高考数学 计数原理、概率及其分布 随机事件与概率 （附解析）

随机事件与概率

激活思维

1.(教材经典题)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中

靶”互为对立事件的是(D)

A.至多一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都没中靶

2.(教材经典题)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚硬币正面朝

上”，事件8="第二枚硬币反面朝上”，下列结论正确的是(D)

A.A与3互为对立事件B.A与8互斥

C.A与3相等D.P(A)=P(B)

【解析】抛掷两枚炭地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，

正)，(反，反).事件4包含的结果有(正，正)，(正，反)，事件5包含的结果有

(正，反)，(反，反)，显然事件A,事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件

4事件B能同时发生，因此，事件4与事件3既不互斥也不对立，故A,B错

误；因为事件A,事件B中有不同的结果，所以事件A与事件B不相等，故C

2121

错误；由古典概型知，P(A)=4=5，P(B)=W=Z，所以P(A)=P(B),故D正确.

3.(教材经典题)已知P(A)=0.5,P(8)=0.3.

(1)如果8UA,那么0.5,P(AB)=0.3：

【解析】如果8GA,那么AU8=A,AC8=B,所以尸(AU8)=P(A)=0.5,

P(AB)=P(B)=0.3.

(2)如果A,B互斥,那么尸(AU8)=21sP(AB)=Q.

【解析】如果A,B互斥,那么AG3=。，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5

+03=0.8,P(AB)=0.

4.(教材经典题)从长度为135,7,9的5条线段中任取3条，则这三条线段

能构成一个三角形的概率是_得_.

【解析】该试验的样本空间可表示为。={(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),

(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9)},共有10个样本点，其中能构

成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),共3个，故所求概率2=高

5.(教材经典题)从0〜9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的

个位数字为1的概率是_点_；这个数的四次方的个位数字为1的概率是

JJ

【解析】从0〜9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空

间可表示为。={0』,2,3,456,7,8,9}.若一个数的平方的个位数字为1,则该数为

1或9,共2个，故其概率为%=点若一个数的四次方的个位数字为1,则该数

平方的个位数为1或9,所以该数为1,379,共4个，故其概率为卡4奇2.

聚焦知识

1.样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,常用①表

示.

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用。表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有〃个可能结果①1，G2,…，CDn，则

称样本空间。={。|,①2,…，①〃)为有限样本空间.

(2)随机事件

①定义：将样本空间。的_±>_称为随机事件，简称事件.

②表示：大写字母A,B,C,….

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.

2.两个事件的关系和运算

含义符号表示

包含关系A发生导致6发生AS

相等关系83A且A38♦=及

并事件(和事件)A与8至少一个发生AU8或A+8

交事件(积事件)A与8同时发生或A8

互斥(互不相容)A与B不能同时发生AGB=。

互为对立A与B有且仅有一个_4GL=0_,_AUB=Q

发生

3.古典概型

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个;

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性3^.

4.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含

其中的上个样本点，则定义事件4的概率为0(加=5=版，其中，〃(A)和〃(0)

分别表示事件A和样本空间。包含的样本点个数.

5.概率的性质

性质1：对任意的事件4,都有尸(A)2().

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(O)=1,P(0)=

0.

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么RAU8)=P(A)+P(B).

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=

性质5：如果AUB,那么P(A)WP(B),由该性质可得，对于任意事件A,因

为。UAG0,所以OWP(A)W1.

性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，则P(AU8)=P(A)+P(8)

一P(ACB).

题型突破思维拓展

▲

举题说法

13标H随机事件的关系与运算

视角1事件的运算

例i—i(多选)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设

事件A="两人都中奖”，B="两人都没中奖”，C="恰有一人中奖”，。=

“至少一人没中奖”,下列关系正确的是(ACD)

A.BUC=DB.AAC"

C.CQDD.BCD=B

【解析】对于A,事件3UC为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，

所以3UC=O,故A正确；对于B,事件AAC表示两人都中奖且恰有一人中

奖，没有这样的事件，所以AAC=。，故B错误；对于C,“至少一人没中奖”

包括“恰有一人中奖”和“两人都没中奖”两种晴况，所以CG。，故C正确；

对于D,由C选项可知所以故D正确.

・总结提燎》

事件间运算的方法：

(1)利用定义：列出试验所有可能出现的结果；

(2)利用Venn图：借助集合间运算的思想.

