人教版高中数学必修2考点训练 专项强化05：线面的平行与垂直（解析版）

专题强化05：线面的平行与垂直

【题型归纳】

＞题型一：线面平行的判定与性质

＞题型二：面面平行的判定与性质

＞题型三：线面垂直的判定与性质

＞题型四：面面垂直的判定与性质

＞题型五;平行与垂直的综合问题

【题型探究】

题型一：线面平行的判定与性质

1.（23-24高一下•江西宜春•期末）如图，正三棱柱/AC-4片G中，。是的中点，AA.=AB=2.

⑴求证：4。“平面18Q；

⑵求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵*

【分析】（1）连接48,设证明即可证明4c〃平面力禺。；

（2）先证明力。，平面48CG，再利用等积变换，结合锥体体积公式可求三棱锥用-4QG的体积.

【详解】（1）连接48,设力/n力用=E,连接。E,

•.F8C-48G是正三棱柱，且44=力8,

•••四边形是正方形，.•.£是4/的中点，

又。是4c的中点，.♦.D七〃4C,

•••DEU平面4BQ,4ca平面月片小.••4。〃平面ABQ.

(2),・,正三棱柱48C—44G中，。是8C的中点，所以力。

又因为平面，平面力8C,平面与8C£c平面/也。=/？，HOJ平面也5C,

4。，平面与BCG，

.".V=匕，•AD

8R1TALrec1g/k=31S,.=—3x2—x2x2x5/3=23".

2.(23・24高一下•福建厦门•期中)如图所示，已知点P是平行四边形力8c。所在平面外一点，M,MK分别为/出,

PC,4的中点，平面尸8CD平面4PD=/.

(1)判断直线I与BC的位置关系并证明；

(2)求证：MN//平面R1Q；

(3)直线P4上是否存在点H,使得平面NK"//平面48CQ?若存在，求出点，的位置.，并加以证明；若不存在，请

说明理由.

【答案】(1)//4C,证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)存在，H为PB中点,证明见解析.

【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明8c〃平面4。，再由线面平行的性质定理证明即可.

(2)利用线面平行的判定定理证明即可.

(3)利用面面平行的判定定理证明即可.

【详解】(1)1//BC.

依题意，BC//AD,＜。＜=平面。/1。，ACa平面则平面

又平面P4)C平面P8C=/,BCu平面PBC,所以〃/BC.

（2）取P。中点尸，连接力REV,在△PC。中，FN//DC,FN=-DC

在0488中，AM//CD,AM=^-CD,则4"〃RV,4"=EV,即四边形X/WM为平行四边形,

2

因此/F//MW,力bu平面夕力。，MN•平面P4D,

所以MN//平面P/Q.

（3）当〃为P8中点时，平面KNH/j平面48CD

证明如下：

取M的中点为〃，连接KH,NH,

在中，HNHBC,HNQ平面4BCD,BCu平面4BCD,

则”N〃平面力BCO,同理可证，KH〃平面4BCD,

又KH,HNu平面KNH,KHcHN=H,

所以平面KN////平面ABCD.

3.（23-24高一下•吉林•期中）如图，在四棱锥夕-43。。中，底面488是正方形，点/在楂尸/上（不与端点重合）,

⑴证明：）//平面P8C.

（2）若平面平面£77=/,证明：EF//1.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明：

（2）由（1）得小//平面。8C,由线面平行的性质定理即可证明.

【详解】（1）连接8。，

因为底面/8CQ是正方形，所以少是8。的中点，

又因为七是PO的中点，所以£尸是△P4O的中位线，

所以EF//PB,

因为房二平面尸8C,P8u平面P8C,

所以£///平面P8C

（22・・瓦尸分别是尸。,即的中点,

:.EFHPBt

•/EF<z平面PAB,PBu平面PAB,

“尸/；平面PAB,

若平面PABc平面EFI=l,

又石尸u平面石尸/,

所以EF//I.

题型二：面面平行的判定与性质

4.（2324高一下•黑龙江鸡西•期中）如图，已知四棱锥中，底面/8CO为平行四边形，点必、N、0分

别是P/、BD、0。的中点.求证：平面"N0//平面P8C.

【答案】证明见解析

【分析】根据题意结合三角形的中位线定理可得"N//PC,NQ//PB,则由线面平行的判定定理可得MN〃平面

PBC,2。//平面夕8。，再利用面面平行的判定定理可证得结论.

【详解】因为底面44CQ为平行四边形，N为的中点，

所以N为彳。的中点，

因为M、0分别是尸力、尸。的中点.，

所以MV//PC,NQ/1PB,

因为平面尸8C,PB,PCu立面PBC,

所以MV//平面PBC,NQ//平面PBC,

因为MVQNQ=N,MN、NQu平面MNQ,

所以平面A/N0〃平面PBC.

