湖南长沙市某中学2026年初中学业水平考试模拟试卷数学（二）含答案

湖南长沙市华益中学2026年初中学业水平考试模拟试卷数学（二）

一、单选题

1.下列实数中，比一3小的是（）

A.-2B.0C.-V5D.-4

)

A.V2+V3=V5B.a3-ra3=aC.(-a3)2=Q6D.a2-a3=G6

4.卜列调查中，最适宜采用全面调查方式的是()

A.调查国庆中秋假期游客对长沙热门景点的满意度

B.调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量

C.了解我国中学生的视力情况

D.了解某品牌灯泡使用寿命

5若式子需在实数范围内有意义,则无的取信范围是()

A.x>一1且％H5B.x>-1

C.x>—1且工工5D.x>-1

6.如图，8CJL4E,垂足为C,CD||AB,若乙4=40°,则的度数是)

B.50°C.60°D.70°

7.如图，度4BCO的对角线4C,BO相交于点。，且AC+8。=8,40=3,则△BOC的周长是（）

C.10D.II

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8.求一组数据方差的算式为：s2=ix[(5-x)2+(6-x)2+(5-x)2+(4-x)2],对于这组数据，下列说

法正确的是()

A.九的值为4B.x=4C.众数是6D.中位数是6

9.如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答.经查看答案解析发

现，若设第一次购买了无个魔方，则可列方程驾2-嘤=10进行解答.则被墨水污染部分的文字为

()

某校为魔方社团采购某款魔方，第一次

用1500元买了若干个，第二次用10()0元

在同一商家购买壁的默.

II求木左族界藐魔.

A.第二次购买时，每个魔方涨价10元，结果比第一次多买75个

B.第二次购买时，每个魔方涨价10元，结果比第一次少买了5个

C.第二次购买时，每个魔方优惠10元，结果比第一次多买了5个

D.第二次购买时，每个魔方优惠10元，结果比第一次少买了5个

10.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知点P(m,1),Q(Lm)(租＞0且m=1),直线PQ分别与工

轴、y轴相交于4B两点,连接。P,OQ,则下列结论中：①点P,Q在反比例函数y=9的图象上；

@LOAB=45°；③4P=BQ；④乙尸OQ的值随m的增大而增大.正确结论的序号为()

A.①③B.②④C.①③④D.①②③

二、填空题

11.稀土是宝贵的战略资源，广泛应用于尖端科技领域和军工领域，被称为“新材料之母我国是全球稀土

储量最多的国家，截至2025年已探明稀土储量44000000吨，约占全球总储量的48%,数据44000000用科学

记数法表示为.

12.中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中日：运墨而五色具，五色：

焦、浓、重、淡、清，美术老师想从这五色中随机选择一色让学生重点练习，则选中浓的概率

为

13.在平面直角坐标系中，将点4(-3,2)向下平移3个单位长度得到点B,则点B的坐标是,

计算：碧—鬻

15.已知K=Q是一元二次方程%2一2%-4=0的一个根，则代数式十一2a+2026的值为

16.如图，在。。中，M为直径48上一点，弦CD经过点M.若4DMB=60。，AM=1,BM=5,则弦CO的

长为_________

第2页

D

17•计算：V12-(2-V3)O+(1)1-2sin600-

r2x+1>-3

18.解不等式组：，1/X+5

X—JLU-每一

19.如图，在矩形4BCD中，点E和点尸在边8c上，且A"=OE.

（1）求证：△4BFW2DCE；

（2）若BC=11,EF=7,求BE的长.

20.根据2026年长沙体育中考详细方案，2026年体育满分从40分增加到50分，测试项目保持不变，.口.拟

于2028年在传统三大球（篮球、足球、排球）的基础上新增乒乓球和羽毛球.为了解某地区七年级学生对

这五项球类运动的喜爱情况，从该地区随机抽取部分七年级学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名同学只

能选择其中一项运动），收集数据，并将调查得到的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表.

