2026年高考数学一轮培优练习（新高考）计数原理与排列组合（学生版+解析）

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.1计数原理与排列组合

【考情分析•探规律】

考点考情分析(2021-2024)命题趋势

2024•北京、2024•全国甲卷

2024・天津、2024・新课标H卷

2023•全国甲卷、2023•全国乙卷理解分类加法计数原理、分步乘法计

2023•天津、2023•新课标I卷数原理及其意义；理解排列、组合的概念；

计数原理与排列组合

2023•新课标11卷、2022•天津能利用计数原理、排列组合解决简单的实

2022•浙江、2022•新高考全国II卷际问题。

2022•全国甲卷、2022•全国乙卷

2022•北京、2021•北京

【知识梳理】

1.两个计数原理

(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有〃7种不同的方法，在第2类方

案中芍n种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.

(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有〃种不同

的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.

2.排列与组合的概念

名称定义

n列从n个不同元素中取出按照—_排成一列

组合个元素作为一组

3.排列数与组合数

(1)排列数：从〃个不同元素中取出个元素的所有的个数，用符号A曾表示.

(2)组合数：从〃个不同元素中取出〃心〃在〃)个元素的所有的个数，用符号C7表示.

4.排列数、组合数的公式及性质

(n-m)!

公式

(2儿$=翳=：〃?£N',且mW/)

Ammi(n-m)：

性质(1)0!=1；Ar=〃！.

(2)禺=1；制=随叫

点拨】

1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.

(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.

2.排列数、组合数常用公式

(l)A；?=(〃一,〃+

⑶(〃+1)!-〃！=〃•〃！.

(4)纪=〃田.

(5)C；+CM+…+CM+&；=C；储.

3.解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排.

(2)合理分类与准确分步.

(3)排列、组合混合问题要先选后排.

(4)相邻问题捆绑处理.

(5)不相邻问题插空处理.

(6)定序问题倍缩法处理.

(7)分排问题直排处理.

(8)“小集团”排列问题先整体后局部.

(9)构造模型.

(10)正难则反，等价转化.

【随堂训练】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或“x”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()

(2)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()

(3)一个组合中取出的元索讲究元素的先后顺序.()

(4)若组合式C：=C，，则成立.()

2.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有种选法()

A.11B.12

C.30D.36

3.（多选）下列结论正确的是（）

A.3X4X5=A1

B.Cg+C4a

C.若C$o=C帑-2,则工=3

D.C9+G+C$+C$=64

4.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部

分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃

掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有条.

【必练核心题型】

题型一计数原理

【典例】1.用3种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有

种不同的涂色方案（）

A.243B.32

C.48D.1280

【典例】2.如图，在某海岸尸的附近有三个岛屿Q,R,S,计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起

来，每座桥直线连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）

⑨©

P

A.24种B.20种

C.16种।D.12种

【变式训练】

变式1.某高中运动会设有8个项目，甲、乙两名学生每人随机选取3个项目报名参加，则至少选中2个

相同项目的报名方法有（）

A.420利।B.840种

C.476种D.896种

变式2.如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为屋8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞,

每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（）

①②③④

A.68种B.136种

C.272种D.544种

题型二排列、组合问题

【典例】1.甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，

则甲、乙总的选法有（）

A.27种B.18种

C.36种D.48种

【典例】2.某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖和鼓励奖共五种奖

项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；

乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有

可能的种数是（）

A.I5B.18

C.22D.26

【变式训练】

变式1.（2025・德阳模拟）甲、乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲、乙两名同学中间恰

有1人，则不同的站法数为（）

A.144B.192

C.360D.480

变式2.某学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活

动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则两个小组不同的分配方案有（）

A.20种B.40种

C.60种D.80种

题型三排列、组合的综合问题

命题点1相邻、相间问题

【典例】1.（多选）某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺

序安排流程，则下列说法正确的是（）

A.如果甲工序不能放在第一道，共有96种加工顺序

B.如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序

C.如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序

D.如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序

命题点2定序问题

【典例】2.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.

