正方形（专项训练）-华东师大版八年级数学下册【含答案】

专题03正方形

■目录

A题型建模-专项突破

题型一、正方形的性质应用——求解边

题型二、正方形的性质应用——求解角

题型三、正方形的性质应用——证明

题型四、添加条件成为正方形

题型五、正方形的判定

题型六、正方形的性质与判定

B综合攻坚-能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、正方形的性质应用——求解边

1.我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对

全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图，在M8C中,

ZC=90°,四边形CQE"为正方形，AAFEmAAGE,2BGE"丛BDE,若

AC=4,BD=2,设正方形CQEb的边长为x,则工=.

2.如图，在中，48=6，点”是斜边8C的中点，连接4W,以/“为边作正方

形4MEF.若正方形//£尸的面积为25,则△/IBC的面积为（）

试卷第1页，共10页

A

A.185/3B.95/3C.24D.36

3.青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明

法.如图，四边形力〃CQ、DEFG、CG”/均为正方形.若正方形/1BCD、CG”/的面积分别

题型二、正方形的性质应用——求解角

4.如图，两个相同的正方形力8c。与正方形跳/G的顶点8重合，BE恰好落在正方形月BCD

的对角线“力上，力。与E户交于点〃，连接9",则N/fB"的度数为.

5.如图，点E是正方形,48CO内部一点，连接8区CE.DE,BE=CD,若NCED=91。,

/COE=63。，则/BEC的度数为。.

试卷第2页，共10页

6.如图，已知正方形/4CQ,尸是正方形片8CO内一点，若PA=6,PB=2,将力4浇点3

顺时针旋转至△加X:处，此时点力、p、E三点在同一直线上.

(I)求NWP8的度数：

(2)求PC的长.

题型三、正方形的性质应用一证明

7.如图，在正方形48CZ)中，。是对角线4C,8。的交点，过点。作OE_L。尸分别交

AB,BC干E,尸两点,AE=5,CF=2,求E厂的长.

8.如图，四边形力〃。。为正方形，分别延长CD至点、E、F,连接力E、AF，

AE=AF.求证：Z.E=ZF.

9.如图，正方形48C。的边长为2,点瓜厂分别在边幺。、上,连接C£;CF、EF、已

知CE=b=石.

试卷第3页，共10页

⑴求证：AE=AF；

（2）求Q的长.

题型四、添加条件成为正方形

10.如图，在口力灰?。中，AC=BD,再添加一个条件，仍不够判定四边形力改?。是正方形

的是（）

A.AB=BCB.AC1BD

C.AB=ACD./ABD=NCBD

11.如图，在矩形48co中，BE平分/4BC,CE平分NDCB,BE与CE交于点、E.点、F

是矩形外一点，连接8厂，CF,EF,添加下列条件后，可判定四边形8ECE为正方形的是

A.BE〃CF，CE//BFB.BF1CF,BF=AB

C.BF=CF=ADD.EFIBC,BF=CF

12.如图，在菱形48co中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是

题型五、正方形的判定

13.已知：如图，在Rt△48C中，N/CB=90。，点D在BC上,DF工4B,垂足为立且

=点后为线段4）的中点，过点厂作交射线力。于G,连接CG.

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(1)求证：NCEG=NFEG；

(2)求证：四边形C£FG是菱形.

(3)当月。=6。时，求证：四边形CEFG是正方形.

14.已知：如图，在。中，480=90。，8。是Z48C的平分线，DEJ.4B千点、E,

DF1BC于点、F.求证：四边形。E8户是正方形.

15.如图，oABCD,AB=2BE平分/4BC,CE平分/BCD,BF//CE,CF//BE,

BF=CF.

⑴求证：四边形是正方形.

(2)连接力E,若N4EB=75。,求线段4"的长度.

题型六、正方形的性质与判定

16.如图所示，在矩形48CQ中，/DAC=65。,£是。£＞上一点，BE交AC于点、F,将ABCE

沿8E折叠，点。恰好落在48边上的点U处，则乙。「的度数为.

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17.如图所示，在中，N4CB=90\CD平分N4cB交AB于点D,按下列步骤作

图.步骤1：分别以点。和点。为圆心，以大于geo的长为半径画弧，两弧相交于两

点；步骤2：作直线MN,分别交于点心“；步骤3：连接。瓦。厂.若

4c=8,8。=6,则线段的长为.