运动项目人数

羽毛球40

乒乓球100

篮球m

足球n

排球30

根据图表中所给信息，解答下列诃题:

（1）计算出表中m,九的值;

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（2）求扇形统计图中表示“足球”部分所对应的扇形的圆心角度数：

（3）若该地区七年级学生共有20000人，试估计该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生有多少

人？

21.2025年，“湘”超湘味、“湘”当韵味的首届湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）席卷三湘大地，赛场外以

红嘴相思鸟和超级稻为原型的湘超联赛吉祥物“湘湘”和“超超”玩偶深受喜爱.购买某商家生产的吉祥物玩偶

时，买4个湘湘比买3个超超多用10元，买1个湘湘和2个超超共用140元.

（1）湘湘和超超的单价分别是多少元？

（2）某公益组织决定购买湘湘和超超共60个送给学生做纪念品，总费用不超过2700元，则至少应购买

湘湘多少个？

22.2025年8月17日，岳麓山顶的长沙广播电视发射塔（如国1）焕新升级后以“长沙之眼”观景平台的新

身份凫相，在“长沙之眼”里踱着步，转个圈，橘子洲、五一商圈、梅溪湖国际艺术中心等长沙地标就尽收眼

底.如图2.“长沙之眼”高度为4B,从距离塔底A点26米的C点出发，沿着一段坡度为7：24的斜坡走50米

到达。点，此时回头看塔顶B点，仰角刚好是45°,已知E点在。点的正下方，A,C,E三点在同一水平线

上.点4,B,C,D,E在同一平面内，请回答下列问题:

（2）求“长沙之眼”的高度A8.

23.如图，48是。。的直径，直线CE与。。相切于点C,过点力作4D1CE于点D.

（1）求证：2ABeAC。；

（2）若。。的半径为4,^ACE=30°,求图中阴影部分的面积.

第4页

24.定义：在平面直角坐标系中，我们把直线y=QX+C称为抛物线y=。/+6%+以。芯0)的“向阳线”.如

直线y=x-1足抛物线y=x24-2x-1的“向阳线

(1)求抛物线y=%2-2%+3与它的“向阳线”的交点坐标；

⑵抛物线y=/2+版+2闻交于48两点，与它的“向阳线”相交于两点，已知点A的横坐标为

-2,点。不在y轴上，试说明：无论匕为何值.点D始终在一条确定的直线th：

(3)在(2)的条件下，设抛物线7=义/+以：+£：的顶点为“，若点M和点8到直线，的距离相等，求b的

值.

25.如图，将△4BC的边绕点力逆时针旋转a得到4D.

图1图2图3

(1)如图1,当a=50。时,连接BD,若ACJ.BD,求NB4c的大小；

(2)如图2,当a=90。时，连接CD,若44BC+/4DC=180。，CD=4,BC=2,求AC的长：

(3)如图3,当a=120。时，已知4B=4C,Z,ABC=60°,连接BD,CD,点M,N分别是边BO,CO上

的动点(点M,N不与端点重合，且位于4C两侧)，连接4M,AN,/MAN=4BOC.是否存在实数3使得

代数式当谭Y为定值，若存在，求出实数£的值：若不存在，请说明理由.

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答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：一4<一3V-遮<一2V0

故答案为：D.

【分析】先估算-病的大小，再根据正数大于0,0大于负数，负数绝对值大的反而小解答即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：A.主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；

B.主视图是一个矩形(矩形内部有一条纵向的虚线)，俯视图是三角形，故本选项不合题意；

C.主视图和俯视图是圆，故本选项符合题意；

D.主视图是三角形，三角形的内部有一条纵向的实线，俯视图是四边形，四边形的内部有一点与三角形的四

个顶点相连，故本选项不合题意；

故答案为：C.

