2026年高考数学压轴强化训练：数列求和的（3大核心压轴题型）学生版+解析

压轴10数列求和的3大核心题型

近几年总考，数列求和常出现在解答题的第（2）问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方

法求数列的和，难度中档.

A时型01分组转化法求和的常见类型

技法指导

分组转化法求和的常见类型

2

分

的幻土小人，•:为专•JL4等比

组

的

求

”力奇代-

和

增4一1公川为偈依，出“人月多星.

包

I*比・列_______________

1.（2025•山东潍坊二模）在公差不为零的等差数列｛4｝中，％=1,且如知丹成等比数列，数列｛〃｝的前〃

项和S.满足，=24-2.

⑴求数列｛〃0｝和也｝的通项公式；

⑵及数列｛qj的前〃项和，，若不等式（十〃2-〃＞睡2（1-4）对任意〃wN“恒成立，求实数。的

取值范围.

2.12025•湖北黄冈•二模）记5”为数列｛〃”｝的前〃项和，已知％=1,%=2当〃之2时，5向+2S”」=3S”

⑴求数列｛〃“｝的通项公式；

（2）若数列也｝满足4=3也广％-&（婕N）求数列低｝的前〃项和7；.

A题型02裂项相消法求和

技法指导

裂项相消法求和的步骤

累加.•,钟G列装编后的各4幅加

样中冏可以消去的嗔相员抵消•杼物余的需M

血.彳物加,得的材“4和

3.【基础型】已知数列｛q｝满足q=l,且4（1一24”）=4“（1+2可）.

（1）证明：数列一是等差数列；（2）求｛q｝的通项公式；

⑶设勿=。,4”，数列也｝的前〃项和为，，证明：Tn<^.

4.【根式型】记工,，分别为数列｛〃,,｝.｛勿｝的前〃项和，已知91=12。“-42+4,且〃=

⑴求也｝的通项公式；

（2）证明：2Tn>42-\.

5.【指数型】已知数列｛叫满足。=2,%=24-1.

Q—1

⑴求｛q｝的通项公式；（2）设“=」一，求数列也｝的前〃项和人

anan^\

6.记S“为数列｛4｝的前〃项和，已知32=4%-3〃.

⑴求明;（2）设勿=尸，求数列也｝的前〃项和

anan^l

A题型03错位相减法求和

技法指导

利用错位相减法求和的基本流程

错住力*I电7,心♦4（入”.♦-♦|

K>«・力

1.12024•全国甲卷T17）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且2S”=3ae-3.

⑴求｛q｝的通项公式；

（2）求数列｛，｝的前〃项和.

2.（2025•重庆三模）已知S”为数列｛4｝的前〃项和，目满足S,,+〃=2M，

⑴求证:数列m+i｝是等比数列;

2"11

⑵若"，=广「记T为数列｛。｝的前〃项和，求满足不等式的〃的最大值.

3.12024全国甲卷数学（理））记S。为数列｛qj的前〃项和，且4s“=3勺+4.

⑴求｛q｝的通项公式；

（2）设。=（7尸时,,求数列优｝的前n项和为7；.

4.已知各项都是正数的数列也｝,其前〃项和为工，6=1,且S“-#；=乜士华二D.

⑴求｛〃”｝的通项公式；⑵若瓦=辰+用二，求证：T+T++Z-=3-

D\4%

5.12025•山东临沂二模）已知正项数列｛q｝的前〃项和为3,对任意〃cN.，点（"JogW"）在过原点且与直

线.x+）』2=。垂直的直线上.数列出｝的前〃项和为7；,且吟=”。〃.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）证明：数列的｝是等差数列；

（3）若"，求数列｛q｝的前〃项和.

6.（2026♦浙江宁波•二模）已知数列小｝中，4=0,2%-a,r=2〃+3.

⑴令2=4-2〃+1,求证：数列｛4｝是等比数列；

⑵求数列｛凡｝的前〃项和S..

7.记S”为数列｛4,｝的前〃项和，已知3s“=4%-3”.

⑴求见;（2）设2=力,求数列也｝的前〃项和丁.

ananU

CC1

8.（2026・河北保定•一模）已知数列｛凡｝的前〃项和为邑，且％=1,V—、=不

〃+1n2

⑴求3

(2)若以=(T)”——，求数列也｝的前〃项和.

9.(2026・陕西榆根模拟预测)已知等差数列｛叫的前.〃项和为臬，且为=9,y=30.

