广西玉林市九校2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试卷

广西玉林市九校2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试卷

一、单选题

1.复数2-3i的虚部为（）

A.3B.3iC.D.-3i

2.若直线/在平面。内，则符号表示正确的是（)

A.IuaB.I//aC.leaD./Ia=A

3.下列关于平面向量的说法正确的是（）

A.若26是共线的单位向量，则万B.若d二5,则同=网

C.若://方,则出啰=同忖D.若。//尻5〃乙则

4.已知某平面图形048c的直观图是如图所示的梯形O7VaC,且4力=2,O'C'=3,O'A'=2,则原图形

C.12D.10

mua,则“/JLm”是“/JLa”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知向量|同=2,75=3,则向量〃在上的投影向量为（

1-1r

A.-bB.-bD.h

32

［卷+惫）死町则三角形44。的形状一定是（）

7.已知三角形A8C满足

A.正三角形B.等腰三角形C.直.角三角形D.钝角三角形

_2_

8.已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为。〃=2♦，〃=6,c=4,^AD=-AC,AE=AAB

（0W/IW1）,若8。与CE相交于点尸，则当|而|取最小值时,)

ABCD

-7-I-I-I

二、多选题

9.已知i为虚数单位，复数4="2i,^=2-1,则()

A.4的共扼复数为_1+2iB.|z1|=|z2|

C.4+z为实数D.马『2的虚部为-5

10.已知向量£=(2,-3),〃=(〃?一1,〃?)，则()

3

A.若“/〃1?,则=B.若则》=-2

C.若口卜W，则〃?=一2或3D.若m=1,则Z+.与5的夹角为135。

11.在VA8C中，内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,b=&,/?sin(A+B)=ccosy,则()

A.3=]B.V/43C外接圆的面积为几

c.VABC面积的最大值为出D.V/WC周长的最大值为2G

4

三、填空题

12.已知向量久=(2,1),则向=.

13.圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，•高缩小为原来的则其体积是原来的一倍.

14.已知菱形A3CO的边长为1,NAOC=?,将zMOC沿AC翻折，当三棱锥。-ABC表面积最大时，其

内切球表面积为.

四、解答题

15.平面内给定两个向量4=(—1与)・/7=(Zl).

⑴求4。-2/；,3d+4方的坐标；

⑵若丽=21-/；,阮=5+痴且A、B、C三点共线，求机的值.

16.如图，三棱柱AB。-内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是16兀，底面直径与母线

长相等.

(1)求圆柱的底面半径；

(2)求三棱柱的体积.

17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选8,C两处作为测量点,

测得3c的距离为50m,NA8c=45。，ZBC4=105°,在C处测得大楼楼顶。的仰角々为75。

□□

□□

□□

□□

□□

□n

□D

□D

□D

□D

□D

□D

□D

C

(1)求AC两点间的距离：

(2)求大楼的高度.

18.在VA8C中，内角ARC的对边分别为瓦。，且2r-a-2bcosA,h-3.

⑴求8的大小；

(2)若"百，求VABC的面积；

(3)求上的最大值.

a+c

19.三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的

人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名.当VA8c内一点

P满足条件NPAA=NPBC=NPC4=6m则称点P为VA&?的布洛卡点，角6为布洛卡角.如图，在VA&?

中，角人B,C所对边长分别为mb,c,点2为VABC的布洛卡点，其布洛卡角为6.

A

(1)求证：a-PB+b-PC+c-PA=—AABC.；

sin6^

⑵若A=26,是否存在常数使得/+c2=^ccos20,若存在，求4的值；若不存在，请说明理

由.

(3)若0=30。，试判断VA3C的形状.

参考答案

1.c

【详解】复数2-3i的虚部为的.

故选：C.

2.A

【详解】对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系，符号表示为/ua,A正确；

对于B：/||a表示直线与平面平行，不符合题意，B错误；

对于C：w是元素与集合的“属于"符号，仅用来表示点在直线/平面内，不能表示直线与平面的位置关系，C

错误；

对于D：/ca=A表示直线与平面相交于点A,不符合题意，D错误.