18.如图，£为正方形/BCQ内一点，NCEB=90°,CE=3,CB=5,将绕点C按

顺时针方向旋转90。，得到△口)尸，延长BE交DF于点H,连接QE.则的面枳为

综合攻坚•能力跃升

19.如图，正方形4SCO中，43=12,点£在边6c上，BE=EC,将△£>(?£：沿对折

至4DFE,延长E尸交边力夕于点G,连接。G、BF,给出以下结论：①△D4G%"G：

②4G=2/G：④BFMDE.其中正确结论的个数是()

@5AWF=120;

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A.4B.3C.2D.1

20.如图，正方形纸片中，E是/。」二一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点力落

在上的点G处，点8落在点〃处，折痕EF交BC于点、F.若CG=8,EF=45则.48=

C.2+2屈D.4+2太

21.你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图,

一张普通的纸张也可化作一把“儿何神器”

第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为

EFx

第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点。与点E重合，点C落在点C'

处.

(1)尺规作图：画出折痕MV；

(2)设EC'与8c的交点为0.观察并猜想：点。是线段BC的几等分点？验证你的猜想.

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22.如图，正方形纸片48CQ的边长为8cm,点£1是边4）的中点，将这张正方形纸片折叠，

使点C落到力。边上的点E处，折痕交边48于点G,交边CO于点E则。尸：。月的值是（）

AGB,好D

44-I

23.如图，有大小不同的2个正方形/和4,当4的对角线交点与力的一个顶点重合时,

重叠部分的面积是力的：，那么当4的对角线交点与8的一个顶点重合时，重叠部分的面

916

A.-B.—D.——

316CT25

24.实践探究:

（1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形.剪口

与折痕应成度的角.

知识应用：

（2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形力乃£。绕正方形力8C。

的中心点。转动的过程中，如图②所示摆放，求证北=所.

拓展延伸

（3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③O2,O,……分别是正

方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积.

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图②图③

25.问题解决：如图1在矩形力4c。中，点E,尸分别在48,8。边上，DE=AF,DE_AF

于点G.

(1)求证：四边形/灰是止方形；

(2)延长C8到点〃，使得BH=4E,判断△为，/的形状，并说明理由.

(3)类比迁移：如图2；在菱形48CO中，点、E,产分别在月8、BC边上,QE与力尸相交于点

c

G,DE=AFyZAED=60,AE=5,BF=2,求QE的长.

26.如图，在菱形48CQ中，对角线力C,8。相交于点O,且△/出。是边长为4cm的等边

三角形.点E,尸同时从点0出发在线段力。上以0.5cm/s的速度反向运动(点E,E分别

到达力，C两点时停止运动)，连接。E,DF,BE,BF.当运动时间为s时，四边

形DEBF为正方形.

27.已知，长方形力8s中，48=8,80=6,点£是线段48上的一个动点，将线段0E绕

点Q逆时针旋转90。得到。尸，过尸作/GLC。于点G,连接七厂，取Eb的中点〃，连接

DH,AH.点七在运动过程中，下列结论：①“DE包GDF；②NGFH=2DE；③当点

〃和点G互相重合时，AE=6；®3y[2<AH<6^/2.正确的有()个

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F

D\C

!HG

A

A.1B.2C.3D.4

28.已知△⑷5c和是等腰直角三角形,NBAC=/E4D=9()。.

图1图2备用图

(1)如图1,若△43cgZUOE,4E在/C4B的内部，连接CE,若/E4B=3O。，求证：“CE

是等边三角形：

(2)如图2,连接施，CD,若G是BE的中点,求证：CD=2AG；

⑶若AE>AC,^△NEZ)绕点A转动，射线CE与射线。8相交于点M,过点/作/NJ.DM

于点N,在/C4E和N84月都是锐角的情况下，探究线段8N,CM,8M之间的数量关系

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1.1

【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解

题的关键.

则CO=b=x,"=4-x,BD=2,BC=2+x,根据全等三角形的性质得到彳尸=,

BG=BD,根据4G+8G=48即可求解.

【详解】解:四边形为正方形，

CD=CF=x.

