2026年中考数学二轮复习：二次函数的图象与性质（学案）

二次函数的图象与性质

考点精讲

构建知识体系

概念］—y=a/+A/+c(a,b,c是常数.“0；

实际问题［二次函数］一开口方向

一(图象与性质｝—--对称性

一顶点坐标一最值

J增减性

-----般式

与一元二次

二次函数的实际应用解析式—顶点式一图象的平移

方程的关系J交点式

I

考点梳理

1.二次函数的图象与性质

表达式y-axL+bx+c{a,b,c是常数，存0)

a。>0a<0

>一

图象(草图)救

⑴对称轴为直线k①______

对称轴(2)利用x=三上求解(其中为，x2为关于对称轴对称的两点的横

坐标)

顶点(1)顶点坐标为②__________

坐标(2)将一般式配方化为顶点式产g-4+k,则顶点坐标为③

在对称轴左侧，即当X<-?在对称轴左侧，即当时，

2a2a

增减性

时，y随x的增大而减小；在y随x的增大而增大；在对称轴

对称轴右侧即当时，右侧，即当x>-/时，)，随X的

2a

y随x的增大而增大增大而减小

当x二・5时，丁取最小值

IX

最值当尸-小寸，y取最大值竺一

4ac-b2

4Q

2.二次函数的图象与系数a,h,c的关系

a>0开口④______

a的正负

a<0开口⑤_____

/?=()对称轴为y轴

a,h的值a,b同号对称轴在y轴⑥______

a,b开p对称轴在y轴⑦______

c=0抛物线过原点

c的正负c>0抛物线与)，轴交于⑧—半轴

c<0抛物线与y轴交于⑨—半轴

b2-4ac=0与x轴有唯一的交点(顶点)

b--4ac的值hr-4ac>0与x轴有⑩________交点

h2-4ac<0与工轴没有父点

3.二次函数表达式的三种形式

(1)一般式：=ax1+hx+c(a,h，。为常数，。羊0)

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a/0),其中顶点坐标为(〃,k)

(3)交点式：y=a{x-x))(x-x2)(«#0,a,x\,x2为常数，其中即，x2为抛物线与x

轴交点的横坐标)

4.二次函数图象的平移

化为

(1)将y=or2+版+c-»y=a[x-/?)2+k

⑵平移规律

平移前的解析式移动方向(加>0)平移后的解析式简记

向左平移m个单位y=a[x-力+m)2+k左"+”

向右平移m个单位y=a(x-八-+k右"-”

y=a(x-It)2+k

向上平移m个单位y=a(x-/i)2+4+上“+”

向下平移"2个单位y=-A)2+X-下“

5.二次函数与一元二次方程的关系

与"轴二次函数y二办2+法十。的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方

交点坐

标的确定程加+"+”0的解

(1)二次函数的图象与X轴有两个交点=方程加+bx+c=o有⑪

的实数根-4ac>0；

与A-轴交点个⑵二次函数的图象与"由有且只有一个交点o方程江+公+c=0

数的判断有两个相等的实数根=炉-4"⑫_____0；

(3)二次函数的图象与x轴没有交点=方程以2+"+。=。⑬___实

数根-4ac<0

练考点

1.已知二次函数y=2(x-2)2+5.

⑴二次函数图象的对称轴为直线；顶点坐标为；

⑵二次函数的图象经过点(3,月),(5,竺),则yY2.(域”或“V”)

2.已知函数)，=f-4x+3.

⑴函数图象的开口向—,与y轴的交点坐标为；

⑵函数的图象与x轴有一个交点，交点的坐标为.

3.⑴已知抛物线y=%2+笈+c过点(0/)和(1,0)，则抛物线的解析式为；

⑵已知二次函数的图象经过点(1,0),(3,0)和(2,3),则这个二次函数的解析式

为.

4.已知抛物线y"-2x-3.

⑴将此二次函数的图象先向上平移3个单位长度，得到的二次函数G的解析式

为再向右平移1个单位长度得到的二次函数的解析式为；

⑵若将抛物线经过平移后得到抛物线了二炉,则平移的方式是.