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：A、鱼与值不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

B、a3-a3=a3-3=a°=l^a,选项计算错误,不符合题意；

C、(-aJ)2=(-l)2.(a3)2=a3x2=a6,选项计算正确,符合题意;

26

D、a2.a3=a^=aVa,选项计算错误，不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据二次根式的加法运算法则、同底数k的乘法、除法运算法则，幕的乘方、积的乘方运算法则一

一判断即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：A.国庆假期游客数量多，范围广，不需要对每一名游客调查，因此适宜抽样调查，不符

合题意；

B.飞船重要零部件的质量直接影响飞行安全，每•个零部件都必须检查，不能出错，因此最适宜采用全面调

查方式，符合题意；

C.我国中学生总数大，范围广，适宜抽样调查，不符合题意；

D.测试灯泡使用寿命的过程具有破坏性，无法对所有灯泡进行测试，适宜抽样调查，不符合题意.

故答案为：B.

【分析】根据调查对象的性质、范国及实际需求，判断应选择全面调查还是抽样调查即可得到答案.

5.【答案】A

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【解析】【解答】解：式子臣华在实数范围内有意义，

X—5

则｛露雪

解得得XN-1且xr5.

故答案为：A.

【分析】式子要在实数范围内有意义，需满足二次根式被开方数非负，分母不为零，据此求解即可.

x-5

6.【答案】B

【解析】【解答】解:VBCXAE

••・ZBCE=90°

VCD//AB,ZA=40°

.\ZDCE=ZA=40°

・•・ZBCD=ZBCE-ZDCE=90°-40°=50°

故答案为：B.

【分析】根据垂直的定义得到NBCE=90。，由平行的性质得到/DCE=NA=40。，最后根据角E勺和差即可求解.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAC=2OC,BD=2OB,BC=AD=3

VAC+BD=8,AD=3,

.\2OC+2OB=8,

即0C-0B=4

・•・△BOC的周长为：OB+OC+BC=4+3=7

故答案为：B.

【分析】直接利用平行四边形的性质得出AC=2cO,BD=2BO,BC=AD=3,再求出20B+20c=8,得出

0B+0C=4,即可得到答案.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：求一组数据方差的算式为：s2=ix[(5-x)24-(6-x)2+(5-x)2+(4-%)2]

•・•根据方差的定义，方差算式中®-君2的项数等于数据个数小

观察算式可知，共有4个(勺-幻2项，

.*.n=4,选项A正确：

可得这组数据为4,5,5,6

••—4+5+5+6仁

•x=-----4-----=5

・•・选项B错误;

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・・,数据中5出现次数最多

・•・众数为5,选项C错误；

将数据从小到大排列为4,5,5,6,中间两个数为5,5

・・・中位数为岁=5,选项D错误.

故答案为：A.

【分析】根据方差的定义确定数据个数n,再计算这组数据的平均数，众数和中位数，逐一判断选项即可.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：根据题意列分式方程为国2一粤二io

xxb

・•・第二次购买魔方的单价比第一次低10元，

・•・被墨水污染部分的文字为：第二次购买时，每个魔方优惠10元，结果比第一次少买了5个，

故答案为：D.

【分析】由x表示第一次购买魔方的数量，可得出(x-5)表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第

一次少买5个，利用单价=总价二数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低10元，进

而可找出被墨水污染部分的文字.

10.【答案】D

【解析】【解答】解：对于①，当x=m时，y=9=3=1；

人fit

当x=l时，y=Y=Y=m：

・••点P,Q在反比例函数y=?的图象上：符合题意：

时于②，设直线PQ的解析式为y=kx+b,代入P,Q坐标得“性上匕=1

I(十。一771

解得

3=TH+1

，直线PQ的解析式为y=-x+m+l,

令y=0,得x=m+l,即A(m+1,0)；

令x=0,得产1力+1,即B(0,m+1)；

.*.OA=OB=m+l,

XVZAOB=90°

・••△AOB是等腰直角三角形

/.ZOAB=45°；符合题意：

对于③，AP=yj(m+1—m)2+(0—l)2=yjl2+(—I)2=>/2

BQ=J(0-l)2+(m+l-m)2="(-1)2+M=近

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AAP=BQ,符合题意；

对于④，如图，过点。作OC_LAD交于点C,过点Q作QD_LOP交于点D,

,:PQ=yj(m—I)2+(1—m)2=V2\m-1|»OP=y/m2+1,

又,.・S“0Q=聂Q.OC=^0PQD,

PQOC

:・QD=

OP

>j2\m-1\x^(m+1)