3.B

【详解】选项A：共线单位向量可同向也可反向，反向时。=从二入A错误；

选项B：相等向量的定义是方向相同、模长相等，因此若刁=万，必有同=|可，B正确；

选项C：力力时，两向量夹角为。。或180。，夹角为180。时无方=-|同同，C错误；

选项D：若B是零向量，零向量与任意向量平行，此时日与"可以不平行，D错误.

4.D

【详解】梯形OW&C中，A'8'=2,O'U=3,O'A'=2,而ZA'OU=4S,

则梯形arzrc的高力=owsin45=&,

因此梯形。4'夕。的面积S,=^(A'Bf+O'Cf)h=呼，

而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的立，

4

所以原图形OA5C的面积为2&$=10.

故选：D

5.B

【详解】

如图，正方体ABC。-中，B1C=I,BCy=m,平面为平面a,

其中BC_L8G，BGu平面ABG，显然8。与平面ABC1不垂直，故不是“/_La”的充分条件;

若/_La,且加ua,根据线面垂直的性质定理,可知/JLm成立,所以“/JL〃z''是"/JLa”的必要条件.

所以，“/_Lm”是“/1a”的必要不充分条件.

6.C

abb3b3r

【详解】向量不在5上的投影向量为.

7.B

画品

【详解】由几何意义知丽+而对应向量在的角平分线上,

由•戏=0,即N8的角平分线与边AC垂宜,

所以三角形A8C的形状一定是等腰三角形.

故选：B

8.C

【详解】因为a=2币,b=6,c=4,

由余弦定理得：cos4=m'=36+16—28」,所以4=59。.

2bc2*6x42

_2___

因为而=§/，所以4)=4,

又因为c=A8=4,所以△人3力为正三角形.

则当尸为线段8。的中点时，AFA.BD,即|府'I取最小值，

此时4户=，4公+，4力=，A#+，*246二1八月+，4已：

2222323

又因为E,F,。三点共线，所以弁=，荏+(17)而=，尢丽+(1T)而,

23

由平面向量基本定理，得，解得.

l-r=-2=-

34

9.BD

【详解】因为马=l-2i的共腕复数为2=1+2"所以A错误；

因为|十"+（_2）2㈤-次+㈠,一氐所以R正确:

因为Z1+Z2=l-2i+2-i=3—3i,所以C错误；

所以虚部为-5,所以D正确.

10.BCD

【详解】A：若Z//九则2〃?=1）,解得，〃=］,故A错误；

B：若£_1_坂，则2（〃［一1）-3〃?=0,解得机=一2,故B正确；

C：|«|=\/13,令W=J（"L1）2+//=>/15,解得〃2=-2或〃2=3,故C正确;

D：若"?=1,=(0,1),a+〃=(2,-2),

则"+词=端=瑞岩鲁=4

因为（Z+痴”［0。,180。］,所以（Z+反今=135。，故D正确.

11.BC

【详解】因为bsin（A+B）=ccos。，由正弦定理得sin8sinC=$inCcos',

22

因为8,Ce（0,兀），所以sin^二;，则々=已，即8=］，故A错误；

b

由正弦定理得外接圆的半径为而万一二万一，即R=l,

y

所以外接圆的面积为兀2=兀，故B正确；

由余弦定理得b?="+/一2accos3,^3=a2+c2-ac>ac,则ac«3,

当且仅当a=c时，等号成立，所以三角形的面积为：S，A8c=g"sinBwgx3x^=苧，故C正确:

21

由3=〃2+/-ac=(a+c)-3ac>(<a+c)-3---得(a+c)-K12,

则a+cW2>/5,当且仅当a=c时，等号成立,

所以三角形的周长为/=.+力+°436，故D错误,

故选：BC

12.眄

【详解】因为及=（2J）,

则同="+/=技

故答案为：石.

13.2

【详解】设圆锥的底面半径以及高分别为，J?,则变化之后的半径和高分别为2二；人,

则原来的体积为匕=，变化后的体积为匕=:兀（2r）2："='|"',

故％=2匕,

故答案为：2

14.（14-8孙

【详解】

因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直

三棱锥O-A3C中，面AOC与面A8C的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面08c与面

最大即可，而且SSCB=S.B；

S,mc=；smNDCBDCBC，当=］时，S△加。取得最大值.