5.已知抛物线y=x2+x-2则一元二次方程/十工-2=0与x轴有个交

点,该一元二次方程的解为.

高频考点

考点1二次函数的图象与性质

例1已知二次函数y=/-2%-3,根据要求回答下列问题.

(1)该二次函数表达式化为顶点式为;

⑵核心设问该二次函数有最值(填“大”或“小”),其最值为;

⑶核心设问当-3<^0时，)，的最大值为,最小值为；

(4)当-1<¥<2时,y的最大值为,最小值为；

⑸若点4(5,12)为二次函数图象上的点，则点4关于对称轴对称的点的坐标

为；

⑹核心设问若点4-2,6)，8(2,竺)，C(5,y3)在该二次函数图象上，则,，

”，》的大小关系为；(用“<”连接)[2024广东8题考查]

⑺若(45)，(〃2,冷堤抛物线上不同的两点，且丁2二6-5,则m的值为.

变式1对于抛物线y=3(x-2产-1,下列说法正确的是()

A.)，随工的增大而减小

B.当x=2时，y有最大值-1

C.若点A(3,y),3(1,h)都在抛物线y=3(x-2)2-1上，则y]>y2

D.经过第一、二、四象限

考点2二次函数的图象与系数。，匕，c的关系

例2如图，抛物线y=加+公+c,其对称轴为直线x=1.根据图象,分析并判

断下列结论，用“>”“铲'<或“二"填空.

例2题图

(l)a0,h0,c0；

(2)Z?2-4ac0；

(3)2。+b0；

(4)6f+/7+c0；

(5)4〃-2b+c0；

(6)c-a0；

⑺2c-3b0；

(g)a+bm(am+力)(/疗0).

方法解读

1.根据从-4ac的符号观察与x轴的交点个数:

⑴与x轴有两个交点一/-4ac>0；

⑵与x轴有一个交点一序-4ac=0；

⑶与x轴没有交点一。2-4ac<0.

2.二次函数图象与特殊代数式之间的关系

⑴如遇见2a+b,2a-b类的式子，可利用对称轴与±1比较求解；

(2)如遇见a+b+cta-b+c类的式子，可利用x=±l,求出y的大小求解；

⑶如遇见。，c或〃，。关系的式子，可利用对称轴(如：2〃+〃)与x等于某个值时

y的式子(如a+b+c)联立求解；

(4)如遇见5+4<从形式的式子，先因式分解，再利用x等于某两个值的式子联

立求解.

例3已知a+b=0(tz#0)>0则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()

考点3二次函数解析式的确定(含平移)

例4如图，抛物线y=加+fer+c与x轴相交于点4-1,0),B(点A在点B

左侧)，与丁轴相交于点C(0,-3).

⑴若抛物线的对称轴为直线尸2,求该抛物线的解析式；

⑵若抛物线向左平移3个单位后，经过坐标原点，求该抛物线的解析式；

⑶核心设问若A0:8。=1:2,求该抛物线的解析式；

（4）若直线），=2x+m经过点B,C,求该抛物线的解析式.

变式3已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=-+%相同，且

它的顶点坐标为（-1,6）,则这条抛物线的解析式为.

考点4二次函数与一元二次方程、不等式的关系

例5已知抛物线y二/+云+。（。邦）的部分图象如图所示厕关于x的一元二次

方程ax1+bx+c=-1有个实数根.

例5题图

变式4已知，抛物线尸以2+以十式〃<0,厚0）经过点（-2,0）,（3,0）,则方

程CX2+法+Q=0的解为.