乙

m2—1

m2+1

当0<m<I时,

—m2+1—m2—1+2_]+2

s\nz.POQ=

m2+1m2+1m2+1

则当m增大时，sinZPOQ减小，即ZPOQ逐渐减小;

当m>l时.

m2—1m2+1—22

sinzPOQ=—z------=--------z----------=1-------5-------

m2+1m2+1m2+1

m增大，NPOQ逐渐增大，因此/POQ不随m的增大一直增大，④错误，不符合题意;

故答案为：D.

【分析】根据反比例函数性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形性质，两点间距离公式，逐

一判断每个结论，即可得到答案.

11.【答案】4.4x10?

第9页

【解析】【解答】解:44000000=4.4x107

故答案为:4.4x107.

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式,其中1乐|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于1()时，n是正整

数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数.

12.【答案】1

【解析】【解答】解：由题意可知，从焦、浓、重、淡、清共5种颜色中随机选择一色，共有5种等可能的结

果，其中选中浓的结果有1种

・••随机选择一色，选中浓的概率为1

故答案为：J.

【分析】直接利用概率公式求解即可.

13.【答案】(-3,-1)

【解析】【解答】解：将点A(・3,2)向下平移3个单位长度是(-3,2-3),即(3・1).

故答案为：(・3,-1).

【分析】根据平面直角坐标系平移的性质即可求解.

14.【答案】1

【解析】【解答】解：若一若二%竽2=失竽1=公|=1

故答案为：1.

【分析】根据同分母分式减法法则：分母相同，分子直接相减，化简后即可得到结果.

15.【答案】2030

【解析】【解答】解：・・"二&是一元二次方程x2-2x-4=0的一个根，

:.a2-2a-4=0

a2-2a=4,

・•・a2-2a+2026=4+2026=2030

故答案为：2030.

【分析】把x=a代入x2-2x-4=0并变形得到a2-2a=4,然后再整体代入求值.

16.【答案】2n

【解析】【解答】解：・・・AM=I,RM=5

.\AB=AM+BM=l+5=6

第10页

・••圆的半径OD=OA=^AB=3

丁点0为AB的中点

・・・OA=3

/.OM=OA-AM=3-1=2

D

过点。作OE_LCD于点E,连接OD,J/_______k

CZy

VOE1CD

AZOEM=90°,CD=2DE

在RtAOME中,ZOME=ZDMB=60°

:-0E=OM•sin600=2x坐=遍

在RSODE中，OD=3,OF=V3

根据勾股定理得：DE=40D2-OE2=132-(75)2=V6

・"0=2DE=2V6

故答案为：2遍.

【分析】先求出OM,过点O作OE_LCD于点E,连接OD,解RMOME求出OE的长，再在RsODE中

利用勾股定理求出DE的长，最后根据垂径定理求出CD的长.

17.【答案】解：原式=2百一1+3.4X空

=2

【解析】【分析】原式利用二次根式性质，零指数暴、负整数指数事法则，以及特殊角的三角函数值计算即可

得到结果.

(2%4-1>-3®

以【答案】解亨②

解不等式2X+1N-3得，x>-2,

解不等式IV孚得，x<4,

，原不等式组的解集为-2Wx<4.

【解析】【分析】分别解每一个不等式，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可.

