七年级数学：有理数的乘方（7大题型提分练）解析版

七年级上册数学《第2章有理数及其运算》

2.4有理数的乘方

A知识归纳

知识点一有理数的乘方的意义

★有理数乘方的定义求〃个相同因数积的运算，叫做乘方.一般地，〃个相同的数。相乘，…xq

“个a

简记为a"，即gxaxax…xa=a”.乘方的结果叫做事,在。〃中，。叫做底数，〃叫做指数./读作a

~"n^a~

的〃次方，也可以读作。的〃次豪・（将/看作是。的〃次方向结果时）

幕——►方一指数（因数的个数）

底数（因数）

【注意】

（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51，指数1通常省略不写.

（2）指数是2时读作平方（或二次方），指数是3时读作立方（或三次方）.

（3）指数〃是正整数，底数。可以是任意有理数.

知识点二有理数的乖方的运萱

★1、乘方运算的符号法则：

（1）负数的奇次第是负数，负数的偶次鬲是正数;

（2）正数的任何正整数次暴都是正数，

0的任何正整数次辕都是0.

★2、有理数的乘方运算

计算一个有理数的乘方时.，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定事的符号，再计算幕的绝对值.

有相反意义的量就可以用负数表示.

★3、底数为互为相反数的两个数（W0）的幕的关系：

（1）互为相反数的两个非零数的同偶次累相等，

即若〃+方=0,则层三户1（〃为正整数，。工0,AWO）.

（2）互为相反数的两个非零数的同奇次呆仍然互为相反数，

即若。+人=0,贝IJ/皿+〃『1=0（〃为正整数，8工0）

（注：若〃为正整数，则通常用2〃表示整数，2〃-I表示奇数）

知识点三科学记数法

★1、科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成4X10〃的形式，其中a是整数数位只有一位的数，是正整数，

这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:QX10〃，其中iWaVlO,〃为正整数.】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中。的要求和10的指数〃的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此

规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数〃.

②记数法要求是大于1（）的数可用科学记数法表示，实质上绝走值大于10的负数同样可用此法表示，只是

前面多一个负号.

（3）小于T0的数也可以用科学记数法表示，只是多了一个负号：记作PX10"，其中T0<PW-L

★2、科学记数法一原数

（1）科学记数法〃X1（）〃表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把”的小数点向右移动〃位所得到的数.

（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科

学记数法表示一个数是否正确的方法.

B题型归纳」

有理数的（题型四乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合，

乘方

题型一有理数乘方的概念

解题技巧提炼

有理数乘方的定义：求〃个相同因数积的运算，叫做乘方.乘方的结果叫做瓶,

在〃”中，〃叫做底数，〃叫做指数.〃〃读作〃的〃次方.（将〃〃看作是〃的〃次

方的结果时，也可以读作。的〃次霜.）

1.（2024•河南）计算（a-aa）?的结果是（）

****

a个

A.a5B.a6D.a3a

【分析】先根据乘方的意义把括号内的乘法写成乘方的形式，然后根据幕的乘方法则进行计算即可.

【解答】解:原式=（4）3=/，，

故选：D.

【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练学握乘方的意义和事的乘方法则.

（•丛台区校级四模）计算乂乂乂乂的结果是（）

2.20243+3+3+-+3+444*—34

mn

A.3m+4nB.w3+4nC.3'"+4〃D.3/n+/?4

【分析】根据乘法的定义：〃，个3相加表示为3〃?，根据乘方的定义：〃个4相乘表示为4〃，由此求解即

可.

【解答】解：加个3相加表示为3〃b根据乘方的定义：〃个4相乘表示为4〃，

故3+3+3+・・・+3+4x4x4x・・・x4的结果是3〃?+4”.

mn

故选:A.

【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则是关键.

3.（2024春•肇源县校级月考）-43的意义是（）

A.3个-4相乘B.3个-4相加

C.-4乘3D.4?的相反数

【分析】根据有理数的乘方的意义解答即可.

【解答】解：・43的意义是43的相反数，

故选：D.

