2026年高考一轮复习讲义：抛物线（复习讲义）附答案

§8.8抛物线

【课标要求】1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程2掌握效物线的简单几何性质（范围、对称性、顶

点、离心率）.3.了解抛物线的简单应用.

・落实主干知识・

I.抛物线的概念

把平面内与一个定点厂和一条定直线/（/不经过点F）的距离的点的轨迹叫做抛物线.点“叫做

抛物线的,直线/叫做抛物线的.

注意：定点/不在定直线/上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点/且垂直于直线/的一条直线.

2.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程)2=2*(〃>0)/=-2/?4/?>0)f=2”(p>0)*=-2叫(/»0)

图形索张率

范围Q0,y£RxWO,>eR代0,x^R)忘0,x^R

住/、、、占八、、

准线方程

对称轴

顶点

离心率e=____

S自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打或"X”）

（I）平面内与一个定点尸和一条定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线.（）

（2）方程尸表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1,0）.（）

（3）标准方程y2=2px（/»0）中的〃的几何意义是焦点到准线的距离.（）

（4）焦点在y轴上的抛物线的标准方程^=±2/，（〃：＞0）,也可以写成）=加（〃/0）,这与以前学习的二次函数的

解析式是一致的.（）

2.（多选）关于抛物线下列说法正确的是（）

A.开口向左

B.焦点坐标为(-1,0)

C.准线为x=l

D.对称轴为x轴

3.(2024・驻马店模拟)已知点P(6,g)在焦点为尸的抛物线C：)，2=2px(p>0)上，若|PF|=£,则〃等于()

A.3B.6C.9D.12

4.(2024・宝鸡模拟)抛物线)?=2px(p>0)过点A(2,2),则点A到抛物线准线的距离为.

国微点提醒

抛物线焦点弦的几个常用结论

设A5是过抛物线户2〃工(〃>0)的焦点尸的弦，若A(xi,y1),,y2),。为坐标原点，则

小P2-)

(1)xi.r2=—,y\yi=-p~；

\而\FB\p'

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p,通径是过焦点最短的弦.

---------------------------探究核心题型---------------------------

题型一抛物线的定义及应用

例1(1)若抛物线d=8y上一点(期，州)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则则等于()

3

C.-D.2

2

(2)(多选)(2025・八省联考)已知F(2,0)是抛物线C9=2度的焦点，例是C上的点，。为坐标原点.则

()

A.p=4

C.以.W为圆心且过F的圆与C的准线相切

D.当/OBW=120。时，△OFM的面积为28

思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的

求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.

跟踪训练1(1)(2024・贵阳模拟)抛物线产工丫上一点”到焦点的距离是10,则M到x轴的距离是()

A.4B.6C.7D.9

(2)已知点，为抛物线)，2=-4x上的动点，设点八到直线/；x=l的距离为小,到直线x»y-4=0的距离为4，

则4+%的最小值是()

A.-B.—C.2D.V2

22

题型二抛物线的标准方程

例2(1)若抛物线过点(3,-4),则抛物线的标准方程为.

(2)已知抛物线£9=23(〃>0)的焦点为R准线为/,第一象限内的点A在石上，A8垂直/于点8,

8F交)，轴于点C,若依川=2由C|=4,则抛物线的标准方程为.

思维升华求抛物线的标准方程的方法

(I)定义法.

(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.

跟踪训练2(1)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为。-9),则抛物线C的方程为()

A.x2=6.yB.f=12y

C.f=18yD.』二36y

(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线G：/=-2px(p>0),C2：丁=2〃刈>0)构造了一个

类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线G，。2的焦点分别为R，B，点?在抛物线G上，过

点P作x轴的平行线交抛物线。2于点。，若|PR|=2|PQ=8,则〃等于()

A.4B.6C.8D.I2

题型三抛物线的几何性质

例3(1)(多选)对于抛物线k=/下列描述正确的是()

O

A.开口向上，焦点为(0,2)

B.开口向上,焦点为(0,2)

C.焦点到准线的距离为4

D.准线方程为产-4

(2)(多选)已知点A。［，>'i),8(X2,”)是抛物线V=8x过焦点的弦的两个端点，焦点为凡则()

A.焦点厂的坐标为(4,0)

B.|A6|=X］十'2+4

C.y》=-8

D.1+1=-

\FA\\FB\2

思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对

称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.

跟踪训练3(1)(2024・重庆模拟)48是抛物线)?=2px(p>0)上的不同两点，点厂是抛物线的焦点，且4

048(0为坐标原点)的重心恰为人若14H=5,则〃等于()

A.lB.2C.3D.4

(2)(多选)已知抛物线)7=2〃X(〃>0)经过点M(l,2),其焦点为F,过点尸的直线/与抛物线交于两个不同

的点A(x”yi),8a2,”)，O为坐标原点，设直线08的斜率分别为心，k2,则()

A.p=2B.|A8|N4

C^0A0B=-4D次必=-4

答案精析

落实主干知识

1.相等焦点准线

2(r°)(~r°)(0,2)(0,D-'4书

>,=-^y=^x轴y轴

(0,0)1

自主诊断

1.⑴X(2)X(3)4(4)4

2.AD3.A4.-

2

探究核心题型

例1(1)D［已知抛物线的方程为『=8)，，可得p=4,

所以焦点为F（0,2）,准线为/:y=-2.