19.【答案】(I)证明：在矩形ARCD中，点E和点F在边RC二，且AF=DE,

•・•矩形ABCD

第11页

/.AB=CD,ZB=ZC=90°,

VAr=DE

ARtAABF^RtADCE(HL)

(2)解：VAABF^ADCE

.\BF=CE

:.BC-BF二BC-CE,即CF=BE.

VBC=11,EF=7

:.BE=CF=^(BC-EF)=2.

【解析】【分析】⑴利用HL证明即可4ABF^ADCE：

(2)由全等三角形的性质求得BF=CE,得到CF=BE,据此求解即可.

20.【答案】(1)解：喜爱乒乓球的有100人，百分比为20%,

・•・10(N20%=5()0(人).

・・・m=500x36%=180(人)，

贝ijn=500-40-100-180-30=150(A);

(2)解：360。乂揣=108°

(3)解：若该地区七年级学生共有20000人，试估计该地区七生级学生中喜爱"羽毛球'’类运动的学生有

40

20000x^r=1600(人)

・••该地区七年级学生中喜爱"羽毛球'’类运动的学生约有1600人

【解析】【分析】(1)根据乒乓球的人数与百分比得到样本容量，再算各项人数即可；

(2)由圆心角度数的计算方法求解即可；

(3)根据样本估算总体数量即可.

21•【答案】(1)解：设湘湘的单价是x元，超超的单价是y元

根据题意得:｛第篇

解得E第

答：湘湘的单价是40元，超超的单价是50元.

(2)解：设应购买湘湘m个，则购买超超(60-m)个，

根据题意得：40m+50(60-m)<2700

解得：mN30

答：至少应购买湘湘30个.

【解析】【分析】(I)设湘湘的单价是x元，超超的单价是y兀，根据“买4个湘湘比买3个超超多用10兀,

买1个湘湘和2个超超共用140元”建立二元一次方程组，解方程组即可；

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（2）设购买湘湘m个，则购买超超（60-m）个，根据“总费用不超过2700元”建立一元一次不等式，解不等式即

可.

22.【答案】（1）解：根据题意可知CD=50米，且坡度为马

.DE_7

''~CE~2A

设DE=7x,CE=24x,根据勾股定理，»DE2+CE2=CD2,

即（7XF+（24X）2=502

解得：x=2

・・・DE=14米，CE=48米

（2）解：如图所示，过点D作DFJ_AB,交于点F,

根据题意知AC=26米，

・•・AE=CE+AC=48+26=74（米）

ZE=ZEAF=ZAFD=90°,

・・・AF二DE=14米，AE=DF=74米.

由题意可得：ZBDF=ZB=45°

.\BF=DF=74米

；・AB=BF+AF=74+14=88（米），

所以“长沙之眼”的高度是88米

【解析】【分析】⑴根据坡度可得作=务再设DE=7x,CE=24x,根据勾股定理可得答案；

（2）作DF_LAB,根据题意知AC=26米，再求出AE（米），然后根据矩形的性质可得AF,DF,接下来根据等

腰三角形的性质求出BF,最后根据AB=BF+AF得出答案.

23.【答案】（1）证明：AB是。。的直径，直线CE与。O相切于点C,过点A作ADJ_CE于点D,连接

EDC

第13页

〈AB是。0的直径

・•・ZACD=ZOCA+Z1=90°

VOB=OC

AZB=Z1,

•・•直线CE与。。相切于点C,

:.ZOCD=ZOCA+ZACD=90°

AZACD=ZB

ZACB=ZADC=90°

••・△ABC^AACD

(2)解：VZACE=30°,ZOCD=9()0

・•・ZOCA=60°

VOA=OC

/.△OCA是等边三角形

:.ZCOA=60°,AC=OA=4.

VZACE=30°,ZADC=90°

=^AC=2,CD=\/AC2-AD2=2百，

?