【点评】此题考查有理数的乘方和相反数,关键是根据有理数的乘方的意义解答.

4.（2023秋•胶州市校级月考）比较-33与（-3）3,下列说法正确的是（）

A.它们的底数相同，指数也相同

B.它们所表示的意义相同，但运算结果不相同

C.它们底数相同，但指数不相同

D.虽然他们底数不同，但是运算结果相同

【分析】（-3）3表示三个-3的乘积，-3?表示3个3乘积的相反数，计算得到结果，即可做出判断.

【解答】解：•・•（・3）3=-27,-33=-27,

・•・（・3）3和・33底数不同，运算结果相同.

故选：D.

【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解题的关键.

5.（2023秋•长清区期中）下列说法正确的是（）

A.23表示2X3

B.-2与(-2)2互为相反数

C.(-2)2中-2是底数，2是基

D.a3=(-a)3

【分析】根据有理数的乘法和乘方、相反数、塞的意义，即可得结论.

【解答】解：423表示2X2X2,不符合题意；

B.—2=-4,(-2)2=4,-4与4互为相反数，符合题意；

U(-2)2中・2是底数，2是指数，(-2)2是暴，不符合题意：

D.(-«)3=-〃3工。3,不符合题意.

故选:B.

【点评】本题考查了有理数的乘法和乘方、相反数、’曷的意义，熟练运用以上知识是关键.

6.(2024春•南岗区校级月考)有理数(-1)2、-24、_&)3、O、-|-3h-(-5)中正数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数.

【解答】解：(-1)2=1>0,是正数；

-24=-16<0,是负数：

-(i)3=-j<0,是负数；

。既不是正数，也不是负数；

■|-3|=-3<0,是负数：

-(-5)=5>0,是正数；

・•・正数有(-1)2,-(-5),共2个.

故选：B.

【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意。既不是正数也不是负数.

7.设〃是一个正整数，则10〃是()

A.10个〃相乘所得的积B.一个(〃-1)位整数

C.一个〃位整数D.一个1后面有〃个0的数

【分析】根据乘方的含义，求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方.在/中，a叫做底数，〃叫做指数.

【解答】解：〃是一个正整数，则10〃表示的是〃个10相乘所得的结果，它是一个(〃+1)位的整数.

故选：

【点评】本题考查了有理数乘方的定义，解决本题的关键是一定要完全理解/中表示的含义，才能做到灵

活应用.如本题所示的IV的意义.

m个2

2X2X-X2

8.（2023•许昌一模）计算广工——T=（）

3+3+34—+3

n个3

2m2m2mm2

A.——,B.—C.-7D.—

3n3nn33n

【分析】根据哥的意义和乘法是相同加数的和的简便运算即可得出答案.

【解答】解：原式=总，

故选：B.

【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握求〃个相同因数积的运算，叫做乘方足解题的关键.

9.（2022秋•怀仁市校级期末）设。是任意有理数，下列说法正确的是（）

A.（a+1）2的值总是正的B.a2+\的值总是正的

C.-（4+1）2的值总是负的D./+［的值中，最大值是1

【分析】根据偶次方的非负性，即J20进行判断即可.

【解答】解：（4+1）220,4错误；

/+1>0,B正确;

-（4+1）2,WO,C错误；

J+1的值中，最小值是1,。错误，

故选：B.

【点评】本题考杳的是偶次方的非负性，掌握。220是解题的关键.

题型二有理数的乘方运算

解题技巧提炼

1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幕的符号，然后

再计算森的绝对值；

2、乘方的符号法则：正数的任何次露都是正数；负数的奇次森是负数，负数的偶

次赛是正数；。的任何正整数次命都是0.

1.（2024•天长市三模）-i024等于（）

A.-1B.1C.-2024D.2024

【分析］根据乘方的意义进行计算即可.

【解答】解：原式=-lxlxlx...xl

2324

=-1,

故选:A.

【点评】本题主要考查了实数的有关运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义.