:.CD=CF=x,4F=4C-FC=4-x,BC=BD+CD=2+x.

•••△AFE丝△/GE,ABGEqABDE.

:.AF=AG,BG=BD.

-AC=4,80=2,

AB=AG+BG=AF+BD=4^x+2=6-x.

AB2=BC2+AC2，

.\（6-x）2=（2+X）2+42,

解得x=l.

故答案为：1.

2.C

【分析】根据正方形的面积可求得4W的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边AC的长，

利用勾股定理求得力。的长，根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：:S正方形八MEF=25,

：•AM-\/25=5»

•••RtZUBC中，点M是斜边BC的中点,

..5C=2JM=10,

••­AC=yjBC2-AB2=V10:-62=8，

SA/.lRoCt=—2xABxAC=-2x6x8=24.

3.3

【分析】本题考杳的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解

EF=DE=DG=kh-CG2=后=6,证明A4OE9ACOG（HL）,可得4K=CG=3,再

答案第1页，共25页

进•步可得答案.

【详解】解：•.■正方形"CZXCG，/的面积分别为45、9,

AD1=CD1=45,CG2=9,NCGH=900=NADC,AD=CD,CG=3,

•••四边形。EFG为正方形，

：•EF=DE=DG=dCD'-CG。=病=6，z£=zEDG=90°,

•.■ZCGD=ZE=9O0,

.•.△4)E%CQG(HL),

：.AE=CG=3,

;.AF=EF-AE=6-3=3.

故答案为：3.

4.22.5°

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得

NA=NBEH=90°,AB=EB,ZJBD=45°,即得Ra/8”且Rt/BH(HL),得到

乙4BH="BH,进而即可求解.，掌握正方形的性质是解题的关键.

【详解】解：,••四边形48CD和四边形是两个相同的正方形，BE恰好落在正方形4BCD

的对角线上，

AA-ZBEH-90°,AB=EB,4480=45。，

在RtA/lBH和RtAEBH中，

BH=BH

AB=EB，

Rt△44,0RtAE8"(HL：|,

：2ABH=4EBH,

："ABH=L/ABD=22.5°,

2

故答案为：22.5°.

5.64

【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和

定理，求出/OCE的度数，角的和差关系求出/8CE的度数，等边对等角即可得出结果.

【详解】解：•,・正方形"8,

答案第2页，共25页

.•"BCD=9M,BC=CD,

•:NCED=91。,ZCDE=63°,

:.ZDCE=180。-91°-63。=26。,

.-.Z5CE=90°-26°=64°,

•:BE=CD,

:.BE=BC,

NBEC=/BCE=64。；

故答案为：64

6.⑴4P8=135。

(2)PC=V10

【分析】（1）先根据.正方形的性质可得48=8c=90。，再根据旋转的性质可•得

△BPA名ABEC,旋转角为NPBE=/ABC=9伊,则叫BE,然后根据等腰三角形的性质

可得NBPE=NBEP=45。,由此即可得；

（2）先根据旋转的性质可得EC=21=JI，〃E=P8=2,再求出NPEC=90。，PE?=8,

最后在Rt^CEP中，利用勾股定理求解即可得.

【详解】（1）解：••・四边形力8CQ是正方形，

：.AB=BC,/ABC=90。,

••・&BPA绕点B顺时针旋转至二BEC处，

••.△BPAABEC,旋转角为NPBE=NABC=90。,

:.BP=BE,

:"BPE=/BEP==45°

~2~

•.•点4RE三点在同一直线上,

AAPB=180°-NBPE=135°.

(2)解：由(1)已得：ABPA知BEC,NBEP=45。,N力PB=135。,APBE=90°,

:・EC=PA=6,BE=PB=2,NBEC=4PB=135。,

PE1=BE1+PB2=8,/PEC=NBEC-NBEP=90°,

.••在RaCEP中，PC=JPE?+CE2=,8+(女J=丽.

【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、

勾股定埋、二次根式的应用等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键.

答案第3页，共25页

7.V29

【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理.

由正方形的性质可知NE4O=N/TO=45。，BO=CO,NBOF+NCVF=90。,

AB=BC.由题意可得出NB。b+/8。E=90。，即得出NCO尸=NBOE,从而可证明

△CO产gA80E(ASA),得出8E=5=2,进而得出4£=8/=5,最后由勾股定理即可求

出政的长.

