第1章 二次函数-浙教版九年级《数学》上册培优测试强化卷

第1章二次函数（高效培优单元自测•强化卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。）

1.已知二次函数y=2（x-lf+3,其顶点坐标为（）

A.（-1,3）B.（1,一3）C.（-1,-3）D.（1,3）

【答案】D

【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解.

【详解】解：二次函数顶点式的形式为其顶点坐标为（〃"）.

•・•已知二次函数为），=2（尢一1）2+3,对比顶点式可得〃=1,k=3

・•・该二次函数的顶点坐标为（1,3）.

2.抛物线），=-2（x-3与），轴交点坐标是（）

A.（0,-3）B.（0,-1）C.（1,-3）D.（0,-5）

【答案】D

【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为o,将x=o代入抛物线解析式计算出y的值，即可得到交点坐标.

【详解】解：当x=0时，y=-2（X-1）2-3

=-2X（O-1）2-3

=-2x1-3

=-5,

・••抛物线与y轴的交点坐标是（。,-5）.

3.二次函数yX-2的图象如图所示，则不等式/7_2<0的解集是（）

A.x<-lB.x>2C.-1<x<2D.xv-1或x>2

【答案】C

【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在X轴下方时的自变量的取值范围即可得出

结果.

【详解】解：由图象可知，不等式父一4-2<0的解集是T<x<2：

故选C.

4.若抛物线），=/+工_|与x轴的交点坐标为。几0）,则代数式病+〃?+]]9的值为（）

A.118B.119C.120D.121

【答案】C

【分析】先求出加+加的值，再用整体代入法计算所求代数式的值.

【详解】解：•・•点（〃?,0）是抛物线丁=/+彳_]与％轴的交点，

杼（，4。）代入y=f+x-1，可得〃，+〃?一1=0,

:.整理得nr+m=1>

将〃/+〃?=1代入〃?'+〃?+119得原式=1+119=120.

5.已知二次函数），=（x—1『+匕点尸（0,y）,Q（2,%），M（3,%）在函数图象上，则大小关系为（）

A.B.%<乂<%

c.=y2<y3D.%<必<另

【答案】C

【分析】本题根据二次函数顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上的二次函数性质，得点到对称轴

的距离越大，函数值越大，通过比较各点到对称轴的距禽即可得到函数值的大小关系.

【详解】解：•.•二次函数解析式为y=（X-l）2+k,。=1>0

，抛物线开口向上，对称轴为：宜线x=l,

点尸（o,y）到对称轴的距离：|o-i|=i,

点Q（2,%）到对称轴的距离：|2-||二1,

点M（3,%）到对称轴的距离：|3-1|=2,

•・•抛物线开口向上时，点到对称轴的距离相等则函数值相等，距离越大，函数值越大，

/.M=%v%♦

6.将抛物线y=f向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式是（）

A.y=（x-2）2-3B.y=（x-2）?+3

C.广。+2『-3D.），=（­

【答案】c

【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项''的平移规则计算即可得到

新抛物线的解析式.

【详解】解：原抛物线解析式为『=/

•・•抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为y="+2）2

再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则”上加下减常数项”，得最终解析式为y=（x+2）2-3.

7.对于抛物线y=2（x-l『+3,下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向下B.抛物线的顶点坐标为（L3）

C.抛物线的对称轴为直线x=-lD.当x>l时，随x的增大而减小

【答案】B

【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可.

【详解】解：•・・抛物线解析式为了=2（x—lp+3,

：.a=2>0,

・•・抛物线开口向上，故A错误：

顶点坐标为（1,3）,故B1E确；

对称轴为直线x=l,故C错误；

•・•抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,

・••当”>1时，）'随x的增大而增大，故D错误.

8.某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若

每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件.设售价为每件x元，x为正整数.有下列结论：

①若/=70,则销售该商品当日利润为800元；

②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x=63；

③有两种定价方式可以使利润为1008元.

