人教A版高一数学暑假预习：基本不等式（讲）-（人教A版必修第一册）原卷版+解析

2.2基本不等式

【题型解读】

【知识储备】

1.两个不等式

重要不等式：当。、。是任意实数时，有〃+炉》2",当且仅当。=b时，等号成立.

基本不等式：当。>0,历>0时有丽W甘，当且仅当时，等号成立.

号叫做正数〃，〃的算术平均数，叫做正数。，b的几何平均数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

温馨提示：”当且仅当a=b时，等号成立“是指若aWA,则〃+小工2〃儿的工"々，即只能有『十〃>2时，

■\lab<——.

2.基本不等式与最值

已知■)，都是正数，

(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2帮：

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积.yy有最大值;S?.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(l)x、)>0,(2)和(积)为定值，(3)存在取等

号的条件.

【题型精讲】

【题型一对基本不等式的理解】

方法技巧对基本不等式的理解

(1)不等式成立的条件：a,。都是正教.

(2)“当且仅当”的含义：

①当。="时.应拦2^^的等号成立.即

②仅当〃=/?时，好'e/S的等号成立，即"

例I（2022•黑龙江•哈尔滨三中高一月考）下列说法中错误的是（）

A.不等式恒成立

ba

B.若a,bER+,则—+工N2

ab

21

C.若〃，旄R+,满足a+2人=1,则一+一二8

ab

D.存在代R,使得。+：工2成立

例2（多选）（2022•衡水市第十三中学高一月考）已知正数。，b,则下列不等式中恒成立的是（）

1])

A.a+b>14abB.(a+b)-+->4

b)

C.(a+b)2>2(a2+b2}D.^->4^b

''a+b

【题型精练】

1.(2022•宁夏・银川一中期中)下列不等式恒成立的是()

A.x+—>2B.a+b>2\[cib

x

c(4++Z?~C2»2C,

C.---->-----D.a~+b->2ab

I2)2

2.（多选题）（2022•海南高一期末）下列说法中正确的有（）

A.不等式a+b>恒成立

B.存在。，使得不等式a2成立

bQ

C.若a,he（0,+8）,则一+一二2

ab

21

D.若正实数x,y满足x+2），=l,则一+一之8

1“y

【题型二直接法求最值】

例3（2022・甘肃酒泉•高一期中）若实数小〃满足。+〃=1,则时的最大值为（）

A.2B.1C.!D.-

24

例4（2022•河北•高一期末）己如a>0,Z?>0»ab=1,且“=〃+,,〃=〃+!，则"2+〃的最小

ab

值是（）

A.3B.4C.5D.6

【题型精练】

1.（2022・湖北十堰期末）设x>0,y>0,则x+4y+事的最小值为.

2.（多选）（2022•河北石家庄期中）设正实数〃?，〃满足〃z+〃=2,则下列说法正确的是（）

A.工+_!_上的最小值为2B.〃?〃的最大值为1

mn

C.J记的最大值为4D.的最小值为:

4

【题型三凑配法求最值】

必备技巧通过配凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的

问题：

⑴拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

⑵代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标：

（3）拆项、添项应注意检脸利用基本不等式的前提.

例5（2022•山西•怀仁市第一中学校月考）设实数x满足*>-1,则函数的最小值为（）

x+1

A.3B.4C.5D.6

例6（2022・上海虹口•高一期末）已知0vx<4,则x（4-x）的最大值为.

【题型精练】

1.（2022•北京大兴•高一期末）当0vxv2时，M2-x）的最大值为（)

A.0B.IC.2D.4

4,

2.（2022・全国•高一专题练习）（1）求函数y=x+—1）的最小值及此时工的值;

X—1

（2）已知函数），='+5x+10,求此函数的最小值及此时x的值.

x+2

【题型四“1”的代换法求最值】

必备技巧“1”的代换法求最值

⑴根据已知条件或其变形确定定值（常数）；

⑵把确定的定值（常数）变形为1；

（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

⑷利用基本不等式求解最值.