如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法种数为.

命题点3分组、分配问题

【典例】3.第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月16~22日在重庆市育才中学成功举办.

在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新

教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加

同一个服务项目，则小同的安排方案有（）

A.108种B.114种

C.15Q种D.240种

【变式训练】

变式1.8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，则所有可能的分组方案数量是（）

A.28B.2520

C.105D.128

变式2.（多选）身高各不相同的六位同学A,B,C,D,E,尸站成一排照相，则说法正确的是（）

A.4,C,力三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法

B.A与C同学不相邻，共有A：A5种站法

C.A,C,。三位同学必须站在一起，且A只能在。与。的中间，共有144种站法

D.A穴在排头，8不在排尾，共有504种站法

【拓展训练】

递推数列在计数原理中的应用

在计数原理中，当计数的基数较大时，川枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问

题的基数从有限个且数目很少推广到〃个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题.

【典例】1.有Ai,4，…，A6共六个人，他们的座位分别为S,&,…，&,现在求每一个人坐一个座位，且都

不坐自己座位，则共有种不同的坐法（）

A.9B.16

C.44D.265

【典例】2.如图，一个环形的大会场被分成了〃个区域，现有々种不同颜色的服装提供给〃个区域的观众，要求

同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k=5,〃=6时，共有种不同的着

装方法.

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.（2024.徐州模拟）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中

甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（）

A.18种B.48种

C108种D.192种

2.已知A,8两个公司承包6项工程，每项工程均被承包且至多被一个公司承包，每个公司至少承包2项,

则承包方式共有（）

A.24种B.70种

C.48种D.50种

3.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，则这

样的排法种数是（）

A.5040B.36

C.18D.20

4.（2025・南京模拟）北京大兴国际机场拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题.现有3辆不

同的车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有

种（）

「二一丁一丁丁丁「—--

:/；k：/\mT\n\r—o\r—p•\;

LuiiJltliJ.il.tJ

A.16B.18

C.24D.32

5.将1个0,2个1,2个2随机排成一行，则2个1不相邻的情况种数是（）

A.10B.20

C.18D.40

6.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一

人，则不同的录用情况种数是（)

A.90B.150

C.390D.420

7.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（）

A.70B.99

C.110D.165

8.某同学计划用他姓名的首字母7；X,身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号”，生〃设置一

个六位的密码.若T,X必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母的相对顺序和数字的

相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）

A.864B.1009

C.1225D.1441

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9.下歹J说法正确的是（）

A.已知A乳=100A氯〃WN*,刀22）,则〃=13

B.已知C：；2=C将-5,贝Ijx=5

C.4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种

D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法

10.有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，下列说法正确的是（）

A.若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种

B.若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

C.若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种

D.若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种

11.定义“圆排列”：从〃个不同元素中选〃，个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为

H之圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾"，所以H#=襄现有2个女

生，4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，贝心）

A.共有HS种排法

B.若两名女生相邻，则有2唠种排法

C.若两名女生不相邻，共有4H：种排法

D.若男生甲位置固定，则有5唠种排法

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.某员工在开办公室四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实

由“3”“6”“9”这三个数字组成，则该密码有种可能.（用数字作答）

13.10人的身高各不相同，排成前后两排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有种排法.

14.A,B,C,。，E,尸同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中4B,C三人两两不相邻，A和。必须相邻,

这样的排队方法有种.