5.（23-24高一下•北京•期中）如图，已知三棱柱力8C-44G中,4c与4G交于点0,。为8c边上一点，。为4G

中点，且48〃平面力。C.求证:

（2）平面力产。//平面4OC；.

【答案】（1）证明见解析.

（2）证明见解析.

【分析】（1）由线面平行的性质即可证明：

（2）由（1）力产//。。得。为8c的中点，再证明8QJ/QG，最后根据面面平行的判断定理即可证明.

【详解】（1）由题意，因为48//平面/OC；,

且48u平面48c

又因为平面力oqc平面44c=0。，

所以由线面平行的性质得A.BHOD.

（2）由（1）可知48//。。，

又因为。点为4c的中点，

所以。为6c的中点，即3。—

因为。为4G的中点，即RG=gB£,

又因为6C〃4G，8c=4G,

所以BD=D\CT，BD"D£T，

所以四边形8力GA为平行四边形，

所以&V/QG,

又因为QGu平面4QG,8〃a平面ADC]t

所以8。"平面月。G，

又48〃平面/£）G，4BcBDi=B,48u平面u平面4/R,

所以平面力产。//平面/。G.

6.（23-24高一下•广东深圳•期中）如图所示正四棱锥S—/YC。，S4=SB=SC=SD=2,AB=6,P为侧棱S。

上的点，月.SP=3尸。，求:

⑴若M为SN的中点，求证：SC//平面8W。；

（2）侧棱SC上是否存在一点£,使得平面21C.若存在，求名的值；若不存在，试说明理由.

【答案】（1）证明见解析

(2)存在，――=2.

【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明；

（2）分析可得在侧棱SC上是否存在一点E,使〃平面4C,满足义=2.证得平面8£。〃平面4。，根据

EC

面面平行的性质定理即可证出结论.

【详解】（I）

如图，连接4。交4c于点0,连接M。，BAJDM,则。为力C的中点,

当“为54的中点时，OM"SC,

又0,“，二平面8"。，SC<Z平面8A/Q,所以SC//平面8"。；

（2）在侧棱SC上存在点E,使得8£//平面P4C,满足$=2,

理由如下：取S。的中点。，由S尸二3尸。，得尸。=尸。，

过。作PC的平行线交SC于£,连接伙？，BE,ABDQ中,有BQ//P0,

又产Ou平面P/iC,80a平面产力。，所以8。//平面21C,

又QEUPC,又PCu平面尸4C,。£&平面尸/C,

所以。£//平面4C,又8。口。F二。，BQ,0Eu平面4E。,

所以平面2EQ”平面D4C,而BEu平面REQ,

所以8£〃平面PXC,

即在侧棱SC上存在点E,使得8E//平面4C,满足告=2.

EC

题型三：线面垂直的判定与性质

7.(23・24高一下呐蒙古•期末)如图，在直角梯形力8C。中，已知4D〃BC,AD=AB,NB4D=90),NBCD=45。,

E为对角线的中点，现将△48。沿8。折起到△P8。的位置，使平面平面8CQ.求证：

(1)直线PE_L平面4C。；

(2)平面P8C_L平面PCD.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)由已知E为8。中点，可得PE_L8Q,利用面面垂直的性质定理即可证明；

(2)由己知，可得CQL平面P8。，则CO_LPB,乂得BP上PD,则8P_L平面尸。。，利用面面垂直的判定得证.

【详解】(1)因为平面心。_L平面5CO,且平面QB。。平面8co=8Q,

又AD=AB,则PE=PD,且七为80中点，所以尸£_L8。，

又尸Eu平面P8。，所以尸EJ_平面8CO；

(2)在直角梯形48co中，AD=AB,/BAD—

则/ABD=乙4DB=45”,

XADhBC,则8c=45°，

又NBCD=45°,所以N8QC=90°,

在折后的几何体PBCQ中，BDA.DC,

因平面尸8Q_L平面8CQ,平面P8Z)n平面

又COu平面8c。，

所以C£>_L平面，

又PBu平面尸BD,则CZ)_LP8,

乂NBAD=90°,即84140,则8PJ.PZ),

又CDCPD=D,PDu平面PDC,CQu平面PQC,

则BP1平面QQC,

又BPu平面PBC,

所以平面JL平面PCD.

8.(23-24高一下•黑龙江大庆•期末)如图，在四棱锥尸-48c。中，M为力2边上的中点，N为CP边上的中点，

平面P8C1平面力BC。，ZPBC=90°,AD//BC,48C=90°,2AB=2AD=&CD=BC=2.