视角2事件的关系

例1一2(多选)从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至

少1名女生”为事件4“至少1名男生”为事件“恰有1名女生”为事件

C,“2名都是男生”为事件Z),则下列结论正确的有(AD)

A.事件A和。是对立事件

B.事件8和。是对立事件

C.事件A和8是互斥事件

D.事件C和。是互斥事件

【解析】将3名女生设为b,C,两名男生设为A,B,任选两人组成学

习小组，样本空间。包含的基本事件为m，⑥，(〃，c),m，A),(a,B),(b,c),

(b,A),(b,8),(c,A),(c,B),(A,B),其中事件A包含(a,b),(mc),(a,

A),(a,B),S，c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),事件B包含(〃,A),(a,

B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B),事件。包含(a,A),(a,B),(b,

A),(b,B),(c,A),(c,B),事件。包含(A,B).因为40。=。，且AUO=。，

所以事件A和。是对立事件，A正确；因为3nc={(〃，A),(%B),(b,A),

S，B),(c,A),(c,8)},所以事件8和。不是互斥事件，也不是对立事件，B

错误;因为AG8={(a,A),3,B),(b,A),S，B),(c,A),(c,8)},所以事

件A和8不是互斥事件，C错误；因为cno=。，所以事件C和。是互斥事件，

D正确.

・总结遑炼A

判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事

件；若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件.对立事件一

定是互斥事件.

变式1-2(2025・潍坊期末)从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3个

球，那么互斥而不对立的两个事件是(D)

A.至少一个红球和都是红球

B.至少一个黑球和都是红球

C.至少一个黑球和至少一个红球

D.恰有一个红球和恰有一个黑球

【解析】对于A,至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都

是红球，A错误；对于B,至少有一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B错

误；对于C,至少一个黑球和至少一个红球，都包含一个黑球两个红球，可以同

时发生，不互斥，C错误；对于D,恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对

立，D正确.

视角3利用事件的互斥、对立关系求概率

例1一3(多选)甲袋中有5个红球，15个白球，乙袋中有5个红球，5个

白球，从两袋中各摸出一个球.下列结论正确的是(AC)

A.2个球都是红球的概率为！

B.2个球不都是红球的概率为|

<5

C.至少有1个红球的概率为1

O

3

D.2个球中恰有1个红球的概率为c

O

【解析】记从甲、乙袋中摸出一个红球的事件分别为A,B,事件A,3相

5|51—3—1

互独立，则P(A)=而=不P(B)=YQ=2,尸(A)=4，P(B)=2«对于A,2个球都

是红球的事件为A3,则P(A5)=P(A)・P(8)=£,A正确；对于B,2个球不都是

7

红球的事件的对立事件为A8,则其概率为I一尸(A3)=Q,B不正确；对于C,至

O

少有1个红球的事件的对立事件为A&则其概率为1-P(A3)=1-P(A)P(8)

5————

=6,C正确；对于D,2个球中恰有1个红球的事件为AB+A则其概率为

O

产(A石+TB)=P(A)PCB)+P(T)P(B)=1,D不正确.

＜总结提炼〉

求复杂互斥事件的概率的两种方法

(1)直接法

(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解更简

单).

变式1—3(1)(2025•汕尾、肇庆二模)小王数学期末考试考了9()分，受到爸

爸表扬的概率为3,受到妈妈表扬的概率也为;，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表

扬独立，则小王被表扬的概率为(C)

A-2B-4

C.1D.1

【解析】记小王受到爸爸表扬为事件A,小王受到妈妈表扬为事件3,小王

受到表扬为事件。，小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则P(O)=1-

——113

P(A)P(B)=\-^X-=-.

(2)高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏

春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团相互独

立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别

为。，b,〃该同学可以进入两个社团的概率为/且三个社团都进不了的概率为

3

仔则ab=(B)

A.而B・10

C工

J15

【解析】依题意，该同学可以进入两个社团的概率为/则必-(1一?+]

1143

〃(1一切+心(1一〃)=不整理得向+。+〃=丁由三个社团都进不了的概率为行,

得(1—a)(l—〃)(1—；)=—,整理得a+Z?—R?=看,联立

解得ab

_!_

=To-

目帧日古典概型

例2(1)(2023•全国乙卷文)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛

同学从中随机抽取一个主题准备作文，贝IJ甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概

率为(A)

A-6B-3

C.；D.1

【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，共有6X6=36种选法.若甲、

3()5

乙抽到的主题不同，则共有AW=3()种选法，则其概率为会兰.

