2025-2026学年高一数学下学期期末高频考点

高一数学下学期核心高频考点速查

(含二级结论)

(三角函数与平面向量+解三角形+复数+立体几何初步+概率统计)

速查01集合与常用逻辑用语(29个核心考点)

一、集合

1.集合的三大要素：确定性、互异性、无序性，解题时需优先枪验互异性.

2.常用数集的表示：自然数集N、正整数集N+(或N*)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.

3.集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩(Venn)图法，明确描述法中代表元素的类型.

4.空集的定义：不含任何元素的集合，记为0，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集.

5.子集与真子集的区别：真子集不包含集合本身，空集是任何非空集合的真子集.

6.集合的交集运算：AAB表示由所有既属于A又属于B的元素组成的集合.

7.集合的并集运算：AUB表示由所有属于A或属于B(或两者都属于)的元索组成的集合.

8.集合的补集运算：CuA表示由所有属于全集U且不属于A的元素组成的集合，需明确全集范围.

9.集合运算性质：AClA=A、AUA=A：An0=0、AU0=A：AnB=BnA,AUB=BUA.

10.若AGB,则AnB=A、AUB=B,解题时需注意A为空集的特殊情况.

11.区分点集与数集：点集表示坐标平面内的点，数集表示具体的数值，不可混淆运算.

12.描述法表示集合时，需明确自变量的取值范围(隐含定义域).

13.集合关系的判定：若AGB且BGA,则八=B.

14.补集的性质：(1)Cu(CuA)=A：(2)ACl(CuA)=0；(3)AU(C(jA)=U

15.集合运算与集合间关系的转化：

AnB=AoAUB=B<=>AGB=C(JBGCUA<=>AA=0<=>CuAUB=R.

16.一组重要的结论：

(1)有限集合包1期2瓜3,…,aQ的子集情况：子集有2n个，真子集有2“一1个，非空子集有2门一1个，

非空真子集有2n—2个.

<2)元素与集合的关系：xeAox£CuA,xWCuA—x名A.

(3)德摩根公式：Cu(AnB)=[AUCuB;Cu(AUB)=C(jAACuB.

(4)容斥原理：card(AUB)=card(A)+card(B)—card(AnB),

card(AUBUC)

=card(A)+card(B)+card(C)—card(AnB)—card(AnC)—card(BnC).

+card(AnBnC)

二、常用逻辑用语

17.命题的定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题和假命题.

18.四种命题的关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题，逆否命题与原命题同真同假.

19.否命题与命题的否定的区别：否命题否定条件和结论，命题的否定仅否定结论.

20.充分条件的定义：若p=q,则p是q的充分条件（p能推出q）.

21.必要条件的定义：若q=p,则p是q的必要条件（q能推出p）.

22.充要条件的定义：若poq,则p是q的充要条件（两者互相推出）.

23.充分不必要条件：p=q,但q#p；必要不充分条件：q=p,但p#q.

24.全称量词命题：含有“任意”“所有”“每一个”等量词，记为VxEM,p（x）.

25.存在量词命题：含有“存在”“有一个”“至少一个”等量词，记为mxWM,p（x）.

26.全称量词命题的否定：将全称量词换为存在量词，否定结论，记为mx€M,-＞p（x）.

27.存在量词命题的否定：将存在量词换为全称量词，否定结论，记为VxEM,-ip（x）.

28.充分条件、必要条件的判定方法：可通过定义、逆否命题、集合包含关系判断.

29.常用的正面叙述词语和它的否定词语

正面词语等于（=）大于（»小于（＜）是

不等于不大于不小于

否定词语不是

（H）（＜）（＞）

正面词语都是任意的所有的至多有一个至少有一个

否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有

速查02函数（27个核心考点）

一、函数核心考点（28条）

1.函数的定义：设非空数集A、B,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在

集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数.

2.函数的三要素•：定义域、对应关系、值域，其中定义域和对应关系决定值域.