C-

⑴求证：MN〃平面力8CQ；

(2)求证：U。I平面尸AD：

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)由条件可得MN///C,根据线面平行的判定推理得证.

(2)由条件结合面面垂直的性质可得尸〃_LC。，CDA.DB,再利用线面垂直的判定推理得证.

【详解】(1)在四棱锥P-48C。中，连接/C,

在△月C尸中，由加、N为对应边上的中点，即MN为中位线，得MV//4C,

又MN<Z平面力8CZ),力Cu平面48C。，所以A/N//平面力8co.

(2)在四边形44CO中，AD//BC,N/1BC=90°,则/84。=90。，由48=力。，得BD=gAB，

而2/B=&CQ=8C，则002+802=44^=802,于是。_LO8,

由NP8C=90°,得PB工BC,又平面尸8cd.平面力8C。，平面PBCD平面/出C'O=4C,

PBu平面PBC,于是直线&_!_平面"CQ,又COu平面"CQ,则P8_LC。，

又PBcBD=B,PB,BDu平面PBD,所以CO_L平面。80.

9.(23-24高一下•云南曲靖•期末)在四楂锥产一48CO中，底面48co是矩形，21_L平面片8CO,M.N分别是48,小

的中点.

(1)求证：〃%//平面%。；

(2)求证：MN±CD；

⑶若QD与平面/BCO所成的角为45。，求证：MV_L平面PCQ.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）取尸。中点E,连接力£,NE，由线面平行的判定定理即可得证；

（2）先由线面垂直的判定定理证明CO_L平面尸力。，得到CO_L4E,再由（1）即可得证；

（3）先由题意得到NE4Q=45。，AELPD,由线面垂直的判定定理证明力七_L平面PC。，从而得证.

【详解】（1）取夕。中点E,连接力七，NE,

.「M是/18的中点，底面/伏：。是矩形，二4W//C。，

•••AMiINE且AM=NE,

四边形4M/VE为平行四边形，所以MN//4E,

又XEu平面P4）,MN（z平面P4D,

:.MN//平面PAD.

（2）R4_L平面/8C0,CDcT®ABCD,/.PALCD,

又•••底面43c。是矩形，「.CO14。，

又力。fl21=4皿PAu平面PAD,CO_L平面PAD,

•••REu平面P/D,CD1AE,

由（1）可知MN//4E,:.MN【CD.

（3）/M_L平面/8CO,所以NPD4为PO与平面48。所成的角，

；.NPD4=45。，乂P4工4D,；.P4=AD,即△4/）为等腰三角形，

•；E为PD中点,AAELPD,

又由（2）可得力EJLCO,CQcPQ=DCD,/>Du平面PCD,

4El平面PC。，

由（1）可知：MV/A4E,1.MV_L平面PCQ.

题型四：面面垂直的判定与性质

10.（23-24高一下•湖南益阳・期末）如图，在四楂锥5-48。0中，四边形48co是边长为2的菱形，N48C=60。，

△S力。为正三角形，E,尸分别为川D,S3的中点.

F

(1)若平面"L平面ABCD,求直线8s与平面力8c。所成的角的正弦值；

(2)求证：平面4SB_L平面S8c.

【答案】(1)詈

(2)证明见解析

【分析】(1)由面面垂直的性质得到SE_L平面力8。。，连接8E,则NS8E为直线8s与平面43C。所成的角，求

出SE、BE、SB,再由锐角三角函数计算可得；

(2)取SC的中点G,连接EG,/G,所以证明月。_L平面SEC,得到再证明四边形力尸G£为矩形，得

到力产1R7,结合AF工BS,即可证明力产1.平面S8C,从而得证.

【详解】(1)为正三角形，E为力。的中点，.•.SE1/O,

又平面S4D1平面力8C。，平面S4)c平面力8CQ=4),且SEu平面S4D,

.•.S£_L平面力8CO,

连接则NS8£为直线4s与平面.44。。所成的角，

在等边三角形双。中，SE=dH-，=6,

在三角形片在1中，AB=2,AE=\yZBAE=y

BE=ylAB2+AE2-2AB-AEcosZBAE=^22+12-2x2xlx-lj=V7

：.BS=\ISE2+BE2=J(可+("j=疝，

・•・sin5小"=g=我,

BSVioio

・•・直线BS与平面ABCD所成的角的正弦值为画:

