常用逻辑用语（复习讲义）-2027年高考数学一轮复习（原卷版）

A知•识•解•构＜

A知识点1充分条件与必要条件

1、核心辨析

•“P是q的充分条件”等价于“只要有p,就一定有q";

•“p是q的必要条件”等价于“没有p,就一定没有q”；

•充要条件是数学定义的标准形式，如“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”就是充要条件。

2、集合关系与充要条件的对应（新教材重点）

集合关系逻辑关系条件类型

p是q的____

ASBp=q且q#p

p是q的____

B呈Ap#q且q=p

A=Bpoqp是q的充要条件

p是q的既不充分也

A£B且B《Ap#q且q#p

不必要条件

3、充要条件证明规范

第一步：证明充分性（由条件推结论）；

第二步：证明必要性（由结论推条件）；

最后下结论：“综上，p是q的充要条件

自主检测|（2026•福建名校联盟•适应性）已知函数f（x）=N1（mGR）,贝卜口々）＞0,/（x0）=0"

是加＜一2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D,充分必要条件

A知识点2全称量词与存在量词

I.命题否定的易错点

不能只否定结论,必须同时改变量词:

•常见结论的否定：“是”一“不是”；“都是"一“”「至少有一个"T“="至多有一

个“一“”。

2.含展词命题的真假判断技巧

•全称量词命题找反例：只要找到一个不满足的元素，命题即为假。

•存在量词命题找特例：只要找到一个满足的元素，命题即为真。

3.新教材术语规范：统一使用“全称量词命题”“存在量词命题

自主检测（2026•长沙铁・中•学考模拟（二））下列命题中，是存在量词命题的是（）

A.正方形的四条边相等B.有三个角是60。的三角形是等边三角形

C.正数的平方根不等于0D.至少有一个正整数是奇数

A题•型•破•译•

A题型1充分必要条件的判断

例l-l］已知命题p:V%V3,专>2,命题qFx<0,x2=V-X-M（）

A.p和q都是真命题B.p和都是真命题

C.->p和q都是真命题D.-ip和->q都是真命题

例1-2|（2026•天津南开•二模）设％则“炉+久>o”是南+y>o”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

方法技巧充分必要条件的快速判断

1、定义法：适用于逻辑关系清晰的命题，直接推导两个方向的真假

2、集合法：适用于条件和结论都能转化为集合范围的命题，如不等式解集

3、等价转化法：适用于否定形式的命题，转化为判断其逆否命题

易错分析混淆定义

1、混淆"P是q的充分条件〃和“P的充分条件是q〃

2、忽略特殊情况，如空集、零向量、常数函数等

3、立体几何中线面关系的判定定理和性质定理混淆

【变式训练1-1•变载体】（2026•天津耀华中学•一模）*二弓+2攵兀或6=£+2碗，（AEZ）”是“tanO二

2ccsC+e）”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式训练1-2]（2026•新疆乌鲁木齐•三模）已知兄瓦CWR,则（）

A.是“。2>庐”的充分条件

B.“a>b”是“a2>川，，的必要条件

C.lia>b"是“2>be2”的充分条件

D."a>b”是"QC2>be2”的必要条件

【变式训练1-3】（20,6.四川遂宁.一诊）设>b,旦a,bw0,则◎>，是“abV0”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式训练1-4】（2026•安徽蚌埠•适应性考试）已知集合4={2,5,8},B={Q-1,2},贝『Q=6"是'式nB=8”

的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【变式训练1-5】（2026•哈尔滨师大附中•模拟）“炉+二―2V0”是少|V2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式训练1-6•变载体】（2025•辽宁大连•适应性演练一）己知函数f（x）=ax（a>1,%GR）,对于m,nGR,

若命题p：Qm>a7i,命题q：m>ri,则〃是q的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【变式训练1-7】（2025•北京丰台•二模）已知关于%的方程%2+尿+，=0（瓦<:€幻的两实根为X],小，则

“因I=%1”是“关于工的不等式/+bx+c<0的解集为0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

A题型2充分必要条件的证明

例2』（2026♦天津耀华中学•二模：设a,beR,则“a>b”是“a|a|>b|b|"成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

|例2-2|（24-25高三上•安徽铜陵一中&安徽师大附中12月联考）设等比数歹虹的}的前n项和为当,则<0''

是$<S?”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

方法技巧充要条件证明的规范步骤

1、明确证明方向：分充分性和必要性两步。

2、充分性：假设条件成立，推导结论成立。

3、必要性：假设结论成立，推导条件成立。

4、最后总结：“综上，p是q的充要条件

易错分析遗漏过程

1、只证明一个方向，遗漏另一个方向。

2、证明过程中逻辑不严连，出现循环论证。

3、混淆充分性和必要性的推导方向。

【变式训练2-1】数列｛a“｝的前〃项和记为%,则“数列｛Sn｝为等差数歹小是"数列｛册｝为常数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条，牛

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式训练2-2•变考法】下列命题错误的是（）

A.“x=2”是“7-4x+4=0”的充要条件

B.若等比数列｛an｝公比为q,则“q>1”是“｛即｝为递增数列”的充要条件

C.在△/WC中，若“4>8”,则“sin力〉sinB”