其中，正确结论的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【分析】先根据题意得到利润关于售价的二次函数表达式，再依次验证三个结论，统计正确结论的个数即

可；

【详解】解：设每日销售利润为了元，根据题意:每件利润为（工-40）元,每日销量为50-2（x-60）=170-2x,

因此利润函数为：y=（x-4。）（170-2x）=-2X2+250X-6800

验证结论①：当x=70时，y=（70—40）（170—2x70）=30x30=900,

•・•结论中说利润为&X）元，.,•结论①错误；

250

验证结论②：二次函数），=-2，+2504-6800开口向下，对称轴为工二-24—2）=625,

•・•1为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低），

••・x=62满足要求，结论②错误；

验证结论③：令），=1008,得方程（X—40）（170—2力=1008,-125x4-3904=0,

解得》=61,X2=64,两个根均为正整数，因此有两种定价方式，结论③正确；

综上，正确结论只有1个；

9.如图，在中，ZC=90°,AC=2cm,BC=4cm,点P从点月出发，以的速度沿折线

4C7C8TA4运动，最终回到点4.设点。的运动时间为心，线段AP的长度为"利，则能够反映y与x

之间函数关系的图象大致是（）

【答案】A

【分析】分点P在AC、BC、A8上运动三种情况，进行讨论求解即可.

【详解】解：VZC=90°,AC=2cm,BC=4cm,

••・AB=JAC2+BC?=2瓜m，

由题意，当（）"41时，点P在AC上，），=2凡为一段上升的线段；

当lvxW3时，点产在〃。上，

r.CP=2x-2,

••・），=/石］=师彳工，其函数图象是丁随X的增大而增大，且不是线段；

当3<xW3+y/5时，点Pfl-ABI.»

y=2+4+2x/5-2x=-2x+6+2\/5,为一段下降的线段；

故符合题意的只有选项A.

1（）.如图，抛物线丫=9-4%-5与x轴交于点A,B（点8在点A的左侧），与丁轴交于点。，点用，N在

该抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），若MN=1,则MO+CN的最小值为（）

A.272B.4&C.4GD.3石

【答案】B

【分析】根据抛物线y=d-4X-5,得对称轴是直线x=2,得出点C坐标为（0,-5）,将线段CNI向上平移

1个单位长度到C，M的位置（此时点N重合），当点C,M,O'在一条直线时，OA/+CM有最小值，

即QW+CV有最小值，即线段。C'的长，可得OC=4,00=4,根据勾股定理得℃=J4、42=4人，

即可求解.

【详解】解：y=X2-4X-5=（X-2）2-9.

「•抛物线的对称轴是直线x=2.

二.点。关于对称轴直线x=2的对称点为0（4,0）.

当工=0时，y=-5,

•••点C坐标为（0,-5）,

将线段CN向上平移1个单位长度到c'M的位置（此时点M，'重合），当点C',M,O,在一条直线时,

OM+C/W有最小值，即。W+CN有最小值，即线段。C的长，

。。'=4,6X7=4,

二.0rC=9+42=4V2，即OM+CN的最小值为4&•

【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）

11.二次函数＞'=*+21+1与4轴交于（—。,0）,则。的值为.

【答案】1

【分析】二次函数图象与x轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于•。的

一元二次方程即可得到〃的值.

【详解】解：•・•二次函数y=/+2.r+l与x轴交于点（-4,0）,

•,・将,y=0代入y=/+2工+1得（一姨+2x（-t/）+l=0,

整理得a?一》7+1=0,

.・.gif二。

解得4=。2=L

.人的值为1.

12.二次函数>=办2+版+。（«,b,C为常数，。<0）中，x与y的部分对应值如表:

X•••-103•••

y・.・n2n・・・

若〃?>0,且点4（加,凹），8（加+2，%）在该二次函数的图象上，则H先.（填或“=”）

【答案】>

【分析】先根据表格中x=-l与x=3的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合。<0判断开II方向，通

过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断H与％的大小关系.

【详解】解：由表格可知，当x=-l和x=3时，y值相等，

-1+3

因此二次函数丁=如2+法+。的对称轴直线为x=—1=1.

因为avO,

所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小.

点A（见yj到对称轴直线x=l的距离为仰-1|,点3（川+2%）到对称轴直线1=1的距离为M+2-1|=|/W+1].

因为〃2>0,

所以|〃?+1|="?+1>0.

当Ov〃?<l时，|m-l|=l-7n,则仙一1|-|/"+1|=1-〃2-（〃2+1）=-2m<0,即]〃?一1|.

当"亚I时，贝叩〃一1|一,〃+1|=6-1一（〃，+1）=—2<。，即

因此点A到对称轴的距离小于点8到对称轴的距离，可得y>%.

13.某工厂第一年的利润为20万元，第三年的利润>万元与平均年增长率x之间的函数关系式是,

自变量x的取值范围是.