【详解】解：•••四边形48CO是正方形，

:./EBO=ZFCO=45。,BO=CO/BOC=90°,AB=BC,

+ZCOF=90。.

,：OEIOF,

：.NBOF+NBOE=9。。,

:.Z.COF=/BOE,

ACOF=4B0E

.•.在ACO/和中，CO=BO,

Z.FCO=NEBO

：.ACOF^BOE(ASA),

:.BE=CF=2,OE=OF,

：.AB-BE=BC—CF,}^AE=BF=5,

:.在RtABEF中,EF=ylBF2+BE2=yJl2+52=729.

8.见解析

【分析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，正确得出全等三角形

是解题关键.

利用正方形的性质得=AD/ABE=ZADF=90°,再根据HL证明RsAEBmR("FD,

结合全等三角形的性质可证结论成立.

【详解】证明：••・四边形/18C。为正方形，

:.AB=AD,/ABE=NABC=NADF=ZADC=90°,

在RS/EA和M4FD中,

AE=AF

AB=AD'

答案第4页，共25页

:.RIAAEB9RIAAFD(HL),

•••NE=/尸.

9.(1)见解析；

(2)斯的长为

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应

用是解题的关键.

(1)由四边形力8C。是正方形，得BC=DC=AD=AB,4=/。=90。，然后证明

RtA5CF^RtAZ)C^(HL),所以BF=DE,再通过线段的和与差即可求证；

(2)由四边形力8c。是正方形，得BC=DC=AD=AB=2,/力=/。=90。，通过勾股定

理DE=JCE2-CD2=*可-2?=1,所以=-DE=2-1=1,则有力£=4产=1,最

后再由勾股定理得石厂=，力1+/尸=4+?=&.

【详解】(1)解：•••四边形48CQ是正方形，

:.BC=DC=AD=AB,/6=/。=90。，

在Ra8b和R3OCE中，

BC=DC

CF=CE'

:.Rt△灰>'出RQQCE(HL),

BF=DE,

•••AB-BF=AD-DE»

•••AF=AE,BPAE=AF：

(2)解：•••四边形48co是正方形，

；.BC=DC=AD=AB=2,/4=/。=901

•••DE=>ICE2-CD2=《后-2?=1,

^AE=AD-DE=2-\=\,

:.AE=AF=1,

•••EF=ylAE2+AF2=Vl2+12=V2，

••.E尸的长为亚.

答案第5页，共25页

10.c

【分析】本题主要考杳了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键.根据矩形

的判定定理及正方形的判定定理即可解答.

【详解】解：在。48CO中，AC=BD,

二四边形48CQ是矩形.

A、当=时,矩形,48。。是正方形，故A选项不符合题意；

B、当力时，矩形48CO是正方形，故B选项不符合题意；

C、当力8=时，无法确定矩形就是正方形，故C选项符合题意：

D、当ZABD=NCBD时,则AABD=NCBD=45°,AZBAC=45°，,AC1BD,：.矩形ABCD

是正方形，故D选项不符合题意.

故选：C.

11.A

【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定定理，掌握正方形的判定条

件是解题关键.

结合矩形的角和角平分线，先推导四边形的基础形状，再根据正方形的判定条件逐一分析选

项.

【详解】解：已知四边形/8CO为矩形，且平分//8C,CE平分NDCB.

故/4BC=NDCB=90°,ZEBC-ZECB-45°,

可得8E=CE,NBEC=90°,△8EC是等腰直角三角形.

选项A：由两边平行可得四边形8改五为平行四边形，

再由，£二CE可得四边形BECF为菱形，

再由NBEC=90°可得四边形BECF为正方形，故选项A正确：

选项B：BFLCF,即=48,仅可得到“产。=90。，无法证明四边形8ECF为正方形，

故选项B错误；

选项C：根据题意可知8£=。£=也力。=也8。，故BF手BE,无法判定正方形，故选项

22

C错误；

选项D：EF1BC,BF=CF,仅能判断△4FC是等腰三角形，不能证明8歹二8后，无法

判定正方形，故选项D错误.