3.函数定义域的求解原则：分母不为0,偶次根式的被开方数非负，对数的真数人于0、底数人于。且不

等于1.

4.函数定义域的表示方法：常用集合、区间表示，需注意区间的开闭区间区分.

5.函数值域的求解思路：结合定义域，根据函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等）选择合适方

法.

6.函数解析式的求解方法：待定系数法、换元法、配方法、消元法等，求解后需标注定义域.

7.函数的表示方法：解析法、列表法、图象法，三种方法可相互转化.

8.分段函数的定义：在定义域的不同区间上，有不同的对应关系的函数，需注意分段点的取值.

9.分段函数的求值：需先判断自变显所在区间，再代入对应解析式计算.

10.函数的单调性定义：对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量Xl、X2,若X1<X2时，f(X[)<f

(X2)则为增函数，反之则为减函数.

11.函数单调性的判定方法：定义法、导数法、利用基本初等函数的单调性、更合函数单调性法则.

12.复合函数单调性法则：同增异减，即内外层函数单调性相同则复合函数为增，相反则为减.

13.函数单调区间的表示：多个单调区间之间用逗号连接，不可汨“U”符号.

14.函数的奇偶性的定义：(1)定义域关于原点对称，若f(-X)=f(x)为偶函数，若f(-x)=一/(x)为奇函

数.

(2)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称.

15.函数的奇偶性性质：

(I)如果一个奇函数/(x)在原点处有定义，即/(0)有意义，那么一定有/(0)=0.

(2)如果函数/(x)是偶函数，那么/(x)=/(|x|).

(3)若函数y=/(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

(4)若函数y=/(x+b)是奇函数，则函数y=/(x)的图象关于点(b,0)中心对称.

16.判断函数奇偶性的步骤：先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(一x)与f(x)的关系.

17.常见基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、箱函数.

18.一次函数的解析式与性质：y=kx+b(k¥0),k决定单调性，b决定与y轴交点.

19.二次函数的解析式：一般式、顶点式、零点式，顶点式便于求最值和对称轴.

20.二次函数的最值求解：结合开口方向和对称轴，判断在定义域内的最值情况.

21.指数函数的解析式：y=ax(a>0且a。1),底数a决定函数单调性.

22.指数函数的性质：定义域为R,值域为(0,+8),过定点(0,1).

23.对数函数的解析式：y=logax(a>0且awl),与指数函数y=a*互为反函数.

24.对数函数的性质：定义域为(0,+8),值域为R,过定点(1,0),底数a决定单调性.

25.暴函数的解析式：y=xa(a为常数)，重点掌握a=l,2,3,-1,1/2的图象与性质.

26.函数的周期性

(1)定义：若存在非零常数T,使得对于定义域内任意x,都有/'(x+T)=f(x),则T为函数的周期.

(2)对f(x)定义域内任一自变量的值x：①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).

②若/'(x+a)=六，则T=2a(a>0).

③若/(x+a)=—白，则T=2a(a>0).

27.函数图象的变换：

(1)平移变换:①y=/(x)的图象版喘黑y=/(x—a)的图象；

®y=f(x)的图象t震:震喘黑y=/(x)+b的图象.

“左加右减，上加下减”，左加右减只针对X本身，与X的系数，无关，上加下减指的是在f(x)整体上加

减.

(2)对称变换

关于X轴对称

①〉，=f(x)的图象TI=一/(X)的图象：

关于y轴对称

②y=f(x)的图象-y-f(-x)的图象；

关于原点对称

③y=/'(X)的图象Ty=-/■(-X)的图象；

关于直线丫=X对称

x

④y=a(a>0且aH1)的图象-y=logax(a>0且aH1)的图象.

(3)伸缩变换

0<a<l,000000000-0,00000

①丫=/(X)的图象Ta>l,OI3l3ta013配V~/(ax)的图象•

a

小rz回4o<a<i,0@a@@@@0@a0,0@aa@,、一的々

②y=/(X)的图象Ta>l,El[3l3团团G5酬团aEa,E3E!Ell3l3V=af(zx)的图象.