【尖子拔高训练】每小题5分，共10分

15.“四平方和定理”最早山欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是：任意正整

2

数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，［典例］如正整数11=32+1+12+02设36=a2+h2+c2+J2t

其中mb,c,d均为自然数，则满足条件的有序数组3,b,c,的个数是（）

A.26B.28

C.29D.30

16.三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回

给丙，则不同的传球方式共有（）

A.6和B.10种

C.11种D.12种

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.1计数原理与排列组合

【考情分析•探规律】

考点考情分析(2021-2024)命题趋势

2024•北京、2024•全国甲卷

2024・天津、2024・新课标H卷

2023•全国甲卷、2023•全国乙卷理解分类加法计数原理、分步乘法计

2023•天津、2023・新课标I卷数原理及其意义；理解排列、组合的概念；

计数原理与排列组合

2023•新课标II卷、2022•天津能利用计数原理、排列组合解决简单的实

2022•浙江、2022•新高考全国II卷际问题。

2022•全国甲卷、2022•全国乙卷

20224匕京、2021・」匕京

【知识梳理】

1.两个计数原理

⑴分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有，〃种不同的方法，在第2类方

案中有〃种不同的方法，那么完成这件事共有N=〃?+〃种不同的方法.

(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有加种不同的方法，做第2步有〃种不同

的方法，那么完成这件事共有N=mX〃种不同的方法.

2.排列与组合的概念

名称定义

排列从n个不同元素中取出按照一定的顺序排成一列

组合个元素作为一组

3.排列数与组合数

(1)排列数：从〃个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,用符号A等表示.

(2)组合数：从〃个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,用符号表示.

4.排列数、组合数的公式及性质

(1)A普=〃(〃一1)(〃一2>-(〃一〃z+1)="、，，机£N”,且〃2W〃).

(n—m)!

公式

(2儿£=翳=:(〃,〃7£N’,且

Amm!(n-m)：

(1)0!=1；A『=〃！.

性质

⑵吐i；c^=crm；喘］=4+上.

点拨】

1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.

(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.

2.排列数、组合数常用公式

(1)A7=(〃一〃？+„

⑵A『=〃A；"

⑶5+1)!-〃！=〃♦〃！.

(4)kC=〃C工.

⑸力++…+C；；；.।+a=QVi.

3.解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排.

(2)合理分类与准确分步.

(3)排列、组合混合问题要先选后排.

(4)相邻问题捆绑处理.

(5)不相邻问题插空处理.

(6)定序问题倍缩法处理.

(7)分排问题直排处埋.

(8)“小集团”排列问题先整体后局部.

(9)构造模型.

(10)正难则反，等价转化.

【随堂训练】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“Y”或“x”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()

(2)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()

(3)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()

(4)若组合式C；=C；'，则成立.()

【答案】(1)X(2)X(3)X(4)X

【解析】(1)分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计

数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)不正确.

(2)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；

(3)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；

(4)若C：=C；‘，则x=或〃-6，故错误.

2.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有种选法()

A.llB.12

C.30D.36

【答案】C

【解析】6X(6-1)=30.

3.(多选)下列结论正确的是()

A.3X4X5=Ag

B0+C4篇

C.若C%=C密-2,则工=3

D.C$+C刍+C：+C$=64

【答案】AD

【解析】A：=5X4X3,故A正确；

备+髭=2C^=2X等=20,第=等=15,

故髭+《#髭,故B错误;

cio=cio_2»则x=2r—2或x+2x—2=10,解得％=2或x=4.故C错误；

G+G+G+c?=cy+G+G+G=i+T+^^+7=64,故D正确.

4.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部

分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃

掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有条.

【答案】6

【解析】由题意可知,“兵”吃掉“马”的最短路线,需横走三步,竖走两步；其中能顺带吃掉“炮”的

路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有3种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有2种走

法.故能顺带吃掉“炮”的可能路线共有3X2=6(条).

点拨】

1.元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.

2.（1）排列数与组合数之间的联系为C/A窑=AP

（2）排列数与组合数公式的两种形式分别为：①连乘枳形式；②阶乘形式.前者多用于数字计驿，后者多用于

含有字母的排列数与组合数式子的变形与论证.

3.解有条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分类时标准应统一，避免出现

重复或遗漏.

4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.

【必练核心题型】

题型一计数原理

【典例】1.用3种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有

种不同的涂色方案（）

A.243B.32

C.48D.1280

【答案】C

【解析】从左到右依次涂色，第一个圆环可以涂3种颜色，第二、三、四、五个圆环各可以涂2种颜色，

共有3X2X2X2X2=48（种）不同的涂色方案.