(2)(2025•武汉二模)一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，

这些球除颜色外，其他完全相同.现从袋中一次性随机抽取3个球，则这3个球

的颜色各不相同的概率为(D)

AiB,

A.210

【解析】设2个红球分别为Ai,A2,2个黑球分别为Bi,BiA个白球为

则取出的3个球的组合有以下1()种情形：(Ai,Az,BI),(Ai,42,&),(Ai,AI,

CI),(Ai,B\,&),(A\,Bi,Ci),(Ai,&,Ci),(A2,B\,&),(Ai,B\,Ci),

02,&,Ci),(Bi,Bi,Ci),其中3个球颜色各不相同的有以下四种情形：(Ai,

Bi,Ci),(Ai,&,Ci),(4,Bi,Ci),(4,BN,CI).因此从袋中一次性随机抽

42

取3个球，则这3个球的颜色各不相同的概率为尸=正=不

，总结暹燎＞

求古典概型的概率的关键是求试脸的样本点的总数和事件4包含的样本点

的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法(列表法、树状图

法)以及排列、组合法.

变式2(1)(2025•郑州二检)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名

教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须

安排在同一个学校的概率为(A)

22

A-13B-TT

c工…

「1311

【解析】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，若教师人数分组

为则不同的安排方法种数为CAA3=480；若教师人数分组为2,2』,1,则

不同的安排方法种数为拶A才=1080,故不同的安排方法共有480+1080=1

560种.当甲、乙安排在同一个学校时，若教师人数分组为3,1,1』，则不同的安

排方法种数为CJA：I=96；若教师人数分组为2,2.1』，则不同的安排方法种数为

dA?=144,故不同的安排方法共有96+144=240种.所以所求事件的概率为

24()_2

1560=T3,

(2)(2025•广州二模)一个袋子里有大小和质地相同的4个球,标号为1,23,4,

从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成

一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为_卷_.

【解析】每次均有4种不同的取法，故总的取法有44=256(种).若这列数

中恰有3个不同整数，则必有一个数取了2次，故这列数中恰有3个不同整数的

取法有Cr，X学=144(种)，故这列数中恰有3个不同整数的概率为技144=言Q

随堂内化

1.已知随机事件A和B互斥，且P(4UB)=0.7,P(B)=0.2,则P(A)=

(A)

A.0.5B.0.1

C.0.7D.0.8

【解析】因为随机事件A和B互斥，且P(AUB)=0.7,P(B)=0.2,所以P(A)

=P(AU8)—P(8)=0.7—0.2=0.5,所以P(A)=1—P(A)=1—0.5=0.5.

2.口袋中装有编号为1,2的两个红球和编号为1,2,345的五个黑球，小球

除颜色、编号外，形状、大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取

到的小球的编号为1”，事件3为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是

(C)

A.A与3互斥B.A与8对立

66

--

7D.7

【解析】依题意，事件A8为取到编号为1的黑球，事件A与8能同时发

2

生，则A与8不互斥，也不对立，故A,B都不正确；由古典概型得P(A)=亍

56

--

77

确.

3.(2025•安阳三模)某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创

新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为(C)

【解析】以=1一5二亍

4.(2025•茂名一模)在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放

回方式随机摸球3次，每次一个，第3次摸到红球的概率是(A)

C.示

AgA，+AlAgALM+A§3

【解析】记第3次摸到红球为事件A,则p（m=

配套精练

一、单项选择题

1.（2023-全国甲卷文）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2

名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的

概率为（D）

【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的样本

点个数为ca=6,其中这2名学生来自不同年级的基本事件个数为aa=4,所

以这2名学生来自不同年级的概率为］4=多2

2.（2025•佛山二模）学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则

两支最强的球队被分在不同组的概率为（C）

【解析】由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为m,

所有的分组组数为C2,结合古典概型计算公式可得所求概率为詈=|.