例7（2022•河南•夏邑第一高级中学高一期末）已知x>0,y>0,x+y=l,则L的最小值是（）

xy

A.2B.2及c.4D.2x/3

例8（2022•安徽・南陵中学高一月考）若实数。，b满足2。+力8>1],则三十3的最小值

I272«-1b-\

为（）

A.6B.4C.3D.2

【题型精练】

12

1.（2022•安徽•高三阶段练习）已知x>0,y>0,2x+y=2,则一十一的最小值是（）

xy

A.1B.2C.4D.6

I?

2.（2022•全国高一课时练习）已知。>（）,/?>（）,-+-=2,则。+〃的最小值为______________；

ab

【题型五二次商式求最值】

例9（2022・全国•高一课时练习）求下列函数的最小值

/4、r+X+l/八、

(1)y=----------(x>0)；

x

cx2+2x+6...

(2)y=---------(x>1).

x-1

例10（2022•江西•宁冈中学高一月考）工工〉1）的最大值为_______.

d-4x4-7

【题型精练】

1.（2022•全国•高一课时练习）函数y="-+3x+3*<—］）的最大值为（）

x+\

A.3B.2C.1D.-1

2.（2022・全国•高一课时练习）若T<x<l,则），=x、2x+2有（）

”2,r-2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D,最小值1

【题型六基本不等式求参】

例11（2022・全国•高一课时练习）若两个正实数X,）‘满足44+丁=制，且存在这样的文，使不等式

X+：〈〃?2+3M有解，则实数〃，的取值范围是（）

4

A.（-1,4）B.（-41）

C.（HO,-4）U（1,+CC）D.（7）,-3）5。,长0）

例12（2022•南开区校级月考）设x>0,y>0,且不等式（ox+y）（工+工）29恒成立，则正实数。的取

%y

值范围是（）

A.0<a^4B.0VaW2C.D.

【题型精练】

1.（2022•全国•高一课时练习）已知。>0,>0,若不等式±+?2二恒成立，则m的最大值为（）

aba+b

A.10B.12C.16D.9

2

2.（2022•全国高一课时练习）已知关于x的不等式2x+——27在%€（氏+00）上恒成立，则实数〃的

x-a

最小值为（）

53

A.1B.—C.2D.一

22

【题型七基本不等式的实际应用】

例13（2022・全国•高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2〃，，形状为直角三角形的框

架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是（）

A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m

【题型精练】

1.（2022•北京市十一学校高一期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3,高为3m,

如果箱底每Im2的造价为15元，箱壁每1m?造价为12元，则箱子的最低总造价为（）

A.72元B.300元C.512元D.816元

2.2基本不等式

【题型解读】

【知识储备】

1.两个不等式

重要不等式：当〃、〃是任意实数时，有当且仅当。=〃时，等号成立.

基本不等式：当。＞0，Z»0时有，益当且仅当。=/）时，等号成立.

等叫做正数小人的算术平均数，标叫做正数小。的几何平均数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

温馨提示：”当且仅当时，等号成立”是指若瓦则标+/#2,心，的工审，即

只能有/+户＞2〃〃，y[al）＜~y~.

2.基本不等式与最值

已知x,y都是正数，

（1）如果积个等于定值/\那么当x=），时，和x+.y有最小值2炉；

⑵如果和x+），等于定值S,那么当x=y时，积X），有最大值养

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（l）x、）＞0,（2）和（积）为定

值，（3）存在取等号的条件.

【题型精讲】

【题型一对基本不等式的理解】

方法技巧对基本不等式的理解

（1）不等式成立的条件：“，都是正数.

（2）“当且仅当”的含义：

①当4=〃时，的等号成立，即4=石；

②仅当时，"的等号成立，即区芋=，元na=A.

例1(2022.黑龙江.哈尔滨三中高一月考)下列说法中错误的是()

A.不等式，^恒成立

ba

B.若a,/?GR+,则—+->2

ab

21

C.若小/走R+,满足a+26=l,则一+一A8

ab

D.存在aWR,使得42成立

【答案】A

【解析】解：对于A,当aVO,bVO时，不等式。+622、7而不成立，故选项A错误；

对于3,因为a,/?GR+,则2+：工2~•~=2,当且仅当。=〃时取等号，故选项8正

abyjab

确；

对于C，因为a>0，b>0且a+2b=1,所以白+2=(-+-)(a+2b)=—4--+4>

ababab

2-.^+4=8,当且仅当。=28时取等号，故选项C正确；

7ab

对于。，当a=l时，”+：工2成立，故选项。正确.