故选：A.

答案第6页，共25页

12./BAD=90。（答案不唯一）

【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直

角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形.

根据①对•角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可.

【详解】解：••・有一个角是宜角的菱形是正方形，

•••添加的条件是/BAD=90°.

故答案为：/氏"）=90。（答案不唯一）.

13.⑴见解析

（2）见解析

（3）见解析

【分析】（1）证明Rt△力CDgRt"H）（HL）,得出AC=AF,证明

“CGg"R7（SAS）,得出CG=R7,ZCGA=AFGA,证明△CEGg△/EG（SAS）,得出

NCEG=Z.FEG；

（2）根据平行线的性质得NFG4=NCEG,证明NCGE=NCEG,根据等腰三角形的判定

得出CE=CG,证明CE=M=R7=CG,即可证明结论；

1ono_go。

（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到/。3=/？匕=45。，求得

ZCAD-ZFAD-22.5°,根据等腰三角形的性质得到NC/E-NEC4-22.5。，求得

/CEF=NCEG+NFEG=9。。,根据正方形的判定定理即可得到结论.

【详解】（1）证明：•・•/月。8=90。，DFLAB,

/.ZZ）FJ=90°,

在Rl△力CO与RtA/iFD中，

DF=CD

AD=AD'

.-.RtAJCZ)^RtAJFD(HL),

ZCAD=Z.FAD,AC=AF,

在/UCG与△47G中，

AC=AF

-NCAD=ZFAD,

AG=AG

答案第7页，共25页

.•."CGg""G（SAS）,

:,CG=FG,NCGA=NFGA,

在KEG和AFEG中,

CG=FG

-ZCGA=NFGA,

EG=EG

.-.△CEG^AFEG（SAS）,

：.CE=EF,/CEG=NFEG；

（2）证明：・.・M7〃CE,

:.ZFGA=ZCEG,

由（1）知：NCGA=NFGA,

:"CGE=/CEG,

:.CE-CG,

由（1）知：CE=EF,CG=FG,

：.CE=EF=FG=CG,

••・四边形CEFG是菱形.

（3）证明：••♦4C=8C,乙4cB=90。,

:"CAB=NB=g（l80。-90。）=45°,

由（1）知，NCAD=NFAD,

:.NCAD=Z.FAD=22.5°,

•••E为力。的中点，ZACB=90°,

：.CE=AE=-AD

2t

Z.CAE=ZECA=22.5C,

：.KEG=Z.CAE+ZECA=45°,

由（1）知：4FEG=/CEG=45。,

"CEF=NCEG+ZFEG=90°,

•••四边形CE/G是菱形，

•••四边形CEFG是正方形.

【点睛】本题主要考查了王方形的判定，菱形的判定和性质，二角形的内角和定理，全等二

答案第8页，共25页

角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判

定方法，是解题的关键.

14.证明见详解

【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质.先

根据已知条件得出/力8。=/。8。=45。，再由/。E8=/。户8=90。，利用三角形内角和定

理得出/EQ8=N8ZW=45。，从而根据等腰三角形的判定可知8E=OE,BF=DF,证明出

四边形OE8厂是矩形，进而求得四边形OEB厂是正方形.

【详解】证明：•••/力8C=90。，是/44c的平分线，

："ABD=/CBD=450,

又"DEBODFBi。,

NEDB=NBDF=45。,

:•BE=DE、BF=DF.

•••/ABC=ZDEB=NDFB=90°,

••・四边形。E8/是矩形，

DE=BE,

••.四边形。是正方形.

15.(1)答案见解析

(2)3遥-3&

【分析】本题考杳平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含30。角直角三角

形的性质；

(1)由四边形48。。是平行四边形，BE¥》NABC,CE平分乙BCD,得到N8EC=90。,

再由8/〃感，CF〃BE,BF=CF,可得四边形8ECF是菱形，进而得证四边形跖。”是

正方形；

(2)过点E作七G_L43,由(1)可得△BGE是等腰直角三角形，RtZk/GE是含30。角直

角三角形，设/G=x,利用48=2百，可求出进而求出“产.