【答案】y=20（l+x『（或y=20/+40x+20）x>0

【详解】解：由题意可知第一年的利润为20万元；

第二年的利润为200+力万元；

第三年的利润为20（l+x）（l+x）万元，

贝ijy=20（1十X））（或），=20/+40x+20）；

由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即x>0.

14.如图，二次函数丁=尔+以+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，顶点尸的坐

标为下列结论：

①"cvO：②对于任意实数〃?，都有卬/+切〃-心0；③3b<2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一

个交点为8,则点8的横坐标位于3和4之间.其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】①③④

【分析】I［函数y=a?+bx+c开口向下，对称轴％=-9=1>0,交y轴于正半轴可得〃<0,〃>0,

c>0,从而abcv0,故①正确；由顶点P的坐标为(1,〃)可得对于任意实数川，都Is,/+Z?/〃+c4a+Z?+c，

即a-KO,故②不正确；由二次函数)，=加+区+。的部分图象与工轴的一个交点八位于(-2,0)

和(T,。)之间得y=n-〃+c>。，又。=—勿，故+即3〃<2c,故③正确；由点A和点8关于x=l

对称和点A位于(-2,0)和(-1,0)之间可得点8的横坐标位于3和4之间，故④正确.

【详解】解：•・•二次函数-加+a+c•开口向下，

:.a<0,

,二次函数y=ax2+/?x+c对称轴x=—=1>0,

2a

/.b>0,

•/二次函数y=cix2+/zr+c交)，轴于正半轴，

/.c>0,

/.abc<0,故①正确;

••顶点P的坐标为(L〃),

••・当x=l时，y最大为a+〃+c,

・•刈「任意实数，〃，anr+bm+c<a+b+CfHPam2+bm-a-b<0故②不正确;

・二次函数尸加+法+C的部分图象与X轴的一个交点A位于(-2,0)和(TO)之间,

.,•当x=T时，y=a-b+c>0,

h=-2a,即a=~~,

2

-b+c>0,H1.38<2r,故③止确：

若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为3,则点A和点8关于x=l对称，

,•,点A位于(一2,0)和(TO)之间，1一(一2)=3,1-(-1)=2,

二点〃的横坐标位于3和4之间，故④正确；

综上所述，①③④正确.

15.已知二次函数y=/+4x+5,当一34x40时，y的取值范围为.

【答案】1<J<5

【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为宜线x=-2,距离对称轴越远函数值越大，即可

求解.

【详解】解：.y=f+44+5=(/+2]+1,

•••开口向上，对称轴为直线工=-2,距离对称轴越远函数值越大，

.•.当x=—2时，y有最小值为1,

.*.0-(-2)>-2-(-3),

.•・当工=()时，>有最大值为5,

・•.y的取值范围为1"$5.

16.如图，抛物线y=Y-4x+3交工轴于4,B两点,交)'轴于点C,点尸为工轴上方抛物线对称轴上一点，

当NC£4=2N£44时，点尸的坐标是

【答案】(2,1)

【分析】求出抛物线与x轴、)'轴的交点坐标，延长。尸交x釉卜点G,由外角的性质证得A尸=8尸，由等

腰三角形的三线合一可求出G点的坐标，利用待定系数法求直线。的解析式，从而求出点尸的坐标.

【详解】解：令y=0得d-4x+3=0,

解价$=3,x2=1,

4(1,0),5(3,0),

令％=0得y=3,

/.C(0,3),

抛物线的对称轴为直线x=-3=2,

2a

：.AH=\,

延长C户交x轴于点G,

I\/

\\:/ZCFA=ZFAG+ZFGA,ZCFA=2ZFAB,

口、、G,

.\AFAG=ZFGA,

AF=GF，

F_LX轴，

AH=GH=1,

/.G(3,0),

•••点G与点8重合，

设直线CB的解析式为y=kx+b,

杷C(O,3)、G(3,0)代入尸乙+人得,

=-1

解得心,，

b=3

•••直线CB的解析式为y=-x+3,

把』=2代入得y=l,

・•.*2,1).

三、解答题(本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知二次函数：y=x2-2/?tv+w2-l

⑴求证：该二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点；

⑵若该二次函数的图象与X轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且一A8C的面积为4,求小的值.