⑴求｛叫的通项公式；

⑵求数列的前〃项和；

(3)证明:耳+耳+5++厂1

10.(2025•江西宜春•模拟预测)已知数列｛〃”｝满足。L；，%二|，%+2+3q=4,%.

⑴证明：数列｛%「4｝为等比数列;

⑵求｛%｝的通项公式；

(3)记2=24+1,数列/一的前〃项和为，，证明：

IA4+J168

11.(2026♦河南开封•模拟预测)已知函数/(x)=2'+2x.

⑴若数列为=/(〃)，求数列｛&｝的前〃项和S“；

⑵已知函数/'(X)在x=〃(〃wN*)处的切线为直线/“，直线(在)，轴上的截距为4，求数列低｝的前〃项和

12.(2()25・天津二模)已知等差数列｛4｝和等比数列也｝满足：，4=e=1,b",4+6=18,帅=81.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵求数列•的前n项和S”；

⑶已知1=祟数列｛%｝的前〃项和r.，若对任意正整数〃，不等式恒成立，求实数2的取值范围.

।42

压轴10数列求和的3大核心题型

近几年高考，数列求和常出现在解答题的第（2）问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方

法求数列的和，难度中档.

A题型01分组转化法求和的常见类型

技法指导

分组转化法求和的常见类型

“幻土.｛q为等星式号比做出介

维

A力奇京

*

［等比♦狗________________

1.（2025•山东潍坊二模）在公差不为零的等差数列｛4｝中，4=1,且％用，出成等比数列，数列｛〃｝的前〃

项和，满足S“二2”-2.

⑴求数列卜川和他｝的通项公式；

⑵设数列｛&｝的前〃项和。，若不等式<+/-〃>log?（1-〃）对任意〃wN*恒成立，求实数。的

取值范围.

,、f£,〃=1

【思维导引】（1）设公差为d/0一列方程求出d—求出｛4｝的通项公式—根据：c、。一作

3”一，一］,〃之2

差得数列也｝为等比数列f也｝的通项公式

（2）或=2"-（2〃-1）一分组求和法求出，一令/（〃）=2e-〃-2—利用作差法判断.（〃）的单调性—求

出『（〃Lf解。的对数不等式f0的取值范围•

【解析】（1）设等差数列｛《,｝的公差为d*（），4=1,且4吗外成等比数列，

（l+2df=l+12d,解得4=2或d=（）（含去），

所以4=1+2（〃-1）二2〃-1.

.•数列也｝的前〃项和工=2"-2.

当〃=］时，b、=2br2,Z?)=2

当〃N2时,bn=Sn-Sa.,=2bn-2Z?n.,,/.b„=2bn_.,

即数列｛〃｝是首项为2,公比为2的等比数列，••・仇=2”.

(2)由(1)可得c”="—q,=2"—(2〃—l),

【技巧】若数列｛以｝的通项公式为以=飙±力〃，且｛“〃｝,｛九｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列｛以｝

的前〃项和.

2(1-2")〃(1+2〃一1)、

T=」----L_------------L=2""-2―/

"1-22

.•.7；+〃2一〃=2日一〃一2.

令f(〃)=2"+i—〃一2,.•./(/i+l)-/(/j)=2n+2-(«+l)-2H+,+/i=2a+,-l>0,

・•・J'(n)单调递增，/(〃)而。=/(I)=1.

/.Iog2(l-«)<1,:.0<i-a<2,

【易错提醒】只考虑数列求和对实数。的要求，忽视对数函数的要求

(法二)令〃工)=2川一X—2,/'(x)=2v+,ln2-l

因工之1,.♦./(4)单调递增，.•./(〃)2=八1)=1

2.12025♦湖北黄冈•二模)记S“为数列｛q｝的前〃项和，己知q=l,%=2当〃之2时，Se+2$恒=3s..

(I)求数列｛qj的通项公式；

(2)若数列出｝满足a=3也川=4-4(&eN)求数列出｝的前〃项和，.

【解】⑴由题意得，当〃N2时，有S〃LS.=2(S「S.T)，即

因为4=2%,所以4+尸2an对任意weN*都成立

故数列｛q｝是首项为1,公比为2的等比数列，从而％=2"」.

(2)由4+|=4+4(&cN)可得%-%=&T(〃N2),

则a=4+92-()+(4-力2)+•+(%-4-2)+(2-%)

=b+a,+a2++*+%

=3+2°+)++2"-3+2”2

I_Qrt-l

=3+———=2叫2

1-2

当〃=1时，4=3符合上式，故〃=2"，2.