D.命题“若m之一;，则方程公+x-m=0有实根”的逆命题为真命题

4

【变式训练2-3】设甲：。>2且6>1,乙：a+b>3Rab>2,贝ij（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

【变式训练2-4•变考法】（25-26高三下•江苏如皋中学・培优）设集合4=｛洌/-3+l）x+a=O｝,集合

8=卜|专=1｝,则，乂n8=｛3｝”的一个必要不充分条件是（）

A.a=3B.aG｛2,3｝C.a=1D.a6｛1,2｝

【变式训练2-5】命题p：Q>l,b>2是命题成立的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【变式训练2-6】已知p：log?。+1）42,q：->|,则p是q的（）

X*5

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式训练2-7•变考法】（25-26高三上.安徽皖南八校.第一次联考）（多选题）若a,b6R,则“a3Vb3”的

充分不必要条件是（）

A.a<bB.\]b-a>1

C.a2<b2D.0<7<-

ba

【变式训练2-8】已知集合4={x|l£x£4},B={x\2-m<x<2-^m}.

（1）若An8=B,求实数〃?的取值范围：

（2）设q:x€B,若〃是q的充分不必要条件，求实数〃!的取值范围.

A题型3全称、存在量词命题的否定与真假判断

例3」（2026・四川巴中••诊模拟：下列命题中为真命题的是（）.

A.BxER,x2+1<0B.VxWR,x+\x\>0

C.VxGZ,|x|6ND.3xGR,%2-3x+10=0

|例3-21命题“Vx>0,x2-x+l>0”的否定为（）

A.Vx>0,x2-x+1<0B.Vx<0,%2-x+1<0

C.3x>0,x2-x+1<0D.3x<0,x2-x+1<0

方法技巧含量词命题的解题要点

1、否定：严格遵循“改量词，否结论”的规则。

2、真假判断：全称命题找反例，特称命题找特例。

3、常见结论否定：2”一“v”；“<一“>”；“所有”一“存在”；“存在”一“所有”。

易错分析遗漏量词符号的改变

1、只否定结论，不改变量词。

2、对“都是”“至少有一个”等结论的否定错误。

3、忽略量词的取值范围，如x£N包含x=0。

]（2025.广西桂林.•模）二二工R「神晟相二4%二1A豕~~F~

A.cz<0B.a<-g

C.a>1D.a<-[或。>0

【变式训练3-2•变考法】（2025•天枢杯・联考）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质

数之和.定义P为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（）

A.-i3n0GNn[2,4-oo）,\/p1eP,Vp?€P,Pi+Pz*2n0

B.{pi+p21PlEP，P2GP}3{2nIn6Nn[2,+co）}

C-1%|小€尸力2£0,无=口1+22且501^=0

D.V?nGN,2m<2或Pn{2m—p\pEP）^0

2

【变式训练3-3]（2024・武汉华师一附中•岛考模拟）若命题FQe[l,3],ax+（a-2）x-2>0”是假命题,

则X不能等于（）

7

A.-1B.0C.1D.

【变式训练3-4•变载体】（2024.湖南衡阳.二模）下列命题中的真命题是（）

A.VxeN,X2>1

B.命题石。,8€/?,2+3>2”的否定

ab

C.“直线人与直线，2垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”

D.“m>-1”是“方程二一1表示双曲线”的充分不必要条件

2+mm+l

【变式训练3-5]使命题G（1,2）,m<x2+1”为假命题的一个必要不充分条件是（）

A.zn>4B.?n>5C.m<2D.m<5

【变式训练3-6】命题FxER,x2+x+l>0”的否定为（）

A.3xeR,x24-x+1<0B.3xER,x24-x+1<0

C.Vx6/?,x2+x+1>0D.VxG/?,x2+%+1<0

【变式训练3-7]（2026•西安高新一中•三模）已知命撅p:Vx€R,|x+1]>1：命题q:三%>0,1=%,则以

下为真命题的是（）

A.p和qB.-和qC.p和-iqD.-ip和-iq

【变式训练3-8】（2026•河南邓州十校联考•模拟）（多选题）下列结论正确的有（）

A.Vxe/?,x24-4>2x

B.T-WR,氏一1|+1V0”是假命题

C.”有理数的平方是有理数”是存在量词命题

D.**VxER,%+4%4N0”的否定是'"％任R,x+4x4<051

【变式训练3-9】（2025.河北.模拟）（多选题）已知集合4={z|ax+6>0},8={x|-lVx<3},则下

列结论正确的是（）

A.BaER,Ar\B=AB.3a6R,Ar\B=B

C.Va£R?lnBH0D.3aGR,AU（CR^）=R

A题型4根据命题真假/充要关系求参数范围

例4-1|若命题汨/WR,欧+x（）+m<0”为假命题，则m的取值范围是（）

A.B.C,（0,1]D.出+8）

|例4-2]已知命题"％ER,/+”+：>0”是假命题，则实数a的取值范围是（）

A.(-co,-l)U(1,+8)B.(-co,-l]u[l,-|-oo)

