验次数为随机变量X,若X的数学期望EX>1.39,则p的取值范围是()A.(0,0.6) B.(0,0.7)C.(0.6,1) D.(0.7,1)6.(2025·广东广州模拟)一个盒子里有3个相同的球,分别标有数字2,3,4,若每次不放回地从盒子中随机取出一个球,直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为X,则EX=()A.223 B.7 C.254 D7.(多选题)(2025·福建福州模拟)已知离散型随机变量X的分布列如下,则下列说法正确的是()X012P0.361-2qq2A.q=0.2B.EX=0.68C.E(X2)=0.4624D.DX=0.29768.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)盒子中有3个球,其中1个红球,2个黄球.从盒子中不放回地随机取球,每次取1个,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,E(ξ),D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差,则下列结论正确的是()A.P(ξ=0)=13 B.Eξ=C.E(3ξ+1)=3 D.D(3ξ+1)=69.(2025·河南南阳一模)某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的10%,公司应要求顾客交保险金元.

10.(15分)(2025·北京,18)有一道选择题考查了一个知识点.甲、乙两校各随机抽取100人,甲校有80人答对,乙校有75人答对,用频率估计概率.(1)从甲校随机抽取1人,求这个人做对该题目的概率;(2)从甲、乙两校各随机抽取1人,设X为做对的人数,求恰有1人做对的概率以及X的数学期望;(3)若甲校同学掌握这个知识点,则有100%的概率做对该题目,乙校同学掌握这个知识点,则有85%的概率做对该题目,未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,设甲校学生掌握该知识点的概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率为p2,试比较p1与p2的大小(结论不要求证明).综合提升练11.已知随机变量X的分布列为X12Pab则“EX=43”是“DX=29”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.(多选题)(2025·山东青岛模拟)某游戏推出A和B两种抽奖活动,玩家可以通过参与活动获得游戏币,从而换取稀有道具.活动A和活动B的抽奖收益X,Y(单位:千个)及其概率分布如下表所示,则下列说法正确的是()X3711P0.4m0.3Y0818Pn0.60.1A.m+n=0.6B.E(5Y-3)=18C.两个活动的收益期望一样多D.活动B的收益风险低于活动A13.(15分)(2025·江西新余模拟)某高校为了丰富大学生的业余生活,每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛,该高校的李猛和张明进入决赛,决赛采用五局三胜制,即选手率先获得三局胜利时,比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析,李猛每局获胜的概率为23,张明每局获胜的概率为13,(1)求四局结束比赛的概率;(2)此次决赛设总奖金10万元,若决赛结果为3∶0,则冠军奖金为8万元,亚军奖金为2万元;若决赛结果为3∶1,则冠军奖金为7万元,亚军奖金为3万元;若决赛结果为3∶2,则冠军奖金为6万元,亚军奖金为4万元.求李猛此次决赛获得奖金数X的分布列和数学期望.创新应用练14.(2025·全国1,14)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望EX=.