・•・阴影部分的面积=鳖祟-1x4x273=^-473

obUZ3

【解析】【分析】(1)利用圆周角定理和切线的性质求得NACD=/B,根据NACB=NADC=90。，即可得到

△ABC^AACD；

(2)求得△OCA是等边三角形，AD=^AC=2,CD=y/AC2-AD2=2>/3,据此求解即可.

24.【答案】(1)解：根据题意得,抛物线y=x2-2x+3的“向阳线”为y=x+3,

联立抛物线与“向阳线''得?二/一iv3

(y=x+3

解瞰二弼;鼠

・•・抛物线y=x?-2x+3与它的响阳线”的交点坐标为(0,3)和(3,6).

(2)解：无论b为何值，点D始终在一条确定的直线1上.

•・•抛物线丫=*/+6%+。过点人(-2,0),

x(-2)2+bx(—2)+c=0»x4—2b+c=0,

解得c=2b-2.

・,•抛物线为y=十匕%十2b—2，

第14页

・•・其“向阳线”为y=/x+2b—2,

y=oX2+bx+2b—2

联立抛物线与“向阳线''得｛21

y=尹+2b-2

/.x2+(2b-l)x=0,

解得］%=0或C一1一勺

用"寸卜=2b-2弋y=b-^

,・,点D不在y轴上，

・••点D的坐标为(1—2b,b--),

设直线的解析式为y=kx+m,

将D点代入直线1得，b―^=k(l-2b)+m»

•・•无论b为何值时，上式都成立，

l+2k=0

：.,3八

k+zn+2=0

解得k=~2

■TH=—1

・・・直线1的解析式为y=—即无论b为何值时，点D始终在直线'=一义工一1上

乙乙

(3)解：由(2)得，抛物线解析式为y=,%2+bx+2b—2,

b,

・♦,其顶点坐标的横坐标为％=-7-r=一瓦

将x=-b代入抛物线中，得bx(-/))+2b-2=-482+2b-2.

・•・顶点M的坐标为(—6,-2/+2方_2),

令y=#+bx+2b-2,x2+2bx+4b-4=0,

设点B的横坐标为xo,

丁点A的横坐标为-2,

.*.-2+X3=-2b,即xo=2-2b,

••・点B的坐标为(2-2b,0),

当直线MB与直线平行时，设直线MB解析式为y=kix+bi,

则自=-*

(—i(2-2b)+瓦=0

将点B和点M的坐标代入得12、

(一在一好+/二一评+2b-2

b2-5b+6=0,

第15页

(b-2)(b-3)=O

解得b=2或b=3

当直线1经过线段MB的中点时,

则MB的中点坐标为(y2b,T"+M2+0)=(空,一b2T4)

•・•中点在直线上，

.,.-b2+6+2=0,

(b-2)(b+l)=0,

解得b=2或b=-I

由题意得，令y=+bx+2b—2=0,

.\A=(2b)2-4x1x(4b-4)=4(b-2)2

・••当&>0时,b#2(b=2时A,B重合,不符合题意).

・•・若点M和点B到直线［的距离相等，则b的值为-1或3

【解析】【分析】(1)根据“向阳线”定义，抛物线y=x？-2x+3的向陀线为y=x+3,联立/进行求

解即可；

⑵将A(-2,0)代入抛物线得c=2b-2,联立抛物线与向阳线，解得0(1-2匕，力-3，由恒成立条件列方程

组，得直线的解析式为y=故D恒在该直线上；

⑶根据题意求出顶点(一人.一与2+2人一2)和B(2-2b,0),再分MB//1和过MB中点两种情况，讲行求解即

可.

25.【答案】(1)解：•••将AABC的边AB绕点A逆时针旋转a得到AD,a=50。

AZBAD=a=50°,AB=AD,

VAC1BD,

1

=^BAD=25°

(2)解：连接BD,作DE_LAC于点E,

•・,将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转a得到AD,a=90°

.\AB=AD,ZBAD=90°

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/.ZABD=ZADB=45°

VZADC+ZADC=180°

AA,B,C,D四点共圆

A