2.（2024•九龙坡区自主招生）计算：一（一§2=（）

9999

A.-B.-5C.-D.-7

2244

【分析】根据的理数的乘方计算法则即可得出答案.

【解答】解:原式=-5.

故选：

【点评】本题主要考查有理数的乘方计算，熟练掌握有理数的乘方计算的运算法则即可得出答案.

3.（2024春•浦东新区校级期中）下列各数中，数值相等的是（）

A.23和32B.（-3）4和-3，

C.（-4）3和-43D.|-2『和（-2）7

【分析】根据有理数的乘方法则和有理数的乘法法则逐项计算排查即可解答.

【解答】解:力、23=8,32=9,二者数值不相等，不符合题意；

B、（-3）4=81,-34=-81,二者数值不相等，不符合题意；

C、（-4）3=-64,-43=-64,二者数值相等，符合题意；

D.|-2「=128和（-2）7=722,二者数值不相等，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了有理数的乘法和有理数的乘方，正确掌握有理数的乘方法则和有理数的乘法法

则是解题的关键.

4.（2024•邯郸三模）若34X34X34=3。43+43+43+43=4M,则〃l〃的值为（）

A.-5B.0C.3D.8

【分析】根据题意得出〃?=12,〃=4,代入代数式，即可求解.

【解答】V34X34X34=3I2=3W,43+43+43+43=4X43=44=4M,

.*.///=12,〃=4,

.*.///-n=12-4=8,

故选：

【点评】本题考查有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.

5.（2024春•香坊区校级月考）下列计算正确的是（）

2c41

A.（―=B.3=3X3=9

C.-22=-2X（-2）=4D.-13=-1

【分析】根据有理数的乘方计算法则逐项计算即可解答.

【解答】解：小（-a2=孑原式计算错误，不符合题意；

B、33=3X3X3=27,原式计算错误，不符合题意：

。、-22=-2X2=-4,原式计算错误，不符合题意；

D、-13=-1,原式计算正确，符合题意；

故选：

【点评】本题主要考查了有理数的乘方及有理数的乘法计算，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键.

6.若a=-2X（-）2,b=（-2x2,C=-（2x1）2,则下列大小关系中正确的是（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【分析】根据有理数的乘方的定义化简后，再根据负数V0V正数，两个负数比较，绝对值大的反而小判

断即可.

1

22124124

7\力

2X1-l=---=---=--

【解答】解：a=x3z339

9*9,

224424

-----而-<-

9999

919*

424

-<-<-

999

・・b>a>c,

故选：C.

【点评】本题考查了有理数大小比较以及有理数的乘方，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解

题的关键.

7.(2024春•姜堰区期中)若(一4尸二一卷，则。=.

【分析】根据有理数的乘方的运行法则进行计算.

【解答】解：•・•(・4)-3=_强，

04-

：.a=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运行法则足关键.。=-3.

8.(2024•岳阳楼区开学)(-2)4的相反数是.

【分析】先根据有理数的乘方求出(-2)4=16,再求出答案即可.

【解答】解：(-2)4=16,

所以(・2)2的相反数是・16.

故答案为：-16.

【点评】本题考查了有理数的乘方和相反数，能正确根据有理数的乘方法则进行计算是解此题的关键.

9.(2023秋•碑林区校级期末)计算：

(1)(-5)4；

(3)-(-0.3)3.

【分析】(1)根据(-5)4表示4个-5相乘，即可得出答案；

(2)先计算2的立方，即可得出答案；

(3)根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案.

【解答】解：(1)(-5)4=(-5)X(-5)X(-5)X(-5)=625；

/八232x2x28

⑵-了=-——=-5;

(3)-(-0.3)3=-[(-03)X(-0.3)X(-0.3)1=-(-0.027)=0.027.

【点评】本题考查了乘方的定义，掌握呆的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的美键.

题型三非负数的性质：偶次方

解题技巧提炼

偶次方具有非负性.任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相

加和为0时，则其中的每一项都必须等于0・

1.（2024•德宏州模拟）若|加+3|+（〃-2）2=（）,则加+〃的值为（）

A.1B.-1C.5D.-5

【分析】根据非负数的性质列出方程求出〃7、〃的值，代入所求代数式计算即可.