【详解】(1)证明：•••四边形/8C。是平行四边形，

:.AB"CD,

.•.48C+N8CO=180。，

•••BE平分/"C,CE平分N8CO,

答案第9页，共25页

：.NEBC=L/ABC,/ECB'/BCD,

22

.../EBC+/ECB=；(4BC+ZBCD)=90°,

：./BEC=90°,

,:BF〃CE,CF〃BE,BF=CF,

，四边形BEW是菱形，

又•••NBEC=90°,

菱形是正方形.

即四边形8以于是正方形.

(2)解：过点E作如图所示,

•.•四边形BEC尸是正方形,

：•NEBC=45°,

•••BE平分/ABC,

;•NGBE=/EBC=45°,

•••EGLAB,

:.4GEB=NGBE=45°,

:.GB=GE,

•••乙4EB=75°,

:./AEG=/AEB-/GEB=75°-45°=30°,

.••在RtZ^AGE中，设力G=x,AE=2AG=2x,

•••GE=y)AE2-AG2=J(2xf-犬=

•••GB=GE=6x,

答案第10页，共25页

•••AB=AG+GB=x+>/5x>

,:AB=2上,

•*-x+VJx=2G，

•*-x=3—A/3»

...G/?=GE=T3_6）=Wi-3,

，BE7GB2+GE?=后（36-3）=3指-3五,

•.•四边形是正方形，

­-BF=BE=3y[b-3y/2.

16.40°

【分析】本题考杳矩形与折叠,正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质.

是解题的关键，先求出N4CO的度数，折叠，推出四边形8CEC是正方形，进而得到

N8EC=45。，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可.

【详解】解：在矩形48CO中，/。力。=65。,/。=90。，

NACD=900-Z.DAC=90°-65。=25°.

•「△8CE沿的折叠，点。恰好落在"边上的点C'处，

/.乙ECB=NECB=900=ZCZ?C,EC=EC,

••・四边形8CEV是正方形，

Z5EC=45°.

由三角形的外角性质，得NBFC=/BEC+/ACD=45。+25。=70°.

由翻折的性质，得NBFC'=NBFC=70。,

?.ZAFC=ISO°-NBFC-NBFC'=180。-70°-70°=40°.

故答案为：40°.

,7-T

【分析】本题考查了尺规作图•线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以I:知识

点是解题的关键.

推出直线MN垂直平分C。，证明四边形ECFO为正方形，根据三角形的面积解题即可.

【详解】解：由题意知，直线MN垂直平分C。，

答案第11页，共25页

:.CE=DE,FC=FD,

又平分4c8,

"ECD=NFCD=lx90o=45°,

2

："EDC=ZECD=45。,

:"DEC=180。-45°-45°=90°,

同理/。产C=90°,

:.乙ECF=/DEC=ZDFC=90°,

又・：EC=ED,

•••四边形ECHO为正方形；

•:S优B」8cMeJx6x8=24,

A/IC»22

又•••$亿8=S+S=-ACDE+-BCDF=4DE+3DF=7DE,

/、A/fC.oAA4UD\C..8De22

.'.7DE=24,

24

解得。£二万.

24

故答案为：y.

31

18.

22

【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾

股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键.

由旋转得，NEW=90。，/CFD=/CEB=90°,CF=CE,DF=BE,可得出四边形CE4/7

为正方形，可得EH=FH=CE=3.在RrBCE中，由勾股定理得，BE=dBC?-CE?=4，

贝I」。f=4,DH=DF-FH=\,即可解答.

【详解】解：由旋转得NECF=90。，ZCFD=ACEB=90°,CF=CE,DF=BE,

•••NCEH=180°-NCEB=90°,

••・四边形为矩形，

-CF=CE,

••・四边形CE/行为正方形.

:.EH=FH=CE=3,

在RaBCE中，由勾股定理得，BE=>jBC2-CE2=V52-32=4»

答案第12页，共25页

:.DF=BE=4,

DH=DF-FH=4-3=\,

:.SdDunH匕F=、2DHEH

1,■

=—xlx3

2

3

=—，

2

故答案为：—.

乙

19.B

【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面

积公式及平行线的判定.先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等

三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐•验证四个结论的正确性.