(4)翻折变换

①丫=/(X)的图象x轴下方部分翻折到上方y=|f(x)|的图象；

[

②丫=/(X)的图象T原X轴左侧部分去掉，右侧不变卜轴右侧部分y=f(|x|)的图象.

(!)平移变换

①y=/(x)的图象T其瑞瑞晶y=/(X—a)的图象；

②y=/(x)的图象->鹿湍需温y=f(x)+b的图象.

“左加右减，上加下减”，左加右减只针对X本身，与X的系数，无关，上加下减指的是在/(X)整体上加

减.

(2)对称变换

关于X轴对称

①y=/(x)的图象-,v=-/(X)的图象；

关于y轴对称

②y=/(x)的图象Ty=f(-x)的图象：

关于原点对称

③y=/(x)的图象Ty=-/(-X)的图象；

关于直线x=y对称

x

@y=a(a>0且aH1)的图象—y=logax(a>0且aW1)的图象.

(3)伸缩变换

a>l,团团团时同酬团-团，团团团团团

①丫=/(X)的图象T0〈a<i,团团13cli31aBi130HBic3131313y=f(ax)的图象.

②y=f(x)的图象T盟瞿虢罂需歌膘皿y=af(x)的图象.

(4)翻折变换

①y=/'(x)的图象x轴下方部分翻折到上方y=|f(x)|的图象；

[

②丫=/(X)的图象T原X轴左侧部分去掉，右侧不变]X轴右侧部分y=/(冈)的图象.

28.函数图象的对称性

(1)函数图象自身的轴对称

①/(-x)=/(x)o函数y=/(x)的图象关于y轴对称；

②函数y=f(x)的图象关于x=a对称\(\Lcftrightarrow

/(a+x)=/(a—X)Q/(X)=f(2a—x)<=>/(—x)=/(2a+x)；

③若函数y=/(x)的定义域为R,且有/(a+x)=/(b-x),则函数y=/(x)的图象关于直线'(x=早

对称.

(2)函数图象自身的中心对称

①/(-x)=-/(x)\(q函数y=/(x)的图象关于原点对称；

②函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称

\(\Leftrightarrow/(a+x)=—/(a—x)o/(x)=—/(2a—x)<=>/(—x)=­/(2a+x)：

③函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称

\(\Leftrightarrow/(a4-x)=2b—/(a—x)=f(x)=2b—/(2a—x).

(3)两个函数图象之间的对称关系

①函数y=/(a+x)与y=/(b-x)的图象关于直线x=等对称(由\(a+x=b-x得对称轴方程)；

②函数y=f(x)与y=/(2a-x)的图象关于直线x=a对称；

③函数y=/(x)与y=2b—/(—X)的图象关于点(0,b)对称；

④函数y=f(x)与丫=21)—/(22—乂)的图象关于点(a,b)对称.

速查03三角函数与解三角形(52个核心考点)

一、三角函数

1.任意角的定义：平面内由一条射线绕端点旋转形成的角，分为正角、负角和零角.

2.终边相同的角的表示：与角a终边相同的角可表示为a+2kn(kEZ).

3.象限角的定义：终边在第几象限，就称这个角为第几象限角，终边在坐标轴上的角不属于任何象限.

4.弧度制的定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记为lrad.

5.角度与弧度的换算：180°=irrad,1°=^rad,lrad=(^)°

6.瓠长公式：1=|a|r(a为弧制度，r为半径).

7.扇形面积公式：S=S=|lr=||a|r2(1为弧长，a为弧度制，r为半径).

8.任意角的三角函数定义：设角Q终边上一点P(x,y),r=42+y2,

则sina=cosa=tana=-(x0).

X

9.三角函数值的符号规律：根据角所在象限判断sina、cosa、tana的正负.