所以骞=伪+4++加+2

=(20+2)+(2|+2)++(2"2+2)+(2”|+2)

=(20+2'++2n~2+2n~l)+2n

\-2n

=^-=^+2n=r+2n-\.

1-2

A题型02裂项相消法求和

技法指导

裂项相消法求和的步骤

诵；■:■整版一的道反.样通反「或通”之也A]

-*-

叫丁粹般时装&后的各《格加

系中不示彳去的*相互工水万山余的京津

(S<)“州布,得刑奴。的由“油油

3.【基础型】已知数列｛%｝满足。尸1,且q,(l—2q用)=a,用(1+2为).

(1)证明：数列,十是等差数列；(2)求应｝的通项公式;

(3)设数列也｝的前〃项和为7；,证明：7；,<1.

【详解】(1)证明：因为q=L4,(1-〃+)=4用(1+〃)，所以为一一=也一，

则色卫曰=4,即二_-J_=4,所以是以，=1为首项，4为公差的等差数列.

a“+iana”J4

(2)由(1)矢口」"=1十4(〃-1)=4〃-3,所以々

44〃-3

,I1(I1'

(3)证明：因为川=三;一~4/二,1\=：匕~7•

(4〃-3)(4〃+1)414〃-34〃+1,

T111

所以1=卅2+〃必+・+%%产育+荻++(4”3)(4一+1)

=lxfi_l+l_l++_!---------!_]=lx'i__-1=—^―,因为_^_<2L=_L,所以]<_1

415594〃-34n+l；414n+l)4〃+14/:+14/14”4

4.【根式型】记S“，分别为数列｛%｝,｛〃｝的前〃项和，已知9s,=12勺-4向+4,且」=2阮+振

⑴求｛《,｝的通项公式；

(2)证明：27；,>72-1.

【详解】(I)因为9s.=12勺一4""+4①，

当〃=1时，9s|=9q=124-4?+4,解得4=4.

当“N2时，9S〃T=124T-4"+4②,

由①一②得%=12a“-12%「3x4",即勺=4am+4"，所以会=患十上

所以数列伊｝是首项为今=:1，公差为I的等差数列，则$=l+（〃-l）xl=〃，所以%=加4".

⑵由⑴可知2〃4。+］（〃+1）4r2（6;内）4（内一所），

从而（।=g-1）+（百-0）++（J〃+1—y［n）］=；（J〃+1-1），

因为“eN”,J/?+1年4用递增,则2毒=J〃+1—12>/1+1—1=1.

5.【指数型】已知数列｛%｝满足。=2,。向=2q—1.

Q-J

⑴求也｝的通项公式；（2）设也=,求数歹ij｛"｝的前〃项和，.

anan¥\

【详解】⑴由。川=2牝一1,变形可得。7一1=2（4-1）

因为4-1=27=1,所以数列｛々,-1｝是以I为首项、2为公比的等比数列，

故%—1=1X2"T=2M,即4=2日+1.

（2）因为"二巴二L由（1）知凡=2小+1,〃”讨=2"+1

所以〃一2一（2、卜（2F）,।___匚

"（2n-,+l）（2n+l）（2n-,+l）（2w+l）2w-'+l2”+1

故刀,=b]+〃,+,,•+/?=f—T---------j-[+｛—j---------7-]+•,•+J--------------=-----------

n*-"（2°+12'+lJ（）+122+lJUZ,-,+12”+U22"+l

6.记S“为数列｛《,｝的前〃项和，已知3s.=4/一3〃.

⑴求。“；（2）设求数列也｝的前〃项和小

anan+l

【详解】（1）令〃=1时，35,=46.-3,即得4=3,

“22时，3S”=4%-3〃①，35„..=4«„.,

由①-②得，凡=4%+3,

乂由4+l=4（a,i+l），乂「4=3,4+1=4,所以数列血+1｝是以4为首项，公比为4的等比数歹U，

所以勺+l=4"T（q+l）=4”，q=4”—l；

.4"_\（\1）

口）因为“一（4”—1）（4'川—1）-4"—］—4向一］,,

/if111111Ifl\\

所以「=4+8++_；---------]-----F-;---------j------F+--------------=--------7i.