10

F

(2)取SC的中点G,连接£G/G,

由(1)得SEJ.力。，

四边形48。。是的菱形，418c=60',

△力为正三角形，又£为4。的中点，则力。_LC£,

又SEaCE=E,SE,CEu平面SEC,

.•.4O_L平面SEC,又EGu平面SEC,

AD1EG,

因为£,厂分别为XD,S3的中点，所以R7〃8C且/G=：BC,

又4E〃BCME=LBC,

2

所以/G/〃E且FG=/E,所以四边形力尸G£'为平行四边形，

又AE工EG，所以平行四边形月/GE为矩形，

/.AF1FG,

•••S4=4£产是48的中点，

:AFIBS,

又尸6口85=£/6,85<=平面54。，

.♦.4/71平面58。，又月bu平面力SA,

「•平面4S8J.平面S8C.

11.（23-24高一下•甘肃庆阳期末）如图，在直四棱柱488-44GA中，底面力次》为菱形，E是线段4c上的

一点.

（1）若4七=后。，求证：月4〃平面皮必；

（2）若4EJL4C,求证：平面4OC_L平面8QE.

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】（1）证明线面平行，只需在平面4OE内找到一条直线与44平行即可;

（2）证明面面垂直，只需证明线面垂直，只需证明线线垂直即可.

【详解】（1）连接4C,交8力于点。，连接E0,如图所示.

因为底面44CQ为菱形，所以。是4C的中点，又4E=EC,所以灰川彳4,

又EOu平面BDE,44a平面瓦必，所以44,“平面

（2）在直四棱柱力6c中，力4-L平面力68,

因为80u平面48CQ,所以441历），

又底面力BCD为菱形，所以4C/8。，

又44rMe=4，AA1,力。匚平面4力。，所以8。/平面44C,

又4CU平面44C,所以CDJL4C,

又8E14。，BEcBD=B,BE,BDu平面BDE,所以4c，平面8QE,

又4。U平面4。。，所以平面4。。1平面8力f.

12.（23-24高一下•广西河池期末）如图1,在四边形力8。。中，AB〃CD,AB=1/A=60。,BD=CD,ZABD=90。,

将△力8。沿边8。翻折至△P8。，使得平面尸4Q_L平面8c。，如图2所示.E是线段尸。上的一点，R.BE工PD.

图1图2

（1）求证：平面8EC_L平面PCO；

（2）求直线BE与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵半.

4

【分析】（1）由平面平面8CQ,可得CD_L平面。8。，从而BEtCD,结合已知可证HE1平面PC。，由面

面垂直的判定定理可证平面BEC1平面PCD-

（2）根据等体积法求出点£到平面P8C的距离d,则直线与平面尸8c所成角的正弦值为二.

【详解】（1）因为平面尸8。_L平面AC。，平面。8。0平面8。。=8。，

且C'Ou平面6CQ,由题意易知CO_L〃。，所以CQ_L平面尸8D,

又BEu平面PBD,所以AEJ.CQ,

又BE1PD,PDCCD=D，且PD,CDu平面PCD,所以8£_L平面PC。，

乂BEu平面BEC,所以平面EEC_L平面PC。；

（2）在△P8Z）中，结合已知有PB=T,BD=®PD=2,BE=&

2

因为平面尸8D1平面BCD,平面P8。Cl平面BCD=BD,

且P8u平面尸5。，PB工BD,所以P8J_平面8CO,

8Cu平面80,所以P818C,

所以/sPBC中，易得PB=1、BC=6,

所以％BC,P88C=迈.

L2A7K22

因为C7)_L平面08Q,所以。是三楂锥C-P8。的高，

解法一：所以匕•-P8Q=：5乙依0・CC>=；X；X[X.

设点。到平面P8C的距离为h,因为％_PBD=%PBC，

所以_U如〃=L,解得〃=逅，

3222

易得尸£=!尸。，所以点£到平面P8C的距离为4=乙="，

448

鱼厂

所以直线即与平面P8C所成角的正弦值为《二冬=坐x|=坐.

BE，38v34

T

解法二：在RtZ\P8O中，8E是边产。的高，可求出产月二g,

所以忆-P3E=；.S△尸8£-CQ=gxgx；X孚x6=；,

设点£到平面PBC的距离为乩则VEPBC=--S,PBCd=^d.

由等体积可知，令！=逅〃，解出"=必，

868

所以直线BE与平面PBC所成角的正弦值为4=交.

BE4

题型五;平行与垂直的综合问题

13.(23-24高一下•甘肃临夏•期末)如图所示,三棱柱N5C-48cl中，侧棱。4垂直于底面，AB=5,AA{=AC=3t

8c=4,点P,。分别为4氏C/的中点.