抛物线上一点4M,师）到焦点厂的距离等于到准线/的距离，

即|*二州+2,

又因为A到x轴的距离为光，

由已知得y（）+2=2y（）,解得和=2.]

（2）ABC[由题意得自2，贝I]〃=4,A正确；

设M（x0,加，则|MFl=xo+],|。月音,又因为xo'O,所以|MF|2|0F|,B正确；

由抛物线的定义知M到户的距离与M到。的准线的距离相等，故以M为圆心且过户的圆与。的准线相切，

C正确；

当/。产"=120。时，设M在第一象限，则xo>2,_y（）>0,

故Ar.wf=-^T=tan600=-/3,

工0-2

即向哈”，又据=8xo,

所以行第-8加16百二0,

解得y（）=4V3或yo=-竽（舍去），

pjfUx|Vo|=|X2X4V3=4V3,D错误.]

跟踪训练1（1）B[抛物线），2=4式的准线方程为,由抛物线定义可得“仆1=10,故如=10-1=9,则

Z

lyd=A/4^=V4V9=6,即M到工轴的距离为6.]

（2）B[直线/：A-1为抛物线），2=-4.v的准线，点?到准线的距离等于点P到焦点尸的距离，过焦点尸作直

线x+v-4=0的垂线，

如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，力+小的值最小，为点尸到直线x+y-4=0的距离.

VF(-I,0),・・・(4+d2)min=k25F±二¥.]

例2(1疗啜或

解析•・•点(3,-4)在第四象限，・•・抛物线开口向右或向下，

设抛物线的标准方程为卢2/以(p>0)或

把点(3,-4)的坐标分别代入,2=2p.x和『二-2〃,中，得(-4尸=2p・3,32=-2/?r(-4),

则2p#,2pi=*

・•・所求抛物线的标准方程为

216T29

y~—^或V;[)'•

(2))，2=4X

解析由题意知C为8尸的中点，

因为|AH=|A8|,

所以AC与3尸垂直，

因为|A/q=2|BC|=4,

所以NCA尸=30。，

所以NBA尸二60。，

方法一则AAB/为等边三角形，设AB交)，轴于点。，如图，

在中,易得|8。|=1,

即5=1,P=2,

故抛物线的标准方程为y2=4x

方法二喏+2,2旬,

代入E:/2/>(〃>0)可得12=2/痔+2),

化简得p2+4/?-12=0,

由于p>0,所以/?=2（/?=-6舍去）.

故抛物线的标准方程为r=4x.

跟踪训练2(1)B［由题可知，抛物线开口向上，设方程为d=2p)3>0),

则抛物线的焦点为(0,0,则准线为产费，所以=2=日，

解得P=6,

所以抛物线C的方程为f=12%)

(2)D［方法一如图，过点P作尸M_LQF2于点M,

V1^1=21^1=8,

・・.|OM=2,则灯=-2,又点P在抛物线Ci:齐一2/〃(/>0)上，

-yp^p，

贝"M=2万，

在RtAPMFi中，|MR|得-2,

22

*：\PMf+\MFA\=\PF}\,

2

.・.(2后)2+怎_2)=8?,

.*.p=l2(p=-20舍去).

方法二设P(x(),州)，贝以0<0,

V|PFi|=2|PQ|=8,

-A0+^=2(-2A{))=8,

/.xo=-2,p=\2.]

例3(l)AC[由抛物线，即f=8y,可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0,2),焦点到准线的距离为

8

4,准线方程为y=-2.]

(2)BD[由抛物线)?=8x,可得焦点为凡2,0),故A错误；

由抛物线的性质可得|AB|=|4F|+|8F|=.ii+2+x2+2=Xi+%2+4,故B正确；

方法一设直线A3的方程为x=my+2,与抛物线的方程联立，可得)48"?)，-16=0,J>0,

则力+”=8加,y\yi=-16,

1■+1■=——F—^―

\FA\\FB\Xi+2X2+2

1।1_8।8

一石亭+2-"诺+16

_8*+8xl6+8*+8xl6

一y阴+16户+16据+16：

=3(%+、2)2-16丫1%+162

22_2

(yiy2)+16(y1+y2)32y1y2+16

_8x(8m)2+i62+162

-162+16X(8m)2+32xl6+162

=1，故C错误，D正确.

方法二因为〃=4,

所以山”=炉=-16,

品巾，故C错谩，D正冉］

跟踪训练3(1)D［设A(xi,y.),B(X2,闻,FQ,0),

因为△OA8的重心恰为F,

-1+-2+0_P

3丁丁

(空0=o,

解得卜1+%2=要

tvi=-yz，

由y\=-)'2可知A,B关于X轴对称，即X\=X2,

则K+X2=2笛咚，即Xi咚，

24

又因为HF|=M+9*=5,

24

解得p=4.］

⑵ABD［因为抛物线户2pxs>0)经过点M(1,2),所以22=2p,解得p=2，故A正确；

所以抛物线方程为)?=4x,

则焦点为F(1,0),

设直线/：jv=w>f+l,

y2

联立=4x,

x=my+1,

消去上整理得户4〃?），-4=0,

贝IIJ=I6/?Z2+16>0,

所以yi+)，2=4〃？，yi.V2=-4,

贝I」片+也=〃7（））+）。）+2=4〃尸+2,

即12=(〃»+1)0町，2+1)

=苏>必+6。I+”)+1=1,

所以H8|F+X2+2=4〃尸+424,故B正确；

因为a5=(xi,yi),OB=(X2,>2),

所