“12"3U-142-142-145-14"-14n+l-lJ3(34rt+1-lJ

A题型03错位相减法求和

技法指导

利用错位相减法求和的基本流程

体一，HA才5尸@也+4也-1也7+心电(1

7Tr__I-----------------------

博q不74公比福、4♦…,。­也

卜X.%

g^|林|其・史1

7.12025.新课标1卷T16)设数列｛&｝满足q=3,^-=-^-41

(")nn+1n(n+1)

(3)证明：｛〃q｝为等差数列；

2m

⑷设/(x)=a[x+a2x+L+amx,求f(-2).

【解题指导】(1)智=悬+而勺化简f(〃+1)%-叼,=1-｛叫｝为等差数列

(2)求｛q｝的通项公式一＞代入函数并求导一错位相减求和一导函数表达式一＞((-2)

【解】(1)由题意证明如下，〃wN”，

在数列图中，4=3,管=含+而%，

・•・5+1)%=以+1,

即(〃+1)4+1-㈣,=1，

・•・｛〃〃〃｝是以％=3为首项，1为公差的等差数列.

(2)第一步：根据(1)得到数列｛〃％｝的通项

由题意及(1)得，〃eN"

在数列卜?&｝中，首项为3,公差为I,

2

.*.nau=3+1x(〃-1),即a”=1+—,

第二步：求出函数〃力的导函数r(x)

2m

在f(x)=atx+a2x++a,nx中,

/(X)=3X+2X2++(l+\卜，

/'(x)=3+4x++(〃7+2)R"I

第三步：利用错位相减法求和

m

.f(x)=3+4x+-+(/n+2)x-'

•,.y(x)=3x+4x'+♦-+(〃?+2)

当h工1且x¥0时，

(1-^)//(X)=3+X+X2++—一(利+2)£"=3+MI)——(加+2)%'”，

1.1

3「(I-/")(加+2)/"

・•・f'⑴1-J(ifI

【易错提醒】用错位相减法求和时，应注意:

⑴等比数列的公比为负数的情形；（2）作差后所得等比数列的项数；（3）最后一项的符号.

第四步；代入工=-2,求/'（—2）

.心-3川一（一2门（m+2）（一2『

,・“㈠-中口一（一2）了H^F

_］产）［1-（-2rlW+2）（W

93

2（-2广（〃?+2）（-2广

=］一―I-II

993

_7（3rn+7）（-2）m

99

8.12025•陕西汉中•模拟预测）设正项数列｛〃.｝的前〃项和为5.，且川=4S,「1（〃£N）%=1.

⑴求数列｛〃“｝的通项公式;

⑵已知”=母，求数列也｝的前〃项和的取值范围.

【解】（1）由/。向=4S”-1得，%m=4Sz-l,〃N2,

两式作差得q,4向--4=46,〃22,

因数列M为正项数列，则q川一=4,〃之2,

令〃=1,则4%=45-1,则a2=3,

则数列｛4｝的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列,

故"为奇数时，（=1+（等-1卜4=2〃-1,

数列｛q｝的偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列,

故〃为偶数时，q=3+1]—l）x4=2〃—1,

综上，数歹U｛4｝的通项公式为%=2〃-1（〃eN）；

（2）由（1）可得，"=墨=竽，

135

设数列｛2｝的前〃项和为。，则（=2n-\

2,22232"

1352〃-1

则大北=齐+5?+5?++卞r

两式作差得，：4=』+』+』+-I---1----2-/-1---1

2"’2〃"

，则（=3-爷

2〃+3r,C1[2/7+5T12〃+5

'则,二为丁-----=--------<1t,

T2n+322/2+3

则数列匕,｝为递减数列，且仇=g,

则0＜竽弓,故7；唱，3）,

故数列也｝的前〃项和的取值范闱为最3）.

1.12024.全国甲卷T17）已知等比数列｛q｝的前〃项和为S”，且2S,,=3a”,「3.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵求数列⑸｝的前〃项和.

【解】（1）因为25,=3。用-3,故2S,“=3q「3,

所以羽=34川-3%（〃22）即5可=3az故等比数列的公比为夕=g,

5内丫“

故2q=3%-3=3“x§-3=54-3,故6=1,故.

lx1-pY

（2）由等比数列求和公式得s」=3⑶"_3,

"1_22⑴2

3

所以数列｛SJ的前〃项和

…+S2+…+s.\]|卜图+图+…+图j

313人[3）J315<5Y315

-------/、——--n=———n-------

2「⑶24⑶24

一⑴

2.（2025•重庆三模）已知S.为数列｛q｝的前〃项和，且满足S“+〃=2《，〃wN.

⑴求证:数列｛4+1｝是等比数列;

1Q

⑵若4=丁二一，记。为数列｛4｝的前〃项和，求满足不等式?；＜三的〃的最大值.