参考答案1.B解析∵0.2+0.1+2m+0.25+m=1,∴m=0.15,∴P(|ξ|<2)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=0.1+2m=0.1+2×0.15=0.4.故选B.2.C解析因为数据x1,x2,…,x7的方差为DX=3,所以数据2x1+1,2x2+1,…,2x7+1的方差为D(2X+1)=4DX=4×3=12.故选C.3.D解析由题设1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3,可得14a+6b=3,且(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1,可得6a+3b=1,所以a=12,b=-23,则故选D.4.A解析根据题意ξ可取0,1,2,P(ξ=0)=34×34=916,P(ξ=1)=C21所以Eξ=0×916+1×3故选A.5.B解析由题意得,X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,所以EX=1×p+2×(1-p)p+3×(1-p)2=p2-3p+3,令EX=p2-3p+3>1.39,解得p<0.7或p>2.3,又因为0<p<1,所以0<p<0.7,即p的取值范围是(0,0.7).故选B.6.A解析由题意,X的值可以为6,7,9,P(X=6)=A22A33=13,P(X=7)=A所以X的分布列为X679P111所以EX=6×13+7×13+97.ABD解析由0.36+1-2q+q2=1,可得q=0.2,故A正确;因为EX=0×0.36+1×0.6+2×0.04=0.68,故B正确;因为E(X2)=0×0.36+1×0.6+4×0.04=0.76,故C错误;因为DX=E(X2)-(EX)2=0.76-0.682=0.2976,故D正确.故选ABD.8.ABD解析ξ=0表示停止取球时没有取到黄球,所以P(ξ=0)=13,故A正确随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=1)=23P(ξ=2)=23故ξ的分布列为ξ012P111所以Eξ=0×13+1×13+2×13由E(3ξ+1)=3Eξ+1=3×1+1=4,故C错误;Dξ=13×(0-1)2+13×(1-1)2+13×(2-1)2=23,D(3ξ+1)=9D故选ABD.9.(p+0.1)a解析设保险公司要求顾客交x元保险金,若ξ表示公司每年的收益额,则ξ是一个随机变量,ξ的所有可能取值为x-a,x,P(ξ=x-a)=p,P(ξ=x)=1-p,则ξ的分布列为ξx-axPp1-p因此,公司每年收益的期望值Eξ=p(x-a)+x(1-p)=x-ap,令x-ap=0.1a,解得x=ap+0.1a=(p+0.1)a.10.解(1)甲校随机抽取100人,其中有80人答对,用频率估计概率,设从甲校随机抽取1人,这个人答对为事件A,则P(A)=80(2)设乙校中随机抽取1人,这个人答对题目为事件B,则P(B)=75100=34,由(1)知P(∴从甲、乙两校各随机抽取1人,恰有1人做对的概率为P(X=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=4X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-45)×(1-34)=120,P(X=1)=720,P(∴X的分布列为X012P173∴EX=0×120+1×7(3)由题意可知,p1×100%+(1-p1)×14=45,解得p1=1115,p2×85%+(1-p2)×14=34,解得11.A解析由题意可知a+b=1,若EX=43,则a+2b=43,得a=23,b=13,DX=(43-1)2×23+(43若DX=29,则(a+2b-1)2a+(a+2b-2)2b=ab2+b(b-1)2=-b2+b=29,解得b=13或b=23.当b=13时,a=23,此时EX=1×23+2×13=43;当b=23时,a=13,此时EX=1×12.AC解析依题意可得0.4+m+0.3=1,n+0.6+0.1=1,所以m=0.EX=3×0.4+7×0.3+11×0.3=6.6,EY=0×0.3+8×0.6+18×0.1=6.6,则EX=EY,故C正确;E(5Y-3)=5EY-3=5×6.6-3=30,故B错误;DX=(3-6.6)2×0.4+(7-6.6)2×0.3+(11-6.6)2×0.3=11.04,DY=(0-6.6)2×0.3+(8-6.6)2×0.6+(18-6.6)2×0.1=27.24,DX<DY,所以活动B的收益风险高于活动A,故D错误.故选AC.13.解(1)记事件A=“四局结束比赛”,则P(A)=C32×(23)2×1(2)由题意知,X的所有可能取值为2,3,4,6,7,8,所以P(X=2)=(1-23)3=127,P(X=3)=C31×23×(1-23)2P(X=4)=C42×(23)2×(1-23)2×(1-23)=881,P(X=6)=C42×(23P(X=7)=C32×(23)2×(1-23)×23=827,P所以X的分布列为X234678P1281688所以EX=2×127+3×227+4×881+6×1681+714.6125解析(方法一)依题意,X的所有可能取值为1,2,3,总的选取方法数为53故P(X=1)=5125=125,P(X=P(X=3)=60125所以EX=1×P(X=1)+2