【解答】解：・・・恤+3|+（r-2）2=0,

zn+3=0,n-2=0,

1H=-3>〃=2,

m+n=-1,

故选：B.

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时.，这几个非负数都为0.

2.（2023秋•隆阳区期末）如果实数处方满足（fl-2）2+|/）-3|=0,那么〃等于（）

11

A.-B.-HC.-9D.9

99

【分析】根据偶次方、绝对值的非负性求出。、〃的值，再代入计算即可.

【解答】解：•・•（小2）2+田-3|=0,而（°-2）220,|33|20,

•"2=0»/>"3=0,

即。=2,b=3,

：.£=$=9.

故选：D.

【点评】本题考查偶次方、绝对值的非负性，掌握偶次方、绝对值的非负性是正确解答的关键.

3.（2024•雨花台区模拟）已知a,b都是实数，若（a+2）2+|^-2|=0,则（a+b）?。24的值是（）

A.-2024B.0C.1D.2024

【分析】根据非负数的性质列出方程，求出。、〃的值，再代入所求所占计算即可.

【解答】解：由题意得，〃+2=0,32=0,

解得a=-2,b=2,

所以（a+b）2O24=O2O24=O

故选:B.

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.

4.（2024春•道里区校级月考）[y-2|+（x+3）2=0,则个，的值为（）

A.6B.-6C.5D.-5

【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可.

【解答】解：・・・片2|+（H3）2=0,

'»y-2=0,x+3=0,

•»x=-3»y=2,

^.xy=-6,

故选；B.

【点评】本题考查了非负数的性质.初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二

次根式（算术平方根）.当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.

5.（2024春•东坡区期末）若|/川=3,“2=4,J@L|w-n\=n-nif则〃?+〃的值为（）

A.-1B.-1或5C.1或-5D.-1或-5

【分析】先根据绝对值运算、平方根的定义分别求出〃?，〃的值，再代入计算即可得.

【解答】解：•・・|训=3,

.*./»=±3,〃=±2,

V\m-n\=n-m,

?20,即〃

/.n=2,m=-3或〃=-2,m=-3,

；・，〃+〃=-1或m+n=-5,

故选：D.

【点评】本题考查了绝对值、平方根，运用分类讨论的思想结合绝对值的意义解题是关键.

6.（2024春•从江县校级月考）若/=]6,血=5有意义，则所有的可能值是（）

A.-1B.-1或-9C.1或9D.±1或±9

【分析】根据J=]6,|臼=5得到a=±4,。=±5,即可得到答案.

【解答】解：・・・a2=i6,\b\=5,

，。=±4,〃=±5,

当。=4,6=5时，

a+b=5+4=9,

当a=-4,b=5时，

a+b=5+(-4)=1,

当〃=4,b=-5时，

u+b=-5+4=-1,

当a=-4,b=-5时，

a+b=-5+(-4)=-9,

故选：D.

【点评】本题考查有理数的乘方、绝对值、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

7.（2023秋•瑶海区期中）若同=7,〃=4,且|“-〃=同十四，则“乜的值为.

【分析】根据绝对值的性质求出。与匕的值，然后代入原式即可求出答案.

【解答】解：・・・同=7,-=4,

a=±7,b=±2,

当°=7,。=2时，

：.\a-h\=5,同+|切=9,不符合题意，舍去.

当。=7,力=-2时，

：.\a-b\=9,同+|b|=9,符合题意，

,\a+b=5.

当-7,8=2时，

・・.|0-臼=9,同+|臼=9,符合题意.

：,a+b=-5

当a=-7,b=-2时，

，心-例=5,\a\+\b\=9,不符合题意，舍去.

故答案为：±5

【点评】本题考杳有理数的运算，解题的关键是求出。与/）的值后，分类讨论各种情况，本题属于基础

题型.