【解】（1）当〃=1时，&+1=26，解得：6=1.

当。之2时,5“=24-〃，

所以a“=S"一S"T=2〃”一〃一23_|+〃-1,即/=24_[+1,

所以4+1=〃_]+2=2（4一|+1）

+1,、

所以广万=2,所以数歹£4+”是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）可知数列｛4+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列.

所以凡+1=2”,所以%=2”-1,

2"_2"=1______1

-（2n-l）-（2n+,-l）~F^T-2n+,-l

7；"+H+&+…+2=±-七十七

II

21—j2n+,「一去T

13113

所以时，BP1--所以2川＜15,所以〃的最大值为2.

142—114

3.12024全国甲卷数学（理））记S.为数列｛《,｝的前〃项和，且4st=3%+4.

⑴求｛q｝的通项公式；

（2）设以=（-1严叫,求数列也｝的前〃项和为4.

【解】（1）当〃=1时，4sl=44=3。］+4,解得％=4.当〃22时，4sM=3）4+4,所以

45，-45,1=4%=3%-3勺_|即4=-3勺_|,而q=4。0,故q尸0,故一2-=-3,

an-\

・•・数列｛4｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，所以q=4(-3广.

12-1

(2)bn=(-1尸.〃.4.(-3尸=4/7-3"T,所以7；=々+4+/++bn=4-3°+8-3+12-3++4n-3"故

37；=4-3,+8-32+12-33++4〃-3”所以一27；=4+43+4了++4-3,r-'-4/7-3K

=4+4・^^-4小3”=4+2-3・（3小_1）-4〃・3"=（2-4〃）・3"-2,?.7；,=（2w-l）-3M+1.

4.已知各项都是正数的数列依｝,其前〃项和为S.，％=1,且S“—底二（q+l，'"T）.

<、L,-I11c

⑴求｛凡｝的通项公式；⑵若3=疯+向］求证：—+—+-,，+—=3.

【详解】（1）由题意得4S,「4S=*—1,

所以QS-l『=a3又数列｛%｝是各项都是正数的数列，％=1,

所以2后一1=%,4S.=m+l）2,

当〃22时，有4S〃-4s“|=4a„=a；+2%-%-2an-\，

所以2m+%）=。：-吮=（4+%）（4-%），

所以&-勺_1=2,故数列｛4｝是I为首项，2为公差的等差数列，所以4=2〃-1.1

（2）由（I）得〃,=J2〃-1+J2〃+1,

所以;=F-/一万；=|（，2〃+1-V2/1-1）,

bn-1+J2〃+12

111111

所以'=-7=FH-尸+••H.

44%右+JT5+J5屈+历

裂项得（石一石）++：（M—标）=:（如一价）=3,证毕.

2222

5.12025•山东临沂二模）已知正项数列｛q｝的前〃项和为S.,对任意〃cN"点（〃JogMf）在过原点且与直

线.x+y-2=0垂直的直线上.数列出｝的前〃项和为小且

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

（2）证明：数列也｝是等差数列；

⑶若c"=誓〜求数列卜“｝的前〃项和.

【解】（1）与直线x+丁-2=0垂直的直线斜率为1,过原点且与直线工+）」2二0垂直的直线为y=x,

又因为点(〃,iog34)在直线y=不上，所以1叫巴=，?，所以=3”；

(2)数列低｝的前〃项和为小且。=，，2+”，

当〃N2时，％=(=〃2+〃1)21)=2〃，

当〃=1时，4=7；=『+1=2,符合上式，所以勿=2〃，

又因为瓦+「％=2（〃+1）-2〃=2,

所以数列也｝是等系数列

n+,n>l

⑶因为S―书i-3屋=彳-上3，所以q=2争〃3%-32=〃/（31、）,

设数列匕｝的前〃项和为纥，

23

Bn=（3'-1）+2（3-1）+3（3-1）++〃（3"7）,

所以纥=31+2x32+3x3、+//x3,,+［（-l）+（-2）+（-3）++（-〃）］,

所以优=3-2x32+3x3、十〃〉：3”一山

2

设8=31+2x32+3x3'++〃x3”，

3B=32+2X33+3X34+♦+〃X3”"，

所以-24=3+1x32+2x3、+lx3n-»x3n+,，

7

所以坊=(+3向

6.(2026•浙江宁波•二模)已知数列｛〃.｝中，4=。，2az-q=2〃+3.