10.特殊角的三角函数值：牢记0、6也4也o奉Z三及相关诱导角的三角函数值.

22

11.同角三角函数基本关系：sina+cosa=1,tana=co—sa(cosa0).

12.诱导公式的核心原则：奇变偶不变，符号看象限(“奇、偶”指冗/2的奇数倍、偶数倍).

13.正弦函数y=sinx的定义域：R,值域：[—1,1],周期：2TL

14.余弦函数y=cosx的定义域：R,值域：[—1,1],周期：27T.

15.正切函数y=tanx的定义域：｛x|x值域：R,周期：IT.

16.正弦、余弦函数的奇偶性：y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数.

17.三角函数的单调性：掌握y=sinx、y=cosx、y=tanx的单调区间.

18.三角函数的对称性：正弦、余弦函数的对称轴和对称中心，正切函数的对称中心.

19.三角函数图象的平移变换：遵循“左加右减、上加下减”的规律.

20.三角函数图象的伸缩变换：横坐标、纵坐标伸缩对函数解析式的影响.

21.函数y=Asin(a)x+(p)(A>0,>0)的振幅：A,周期：T=2TT/U),相位：a)x+(p,初相:

(P-

22.函数y=AsinQox+5)的图象画法：五点法(零点、最高点、最低点).

二、三角变换

23.两角和与差的正弦公式：sin(a±似=sinacosp±cosasinp.

24.两角和与差的余弦公式:cos(a±P)=cosacosp+sinasinp.

25.两角和与差的正切公式：tan(a±0)=含篙器(a、函a±B工5+kir,kEZ)TT/2+kn).

26.二倍角的正弦公式：sin2a=2sinacosa.

27.二倍角的余弦公式：cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a-1=1—2sin2a.

28.二倍角的正切公式：tan2a=，了)Z).

I-tan^a(a4z

”〃一八42l+cos2a.91-cos2a-?l-cos2a.1・、

29.降累公式：cosa=---；sinza=­；—:tanza=―——；sinacosa=-sin2a.

30.升鼎公式：1+cos2a=2cos2(x,1—cos2a=2sin2a.

1-c2osa处与=±泛m1，呜=±、/黑符号由物在象限决定.

31.半角公式：sin]=±

32.半角正切公式的有理化：匕喧=愚=密

33.辅助角公式：asina+bcosa=Va2+b2sin(a+<p)(a,b不同时为0),其中tan(p=2

34.积化和差公式

cosacosp=1[cos(a+0)+cos(a—P)]；

sinasinp=—1[cos(a+0)—cos(a—P)]；

sinacosp=|[sin(a+0)+sin(a—P)]；

cosasinp=|[sin(a+B)—sin(a—P)].

35.和差化积公式

sina+sinp=2sin^^cos^^；

..cra+B.a—0

sina—sinp=2cos—Lsin—L；

a+Pa-p

cosa+cosp=2cos—rcos—r-

22

c.a+B.a-B

cosa—cosp=—2nsin—sin—

r22

36.配方变换公式:1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)2.

37.因式分解变换公式：cos2a=(cosa+sina)(cosa-sina).

.2tan1—tan2^2tan

38.万能公式：sina=-——七，cosa=-——日，tana=----仁.

l+tan2^1+tan2^1-tan2-

222

39.三角变换的核心思路：切化弦、弦化切、降幕、升幕、角的配凑.

40.角的配凑技巧：将未知角表示为已知角的和、差、倍、半，如a=(a+B)-0、

2a=(a+0)+(a—P).

41.三角函数式化简的原则：项数最少、次数最低、函数种类最少、分母不含三角函数.

42.三角函数式求值的类型：给角求值、给值求值、给值求角.

43.给值求角的步骤：先求三角函数值，再确定角的范围，最后求出具体角.

44.三角变换中符号的判断：结合角的范围和三角函数值的符号确定结果.