8.（2022秋•梁平区期中）若有理数x,y满足』=64,[y|=2.

（1）求x、y的值；

（2）若求x+y的值.

【分析】（1）利用有理数的乘方的定义、绝对值的定义计算即可；

（2）根据题意确定x、y的值，代入求代数式的值即可.

【解答】解：（1）・.”2=64,

•*»x=±8,

•”1=2,

，尸±2；

（2）*：x>yf

・”=8时，y=±2,

Ax+y=8+2=10,

或x+y=8-2=6,

•\x+y=10或6.

【点评】本题考查了实数的运算，做题的关键是掌握有理数的乘方的定义、绝对值的定义.

9.（2023秋•赣州期末）请根据图示的对话解答下列问题.

（2）已知制-a|+（b+n）2=0,求/〃〃的值.

【分析】（1）根据相反数、倒数的定义进行计算即可；

（2）根据绝对值的非负性以及〃、方的值进行计算即可.

【解答】解：（1）・・Z与2互为相反数，而2的相反数是-2,

a=-2,

V-|x（-3）=1,

・•・—£的倒数是-3,

即b=-3,

故答案为：-2,-3：

(2)*'\m-fl|+|Z>4-»|=0,而|〃L4|20,|b+〃|20,

••\m-a|=0,|d+w|=O,

'.ni~a=0,b+〃=0,

又,：a=-2,b=-3,

'.m=-2,〃=3,

'.mn=-2X3=-6>

S：mn的值为-6.

【点评】本题考查绝对值的非负性，相反数以及互为倒数，掌握相反数、倒数的定义，以及绝对值的非

负性是正确解答的前提.

10.如果有理数a、h满足M-2|+(1-/02=0,试求一+-----------+------------+…+

ab(a+l)(b+l)(a+2)(b+2)

-----------------的值

(a+2017)(d+2017)

【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式裂项求解即可.

【解答】解：由题意得，2=0,1-6=0,

解得a=2,b=1,

1

所以,—1+------1-----+------1------+…+-------------------

ab(a+l)(b+l)(a+2)(b+2)(a+2017)(d+2017)

=J1x_2+J2x_3+J3x_4十+...十+_2018xI_2019,

1,11,11,,11

-1-2+2-3+3-4+"，+2018-2019,

=11

2019，

_2018

=2019,

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0,本题难点在于裂项.

题型四乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合

解题技巧提炼

1、互为相反数的两个数的偶次幕相等、奇次幕仍互为相反数；

2、相反数是它本身的数是0;

3、倒数等于它本身的数是1和-1;

4、绝对值和偶次方都具有非负性.

1.下列各数中，互为相反数的是()

]

A.|-1|和1B.-3和-(-2)C.(-2)2和-22D.7和§

【分析】根据相反数，绝对值，有理数的乘方化简各选项中的数，根据相反数的定义判断即可得出答案.

【解答】解：力选项，1和1不是相反数，故该选项不符合题意；

8选项，-3和2不是相反数，故该选项不符合题意；

C选项，4和-4是相反数，故该选项符合题意；

。选项，-3和;不是相反数，故该选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了相反数，绝对值，有理数的乘方，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关

键.

2.已知心人互为相反数，。的绝对值为3,小与〃互为倒数，则噂+-97zm的值为()

A.1B.3C.0D.无法确定

【分析】根据互为相反数的定义可得。+6=0,根据绝对值求出e的值，根据互为倒数的定义可得〃?〃=1,

然后代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：Mb互为相反数，

口i7+/?=0,

□加与〃互为倒数，

匚〃?〃=1,

□e的绝对值为3,

Ue=±3,

口■=9,

a+b-j

C------+e-9mn=0+9-9=0.

3

故选：C.

【点评】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，主要利用了相反数的定义，倒数的定义以及绝对值

的性质，熟记概念与性质是解题的关键.

3.(2023春•梁山县期中)已知卜|=2,丁=9,且求x+y的值.

【分析】根据绝对值和自理数的乘方求出x,y的值，根据x>y分两种情况分别计算即可.