⑴令勿=。“-2〃+1,求证:数列出｝是等比数列：

⑵求数列几｝的前〃项和S”.

【解】3)因为％=0，勿=4-2〃+1,所以4=%-2+1二-1,

再由蛆=2(〃+1)+1=%M二2〃二

bnatl-2n+\an-2n+\

因为2%-4=2〃+3,所以％="“+"，代入上式得：空=；,

乙乙4乙

所以数列也｝是以-1为首项，3为公比的等比数列:

1

z(i.y

(2)由(1)可得：bn-an-2zz+1=(-1)x—I=>an=2n-\--I»

3鸣。+3针5仔…+g)M

=2+5+…+伽力固+(升百+.，+()「

=(—)〃_」」2"—七『

2),1⑴

2

7.记S“为数列｛4｝的前〃项和，已知3s.二44-3〃.

⑴求勺；(2)设2=汽比,求数列也｝的前〃项和二.

anait¥\

【详解】(1)令〃=1时，35,=4c,-3,即得q=3,

〃22时，3s”=4%-3〃①，35W,1=4«M_1-3(/Z-1)(2),

由①■②得，4=4%+3,

又由4+1=4(4I+1),又“广工q+l=4,所以数列｛《+1｝是以4为首项，公比为4的等比数歹I],

所以4+1=4"7①+1)=4"，勺=4"-1；

4"J(I1、

⑵因为«--3V4rt-l4n+,-l>,

RR入«11111IIfl1A

所火n=i+2+……+n=§[41—J42-1+42—1-4，1+4n+'-\J=3U-4，，+l-lj，

qc1

8.(2026・河北保定•一模)已知数列｛&｝的前〃项和为S”，且q=l,2一义t=

〃+1n2

⑴求S.

,/八”2〃+1,、

⑵若2=(-1)丁丁，求数列低｝的前〃项和.

qq1

【解】(1)因为——且4=1,

/2+1n2

可知数列是以首项为字=1,公差为5的等差数列，

In12

则41+；(〃—)=等，所以S,=当W.

(2)由(1)可知：S”=M竺D,

2

1)

当心2时，则4=S“-Sz

2

且4=1符合上式，所以q=〃

\1、

—+----

可得,"㈠"篙Hf"耦T㈠)"\nn+\J

设数列｛"｝的前〃项和为

所以数列也｝的前〃项和为-1+七11.

71+1

9.（2026・陕西榆林•模拟预测）已知等差数列｛q｝的前〃项和为黑，且生=9,邑=30.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵求数列■：的前〃项和;

11111

(3)证明：77+T+T++丁<”

°1°2102"乙

4+2d=9,

【解】（1）设等差数列｛凡｝的公差为乩由题意可知

4。1+6d=30,

解得4=3,4=3,故凡=4+{n-Y)d=3n.

/-、i-、rc〃(3+3〃)3,,、2

。)由(I)得S“=-------=-n(n+1),所以言=

3〃(〃+l)1（；-马

112i、n

数列J不}的前〃项和为ITi--+---+

122

⑶由⑵知厂诉,后其中，I8,,2。,

111112cli11、

当心2时，耳+下，+铲・,+已＜木+%+梦+福+M

111141

1J

S,S23992

111111

综上所述，—+—+—+—++—<T.

\%Q2cN

a

10.(2025•江西宜春•模拟预测)已知数列｛q｝满足4=5，a2=-|,+3a”=4%…

(1)证明：数列k%-必｝为等比数列；

(2)求｛《,｝的通项公式；

⑶记2=2例+1,数列*的前八项和为S"，证明：^-<SZI<1.

［她用J168

【解】(1)由。2+3凡=4。川，得凡,2-47=34“一34=3(。,』一凡)，

|33I

又《=/，4=5，所以。2-4=5-5=1。。，

所以〜一。,产0，产—=3，

a^\~an

即｛&'「6｝是以1为首项，3为公比的等比数列；

(2)由⑴知%+「勺=1x31=3"”,

当〃32时，q=(q_q_J+(qT_q_2)+(q_2_q_3)+_+(a2-q)+q

°11-3""I3'i

=32+33+34HF3+—=-----F—=.

21-322

当〃=1时，％=之;也成立，所以｛凡｝的通项公式为二；

由

3✓2得3Tn

)X(=+=+

1

+r_i_____

4-!_)=里__r!t_]

3n-1+1-y+11=412-3+l)

显然｛Sj是递增数列，所以S.N4=j

lo

因为a'i所以S”<Jx；=:,所以白

3+1