C.(-1,1)D.[-1,1]

方法技巧求参数范围的解题思路

1、先分别求出每个命题为真时参数的取值范围。

2、根据复合命题真假或充要关系，转化为集合间的包含关系。

3、利用数轴画出集合范围，列不等式组求解。

4、注意端点值的取舍，单独验证。

易错分析忽略条件

1、忽略参数使集合为空集的情况。

2、端点值取舍错误，导致范围扩大或缩小。

3、分类讨论不全面，遗漏参数的取值情况。

【变式训练4-1]（25-26高三上♦陕西汉中•一调）若-3使得4-4Q-13<0成立，则

实数a的取值范围是（）

A.（—co,3）B.（—4,4-co）C.（—3,+8）D.（—co,-4）

【变式训练4-2】（2025•西南名校联盟•四诊）已知命题：，4%£（0,+8）,2/-QX+1V0”为假命题，则

实数a的取值范围是（）

A.（-oo,2V2|B.（-oo,2]

C.（-oo,l]D.（-8噂

【变式训练4-3】若命题石》€/?,〔好一1）¥2+2（攵-1注一1>0，，是假命题，贝义的值可以为（）

A.-1B.1C.2D.3

【变式训练4-4•变考法】（2025・福建・适应性（二））（多选题）若平面点集M满足：任意点（x,y）WM,存

在t€（0,+8）,都有则称该点集时是七阶聚合点集.下列命题为真命题的是（）

A.若时=｛（%y）|x之y｝,则M是3阶聚合点集

B.存在M对任意正数t,使M不是t阶聚合点集

C.若M=｛（x,y）：+y2=1｝,则M不是[阶聚合点集

D.”G[1,+00）”是“M=｛（x,y）|y2N笈｝是t阶聚合点集”的充要条件

【变式训练4-5•变载体】若FxG（0,n）,sin2x-msinx<0”是假命题，则m的取值范围为.

【变式训练4-6】已知命题“存在使得等式3%-m=0成立”是假命题，则实数机的取

值范围是_____________

【变式训练4-7]（2025•江西吉安一中•模拟二）若命题FxG[-1,2],使得2/+m%-m-10>0”是假命

题，则，〃的取值范围是.

【变式训练4-8】（2023.吉林吉林.二调）若命题：叼XWR,收+工十]<0”为假命题，则实数。的取值

范围为.

【变式训练4-9•变考法】（2026•福建部分高中•一模）若实数4使得命题：TceR,使得Va,beR,均有；la?+

b2-2ab+2b+c^0”是假命题，则4的取值范围是.

真题溯源•考向感知

-----溯源真题逻辑，感知高考考向

一、单选题

1.(2025・北京・高考)已知函数/(%)的定义域为。，则“/(%)的值域为R”是“对任意M€R,存在X。£D,使

得1八%0)1>M”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

2.(2025•天津•高考)设％WR,则“％=0”是“sin2%=0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.(2024.全国甲卷•高考)设向量d=(%+1,%),族=(%,2),则()

A.“x=-3”是21户的必要条件B.44x=1+百”是三〃庐的必要条件

C."％=0”是21左的充分条件D.“x=-1+遮”是%〃白的充分条件

4.(2024・天津・高考)已知a"£R,则"c?=产，是，守=3"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.(2024•新课标全国H卷•高考】已知命题p：VxG/?,|x+1|>1；命题q：3x>0,%3=%,M()

A.〃和夕都是真命题B.「p和夕都是真命题

C.〃和-)q都是真命题D.-ip和-iq都是真命题

6.(2023・北京・高考)若%y#0,则“X+y=0”是?+]=-2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条，牛

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.(2024.上海.高考)定义一个集合C,集合中的元素是空间内的点集，任取01孑2，。3存在不全为0

的实数人,不,%，使得入明+%函+%砧=6.已知(1,0,0)€Q,则(0,0,1)CQ的充分条件是()

A.(0,0,0)enB.(-1,0,0)en

c.(0,1,0)GnD.(0,0,-1)Gn

8.(2024・北京・高考)设a,3是向量，则“R+5)•(a-5)=0”是“d=-3或五=针的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.(2023•全国甲卷・高考)设甲：siMa+siM/?=1,乙：sina+cos。=0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件R.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

10.（2023•新课标全国I卷•高考）记立为数列Sn｝的前几项和，设甲：｛an）为等差数列：乙：｛曰｝为等差数

列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

11.（2023.天津・高考）已知a,b€R,“。2=川”是％2+《=2泌”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

课本典例,高考素材--------

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一、解答题

1.（高一上•人教A版・单元测试）如图，直线。与人被直线/所截，分别得到了乙1,匕2,43和乙4.请根据

这些信息，写出儿个“QII产的充分条件和必要条件.

2.（高・匚人教A版•单元测试）下列各题中，哪些〃是令的充要条件？

（1）/2：四边形是正方形，/四边形的对角线互相垂直且平分：

（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；

（3）p:xy>0»q:x>0,y>0；

（4）p.x