【解答】解：•・小|=2,丁=9,

・3=±2,y=±3,

・••当x=2,y=・3时,x+y=-1；

当工=-2,y=-3时，-5；

【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，考查分类讨论的思想，根据x>y分两种情况

分别计算是解题的关键.

4.己知：同=3,\b\=2f且4V力,求(a+b))的值.

【分析】先根据绝对值的性质去绝对值符号，再根据确定出。、8的值，代入代数式进行计算即可.

【解答】解：口同=3,

□。=±3,

□例=2,

□5=±2,

又□aVb,

□«7=-3,b=±2.

当〃=-3,8=2时.

:(a+b)3=(-3+2)3=-1.

当a=-3,b=-2时.

J(a+b)3=(-3-2)3=-5$=-125.

・•・(a+b)3的值是-1或-125.

【点评】本题考查的是有理数的乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键.

5.(2023秋•东西湖区期中)已知|a-2|=3,(〃-2)2=1,且必<0,求a+A的值.

【分折】先根据2|=3>(b2)2=I可得；.,・0=5或口=1,6=3或6=1,

再根据"VO时，。和6同号•，求出4、力的值，最后代入求解.

【解答】解：•・・|。-21=3,(“2)2=1,

.•・。=5或。=・1,8=3或6=1,

•：ab<0,

.,・当。=-1时，6=3,a+b=2,

当a=-l时，6=1,4+6=0.

【点评】本题考查了有理数的加法，绝对值及有理数的乘方，分类讨论思想是解题的关键.

6.已知。是绝对值最小的有理数，力是倒数等于本身的数，c的平方等于4,求a+6+c的值.

【分析】根据有理数与倒数的定义及乘方的运算法则得出。，力，c的值，再分情况求解可得.

【解答】解•：根据题意知。=0,6=1或6=7,。=2或。=・2,

当a=0,b=\,c=2时，原式=0+1+2=3；

当a=0,b=1,c=-2时，原式=0+1-2=-1；

当。=0,/?=-1,。=2时，原式=0-1+2=1；

当〃=0,b=-\,c=-2时，原式=0-I-2=-3；

综上，a+什c的值为±1或±3.

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数与倒数的定义及乘方的运算法则，

有理数的混合运算顺序和运算法则.

7.已知(x+3)2与卜-2|互为相反数，z是绝对值最小的有理数，求(x+y)y+孙z的值.

【分析】根据题意z是绝对值最小的有理数可知，z=0,且互为相反数的两数和为0,注意平方和绝对值

都具有非负性.

【解答】解：•・•(/3)2与b-刁互为相反数，

:.(x+3)2+\y-2\=0,

(x+3)22o,[y-2|20,

・•・(x+3)2=0,\y-2\=o,即x+3=0,y-2=0,

-3,y=2,

•・・z是绝对值最小的有理数，.・・z=0.

(x+y)>'+xyz=(-3+2)2+(-3)X2X0=l.

故答案为：1

【点评】本题主要考查了非负数的性质.

初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）.当它们相加和

为0时，必须满足其中的每•项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.

8.（2023秋•井研县期末）已知同=5,川=9,解答下列问题：

（1）由同=5,廿=9,可得a=,b=.

（2）若abVO,求|a+6|的值.

【分析】（1）利用有理数的乘方，绝对值的定义求解。、。的值；

（2）利用有理数的乘法确定〃、b的可能取值，再计算|。+目的值.

【解答】解：（1）・・・同=5,庐=9,

.・.4=±5,b=±3；

故答案为：±5,±3；

（2）由（1）得。=±5,b=±3,

又•：abV。,

•二。、b异号，

：.\a+b\=2.

【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的

乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法.

9.（2023秋•双辽市期中）已知同=5,庐=4,?=-8.若“VbVO,求a+b+c的值.

【分析［根据条件分别求出4,b,C的值，再进行计算即可.