【答案】(1)

证明：•一元二次方程x2—2尔+疗—1=0中。=1,b=-2m,c=m2-1»

/.A=(-2/n)2-4xlx(〃F-1)=4〃/-4//+4=4>0,

二•该二次函数图象与x轴总有两个不同交点；

(2)m=±y/5

【分析】(1)先判断一元二次方程丁-2〃a+〃产-1=0根的情况・再结合二次函数与一元二次方程的关系即

可得证；

(2)令y=0,求出A、“两点的横坐标及|A8|；令x=0,得与)，轴交点C的纵坐标，即高，=山2-1|,根

据“8c的面积为4推得=求解即可.

【详解】(1)略

(2)解：令)，=。，自吊方程工2一2〃次+加2一1=0,

[x-(/?/+l)][x-(/7z-l)]=0,

解得为=利+1,x2=m-\,

AB=\x}-X2|=|(/M+1)-(/7/-1)|=2,

令工=o,得与y轴交点c的纵坐标为>-1,

即高为〃二忖-1卜

「•三角形面积S=-xABx/i=-x2x|///2-1|=|m2-1|=4,

①加2-1=4时，m=±5/5:

②/-1=-4时，〃=_3(无实数解).

故m=±V5.

18.已知二次函数J，=Y+2K-3.

⑴将二次函数化成)，=a(x-h)2+k的形式，并写出与)，轴交点坐标;

⑵在平面直角坐标系中列表画出y=V+2x—3的图象；

(3)结合函数图象，直接写出)>0时k的取值范围.

【答案】(l)y=(x+l)、4,与y轴交点坐标为(0,-3)

(2)见解析

(3)x<-3或x>l

【分析】(1)先将)，=Y+2x-3化为顶点式，然后将x=0代入解析式，求出与y轴的交点即可；

(2)根据函数解析式，列出表格，然后画出相应的函数图象即可；

(3)根据(2)中的图象，时即函数)，=Y+2x-3的图象在x轴上方时对应的x的取值范围，可以直

接写出k的取值范围.

【详解】(1)解：y=x2+2x-3=(x+l)2-4,

当x=0时，y=-3,

即y=(x+l)2-4,与)，轴交点坐标为(0,-3)；

(2)解：列表如下：

X•••-3-2-101

y0-3-4-30

函数图象如下所示,

（3）解：由图象可得，）>。时x的取值范围是xv—3或x>l.

19.某公园雕塑3的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形.测得雕塑。4的高度为2m,当喷

出的水柱与。4的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m.以点。为原点，所在直线为y轴建立平面直

角坐标系（如图）.

（1）求水柱所在抛物线的函数表达式；

（2）求水柱落地点与雕塑QA的水平距离.

【答案】⑴y=-0.1/+0.8x+2；

（2）10m.

【分析】（1）由题目所给条件可得点A的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点A代入求解即可得

到该抛物线的函数表达式；

（2）题意为求点8的坐标，令（I）中求得的函数表达式值为0求解即可.

【详解】（1）解：由题可得，点A的坐标为（0,2）,该抛物线的顶点为（4,3.6）,

设该抛物线的顶点式为y=〃（％-4）2+3.6,

把点A代入得2=16。+3.6,解得"-七，

二•该抛物线的函数表达式为），=-*（工一4）2+3.6=-0.1/+0.8%+2：

（2）解：令），二0得一0.1.产+0.8、+2=0,

两边同时乘以-10得-20=0,

因式分解得(x-10)(x+2)=0,

解得内=10,X2=-2,

二•点3的坐标为(10,0),

「•水柱落地点与雕塑OA的水平距离为10m.

20.某商店决定对某类商品进行降价促销活动.己知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可

卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元(售价不低于进价，x为正整数)，

这批商品的日利润为卬元(利润=售价■成本)，请解决以下问题：

⑴设商品售价x元，则一天可以卖出件：

(2)当商品的售价%为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？

【答案】(1)(560-40,r)

(2)当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元

【分析】(1)设商品售价x元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每

天可多售出40件，据此列出代数式即可；

(2)先求出5KXK14,再根据题意列出日利润卬的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可.

【详解】(1)解：设商品售价x元，则由题意可得，

804-40(12-X)=560-40X

即一天可以卖出(560-40X)件；

x>5

(2)解：由题意可得，,、八

560-40A->0

解得5—,

卬=(560-40x)(x-5)=-40x2+760x-280()

=-40(X-9.5)2+810

-40<0,

・•・抛物线开口向下，

•・•抛物线的对称轴为直线x=9.5,x为正整数，

・•・根据抛物线对称性可知，当x=9或x=10时，W取得最人值，

此时最大值为“，二T0(10—9.5『+810=800,

即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为80()元.