(1)求证：尸。//平面/4GC；

(2)求证：BC1PD：

(3)求点C到平面MG的距离.

【答案】(1)证明见解析:

(2)证明见解析:

⑶尬

⑴41

【分析】（1）连接力G，利用线面平行的判定推理即得.

（2）利用线面垂直的判定、性质推理即得.

（3）连接4C,交力G于点E,连接过点。作。/_1_8后于尸，利用线面垂直的判定、性质推证CF_L平面"C"，

再借助直角三角形求出W即可.

【详解】（1）如图，连接力的，在"BG中，D,尸分别是AG，的中点，则PQ/〃G，

而％Gu平面力4GC,2。二平面力4。©,所以尸。〃平面力4CC

（2）由48=5,/lC=3,8C=4,得/£2=/02+802,则/48=90。，即4C_LAC,

由441.平面ABC,BCu平面48C,则4411BC,

而44n/C=/1,力Cu平面/1CG4,于是8C_L平面力CG4，

又＜Gu平面力CG4,则BdG，又AC'UPD,所以AC1PQ.

（3）如图，连接4C,交4G于点£连接8E,过点。作C”J_5E,/为垂足，

G

由＜4=4C=3,侧棱力4垂直于底面，得CEJ.4cl且CE=地,

2

又CB工AG，CB[}CE=C,CB,CEu平面CBE,则4G_L平面C8E,

又CFu平面C8E,则b_L4G，又ChBE,BE（UC\=E,8£,4£u平面月8弓，

因此Cb_L平面BC.A,即为点。到平面PBC.的距离，

由8cl平面ACC/，"u平面力CCd，得8C_LCE,8£=，42+（孚）2=孚，

逑

所以点C到平面PB3的距离CF==—f=~=^7T.

DAV8241

2

14.（23-24高一下•天津西青•期末）如图，直三棱柱月6。一月心。1中，4CB=^,E、尸分别为48、8£的中点.

(I)求证：c///平面4CE；

(2)求证：EFIBCx

(3)若4。=8。=2,直线EF与平面48c所成角为三，求三楂锥片一4石。的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

喑

【分析】(1)利用线面平行的判定定理，即可证明结论；

(2)取4C中点为〃，先证明8CJ.平面/EH,再根据线面垂直的性质定理，即可证明结论;

(3)证明CEJ■平面4根据等体积法即可求得答案.

【详解】(I)连接力C1,4c交于。点，连接

则直三棱柱力AC-44G中，四边形4CG4为平行四边形,

则。为力G的中点，又上为的中点，故OE〃C\B,

OEU平面4C£，G〃<z平面4CE,

故。田〃平面40E；

(2)取BC中点、为H,连接

4

故尸〃J■底面48C,BCu底面48C,故FHJ.BC;

又七为45的中点，则叫/〃力C,而/力C8=£,即4C18C,

2

故EH1BC,而EHCFH=平面FEH,

故8cl平面MH,EFu平面FEH,故BCtEF,即石尸18C；

7T

(3)由(2)可知NF£H为直线E/与平面力4C所成角，即//E"=],

由4C_LBC,£为/出中点，则CE工力8；

义AC=BC=2,AB=14i,CE=-AB=41.EH=-AC=l,：.CC=FHYj,

22

又AAX_L底面ABC,CEu底面ABC,故彳4_LC£,

而力4V\AB=4力4,48u平面力昉M,故。£_1_平面力叫4,

故，瓦-4£c=^c-w=5sM3gCE=-x-x2>/2x>/3x^2=•

15.(23・24高一下•江苏南京•期末)如图,正三棱柱"C-44G中,各棱长均相等,D、E、F、G分界，为棱/IB、RC

、4C、48的中点.

(2)证明：平面平面力GC；

(3)求二面角G的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析•】(1)先根据证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可；

(2)成用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理证明即可；

(3)根据面面垂直结合二面角定义找到二面角4〃。，再应用边长求正弦及余弦值即可.

【详解】(1)

连接ED,•:ED//AC,ED=gAC,

又•.•尸为4G的中点，4/=z)E,

四边形4。后户是平行四边形，二小〃4。

又4。u平面4CD,EFu平面4cO,

EF〃平面4CQ,

(2),.,力第！平面48C,4LC'。，

•.•。是48的中点，.,.48_LC£>,又=4A,4Bu平面,

\CD'平面4/3与，

又因为GQu平面4/3用，:.CDA.GD,

在正方形力880中，Q、G分别为棱,48、的中点，

A}DA.AG,vA}DnCD=D,AQ,CDu平面A】DC,

.•.力G_L平面4。。，

又•.•4Gu平面力GC,••・平面4GC_L平面4OC.