【详解】解：如图，由题意川知，DF=DC=DA,znre=zc=90°,

ZDFG=ZJ=90°,

在RtA/lDG和RtAFDG中，

AD=DF

DG=DG'

.•.RtAJ£>G^Ruro(?(HLL故①正确；

•••正方形边长是12,

BE=EC=EF=6,

设4G=/G=x,则EG=x+6,BG=\2-x,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2,

即：(-r+6)2=62+(12-x)2,

解得：i=4,

.1.AG=GF=4,BG=8,BG=2AG,故②正确；

豆赤尸二；•尸GQ/=；X4X12=24,故③错误；

•：EF=EC=EB,

:"EFB=/EBF,

•//DEC=NDEF,ZCEF=/EFB+Z.EBF,

答案第13页，共25页

/.NDEC=NEBF,

;.BF〃DE,故④正确：

・•・①②④正确，

故选:B.

20.D

【分析】由折叠性质可知4G_LEF,进而利用同角的余角相等证明/G4E=NNFE,由此

即可得出“QGgARVE(ASA),进而确定/1G=叱.在Rt"OG中，根据勾股定理列方程

求解即可.

【详解】解：如图，连接力G交E广于点过点尸作户N_L4Q,垂足为N,

则NFNA=NFNE=90°,

•.•正方形48CZ),

/.AB=AD=CD,NBAD=N/tBC=ND=90。,

••・四边形力8/W是矩形，

•,.NF=AB=AD,

由折叠可知月GJ.M,

Z.GAE+NAEF=ZNFE+Z.AEF=90°,

:"GAE=4NFE,

又："NE=NO=90。，

.,.△ADGAFNE(ASA),

AG=EF,

，:EF=4屈

：.AG=EF=4B

设正方形边长为x,则48=4Q=CZ)=x,

答案第14页，共25页

•••CG=8,

:.DG=CD-CG=x-3,

在RJAOG中，AG2=DG2+AD2,即（x-8『+/=（475y

解得：x=4+2C或x=4-（不合题意舍去）

AB=4+2->/6.

故选：D

【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形

的判定与性质，掌握折置的性质，根据垂直模型证明4G=£•尸是解题关键.

21.⑴图见解析

（2）点。为8C的三等分点，证明见解析

【分析】本题考查尺规作图一作垂直平分线，正方形与折叠，矩形的判定和性质，勾股定理,

熟练掌握相关知识点，是解题的关键：

（1）根据折叠的性质，得到MN垂直平分连接OE,作QE的中垂线即为直线MN；

（2）设正方形的边长为1,作。KJ.4D,连接M。，设/M=x,则

DM=AD-AM=1-x,在RtA/M/E,勾股定理求出1的值，设C0=OK=y,则

BQ=CB-CQ=\-y,MK=DM-DK=）-y,在RSMK0和RSE80中，勾股定理表示

8

出,EQ2=BE2+BQ2\+（1-力:再在中，利用勾股定

理求出V的值，即可.

【详解】（1）解：如图，直线MN即为所求：

（2）解：点。为8c的三等分点，证明如下：

设正方形的边长为1,作。K_L力。，连接M。，则四边形。KQC为矩形,

:.QK=CD=\,DK=CQ,

设则。河=4。-4必=l-x,

答案第15页，共25页

••・折叠，

.'.ME=DM=\-x,AE=BE=-AB=~,ZMEQ=ZADC=900,

22

在RlZ\/M/£中，由勾股定理，得/+(；)=(l-.r)2,

3

x=—,

8

5

-

EM-DM=\-x8-

设CQ=QK=j，，则4°=C4_C°=l_y,MK=DM-DK=--y,

8

/5\2

在RLMK0中，M02=]2+2_y

(87

在RLE80中，七°2=4炉+802=(g)+(1—y),，

在RtAMFg中，EM2+EQ2=MQ2,

解得y=g;

・•.CQ=；fc,

即点Q为5。的三等分点.

22.C

【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠

性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解.

【详解】解：♦.•正方形48CQ边长为8,E是X。中点，

：.DE=-AD=4

2

设。产=.丫，则C/=8-x,由折叠性质得£/=。/=8-》.

在RaEQ厂中，由勾股定理：DE2+DF?=EF?，

即4?+/=(8一工＞,16+x2=64-16x+x2,16x=48,x=3.

:.DF=3,DE=4,DF\DE=~.