21.如图为某拱桥的示意图，桥面PQ平行于水面八8,拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处

点C与桥面PQ的距离为I米，当水面距离桥面4.6m时，拱孔横跨水面宽度48为12米.若以水面所在

直线为x轴，A8的中垂线为)'轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题：

(1)请求出桥洞对应抛物线的表达式；

(2)若从桥面向下挂一条宽为14米的长方形横幅横幅上边沿所与桥面PQ重合，G、，恰好落在

拱孔上，求横幅的长.

【答案】⑴y=~Og+3.6

(2)4米

【分析】(1)根据43=12得勿=0B=6,根据桥洞最高处点C与桥面。。的距离为1米，水面距离桥面4.6m,

得顶点的纵坐标为4.6-1=3.6,可设抛物线解析式为y=〃2+3.6,求解即可；

2

(2)根据题意，得4.6-14=3.2当y=3.2时,3.2=-0,lx+3.6,求解即可；

【详解】(1)解:根据舫=12得3=OB=6,桥洞最高处点C与桥面占。的距离为1米,水面距离桥面4.6m,

得顶点的纵坐标为4.6-1=3.6,

故A(-6,0)、3(6,0)、0(036),

设抛物线为产加+3.6

/.3.6=62a

解得4=-0.1,

:.桥洞所对应的抛物线的解析式为y=-0.1』+3.6；

(2)解：4.6-1.4=3.2

.,•当y=3.2时，3.2=-0.19+3.6,

解得x=±2,

，横幅长为：2-(一2)=4米；

22.某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了

一次消防演练.如图所示，打开云梯后，消防车喷水口A离地面的高度为水流落地点为点3,喷出的

水流呈抛物线型.以0B所在直线为工轴，Q4所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.(喷水装置和水流粗

细忽略不计)已知0A=21m,OB=7m,从A处喷出的水流高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为

y=-3x2+bx+c.

⑴求〃，c的值；

(2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？

(3)点C在点3正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在C处的水流高度达到36米，则消防

车从。点沿08方向应至少前进多少米？

【答案】(1)6=18,c=21

(2)水流高度能达到的最大高度是48米

(3)消防车从。点沿0B方向应至少前进3米

【分析】(1)根据已知数据确定点A(0,21)、8(7,0),再利用待定系数法求解即可；

(2)将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案；

(3)先求出当y=36时，x,=l,X2=5,再由平移即可得出结一金.

【详解】(1)解：VOA=2\m,OB=7m,

：.A(0,21),8(7,0),

=21

2，

-3X7+7Z,+C=0

/?=I8

解得《

c=21

（2）解：由（1）知抛物线的表达式为：y=-3x2+18x4-21,

将表达式转化为顶点式为：），=-3（工-3『+48,

，抛物线的顶点坐标为（3,48）,

・••水流高度能达到的最大高度是48米；

（3）解：令y=36,BP-3x2+18x4-21=36»整理得：x2-6x+5=0,

解得：X=1,占=5,

•••点。在点B正前方1米处，

・•・C（8.0）,

・•・至少需前进8-5=3（米），

・•・消防车从。点沿OB方向应至少前进3米.

23.已知直线/交抛物线y=ad-4M-3（常数。=0）于点己㈣,（人8”），s<t.

⑴求抛物线的对称轴.

（2）当抛物线最高点到直线/的距离为9时，

①求，的值；

②若点P（X，x）,。（冷火）是。W范围内抛物线上的两点，且8<2,x,<x2.当取得最大值时，

记点尸向右平移3个单位后的点为求线段PQ的中点的坐标.

【答案】（l）x=2；

⑵①1=5：②（5,一5.

【分析】（1）代入抛物线对称轴公式］=-二求解即可；

2a

（2）①利用抛物线最高点到直线/的距离为9这个条件结合抛物线顶点坐标与直线/的表达式列出

|（-4。-3）-84=9且〃<0叫求出。的值，联立抛物线和直线/结合即口J得到/的值；②y-刈取得最大

值，在内先让弘尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让％尽可能小，从而可得到点尸（X，）'3Q（W，M）

的坐标，由平移性质得到P'的坐标，再利用中点坐标公式求得线段PQ的中点的坐标.