【典例】2.如图，在某海岸尸的附近有三个岛屿Q,R,S,计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起

来，每座桥直线连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则大同的连接方式有（）

P

A.24种B.20种

C.16种D.12种

【答案】D

【解析】可分为两类：

第一类：从一个地方出发向其他三个地方各建一座桥，共有4种不同的连接方式；

第二类：一个地方最多建两座桥，其中建桥连接方式：P—S—R—Q和Q—R—S—P属于相同的建桥方法，

所以共有白XA：=12（种）不同的连接方式，其中交叉建桥方法，【典例】如P-R-S-Q,P-R-Q-S,R

-P-S-Q,R-P-Q-S不符合题意，共有4种，

所以第二类建桥方法共有12—4=8（种）不同的连接方式.

综上可得，不同的连接方式有4+8=12（种）.

点拨】

完成一件事的方法种数的计算步骤

（1）审清题意，弄清要完成的事件是怎样的.

（2）分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种.

（3）弄清在每一类或每一步中的方法种数.

（4）根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数.

【变式训练】

变式1.某高中运动会设有8个项目，甲、乙两名学生每人随机选取3个项目报名参加，则至少选中2个

相同项目的报名方法有（）

A.420种B.840种

C.476种D.896种

【答案】D

【解析】由题意可知，可以分两种情况：

第一种情况：所选取的3个项目中恰有2个相同项目，

第一步，在8个项目中选取2个，共有鬣=28（种），

笫二步，甲在剩下的6个项目中选取1个，共有禺=6（种），

第三步，乙在剩下的5个项目中选取1个，共有乙=5（种），

由分步乘法计算原理可知，共有28X6X5=840（种）；

第二种情况：所选取的3个项目全部相同，

则有鬃=56（种）；

由分类加法计数原理可知，满足要求的报名方法一共有840+56=896（种）.

变式2.如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为1~8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，

每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（）

A.68种B.136种

C.272种D.544种

【答案】C

【解析】根据题意，分2种情况讨论：

①甲乙放在同一排，有&（：犯犯犯演弓=128（种）放法，

②甲乙不放在同一排，有&禺6禺（：如'=144（种）放法，

则有128+144=272（种）不同的放法.

题型二排列、组合问题

【典例】1.甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，

则甲、乙总的选法有（）

A.27种B.18种

C.36种D.48种

【答案】A

【解析】当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有玛髭=9（种）；当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙

的选法有髭第=18（种）,则甲、乙总的选法有9+18=27（种）.

【典例】2.某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖和鼓励奖共五种奖

项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；

乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有

可能的种数是（）

A.15B.18

C.22D.26

【答案】D

【解析】甲是特等奖，不考虑丙的奖项有A：种；甲不是特等奖，不考虑丙的奖项有备玛人号和；而丙奖项在

丁和成之间的情况占［所以5人的奖项的所有可能的种数是“A2+玛©A利=26.

点拨】排列问题和组合问题的区分方法

（1）排列问题：若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.

⑵组合问题：若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无

关.

【变式训练】

变式1.（2025•德阳模拟）甲、乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲、乙两名同学中间恰

有1人，则不同的站法数为（）

A.144B.I92

C.360D.480

【答案】B

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①在其他4人中，选出1人，安排在甲、乙中间，有CXAN=8（种）情况；

②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有A*=24（种）排法.

则有8X24=192（种）不同的站法.

变式2.某学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活

动，每小组均要求既要有女生乂要有男生，则两个小组不同的分配方案有（）

A.20种B,40种

C.60种D.80种

【答案】C

【解析】由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男为一组，余下的人为一组；

2女1男为一组，余下的人为一组：

3女1男为一组，余下的人为一组：

4女1男为一组，余下的人为一组：

所以两个小组不同的分配方法有G（禺+髭+髭+心）=60（种）.