【解答】解：・・・|a|=5,b2=4,?=-8,

・:a=±5，b=±2,c=-2,

*：a<b<0,

.*.a=-5,b=-2,c=-2,

：.a+b+c=-5+（-2）+（-2）=-9,

,*.a+b+c的值为-9.

【点评】本题考查了绝对值、有理数的乘方知识点，根据题意求出符合条件的值是解本题的关键，综合性

较强，难度不大.

题型五利用有理数的乘方解决实际问题

解题技巧提炼

用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学

问题，常见的问题有拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等

都利用2”或(■!■)〃.

2

1.(2023•馆陶县校级模拟)《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合.”说明“抄、

撮、勺、合”均为十进制.则十合等于()

A.1()2圭B.1()3圭C.1()4圭D.1()5圭

【分析】结合实际问题运用乘方的概念进行求解.

【解答】解：由题意得，1合=10勺=1()2撮=1()3抄=]()4主，

J十合=10X104圭=]()5圭，

故选：D.

【点评】此题考查了运用乘方的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识.

2.手工拉面是我国的传统面食.制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏

合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如下图所示.请问这样第

次捏合后可拉出128根面条.

【分析】根据拉面的变化，求出变化的规律，即可求出答案.

【解答】解：第一次-----------2根面条；

第二次-----------22根面条；

第三次-----------23根面条；

第x次-------------2》根面条.

于是2、=128=27,

x=7.

故答案为7.

【点评】此题考查了乘方的应用，找出规律是解题的关键.

3.（2023春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成

6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（）

A.253B.255C.257D.259

【分析［根据题意，〃个小时后细胞存活的个数是2”+1,求出〃=8时的值即可.

【解答】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3=2+1；

2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5=22+1；

3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9=23+1；

〃个小时后细胞存活的个数是2〃+1,

当〃=8时，存活个数是28十1=257.

故选：C.

【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析，归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题.

4.《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍，

每天截取它的一半，永远也截不完.若按此方式截一根长为I的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度

是（）

1111

A.1FB.1—7C.-7D.~

25242524

【分析1根据分数乘法的意义求得剩下的长度.

【解答】解：由题意，第一次截取后剩余长度为IX（1-1）

第二次截取后剩余长度为；X（1-1）=i=^,

Z

2242

第三次截取后剩余长度为3x（1-；）=之，

22223

•••

第〃次截取后剩余长度为以，

・•・第五次截取后剩余长度为白

故选：C.

【点评】本题考查分数乘法的应用及乘方的意义，理解求一个数的几分之几是多少用乘法计算，掌握有理

数乘方的意义是解题关键.

5.拉面是把•根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重

复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细.

（1）将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？

（2）若刚开始时的面条的横截面积为则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？

（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）

【分析】（1）面条对折1次再拉开，面条的数量是2,

面条对折2次再拉开，面条的数量是22,

面条对折3次再拉开，面条的数量是23,…，

面条对折7次再拉开，面条的数量是2-

（2）由发现的规律知，将这个沆程重复8次后，面条的数量是28,因为每一次拉开的长度都与第一根面

条的长度相同且粗细均匀，所以8次后，平均每一根面条横截面积=刚开始时的面条的横截面积：面条总

条数，求出结果.

【解答】解：（1）27=128（根）

・•・这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根.

（2）将这个流程重复8次后，面条的数量是28.

•・•每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀，

，8次后,平均每一根面条横截面积=8»=23+28=*（。后

【点评】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键.

6.（2023秋•埔桥区期中）水胡芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力.据研究表明：适量的水葫芦

生长对水质的净化是有利的，关犍是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能

繁殖1株.（不考虑死亡、被打捞等其他因素）

（1）假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表:

天数51015•••25•••5〃

总株数24•♦••••

（2）假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益.若现有10株水葫芦，请你计算，按照

上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？

【分析】（1）根据有理数乘方口勺定义填写即可;

（2）根据（1）的结论列出方程求出〃，然后乘以5即可.

【解答】解：（1）分别填入:8,32,2"；

（2）根据题意得，10X2〃=1280,

解得〃=7,

7X5=35（天）.

答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦.

