人教A版必修第二册高一下数学：圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

【学习目标】1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义2掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构恃征.

3.了解简单组合体的概念及结构特征.

知识梳理

知识点一圆柱的结构特征

圆柱图形及表示

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边

旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

相关概念：

圆柱的轴：旋转轴

圆柱的底面：垂柱的轴的边旋转于成的圆面

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴

的边

思考圆柱的轴截面有个，它们（填“全等”或“相似”），圆柱的母线有

条，它们与圆柱的高.

答案无穷多全等无穷多相等

知识点二圆锥的结构特征

圆锥图形及表示

定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,

其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体

相关概念：

圆锥的轴：旋转轴

圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

侧曲：直角三角形的斜边旋转而成的曲面图中圆锥表示为圆锥SO

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

思考圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都

是母线吗？

答案圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线

都是母线.

知识点三圆台的结构特征

圆台图形及表示

定义:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面。轴

之间的部分叫做圆台

侧面《

相关概念：

圆台的轴：旋转轴

圆台的底面：垂直干轴的边旋转一周所形成的圆而底面1

圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面图中圆台表不为圆台

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边0,0

知识点四球的结构特征

球图形及表示

定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转i周形成的

曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，筒称球

审

相关概念：

球心：半圆的圆心

半径：连接球心和球面上任意一点的线段

图中的球表示为球0

直径：连接球面上西直并经过球心的线段

知识点五简单组合体的结构特征

1.概念：由简单几何体组合而成的,这些几何体叫做简单组合体.

2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成,另一种是由简单几何体械去或挖去一部分而成.

判断正误

1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.（X）

2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.（J）

3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.（X）

4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.（X）

题型探窕

一、旋转体的结构特征

例1下列说法正确的是.（填序号）

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成

的几何体是圆锥：

④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

答案③④

解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为

圆面；③④正确.

反思感悟（1）判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成.

②明确旋转轴是哪条直线.

（2）简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴极面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.

跟踪训练1下列说法，正确的是（）

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角

形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.

A.①②B.②③C.①③D.②④

答案D

解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.

二、简单组合体的结构特征

例2⑴请描述如图所示的几何体是如何形成的.

解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体;②是由一个长方体截去一个三棱锥后得

到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.

⑵如图所示，已知梯形AKCQ中，AD//HC,且人IX4C当梯形八"CD绕人Q所在直线旋转

一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.

解如下图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合

体.

I

反思感悟（1）解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征,

其次要有一定的空间想象能力.

（2）判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面

图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.

跟踪训练2（1）如图所示的简单组合体的组成是（）

A.棱柱、棱台B.棱柱、棱锥

C棱锥、棱台D.棱柱、棱柱

答案B

（2）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）

A.—个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥

C两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥

答案D

解析图①是一个等腰梯形，C。为较长的底边，以。。边所在直线为旋转轴旋转一周所得

几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆堆.

三、旋转体的有关计算

例3一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4兀cm?和2571cm-求:

（1）圆台的高；

⑵将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.

解（1）圆台的轴截面是等腰梯形43。。（如图所示）.

由已知可得OiA=2cm,OB=5cm.

又由题意知腰长AB=12cm,

所以高4M川122-（5—2）2

=3,7T5（cm）.

（2）如图所示，延长84,。创，CD,交于点S,

设截得此圆台的圆锥的母线长为/,

/—129

则由△SAOis/iSBO,可得一^―=；,

解得1=20.

即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

反思感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全

等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的板面（轴微面）的性质，利用相似三角形中的相

似比，构设相关几何变量的方程（组）而得解•.

跟踪训练3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底

面的面积之比为1：16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台。'O的母线长.

解设圆台的母线长为/cm,由截得的圆台上、下底面面积之比为1:16,可设截得的圆台

的上、下底面的半径分别为rcm,4rcm.过轴SO作截面，如图所示.

则△SO'A'^ASOA,SA'=3cm.

所*rH

解得/=9,即圆台的母线长为9cm.