(3)由(2)知CZ)_L平面44vCOu平面4。。，

平面4。。_1平面平面,且平面4C、oc平面=4。，

•••4DJG,设4。与力G交于点。，则/。_1_平面4cO，

过。作。“垂直4。，连接4〃，则“H_L4。，

・•./AHQ为二面角力一4C-。的平面角,

令44=2。，则4Z)=a,A]D=\[5a,

,八A.AAD2a-a2a

；,AQ=FTFF

又因为AHLA.C,

为4c的中点,

AH=-A,C=—a=y/2a，

22

2a

在直角三角形力Q〃中，疝7470二AQ二忑二M,

AH~42a~5

由图知，乙4HQ为锐角,

cosZAHQ=y]\-sin2ZAHQ=半,

由图知二面角G-4。-力的平面角与二面角力-的平面角互补，

故二面侑G-4C-。的平面角的余弦值为-半

【专题强化】

1.（2324高一下•山东威海・期末）在正三棱柱力8C-44G中，M,。分别为力4，8G的中点.

（1）证明：M0〃平面48C；

（2）证明：MOJ.平面4/CG.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可;

（2）先证明线面垂直再应用平行得出结论.

【详解】(1)

取8c的中点。，连接0。，AD,

因为O为8G的中点，

所以oz)〃CG且。。=gcq,

又因为4W//CG且4W=1CC,,

所以OO//4W且。。=4M,

所以四边形4欣9。为平行四边形，

所以〃/。，

又因为“0a平面48C,/。＜=平面儿?。，

所以M。//平面/灰?.

(2)因为48C—44©为直三棱柱，

所以4q_L平面力8C,因为[Qu面48C,

所以gIAD,

因为△/8C为等边三角形，所以力。18。，

又BBqBC=B,BB,,BCu平面B}BCC],

所以/W_L平面8/CG，又M0//4力，

所以M0_L平面用8CG.

2.(23-24高一下•河北•期中)如图所示：在长方体力88-45cA中，AB=AA[=3,8。=2,£尸分别是面力。已4,

力8co中心，G,，分别是4),。。的中点.

（2）证明：G”//面N4GC

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）先由线面平行再由判定定理证明面面平行;

（2）由线面平行判定定理证明.

【详解】（1）连接力C,g,则RE分别为4C,的中点,

则/1Q//8G，又HAU面4BG，BRU面4/G，

所以4。//面4次7

JCZ/4C,,又力C(z面48c1,4GU面48C1,

所以4c〃面45cl,

乂力"0彳。=4，AD],4Cu面4EF,

所以面4G〃〃面4

（2）连接GF,C,F,G,尸分别是4O,4C的中点,

GF//DC,G/=；OC=；Z）|G,

所以G尸//“G，且GF=〃G，

所以四边形GPG”为平行四边形，则

又G〃(Z面44GC，面A4GC,

所以G，〃面彳4C1C.

3.（23-24高一下•黑龙江齐齐哈尔・期末）如图，在四棱柱力中，已知平面力力℃J•平面48C。，且

（1）求证：8£>J_%4

（2）若£为棱8c上的一点，且IE〃平面QCGA，求线段引?的长度

【答案】（1）证明见解析

⑵8£=包

2

【分析】（1）先根据面面垂直性质定理，将面面垂直条件转化为线而垂直，再利用线面垂直性质定理转化为线线

垂直.

（2）先根据线面平行性质定理，将线面平行转化为线线平行，然后在平面ABCD中解出力£的值.

【详解】（1）在四边形45cZ>中，因为B/1=3C,DA=DC,所以BQ_L/1C,

又平面AA.C.C1平面ABCD,

且平面AA}C}CD平面ABCD=AC,8。u平面ABCD,

所以401平面44cC,

又因为力4u平面彳4GC,

所以80_L彳4.

（2）因为平面。CCQ,

力Eu平面48CQ,平面力BC'OPI平面。CG2二。。，

所以/E//CD,

所以£为6c的中点，BE=—

2

4.（23-24高一下•海南省直辖县级单位期末）如图，平面四边形48"）中，AB=8,CD=3,AD=5B/ADC=90,

/BAD=30",点、E,尸满足近二三万，AF=-ABf将△4所沿所翻折至！P£F,使得尸C=4百.