故选：A.

例2(多选)(2022•衡水市第十三中学高一月考)已知正数。，b,则下列不等式中恒成

立的是()

A.a-vb>2\[abB.(a+Z?)(，+:>4

b)

C.{a+b)1>l(cr+lr\D.^^->4ab

''a+b

【答案】AB

【解析】对A,\6/>(),/?>(),:.a+bN2面,当且仅当。=/?时等号成立，故AE

确；

对B,(tz+Z?)f-+-l=-+-+2>2J---+2=4,当且仅当a=6时

\ab)ahab

等号成立，故B正确;

对C,（6z+/?）2-2（«2+Zj2）=-«2+2r//?-/?2=-（f/-Z?）2<0,即

（。+32<2（/+/），故c错误：

2ab

对D,6?>0,/?>0,「.a+/?N2&ib，.•.（〃+b）Jab22ab，即-----VJab，当且

a-vb

仅当。二b时等号成立，故1）错误.故选：AB.

【题型精练】

1.（2022•宁夏・银川一中期中）下列不等式恒成立的是（）

A.x+—>2B.a+b>2\[ab

x

C.---->-----D.a~+b>lab

I2）2

【答案】D

【解析】对于A选项，当x<0时，不等式显然不成立，故错误：

对于B选项,〃+此2而成立的条件为。之0,力“,故错误;

对于C选项，当。。/0时，不等式显然不成故错误；

对于D选项，由于。2+〃2—2出?=（。一〃）220,+b2>2ab，正确.

故选：D

2.（多选题）（2022•海南高一期末）下列说法中正确的有（）

A.不等式Q+b>2VSF恒成立

B.存在小使得不等式a+5M2成立

ba

C.若a,be（0,+oo）,则一+一二2

ab

21

D.若正实数x,y满足户2y=1,则一+一二8

xy

【答案】BCD

【解析】解：不等式a+bN2底恒成立的条件是b20,故A不正确；

当。为负数时，不等式a+：W2成立.故8正确；

由基本不等式可知C正确；

―21214yx后~x

对于一+-=（-+—）（%+2y）=44--+—>4+2/—•—=8,

xyxyxyxy

4vXi1

当且仅当二二一，即％=2，y=<时取等号，故。正确.

xy乙、

故选：BCD.

【题型二直接法求最值】

例3（2022.甘肃酒泉.高一期中）若实数〃，〃满足。+6=1,则面的最大值为（）

A.2B.1C.gD.-

24

【答案】D

【解析】a+h=]t

・•・〃/?,即当且仅当〃=b=]时等号成立，

（ab]=—.

\/max4

故选：D.

例4（2022•河北•高一期末）已知。〉0，/?>0，ab=\，且"2=。+，,72=6Z4--,

ab

则m+〃的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由=1知，m=b+—=2b,n=a+—=2a,

ab

fn+n=2^a+b）>4\fcib=4,

当且仅当。=〃=1时取等号.故m+〃的最小值为4故选：B

【题型精练】

1.（2022・湖北十堰期末）设x>0,），>0,则x+4）叶上的最小值为

v-\y

【答案】4

［解析］解：x+4y^2y/x-4y=4y/xy（当且仅当x=4.y时，等号成立）,

4y/xy+-^=>2V4=4（当且仅当4/6=焉时，等号成立）,

故x+4y+-y=>4（当且仅当4y/xy=^^且x=4y,即x=1,y=,时，等号成立）,

故x+4y+上的最小值为4,

故答案为：4.