3.（2025•辽宁省二调）设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个

元素，取出后还放回到S中，则取5次后所取出的元素有重复的概率是（保留两

位有效数字）（C）

A.0.50B.0.55

C.0.70D.0.85

【解析】考虑反面，取5次后没有重复元素的概率为$义卷xRx需乂益

3024,,一,如切山，3024八2

=10000'故所求概率为1-10000^0,70,

4.(2025•石家庄三模)已知随机事件A,B,下表示事件8的对立事件，P(4)

=0.4,P⑻=0.6,则下面结论正确的是(D)

A.事件人与6一定是对立事件

B.P(AUB)=1

C.P(A3)=0.24

D.若事件A,B相互独立，则P(AE)=0.16

【解析】对于A,B,一个密封的盒子中有标号为1,2,345的5个小球，从

中任取1球，记事件4为“从中取出球的标号为1,2”，事件B为“从中取出球

的标号为1,2,3"，则P(A)=0.4,尸⑻=0.6,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是

对立事件，故A错误；由上例可知「(AU8)=P(B)=0.6,故B错误；对于C,

P(AB)=P(A)P(8)仅在事件A,8相互独立时才成立，而不知道事件A,B的关系，

则不确定P(A8)的值，故C错误；对于D,若事件A,B相互独立，则事件A,

方也相互独立，所以尸(A万)=P(A)P(~B)=P(A)[1—P(B)]=04X(1—0.6)=0.16,

故D正确.

二、多项选择题

5.有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件上为“只订甲报纸"，事件”为

“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸"，事件”为“不订甲报纸”，

事件/为“一种报纸也不订”.下列说法正确的是(BC)

A.E与G是互斥事件

B.尸与/是互斥事件，且是对立事件

C.尸与G不是互斥事件

D.G与/是互斥事件

【解析】对于A,E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；

对于B,/与/不可能同时发生，且发生的概率之和为1,是互斥事件，且是对

立事件，故B正确；对于C,“与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确；

对于D,G与/可以同时发生，不是互斥事件，故D错误.

6.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表:

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,

没投中为事件C，用频率估计概率，则下述结论正确的是(ABC)

A.P(A)=0.55B.P(B)=0.18

C.P(O=0.27D.P(B+C)=0.55

5518

【解析】依题意，P(A)=砺=0.55,P(3)=而=0.18,显然事件A,B互

斥，P(0=1-P(A+S)=1-P(4)-P(B)=O.27,事件8,C互斥，则P(B+O=

P(8)+P(C)=0.45,故A,B,C正确，D不正确.

三、填空题

7.(2025•八省联考)有8张卡片,分别标有数字123,4,5,6,7,8,现从这X张

卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字

之和相等的概率为一卷一

【解析】因为8张卡片上的数字之和为36,所以3张卡片上的数字之和

33

为18,只有3,7,8；4,6,8；5,6,7三种情况,故所求概率为辱=后.

8.(2025•保定期末)随机数选择器每次只能从123,4,5,6,7,8,9这九个数字

中选一个数，且以相等的概率做选择，那么在2次选择后，选出的2个数的乘积

Q

能被10整除的概率为一言一

【解析】随机数选择器每次只能从123,4,5,6,7,8,9这九个数字中选一个数,

选择2次，每次都有9种结果，共92=81种结果.若选出的2个数的乘积能被

10整除，则其中有一次选择的数为5,另一次选择的数为偶数，则不同的选择结

Q

果有2X4=8种，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为五.

O1

9.(2025•威海期末)已知甲、乙两人投篮命中率分别为2,并且他们投篮

互不影响，现每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为

【解析】甲比乙进球数多包含以下两种情况：①甲进1球，乙进0球，概

率为〃|=(2区义］义弟)2=/②甲进2球，乙进1球，概率为〃2=&吩><a

(；｝=*；③甲进2球，乙进0球，概率为P3=cj，2><c9(；)2=表.所以甲比乙

进球数多的概率〃=〃|+〃2+〃3=/+表+上=5.

10.(2026•苏州期初)在1,2,3,…，9中随机选出一个数4,在一1,-2,

—3,…，一9中随机选出一个数儿则次十8被3整除的概率为

【解析】由题意，数组(明与共有9X9=81种不同的选法,若。能被3整

除，则〃也能被3整除，此时圆人各有3种选法，即这样的(m与有3X3=9

个.若。不能被3整除，即从124,5,7,8中选1个数，此时/除以3的余数为

1,要使得标+〃被3整除，则〃除以3的余数为2,所以〃从一1,-4,一7中

选1个数，所以a有6种选法，/?有3种选法，则这样的(小力)有6X3=18个.所

771

以共有9+18=27种不同的选法，所以〃+/?被3整除的概率为尸=记=不

o13

四、解答题

11.4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作.某

市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生

进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布

直方图.

(1)求频率分布直方图中。的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间

(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据的平均值)；

【解答】由(0.0025+0.01004-6/+0.0150+0.0100)X20=1,得。=0.()12

5,则这1()()