（I）证明：EF1PD；

（2）求五棱锥P-BCDEF的体积

【答案】（1）证明见解析：

⑵19

【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得七户=2,利用勾股定理的逆定理可证得上厂工力。，则EF1PE,EFIDE,

结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

（2）先证明CQ_L平面PEO,得CD_PD,PD=回,勾股定埋得尸EJ.E。，从而PE1底面BCDEF,PE即为

五棱锥的高，再结合棱锥的体积公式计算得答案；

【详解】（1）由44=8,4。=5g，~AE=-AD,~AF=,

J4

得力上=2，J，AF=4,又/410=30”,在△月£：尸中，

由余弦定理得EF=4AE1+AF2-1AE-AFCOS^BAD=J16+12—2.42行乎=2，

所以力片+石尸=力尸，则/E_LE6，即七尸工4。，

所以EFJ.PE,EFIDE,又PERDE;E,PE、DEu平面PDE,

所以政_L平面尸OE,又PDu平面PDE,故EF人PD；

(2)PE=AE=2追,ED=36,•/CD1AD,EF1AD

:.CDHEF,即。O1平面PEO,所以CD上PD,PD=XIPC2-CD2»

且P£2+£O2=p"2,所以PK_LE。，由(i)EFLPE,

而EF,ED是平面BCDEF内的两条相交直线，

由此得产石J■底面6C0E尸，尸石即为五棱锥的高，过4点作6G〃功.则6G=2所=4,

$五边形=S梯形匹8G+S梯形°8G=；X（2+4）X2百+（X（3+4）XJJ=¥G

P=；S五边膨xPE=gx号石x2百=19

5.（23-24高一下•福建福州•期末）如图，在三棱锥P-48c中，侧面04?_L底面ABC,且P/1_L48,尸4=5,

△Z8C的面积为6.

C

（1）求三桢锥尸/8C的体枳；

（2）若力B=5,AC=4,且/历1C为锐角，求证：8C_L平面4C.

【答案】⑴10

（2）证明见解析

【分析】（1）结合条件可证明21_L平面力BC,由三棱锥力AC的体积公式求解即可；（2）利用勾股定理可得：

AC1CB,结合PAA.BC,即可证明8cl平面尸/TC.

【详解】（1）囚为在三棱锥尸一月6。中，侧面产力台_L底面力8C,侧面H46c底面月6C=月6

因为P/_L48,4u平面产48，

所以尸＜_!_平面ABC,

所以“而《尸"0诙=；16=10

（2）在△/水?,由面积公式可得：S.=-A3-AC-s\nZBAC=6,解得：sinZBAC=-

BC25f

i----------4

因为上7MC为锐角，所以cos4MC=Jlsin2ZBAC=—,

由余弦定理可得：BC2=AC1+AB2-2AC-ABcosABAC=9,即8c=3,

222

AC+BC=ABf

所以4C_LC8,

因为P/_L平面/BC,BCu平面48C,

所以4J.8C,

因为尸/0/。=力，PA,4Cu平面弘C,

所以8CJ_平面P力C

6.(23-24高一下•四川成都・期末)如图，四棱锥P-480中，底面48co是边长为4的菱形，FD=PB=4,

乙以0=60。，E为P4中点,AC与BD交点、为O.

(1)求证：PC//平面EBD；

(2)求证：平面平面4C：

(3)若H=PC,求点C到平面/8E的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

⑶警

【分析】(1)只需证明上。〃QC,结合线面平行的判定定理即可得解；

(2)只需证明4。/平面P4C,在结合面面垂直的判定定理即可得解;

(3)首先证明PO_L面/8c。，由等体积法即可列方程求解.

【详解】(1)设力。口4。=。，连结E0,

为P4中点,。为4c中点，:.E0HPC,

乂TEOu平面上80,PC<Z平面，PC//平面£8。；

(2)连结PO,*?PD=PB,。为BD中点,：・P0工BD,

又•・•底面力8CO为菱形，・・・XC/8。，•••20(14。=。且两直线在平面内，・・・8。1平面口。，

乂•••80u平面E8D,・•・平面平面0/C；

(3)由(2)得：PO1BD,由P4=PC,同理可得：P01AC,

而8。C力。=。,8。,4。<=平面48。。，

，P01面48CO可求：AC=4有，8。=4,PO=2百，

/.Vc....=V...nc=-x—xJCx()Bx=—x4>/3x2x6=4,

C-/iotc-/iZ>CQ/■

而△P/3中，AB=4,可求：PA=2而,尸8=4,

可求：SGEAB=；S4PAB=岳，

而VjBE~5s,则4=~Y~（ic-ABE,

则金APF=—即为所求点C到平面ABE的距离•

7.（23-24高一下•辽宁•期末）如图，在三棱柱48C-4，G中，底面/BC是正三角形，D,E分别为＜蜴,Cg的

中点,4BJGD.