2.（多选）（2022•河北石家庄期中）设正实数〃?，〃满足〃什〃=2,则下列说法正确的是

（）

A.2•+•5•上的最小值为2B.”〃?的最大值为1

mn

C.J石+JI的最大值为4D."+/的最小值为:

【答案】AB

【解析】Vm>0,n>0,m+n=2,

111,/11、1以〃.[“6'c

—+—=—(〃?+〃)一+—=—2+——I——>—2+2./-------=2,

mn2'nJ2\mn)21Vtnn,

当且仅当己=%,即m=也=1时等号成立，故A正确；

mn

•1-m+n=2>2\[nui»/.ifi/i<1,当且仅当J=〃=l时,等号成立,故B正确;

.,(而+6)(2[(诟)+(6)]=4,4m+4n<yj2(/n+n)=2,当且仅当〃z=〃=l时等

号成立，最大值为2,故C错误；

62+〃2之3土立=2,当且仅当机=〃=1时等号成立，故D错误.

2

故选：AB

【题型三凑配法求最值】

必备技巧通过配凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意

以下几个方面的问题：

（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变

形；

⑵代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标：

⑶拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

4

例5（2022•山西•怀仁市第一中学校月考）设实数x满足1>-1,贝IJ函数产x+—；的最小

x+1

值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】.x>T，

函数二+'7=（X+1）+，7-122\，7D^7-1=4-1=3,当且仅当彳+1=<，BPx=l

X+lX4-IVX+lx+1

时取等号.

4

因此函数>'=x+—-的最小值为3.

x+l

故选：A.

例6（2022・上海虹口•高一期末）已知0<x<4,则工（4-力的最大值为.

【答案】4

【解析】因。〈…，则4->。，于是得出7闫*今:4,当且仅当……即

x=2时取

所以工（4-工）的最大值为4.

故答案为：4

【题型精练】

I.（2022•北京大兴•高一期末）当0<x<2时，］（2-幻的最大值为（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】V0<A<2,/.2-X>0,又X+（2-X）=2

...X（2T）JX+Q7）L=［,当且仅当工=2-工，即x=l时等号成立，

所以M2-x）的最大值为1

故选：B

4

2.（2022・全国•高一专题练习）（1）求函数的最小值及此时x的值;

（2）已知函数）,="5”,XG（-2,-HX）,求此函数的最小值及此时x的值.

x+2

【答案】（1）函数）'的最小值为5,此时x=3；（2）函数V的最小值为5,此时x=0.

【解析】（1）Vx>l,

44f'A-

/.y=x+------=x-\+---+1>2J（x-l）----+1=4+1=5,

x-lx-lV）A-1

4

当且仅当x-l=——即x=3时，等号成立.

X-1

故函数y的最小值为5,此时x=3；

（2）令］=x+2（，>0）,

将x=f-2代入得：

广（一2『+5（-2）+1。=,+*,

tt

vr>0.

4

当且仅当，=7,

4

即x+2=

x+2

即x=0时，等号成立.

故函数y的最小值为5,此时x=o.

【题型四“1”的代换法求最值】

必备技巧“1”的代换法求最值

。）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；

⑵把确定的定值（常数）变形为1；

（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

⑷利用基本不等式求解最值.

例7（2022・河南•夏邑第一高级中学高一期末）已知1＞0,），＞0,%+），=1,则'+'的最

xy

小值是（）

A.2B.2X/2C.4D.2A/3

【答案】C

【解析】-+l=（l+l]（x+y）=2+^4--＞2+2|5^=4（当且仅当）=2，即

xyy）xy\xyxy

ii

工二丁时取等号）•'•一+-的最小值为4故选：C

xy

例8（2022•安徽•南陵中学高一月考）若实数。，人满足2a+b=3（a＞；力＞1],则

+上7的最小值为（）

2a\b\

A.6B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】2。+匕=3=（2。-1）+仅-1）=1

因为。>1,b>\,所以2々一1>0,Z>-1>0

2

p2ah2。-1+1b-\+\〜11

又-----+----=--------+------=2+-----+---

2a-\h-\2ab-\2ab-\

I1/11\

所以—+—=—+—r（2a-i）+（/?-i）i

2a-\b-\{2a-\b-i）^，，'」

2a-\b-\2tz-1b-\

=2+----+----->2+2.x-=--2-+2=4

b-\2a-\b-\2d-l

2。+〃=3

当且仅当《2a—1b-\即。=:，〃=彳时，取等号

----=-----42

b-\2a-\

b=2+七+〃1_]