【详解】（1）解：抛物线的对称轴为1二-翌二？；

(2)解：①•・•直线/过点(s,8a),(I,8a),

・•・直线/的表达式为y=8。,

j=at2-4ax-3=a^x2-4x)-3=«(x2-4x+4)-4a-3=〃(x-2)~-4a-3,

「•该抛物线的顶点为(2,Ta-3),

,••抛物线最高点到直线/的距离为9,

/.|(-4«-3)-8«|=9,avO,

/.|-12^-3|=9,即|12a+3|=9,解得〃=一1或a=g(舍去)，

二•抛物线为)=一工2+4工一3,直线/为丁=-8,

联立抛物线和直线/得一d+4x—3=—8,

化简得丁一4工一5=0,即(x-5)Q+l)=O,

解行X|=5,x,=—1,

,/5<r,

."=5；

②一乂-%取得最大值，

「•另最大为当N=2时，另=1,

Aj<X2,

・'•力最小为当勺=5时，必=-8,

.•.P(2,l),0(5,-8),

•・,点P向右平移3个单位后的点为F,

”(2+3,1),即P(5,l),

「•线段PQ的中点的坐标为(手，1笄，即,，—£)•

24.如图①，已知抛物线+笈+。与x轴交于两点。(0,0)、A(2,0),将抛物线y向右平移两个单位长

度，得到抛物线外，点2是抛物线片在第四象限内一点，连接以并延长，交抛物线，2于点Q.

（1）b=:

⑵设点P的横坐标为与，点Q的横坐标为与，求勺一4的值；

（3）如图②，若抛物线必=/-8工+，与抛物线,=/+法+c交于点°,过点。作直线MN,分别交抛物线M

和介于点M、N（M、N均不与点。重合），设点M的横坐标为机，点N的横坐标为〃，试判断|〃L〃|是否

为定值.若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由；

（4）若抛物线），；=ad+4x+q与抛物线为=ad+%r+c2（其中。=0）交于点C,过点。作直线MN,分别

交抛物线X和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为八点N的横坐标为=

.（请用含小伉，灯的代数式来表示）

【答案】（1）一2

（2）4

（3）加一"是定值，=6

【分析】（1）将点（0,0）代入抛物线M中先求解出c的值，再将点（2,0）代入即可求解出。的值；

（2）先求解出抛物线力和抛物线力的表达式，设出点尸的坐标，求出直线AP的函数表达式，联立直线AP

与抛物线％求解出点。的坐标，由此可求解；

（3）先求解出点。的坐标，求出直线CM的函数表达式，联".直线CM与抛物线力求解出点N的坐标，由

此可求解；

（4）先联立抛物线必和为表示出点。的坐标，求出直线CM的函数表达式，联立直线CM与抛物线内求解

出点N的坐标，由此可求解；

【详解】（1）解：•・•抛物线+bx+c与x轴交于两点0（0,0）、A（2,0）,

0=c，/b=-2

0=4+2"/解得

c=0

即，二—2；

（2）解：由（1）可知，/?=-2,c=0.

・•・抛物线X=Y-2X,

•••抛物线y向右平移两个单位长度，得到抛物线为，

2

Ay2=（x-2）-2（x-2）,即），2=V—6x+8,

•・•点P是抛物线其在第四象限内一点，

，设点尸（P，p2-2p）,其中。<〃<2,

•・•点A（2,0）,

设直线4P的函数表达式为y=工0）,

0=22+〃伏=〃

Jp2_2p=/M+b'解得%=-2p'

:.直线42的函数表达式为y=PX-2p,

fy=px-2n,

联立｛2/o»即〃氏一2p=%2-6x+8,

（J2=A-6A+8

则有p(x_2)_(x_2)(x_4)=0,gp(x-2)(x-4-p)=0,

x=2x=4+p

解得或

y=0y=p2+2p

工点Q(4+p,p2+2〃),

,\xQ-xp=4+p-p=4.

(3)解：:抛物线必=/一8\+，与抛物线y=f+〃x+c交于点c,

联立2=[=+-即x——x，

J)=x-2x

解得X，则）［J

ttt

•••点c

6n一工

•・•点M是抛物线,上的一点，且设点M的横坐标为

:、点M的纵坐标为病-2n，

.,.点/一2,〃),

设直线CM的函数表达式为y=0),

/-ttr=w+——2

・・・标-丁U+s,解得6

2c