真题及变式

命题点1二次函数的图象与性质

1.若点,刃），（2,乃）都在二次函数尸X2的图象上，则（）

A.刈>竺>JiB.y2>yi>y3

C.)'i>为>"D.乃>)"

2.如图,抛物线y=+。经过正方形0A3C的三个顶点A,8,C,点8在y

轴上，则ac的值为（）

4

B

0\x

第2题图

A.-1B.-2C.-3D.-4

变式

2.1变思维——将利用对称性变为利用正方形的边角关系

如图，在正方形A8CD中，点3,。的坐标分别是（-1,-2）,（1,2）,点C

在抛物线产-#+云的图象上，则b的值是（）

变式2.1题图

命题点2二次函数图象与系数。，/7,c的关系

3.如图，抛物线y=ax1+bx+c的对称轴是直线x=1.下歹U结论：@ahc>0；@b2

-4〃c、>0；③8。+c<0；④5。+8+2c>0,正确的有()

A.4个B.3个

变式

3.1变条件——与表格结合

已知二次函数产加+区+c的），与x的部分对应值如下表：

X-4-3-115

y0595-27

下列结论：①abc>0；②关于x的一元二次方程cur+bx+c=9有两个相等的实

数根；③当-4<x<1时，y的取值范围为0<y<5；④若点（加，y\）,（-"L2,

”）均在二次函数图象上，则y二竺；⑤满足以2+3+1）x+CY2的X的取值范

围是x<-2或x>3.其中正确结论的序号为.

命题点3二次函数图象的平移

4.把函数y=（x-1户+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析

式为（）

A.j?=x2+2B.y=(x-I)2+1

C.y=(x-2)2+2D.v=(x-I)2+3

5.把抛物线)，二及+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到

的抛物线的解析式为.

变式

5.1变条件——将抛物线平移变为坐标轴平移

抛物线的函数表达式为y=(x-1>+2,若将《轴向上平移2个单位长度，将y轴

向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为

()

A.y=(x+2/+4B.y=(x+2)2

C.y=(x-4)2+4D.y=(x-4)2

考点精讲

①②(-《,竺三上)③(",外④向上

⑤向下⑥左侧⑦右侧⑧正⑨负⑩两个

⑪两个不相等©=⑬无

练考点

l.(l)x=2,(2,5)；(2)<

2.⑴上，(0,3)；(2)两，(1,0)和(3,0)

3.⑴产f-2x+l；

(2)产-3(x-1)(%-3)

4.(l)y=x2-2x,y=/M+3；

⑵先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度(答案不唯一)

5.两；x产-2zX2=1

高频考点

例1(l)j=(x-1)2-4；

⑵小，-4；

⑶12,-3；

(4)0,-4；

⑸(-3,⑵；

(6»2<巾<心；

⑺-1或3.

变式1D【解析】••抛物线y=3(x・2)2-1=3/-⑵+11,a=3>0,对称轴

为直线x=2•.当x<2时，y随尢的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增

大，故A选项错误,不符合题意厂.•抛物线开口向上，，当工二2时,)，取最小值

为-1,故B选项错误，不符合题意；由题意得抛物线上的点离对称轴越近函数

值越小，•.抛物线的对称轴是直线x=2,|3-2|=|1-2|,.•.)—一，故C

选项错误，不符合题意；,.•当犬<2时，)，随x的增大而减小，且当x=0时，y=

11,••・当x<0时，y>11,故图象不经过第三象限,故D选项正确,符合题意.

例2⑴>,<,<；

(2)>；(3)=；(4)<；(5)>；

(6)<；【解析】由图象可知，a>0,c<0,c-a<0.

⑺<；【解析〉.•对称轴为直线,.•.」=1,.•.〃二将户・1代入二

2a2

次函数解析式得y=a-b+c<0,--Z?+c<0,2c-3b<0.

(8)<【解析】将九二1代入二次函数解析式得+b+将X=〃2代入得y二

卬九2+bm+c,当相=1时，。+/7+c=am2+bin+c,即。+b=m(am+〃)；当〃用1

时,.「当x=1时y取得最小值，.二a+b+c<anr+bm+c,BPa+Z?<m[am+b),

综上所述,a+b<m{am+b).

例3C【解析】,+〃=(),..。=-b，.二对称轴为直线x二-7-=7-=|，二ac

2a2a2

>o,，C同号，，选项C符合题意.