所以---------4--------->6

2ab-\

故选:A

【题型精练】

12

1.(2022•安徽•高三阶段练习)已知x>0,y>0,2.r+y=2,则一+一的最小值是()

xy

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

[解析]解：因为x>0,y>0,2x+y=2,所以

-+-=1f-+-\2A-+y)=lf2+2+-+—]>^4+2/^1=4,当且仅当上二"，即

x1yy)21xy)\\xy)xy

x=1，y=i时取等号；

2

故选：C

2.（2022•全国高一课时练习）已知。>0/>0,-+-=2,则。+〃的最小值为

ab

【答案］3+2近

2

【解析】采用常数1的替换,

即〃二1±交功=2及时等号成立，所以答案为3+2/5.

222

【题型五二次商式求最值】

例9（2022・全国,高一课时练习）求下列函数的最小值

x~+x+\人、

（1）y=-------（x>0）：

x

【答案】（1）3；（2）10.

【解析】⑴…

XX

vA->0„-.X+^>2^TJ=2（当且仅当X=：,即x=l时取等号）

X2+x+\

.)'=--------------（x>0）的最小值为3；

X

(2)令，=x-1(/>0),则”f+1,

x2+2x+6(/+l)2+2(/+l)+6Z2+4r+99.〜厂…八

1.y=-----1-=-——-~——-——=--------=/+-+4>2J/--+4=10

9

当且仅当/=N即/=3时取等号

t

「•y的最小值为10

Y一1

例10（2022•江西・宁冈中学高一月考）y：4x+7（"l）的最大值为

【答案】g

【解析】令工一1=/,则x=/+l,r>（）,

x-l11

-4

所以“2-4X+7(r+D2-4(f+l)+7/-21+44~2,当且仅当，=7,

/+厂

即/=2时，等号成立.所以（：1+7（41）的最大值为苗

故答案为：，

【题型精练】

1.（2022•全国•高一课时练习）函数），=f+3彳+3*<—］）的最大值为

()

x+1

A.3B.2C.1D.-1

【答案】D

+3x+3(x+1)~+(x+1)+I

【解析】•・•），=

x+lX+1

=-[-(x+l)+—!—]+1

-(x+1)

<X+1)1(一)+!=-1,

x+\

当且仅当"二即1等号成立.

故选：D.

2.（2022.全国•高一课时练习）若-X,则>J-2K+2有（

1<<1)

lx-2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

【答案】A

【解析】因Tvx<l,则0<1-工<2,

于是得广二.。7厂+1=_」（17）+-!-小一!2»1-1）一!一=-1,当且仅当1-X=J-

2\-x2\-x2V\-x1-x

即x=（）时取“=”，

所以当x=0时，y=Y-2x+2有最大值_]

2A-2

故选：A

【题型六基本不等式求参】

例11（2022・全国•高一课时练习）若两个正实数孙）'漏足©+），=外且存在这样的x,），

使不等式上+：<〃/+3/〃有解，则实数，"的取值范围是（）

4

A.（-1,4）B.（T1）

C.（f-4）U（l,+oo）D.（YO,-3）5。.”）

【答案】C

【解析.】由4x+），=与，=1+±=1知，Cr+^-\-+-）=l+—+-^-+1>2+2/---^-=4,

xyI4八），y4xyy4x

当且仅当x=2,），=8时，等号成立，则使不等式x+5</+3/〃有解，只需满足m2+3〃?>4

4

即可，

解得〃2«3,-4）U（l,+OO）故选：c

例12（2022•南开区校级月考）设x>0,>>>0,月不等式（at+v）（-+-）29恒成立，

xy

则正实数。的取值范围是（）

A.0<aW4B.0<aW2C.心4D.心2

【答案】C

【解析】解：》0,y>0,a>0,

:.（以+y）（工+工）="1+丫+竺切+1+2径•竺=（VH+1）2（当且仅当2=/时取”=

xyxy\JXyxy

“），

又「（ov+y）（工+工）29恒成立，，（Va+1）解得：故选：C.

xy

【题型精练】

1.（2022•全国•高一课时练习）已知。>0,b>0,若不等式3+：之一j恒成立，则机的