45.利用三角变换解决三角函数式的恒等证明：从一边推证到另一边，或两边同时推证到同一表达式.

46.辅助角公式的应用：将复杂三角函数式化为丫=Asin(a)x+(p)的形式，便于求性质.

三、解三角形

47三角形的内角和定理：A+B+C=m任意两角和为n减去第三角.

abr

48正弦定理：==,=擀=2R(R为三角形外接圆半径).

0111/4blllObill

49正弦定理的变形：(l)a:b:c=sinA:sinB:sinC

(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

(3)sinA=2，sinB=sinC=三

''2R2R2R

50余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC

51余弦定理的变形：cosA=4W,cosB=以产，cosC=

2bcZac2ab

52龟形面积公式：

illahr1

SAABcM^absinCn^bcsinAu^acsinBuz^MGS+b+cAr”是三角形内切圆的半径），并可

乙乙乙*1\4

由

可由此计算R、r.

速查04平面向量（26个核心考点）

一、平面向量

1.向量的定义：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长度）.

2.零向量：模为0的向量，记为0,方向任意，与任意向量平行.

3.单位向量：模为1的向量，任意非零向量都可以化为与其同向的单位向量.

4.相等向量：方向相同且模相等的向量，与起点无关.

5.相反向量：方向相反且模相等的向量，a的相反向量记为一a.

6.向量的加法：遵循三角形法则、平行四边形法则，满足交换律和结合律.

7.向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，遵循三角形法则.

8.向量的数乘：实数人与向量a的积为入a,模为I入Ha|，方向由人的符号决定.

9.向量数乘的性质:A（|ia）=（Aji）a；（A+p）a=Aa+网A（a+b）=Xa4-Ab.

10.向量共线的充要条件：非零向量a与b共线o存在唯一实数入，使得b=\a。

11.向量的数量枳：a-b=|a||b|cos0（。为a与b的夹角，0e[0,n]）,结果为实数。

12.数量积的性质：a-a=|a|2；a1b<=>a-b=0（a,b为非零向量）；|a-b|4|a||b|°

13.向量数量积的运算律：ab=ba；（入a）・b=入⑦心）=a•（入b）；（a+b）-c=a-c+b-Co

14.平面向量的坐标表示:若a=（xi，yi）,b=（x2,y2）,则a±b=（x】±x?,%±y?）。

15.向量数乘的坐标运算：入a=（Axi，入yi）；向量数量枳的坐标运算：a・b=x”？+yu?。

16.向量夹角的坐标计算公式：cos。=善宇学亏,a,b非零）。

Vx?+y?Vx!+yi

17.若a,b为不共线向量，则a+b,a-b是以a,b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图。

18.三点共线的等价转化

A,P,8三点共线0兄）=通（入。0）0而二（1一。&+1加（0为平面内异于八，P,B的任一

点，tE脓）<=>0P=xOA+yOB（0为平面内异于A,P,B的任一点，xWGLyeDLx+y=1）。

19.向量的中线公式

若P为线段AB的中点，0为平面内一点，则0P=5(0A+0B)。

20.三角形重心的向量式

在AABC中，三角形三边上的中线交于点G,G为AABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论:

TTT

①GA+GB+GC=0；

②TAG=1g(TAB+TAC)；

③GD=W(GB+GC)=7(AB+AC)

26O

21.向量模长不等式

对于任意两个向量a,b,都有||a|一|b||W|a±b|W|a|+|b|。

22.有关向量夹角的两个结论

已知向量a,b,则

①若a与b的夹角为锐角，贝g-b>0；若a-b>0,则a与b的夹角为锐角或0。

②若a与b的夹角为钝角，贝必<0；若a,b<0,贝必与b的夹角为钝角或“。

(3)向量a在向量b上的投影向量为需•4。

23.极化恒等式：

22

(1)向量通用形式：对任意平面向量Ib,有：a-b=4|a+b|-|a-b|]o

(2)平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方

差的今即：a.b=i[|AC|2-|DB|2

D_______

考

(3)三角形中点模型(高频核心)：在AABC中，M为BC中点，贝於

AB-AC=|AM|2-|BM|2=|AM|2-Q|BC|)

本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算.