随堂探究

1.下列说法中正确的是（）

A.将止方形旋转不可能形成圆柱

B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线

答案C

解析将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个

平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时王确，其他情况下结论不一定正确，

所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.

2.（多选）下列命题中正确的是（）

A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径

B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等

C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面

D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形

答案ACD

3.下列几何体是台体的是（）

答案D

解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧楼没有交于一点，B的错误在于截面

与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.

4.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是（）

A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台

答案D

解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形（圆柱）或等腰梯形（圆

台），不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.

5.两相邻边长分别为3cm和4cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面枳

为cm2.

答案16兀或9兀

解析当以3cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4cm,底面积为

1671car；

当以4cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3cm,底面积为971cm4

小结

1.知识清单：

（1）圆柱、圆锥、圆台的结构特征.

（2）球的结构特征.

（3）简单组合体的结构特征.

2.方法归纳：分类讨论.

3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.

课时练习

基础巩固

1.下列几何体中不是旋转体的是（）

答案D

2.如图所示的简单组合体的结构特征是（

A.由两个四棱锥组合成的

B.由一个三棱锥和一个四凌锥组合成的

C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的

D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的

答案A

3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（）

A.一个球体

B.一个球体中间挖去一个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个长方体

答案B

解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.故选B.

4.若圆柱的母线长为10,则其高等于（）

A.5B.10C.20D.不确定

答案B

解析圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.

5.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）

ABCD

答案D

解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故所求平面图形的上部

是直角三角形，下部为直角梯形构成.

6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是.（填序号）

①②③④

答案①④

解析①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而戌.

7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为.（用

Q表示）

答案平

解析设圆柱的底面半径为「，则母线长为2厂

・・.4/=Q,解得/=乎，

・••此圆柱的底面半径为乎.

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为27c的半圆面，则该圆锥的高为.

答案小

解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，因为4兀=兀尸，所以母线长为

1=2,又半圆的瓠长为2m圆锥的底面的周长为2"=2心所以底面圆半径为/•=1，所以该

圆锥的高为h=>\]l2—r=-^22—I2=小.

9.一个圆锥的高为2cm,母线与轴的夹角为30。，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.

解如图轴截面S/W,圆锥SO的底面直径为A&SO为高，SA为母线，则NASO=30。.

s

A'

在Rt/\SOA中,

2s

AO=SOtan30o=~r^(cm).

J

SO2

SA=cos300近3(cm).

2

所以S^,ASB=^SO2AO=^^(cnr).

所以圆锥的母线长为华cm,圆锥的轴截面的面积为半cm2.

1().如图所示，有一个底面半径为I,高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂

蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

□

解把圆柱的侧面沿八8剪开，然后展开成为平面图形矩形，如图所示，连接八夕，

---iA\A)

"I———

则4夕即为蚂蚁爬行的最短距离.

•••A4'为底面圆的周长，

/.A4/=2兀X1=2兀又AB=A'B'=2,

：.AB'=M"2+M2r4+(2兀)2=25+兀2,

即蚂蚁爬行的最短距离为人尸手.

综合运用

11.上、下底面面积分别为36兀和49兀，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()

A.4B.3g

C.2小D.2#

答案D

解析圆台的母线长/、高〃和上、下两底面圆的半径厂R满足关系式/二川+但一川，由

题意知/=3,«=7,r=6,求得〃=2、佝，即两底面之间的距离为2#.

12.已知球的半径为10cm,若它的一个截面圆的面积为36兀cm一则球心与截面圆圆心的距

离是cm.

答案8

解析如图，设截面圆的半径为厂，球心与截面圆圆心之间的距离为d,球半径为R.由示意

图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.

由题意知，R=10cm,由九户=36兀，得r=6,

所以d=、R2一＞=4100-36=8（cm）.

13.边长为5的正方形EPG〃足圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短

距离为.

答案|\/7r2+4

解析如图，矩形ERG”是圆柱沿着其母线石尸剪开半个侧面展开而得到的,

由题意可知GH=5,GFi=y

所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是!\仔“.

14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，卜底面圆心为顶点的

圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可