题型三排列、组合的综合问题

命题点1相邻、相间问题

【典例】1.（多选）某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺

序安排流程，则下列说法正确的是（）

A.如果甲工序不能放在第一道，共有96种加工顺序

B.如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序

C.如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序

D.如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序

【答案】AC

【解析】如果甲工序不能放在第一道，则甲有4种安排方式，根据分步乘法计数原理，共有禺A1=

4X4X3X2X1=96（种）加工顺序，故A正确：

甲、乙两道工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有A'A%=

2X4X3X2X1=48（种加工顺序，故B错误；

如果甲、丙两道工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲、丙，故共有A：A：=

3X2X1X4X3=72（种）加工顺序，故C正确:

A5

5

--

现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的全排列,A2=60（种）加工顺序,

2

故D错误.

命题点2定序问题

【典例】2.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.

如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法种数为.

【答案】90

【解析】由题意，取下6盏不同的花灯，

先对6盏不同的花灯进行全排列，共有AS种方法，

因为每次只取一盏花灯，而且只能从下往上取，

所以必须除去不符合题意的排列顺序，即先取上方的顺序，故K同取法种数为益7=90.

A5A?A?

命题点3分组、分配问题

【典例】3.笫41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月16~22日在重庆市育才中学成功举办.

在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新

教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加

同一个服务项目，则不同的安排方案有（）

A.108种B.114种

C.150种D.240种

【答案】B

【解析】5名新教师按3：I：1分组有髭种方法，按2：2：1分组有鬻种分法，因此5名新教师的安排方

案有（髭+甯）A4种，当甲、乙在同一组时，甲、乙可视为1个人，即相当于4名新教师的安排方案，有

鬣A号种，所以所求不同的安排方案有（髭+甯）人多一（：球§=25乂6—6乂6=114（种）.

点拨】求解排列组合问题的6种主要方法

直接法把符合条件的排列数直接列式计算

优先法优先安排特殊元素或特殊位置

捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列

对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素

插空法

排列的空当中

定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

间接法正难则反、等价转化

【变式训练】

变式1.8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，则所有可能的分组方案数量是（）

A.28B.2520

C.105D.128

【答案】C

【解析】由题意8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，则所有可能的分组方案数量是警炉

=空0=|（）5.

24

变式2.（多选）身高各不相同的六位同学A,B,C,D,E,歹站成一排照相，则说法正确的是（）

A.A,C,。三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法

B.A与C同学不相邻，共有种站法

C.A,C,。三位同学必须站在一起，且A只能在。与。的中间，共有144种站法

D.4K在排头，“不在排尾，共有504种站法

【答案】ABD

【解析】将A,C,。三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有备=120（种）站法，故A正确;

先排B,D,E,F,共有A1种站法，A与C同学插空站，有熊种站法，故共有种站法，故B正确；

将4,C,。三位同学捆绑在一起，且4只能在C与。的中间，有2种站法，捆绑后有A1种站法，故共有

2XA2=48（种）站法,故C错误;

当A在排尾，8随意站时，则有Ag=120（种）站法；当A不在排头也不在排尾时，有A1种站法，8有A升中站

法，剩下的同学随意站有A：种站法，共有南下AZ=384（种）站法,故A不在排头，8不在排尾,共有120+

384=504（种）站法,故D正确.

【拓展训练】

递推数列在计数原理中的应用

在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问

题的基数从有限个且数目很少推广到〃个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题.

【典例】1.有4,4，…，4共六个人，他们的座位分别为办，脱，…，&,现在求每一个人坐一个座位，且都

不坐自己座位，则共有种不同的坐法（）

A.9B.16

C.44D.265

【答案】D

【解析】记〃个人坐位子且自己不坐自己的座位的方法数构成一个数列{〃“},易得G=l,公=2,

当〃，4时，首先，让4选位，A不选当，则共有〃种坐法，不妨设4选了&（白勺），然后再让4选位，

①当4选以时，则余下〃-2个人和2个座位，共有为.2种坐法；

②当4不选办时，则余下〃-1个人都有一个不能选的座位，则共有为7种坐法，

所以砺二（〃-1）（。〃-2+Cln-1）♦

所以=3（42+。3）=9,as-4（673+674）=44,

=5(44+45)=265.