③拓展：线段中点通用模型：对任意两点A、B,若M为线段AB中点，则对平面内任意点P,有：

PAPB=|PM|2-|AN1|2

24.矩形大法

矩形恒等式（核心）：若四边形ABCD为矩形，P为平面内任意一点，则:

|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2

拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”.

②衍生结论：在矩形ABCD中，龙角线相等且互相平分，即/=AB+AB,且|辰|=|而|,可快速转

化向量模长关系.

25.等和线

（1）基本原理与公式（熟记）

TTTTT

定义：设OA、0B为平面内一组不共线基底，若动点P满足0P=xOA+yOB（x,yeK）,则所有满

足K+y=入（入为常数）的点P构成的直线称为“等和线”.

（2）核心性质：

1.①当人=1时，等和线为直线AB（基底所在直线）；

2.②等和线与直线AB平行：入的绝对值与等和线到原点0的距离成正比；

3.③若两等和线关于原点对称，则对应的人互为相反数；

④若P在直线AB与原点之间，0＜入＜1；若原点在直线AB与等和线之间，入＞1或入＜0.

26.奔驰定理

奔驰定理是描述三角形内•点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，氏定理的向量

表达式结构对称，形似奔驰车标而得名.

（1）核心定理（三角形内部点）

O是4ABC内一点，且xOA+yOB+zOC=0,贝IJSABOC：SACOA：SAAOB=x:y:z

(2)奔驰定理推论：

0是△ABC所在平面内一点，且xok+yd8+z&：=：则：

SABOC$AAOC：SAAOB=x:y:zl.

SABOC_|X|S-AOC_IyIS-AOB_I7I

SAABCx+y+z'SAABCx+y+z'SAABCx+y+z

速查05复数(16个核心考点)

1.复数的定义：形如a+bi(a,bER)的数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位#二-1).

2.复数的分类：实数(b=0)、虚数(b=0),虚数中纯虚数(a=0且b*0).

3.复数相等的条件：a+bi=c+di(a,b,c,d£R)=a=<:且6=d.

4.虚数单位i的运算性质：i1=i,i2=-l,i3=-i,i4=1,周期为4.

5.复数的加法运算：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,遵循实数加法法则.

6.复数的减法运算：(a+bi)・(c+di)=(a—c)+(b—d)i,遵循实数减法法则.

7.复数的乘法运算：(a+bi)(c十di)=(ac-bd)十(ad十bc)i,类比多项式乘法展开.

8,复数的除法运算：分子分母同乘分母的共桅复数，将分母实数化.

9.共规更数的定义：a+bin勺共规及数为a-bi,共筑目数的实部相等，虚部互为相反数.

10.复数的模：|a+bi|=Va2+b2,表示复数对应的点到原点的距离.

—>

11.复数的几何意义：复数a+bi对应复平面内的点(a,b),也对应向量OZ(Z为(a,b)).

13.实数与复数的运算：实数与复数相乘，只需将实数与复数的实部、虚部分别相乘.

14..更数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值

一段地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos8+isine)的形式，其中，r是复数z的模；8是

—>—>

以X轴的非负半轴为始边，向量0Z所在射线(射线0Z)为终边的角，叫做复数2=2+片的辐角，我们规

定在

0<e<2TT范围内的辐角e的值为辐角的主值，通常记作argz.

15.复数三角形式的乘、除运算

若复数Zi=i*i(cos/+isin%),z2=r2(cos024-isin02),且ZiHz2,则

(I)ztz2=ri(cos£+isin0i)-r2(cos02+isin02)=r1r2[cos(01+02)+isin(6]+02)].