⑴求证：CQ〃平面8%£；

（2）若45=4%,求证：力4JL平面54后.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）设44rl48=尸，连接政，FD,即可证明四边形ECQ/7为平行四边形，从而得到。G的,即可

得证；

（2）依题意可得平行四边形力4夕因为菱形，即可得至IJ4用।力明，再由力用IC。得至IJ44IEF,从而得证.

【详解】（1）设力4048=尸，连接.，FD,

则/为力M的中点，乂。，£分别为44，eq的中点，

所以DF/IBB.且DF=；B「EC#BB\旦,

所以ECJ/DF且EG=DF,

所以四边形EC.DF为平行四边形，

所以DC//EF,又JDa平面B%E,EFu平面所以CQ〃平面

（2）因为力8=力4,所以平行四边形4乃为菱形，所以力用"1/1",

又ABiLQD,EF//QD,所以力与，£7"

又从Bf]EF=F,4'E/u平面

所以力&_L平面54邑

8.（2324高一下•辽宁大连,期末）如图，在直三棱柱45C—48c中，AB=BB、,ABLBC.

（1）求证:平面44C_L平面力8与4；

（2）求证：AC.LAfi,

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）首先根据线面垂直的性质得8q_L8C,结合8d8,最后利用面面垂直的判定定理即可证明;

（2）由（1）得8C_L48,根据8C〃4G得4GJ.4",最后利用线面垂直的判定与性质即可证明.

【详解】（1）在直三棱柱48C—44G中，

因为8q_L平面48C,8Cu平面48C,所以18c.

又因为BC工＜B,u平面48用4、u平面4BB4,48cSB1二B,

所以BC_L平面

乂因为3Cu平面48C,所以平面4BC1平面488a.

（2）连接力4，由（1）可知8C_L平面

因为％Bu平面片％,所以4CJ.4尻

因为8C〃8G，所以4CJ4〃.

又因为在正方形ABBiA中纥,

4综8©（=平面"6，44C8C=M，

所以4B1平面NBC.

又因为AC]u平面力"£,所以481.4C],即力G_L48.

9.(23-24高一下•辽宁沈阳•期末)如图，在四棱锥尸-中，底面力AC。是正方形，P/J.平面4/?。。，旦

(1)求证：PB//平面力EC；

(2)求证：力£1平面PC。；

(3)求三棱锥P-BCE的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

呜

【分析】(1)连接30,利用中位线的性质得线线平行，即可证明线面平行；

(2)利用线面垂直的性质与判定定理得/E1CO,结合等腰三角形的性质即可得线面垂直;

(3)利用等体积法及三棱锥的体积公式计算即可.

【详解】(1)连接B。交彳。于点。，连接EO,由底面力8c。是正方形，故。为4。中点，

又点月为线段。力的中，点，故0EIIPB、

又OEu平面4EC,平面4EC,故“8〃平面4EC；

(2)由点E为线段PO的中点，PA=AD,易知/1E_LP。，

由4_L平面力8C。，CQu平面力8c0,故力1_LCO,

又底面力6c。是正方形，故为0_LCO,

而4O、Hu平面P4D,ADc\PA=A,故CD_L平面PZO,

又“Eu平面P4。，故CO_L/1E,

又CQ、PDu平面PCD,CDQPD=D,故4£_L平面PC。；

(3)由点£为线段。。的中点，故点P与点。到平面力EC距离相等，

故yp-BCE=V(>~BCE=嚷8。。=5%8CZ>=不乂,'2、5乂2'2=1.

10.(23-24高一下•黑龙江大庆•期末)如图，在四棱锥尸-/3CQ中，四边形//CO是矩形，平面P,48_L平面力3CQ,

E,尸分别为8C,/1尸的中点，且AD=AP=PB==2.

(1)求证：BP1DF；

(2)求三棱锥P-DEF的体积.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由面面垂直的性质得到切_L平面力8。，即可得到D4_L8P,再由勾股定理逆定理得到8P_!./!〃，从

而得到8PL平面D4P,即可得证；

(2)首先证明8c〃平面RW,再由％。M=嚷/必•=；£加-4P计算可得.

【详解】(1)•四边形力4C'。是矩形，.•.O4_L/18,

又•平面尸48_L平面/8CQ,平面XBCOn平面48P=48,。/u平面/8CO,。4_L平面44尸，

乂BPu平面4BP,:.DAA.BP,

-：AP=BP=2,48=2&，/.AP^BP-=AB1»ABP1AP,

DAC\AP=A,。力,/Qu平面NP,「.E尸1平面D4P,

•••O/u平面D4P,:.BP工DF;

(2)因为四边形力88是矩