例4解：⑴•.抛物线的对称轴为直线-白=2,

2a

.,./?=-4a,

=ax2bx+c=ax1-4ax+c,

将A(-1,0),C(0,-3)代入y=ax1-4ax+c中，

a+4a+c=0

(c--3

解得,,

(c=-3

.»二咤，

.・抛物线的解析式为y=¥-也-3；

(2)由题意，抛物线经过点(3,0),

•・,该抛物线与x轴交于A,8两点，且点A的坐标为(-1,0),

・••可设抛物线的解析式为y=o(x+l)(x-3),

将点C(0,・3)代入，得・3二・3。，

解得a-\,

「•抛物线的解析式为y=(x+1)(%-3)=x2-2x-3；

(3),•点4的坐标为(-1,0),

.t.AO=1,

：AO:BO=1:2,

1.BO=2,

.,点B的坐标为(2,()),

将4-1,0),仅2,0),C(0，-3)分别代入广尔+法+c、中，

a-b+c=0

得＜4Q+2b+c=0,

、c=-3

3

a=-2

解得＜

b=--2,

、c=_3

.・抛物线的解析式为y=#-|x-3；

(4)将C(0,-3)代入y=2r+'中，

得“二-3,

・・・直线BC的解析式为y=2x・3,

令2x-3=0,解得x~\!

.•点B的坐标为(|,0),

将4-1,0),次|,0),C(0,-3)分别代入广公+法+c中,

Q-b+c=0

得＜2。+九+。=0,

42

、c=-3

a=2

b~l,

{c--3

.•该抛物线的解析式为)，=2f-x-3.

变式3)，=-2(x+1产+6【解析】•・抛物线的顶点坐标为(-1,6),.・抛物线解

析式可设为y=+I)?+6,,.抛物线>,=a(x+1尸+6的形状、开口方向均与抛物

线)，=-2?+9x相同,/.«=-2，.二这条抛物线的解析式为y=-2(x+I)2+6.

例5两【解析】•••二次函数的顶点在第二象限，且开口向下，.・抛物线产"2

+bx+c与直线y=-1有两个不同的交点，.二关于x的一元二次方程ax2+bx+c

=-1有两个实数根.

变式4%)=；【解析】•・抛物线y=〃f+bx+c经过点(-2,0),(3,

0)，，对称轴为直线x二；,即-白=9,,"二■a•：'a~-尻将点(-2,0)代入广

ox2+bx+c中，得4。-2/?+c=0,-4Z?-2〃+c=0,：.c-6b，.t6bx2+bx-b=0,

即6r+x-1=0,解得即=-;,x2=；.

真题及变式

1.A【解析】•.•二次函数的解析式为)，-2,.•该二次函数的图象开口向上,对

称轴为)，轴,在对称轴右侧，y随X的增大而增大,,.-2>1>0zJ3>)2>>'I.

2.B【解析】如解图,连接AC交y轴于点。，当尸0时，尸c,即08=c,

••・四边形OABC,,AC=OB=2AD=20D=c,ACA.OB/.A(-=

z222

r2

ax—+c,解得ac--2.

4

第2题解图

变式2.1D【解析】如解图,过点C作"NLt轴，作于点M,DN

，仞V于点N,,.四边形ABCQ是正方形，」.NBC。=90。，BC=DC,「.NBCM+N

DCN=9Q°=/BCM+4cBM，:ZDCN=4cBM,.2BMC=4CND=90。，].△CBM

^△OCMAAS)，:,CN=BM,ON二CM,设C(4,份，•.点B,D的坐标分别是(-1,

(a+1=2-h(a=2

-2),(1,2),•・《，解得…-I),,.点。在抛物线y

[a-l=b+2S-T

=--x2+hx的图象上，-l=--x4+2h,：.h=-.

222

变式2.1题解图

3.B【解析】①•.抛物线开口向下且交y轴于正半轴，.“<(),c>0,又•.抛物

线的对称轴为/=-白=I,=-2a>Q,：.abc<0,故①错误；②由抛物线与x

乙(X

轴有两个交点，得〃-4〃c>0,故②正确；③由题图知，当x二・2时，二次函

数y=4a-2b+c<0,又由①知b--2a./.y=4a-2b+c=Sa+c<0,故③正确；

④+/?+2c=(4〃+