【典例】2.如图，一个环形的大会场被分成了“个区域，现有火种不同颜色的服装提供给〃个区域的观众，要求

同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k=5,〃=6时，共有种不同的着

装方法.

3

【答案】4100

【解析】设提供A•种颜色来给排成环形的〃个区域涂色且相邻区域不同色，记方法数为力（〃），

若先考虑给〃个排成一行的区域涂色且相邻区域不同色，则方法数应为ka-1尸」，

|1|2|3|…〃|

①若区域1和区域〃不同色，则把区域I和区域〃粘在一起成一个环状时满足条件；

②若区域1和区域〃同色，贝IJ把区域I和区域〃粘在一起成一个环状时不满足条件，此方法数需从k（A-1）”」种方法

中减揖

所以〃〃产仁d・IV」・五（〃・1）,

易得/s(3)=Ag=60,

所以为4)=5x(5・-为(3)=260,

所以为(5)=5x(5-I)4-为(4)=1020,

所以为⑹=5x(5-I)5-所5)=4I(X).

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.（2024・徐州模拟）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中

甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（）

A.18种B.48种

C.108种D.192种

【答案】D

【解析】因为甲不去北京，应该分步完成：

第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；

第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有4X4X4=64（种）选法，

由分步乘法计数原理，可得不同选法有3X64=192（种）.

2.已知A,3两个公司承包6项工程，每项工程均被承包且至多被一个公司承包，每个公司至少承包2项,

则承包方式共有（）

A.24种B.70种

C.48种D.50种

【答案】D

【解析】根据题意，分三种情况：

①4公司承包2项工程，剩余4项工程由8公司承包，则有髭=15（种）承包方式；

②A公司承包3项工程，剩余3项工程由8公司承包，则有a=20（种）承包方式；

③A公司承包4项工程，剩余2项工程山5公司承包，则有髭=15（种）承包方式.

所以承包方式共有15+20+15=50（种）.

3.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，则这

样的排法种数是（）

A.5040B.36

C.18D.20

【答案】D

【解析】最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，

所以排法有第=20（种）.

4.（2025•南京模拟）北京大兴国际机场拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题.现有3辆不

同的车停放在7个并排的泊车位上,要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有

种（）

A.I6B.18

C.24D.32

【答案】C

【解析】从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式，停放的3个车辆，有Ag=6（种）方式，则不同

的泊车方案有4X6=24（种）.

5.将1个0,2个1,2个2随机排成一行，则2个1不相邻的情况种数是（）

AJOB.20

C.18D.40

【答案】C

【解析】将1个0,2个1,2个2随机排成行，则2个1不相邻的情况共有第鬣=18（种）.

A2

6.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一

人，则不同的录用情况种数是（）

A.90B.150

C.390D.420

【答案】C

【解析】若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有Ag=60（种）,

若5人中有且仅有4人被录用，满足条件的录用情况有心•若180（种），

若5人都被录用，满足条件的录用情况有婴・A^+要小3=150（种），

A2A2

综上，符合要求的不同的录用情况种数是60+180+150=390.

7.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（）

A.70B.99

C.110D.165

【答案】D

【解析】当8个相同的篮球只分给其中1人时，有4种分法；

当8个相同的篮球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的篮球排成一排，从形成的7

个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有第C；=42（种）分法；

当8个相同的篮球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的篮球排成一排，从形成的7

个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有最第二84（种）分法：

当8个相同的篮球分给4人时，每人至少一个，此时将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选

出3个空插入3个“隔板”即可，此时有©=35（种）分法.

因此把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数为4+42+84+35=165.

8.某同学计划用他姓名的首字母7；X,身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号a,6。设置一

个六位的密码.若T,X必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母的相对顺序和