【点评】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键.

7.如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层,

继续对折下去（最多折7次）.

（1）你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？

（2）如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度.

第一次对折第二次对折第三次对折

【分析】（I）通过例举寻找规律即可；

（2）先算对•折7次总共有多少张纸的厚度，再算对折7次时纸的总厚度即可.

【解答】解：（1）•・•对折1次，层数=21

对折2次，层数=22,

对折3次，层数=23,

・•・对折〃次，层数=2〃；

（2）0.05X27

=0.05X128

=6.4（亳米），

答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米.

【点评】本题考杳了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键.

8.（2023秋•建邺区期中）某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉，该公司制作1克的绿藻粉需要60亿个绿濠细

胞.

（1）在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞继续分裂.现

从1个绿藻细胞开始培养，经过15天后，共分裂成小个绿藻细胞，求A的值.

（2）已知21°=1024,请判断（1）问中的4〃个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉，并说明理由.

【分析】（1）由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360小时，分裂成

18个绿藻细胞，故人之值为18；

（2）根据每1克的「绿藻粉」需要6（）亿个绿藻细胞，6（）亿介于232与233之间，可得制作1（）克的绿漫

粉需要600亿个绿藻细胞，且235<600亿V236,又4评=（22）18=236,即得4然个绿藻细胞足够制作

10公克的绿藻粉.

【解答】解：（1）15天=15X24小时=360小时,

3604-20=18,

根据题意得，/=4叱

・M=18；

（2）（1）问中的小个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉.理由如下：

•・•每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞，

・•・制作10克的绿藻粉需要60X10=600亿个绿藻细胞，

•••600亿介于235与236之间，

而小=（22）18=236,

・・・600亿<4艮

・・・4容个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉.

【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是读懂题意，根据已知找到规律求出上的值.

题型六科学记数法表示较大的数

解题技巧提炼

科学记数法：把一个大于10的数记成〃X10〃的形式，其中〃是整数数位只有一

位的数,〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.10的指数比原来的整数位数

少1.

1.（2024春•江南区期末）2024年“广西三月三•八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开

帷幕.主会场活动以“新民歌+非遗”为重点，将传统文化与民族文化魅力完美融合，呈现了一场极具特

色的文旅盛宴.青秀山风景区假口共接待游客约390000人次.数据“390000”用科学记数法表示为()

A.0.39XIO6B.3.9X105c.39X104D.3.9XI06

【分析】科学记数法的表现形式为aX10〃的形式，其中lW|a|V10,〃为整数，确定〃的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10

时，〃是正整数，当原数绝对值小于1时，〃是负整数；由此进行求解即可得到答案.

【解答】解：390000=3.9X105.

故选：B.

【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

2.(2024•甘孜州)祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩.据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，

全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次.将1665000用科学记数法表示应为()

A.0.1665X107B.1.665X106

C.16.65X1()5D.166.5X1()4

【分析】科学记数法的表示形式为aX1()〃的形式，其中〃为整数，确定〃的值时，要看把

原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值210时，〃

是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解：1665000=1.665X1()6,

故选:B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为aX10”的形式，其中：W|a|V10,〃

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.：2024春•莲湖区期末)2024年5月3日，中国探月工程“嫦娥六号”成功发射，向距离地球约3844005?

的月球出发，并于5月8号成功实施近月制动.数据384400用科学记数法表示为()

A.3.844X1()4B.3.844X105

C.0.3844X106D.38.44X104

【分析】将--个数表示成aX10"的形式，其中1W|Q|V10,〃为整数，这种记数方法叫做科学记数法，

据此即可求得答案.本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

【解答】解：384400=3.844X1()5,

故选：B.

【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

4.(2024•陆良县二模)“有一种叫云南的生活”的核心体验地昆明，带给游客的会是什么感受？据报道,

今年“五一”假期,昆明共接待国内游客约11760000人次,同比增长6.13%.数据“11760000”用科学

记数法表示为()

A.I.176X107B.1.176X106

C.11.76X106D.0.1176X1