4

故选：C.

23.B

答案第16页，共25页

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是

解题的关键.

19

根据题意，结合图形，先得到图1中豆=^$8,结合已知条件，得到结合图2,

得到结果.

【详解】解:如图，设正方形4的面积为邑，正方形8的面积为品，图1中阴影部分面积为

S，图2中阴影部分面积为S2,

•.•图1中，BC=BE,/ECD=/BEF,/CBD=/EBF=90。一/DBE,

:sBCDqABEF(AAS),

S

・$3=产1，

c1c

v5.=—S,

19At

3=2

90

-SeA=/"，

同理，图2中，邑二;邑,

199

2千/LmSi

9

即当4的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是8的弓,

16

故选;B.

2023

24・⑴45；⑵见解析；⑶丁

【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质.

(1)根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案;

(2)由正方形的性质得/4OG=/4O8=90。，NOAE=NOBF=45。，

OA=OC=OB=OD,然后证明A,4OE/A8OF(ASA)可证明结论成立;

答案第17页，共25页

(3)由(2)可得与影=了5正方形48皿，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一

起阴影部分的面积.

【详解】解：(1)一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两

条对角线分别是两组对角的平分线，

所以当剪口线与折痕成45。角，菱形就变成了正方形.

故答案为：45；

(2)证明：在正方形44Go和正方形力8。中，

5)Ci=NAOB=90。,NOAE=NOBF=45。,OA=OC=OB=OD,

二Z^OC,-ZBOE=ZAOB-ZBOE,

:.NAOE=NBOF,

・•・"OE知BOF(ASA),

•••/iE=BF；

(3)由(2)可知，AAOE^BOF,

AS^AOE=S^BOF，

A5因影=S^BOE+S.BOF=SWOE+S,OE=S&月os=正方形八BCD)

•••2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，

I2023

二正方形重叠阴影部分的面积为：4x1x1x(2024-1)=^

44

25.⑴见详解

(2人力〃/是等腰三角形，理由见详解

⑶7

【分析】本题主要考查矩形，正方形，菱形，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识的判

定和性质是关键.

(1)根据矩形的性质，证明"。小且”即(4S),得力D5B,结合正方形的判定方法“一

组邻边相等的矩形是正方形”即可求证；

(2)证明△/。£且△氏"/(S/S),结合(1)即可求证；

(3)如图所示，延长CB到点H,使得4〃=4E,连接力〃，证明空△48H(S4S),

答案第18页，共25页

可得/是等边三角形，由此即可求解.

【详解】（1）证明：•.•四边形"CQ是矩形，

：.NBAD=NABC=9Q0,

.­.ZBAF+ZDAG=90°f

vDEJ.AF,

.-.ZZ）JG+ZJDG=90o,

•••Z.BAF=Z.ADE>

vZ.ADE=NBAF,Z.DAE=NABF,DE=AF,

.•.AADE/ABF（AAS）,

•••AD=AB,

又•••四边形月夕CQ是矩形，

•••四边形48CQ是止方形；

（2）解：△力H尸是等腰三角形，理由如下，

•••四边形”。是正方形，

:"DAE=/ABF=NABH=90°,AD=AB,AE=BF,

,:AE=BH,

:ADE/BAH（SAS）,

DE=AH,

由（1）得到DE=AF,

•••AH=AF,

户是等腰三角形：

（3）解：如图所示，延长C8到点“，使得=4E,连接力H,

•••四边形力8C7）是菱形,

JD||BC,AB=AD,

:./DAE=/ABH,

答案第19页，共25页

在ADAE与"BH中,

DA=AB

■Z.DAE=NABH,

AE=BH

.•.△DAE%AB”(SAS),

:.DE=AH,NAED=NH=60。,

又•；DE=AF,

•••AH-AF,

是等边三角形，

:.AH=HF=BH+BF=AE+BF=5+2=7,

:.DE=AH=7.

26.4

【分析】本题考查了“菱形的性质”“正方形的判定“，找到运动路程与正方形的判定条件之间

的关系是解题关键.

由菱形的性质，可知EF1BD,OD=OB,因此，当£尸=8。时，即可判定四边形OE8产

为正方形，此时的时间即为所求.

【详解】••・四