过点。向平面A8C作垂线，设AC的中点为E垂足为

DD

因为。8=&，EB=ED=4,所以由余弦定理知cosNBEO=-;,

所以sin/QFO'=迪，易得DD，=也.

33

所以匕…=、旦旦%=叵

D屈3433612

=f

因为S»BD='建叶2S.ARC=S/0c=当

设内切球的半径为「，则根据等体积法，有:

L"X2+

32)34

吟华二浮解之得y焉,

所以其内切球的表面积为〃兀五丫兀

s=42=414+2⑸=(14-8@

故答案为：(14-8石卜

15.(1)45-2^=(-8,-2),3。+4万=(5,4)

(2)团=彳

【详解】(1)因为。=(一1,0),5=(2,1),

所以布一%二4(-1,0)-2(2,1)=(-4,0)-(4,2)=(—8,-2),

3a+4b=3(-l,0)+4(2,1)=(-3,0)+(8,4)=(5,4).

(2)由题意可得，而=2Z?-5=2(-l,0)-(2,l)=(-4,T),

BC=3+mb=(-l,0)+m(2,l)=(2w-l,m),

又A、8、C三点共线，则可得刀〃元,

即毋时⑵“双一口二。，解得〃1=

16.(1)2；

⑵120

【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为2r,则该圆柱的高为2r,其体积V=兀/-2-=16兀，解得厂=2,

所以圆柱的底面半径为2.

（2）由（1）知，正VA8C外接圆半径为2,则边长48=2X2XCOS30O=2G，

所以三楂柱ABC—AB£的体积V=立x(26)2x4=126.

4

17.⑴AC=50忘m

(2)|H)0x/2+50>/6)in

【详解】（1）因为/刚。=180。一105。-45。=30°,

BCAC

在V48C中，由正弦定理得

sinZBAC~sin/ABC'

50AC

即，所以AC=50及m,

sin30°sin450

即AC两点的距离为50夜m；

(2)在△OCA中，因为ND4c=90。，—=tana,

AC

所以A。=ACtan750=50>/2tan75o，

c。"

又tan75°=lan(450+30°)=⑦的+tan30==2+43,

'7l-tan^5°tan30°

1------------

3

所以40=50及(2+6)=000匹+50回m,

即大楼的高度为（100及+50x/6）m.

18.(l)y

⑵述

2

呜

【详解】(1)由正弦定理得：2sinC-sinA=2sinBcosA,又sinC=sin(乃一(A+B))=sin(A+B),

/.2sin(A+B)-sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-sinA=2sinBcosA,

即2sinAcos8=sinA,又Ae(O,%),「.sinAwO,cos=»

又Bw(Q/r),..B=y.

(2)由余弦定理得：b1=a2+c2-2accosB=3+c2-V3c=9,解得：c=2>/J,

=-acsin^=ixV3x2>/3sin-=—.

\ABC

2232

(3)由余弦定理得：b1=a~+C1-2accosB=(^a+c)"-3ac=9,

.•.(a+c)2—9=3acK：(a+cf(兰且仅当〃二c时取等号)，.•.a+c«6,

又“+c>3,3<«+c<6：

(tz+c)2-9

ac_3_a+c3,

a+ca+c3a+c

令Z=aice(3,6],〃，)=；—；,则〃，)在(3,6]上单调递增，

即.•.」£的最大值为"

2a+c2

19.(1)证明见解析•；

(2)存在,2=4；

(3)正三角形.

【详解】(1)依题意，S^ARr=S^Rr+S^PAC+S=^a-PBsind+^b-PCsinO+^c-PAs\n0,

所以a/B+力?C+C-QA=2SAA8C

sin。

(2)存在实数2=4使等式成立.理由如下：

由(I)得c,AP+〃BP+力。2=丛啜，在APABOPBCSPAC中,由余弦定理得：

sin〃

BP，=c2+AP2-2cApcosO,CP2=a2+BP2-2a-BPcos0,