(2)^=『:七吸|=LL[coS(e1-02)+isin(e]一外)].

z2r2(cos02+ismO2)r2

16.复数的常用结论：

(1)(l±i)2=±2i；y^=i；三=7.

(2)i的周期性：i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i(nGN*).

22nn

(3)z-z=|z|=|z|,|zrz2|=Izj-lzzl，£=皆|z|=|z|.

速查06立体几何初步(42个核心考点)

一、空间几何体

1.空间几何体的分类：分为多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）.

2.棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多

面体.

3.棱柱的性质：侧棱都平行且相等，侧面都是平行四边形；两底面是全等的多边形.

4.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体.

5.棱锥的性质：侧棱交于一点，侧面都是三角形；底面是多边形.

6.棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.

7.棱台的性质：侧棱延长线交于一点，侧面都是梯形；两底面是相似多边形.

义圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.

9.圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体.

10.圆台的定义：川一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

11.球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，球的球心到球面上任意

一点的距离相等（均为半径）.

12.空间几何体的表面积与体积公式：

几何体表面积体积

V

柱体（棱柱和圆柱）s团目团二

=S01

Ssaa-1

锥体（棱锥和圆锥）

V=7K.

S团团团=1

V=7

台体（棱台和圆台）

+s图

+

S=4nl/

球V=7

J•

13.正多面体的定义：每个面都是全等的正多边形，且每个顶点处的棱数都相等的多面体，高考重点考查

正四面体、正方体.

二、空间点、线、面位置关系

14.斜二测画法：直观图与原平面图形面积间的关系：S团团团=乎S团团团，Sg）gg=2&S回眄

15.空间中两点之间的距离：连接两点的线段的长度，可通过空间直角坐标系求解.

16.空间中直线与直线的位置关系：平行、相交、异面，其中异面直线不共面，无公共点且不平行.

17.异面直线所成角的定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角

（或直角）叫做异面直线所成的角，范围为（0。,90。］.

18.空间中直线与平面的位置关系：平行、相交、直线在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外.

19.直线与平面平行的判定：平面外-条直线与平面内一条直线平行，则该直线与这个平面平行.

20.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线

与该直线平行.

21.直线与平面垂直的判定：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直.

22.直线与平而垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直：垂

直

于同一个平面的两条直线平行

23.直线与平面所成角的定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，范围为［0。,90。］,直线在平面内

或平行于平面时角为0°,垂直于立面时角为90。

24.空间中平面与平面的位置关系：平行、相交（相交时形成二面角）.

25.平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.

26.平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与笫三个平面相交，那么它们的交线平行；如果两个

平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.

27.平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

28.平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另

一个平面.

29.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.二面角的大小用其平面角衡量，范围为

［0°180°］.

30.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这

两条射线所成的角叫做一面角的平面角.

三、外接球与内切球

31.外接球的定义：一个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，这个球叫做该几何体的外接球，球心

为外接球球心，球心到各顶点距离均为外接球半径R.

32.内切球的定义：一个空间几何体的内切球与几何体的各个面都相切，球心为内切球球心，球心到各面

的距离均为内切球半径r.

33.二级结论（正方体）：正方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径区=与（a为正方体校

长）：内切球球心为体对角线中点，内切球半径r=*

34.二级结论（长方体）：长方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R=>2+；2+C2（a、bc

为长方体的长、宽、高），长方体一般无内切球（需满足a=b=c,即正方体时才有）.

35.二级结论（正四面体）：正四面体的外接球与内切球球心重合，外接球半径R=苧，内切球半径

r=^（a为正四面体棱长），且R=3r.

36.二级结论（直棱柱）：直棱柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，外接球半径

R=（r0为底面外接圆半径,h为直棱柱的高）.

37.二级结论（圆柱）：圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，外接球半径R=+1（r为圆

柱底面半径，h为圆柱的高）：圆柱无内切球（需满足直径等于高，即h=2r时才有内切球，半径r）.

38.二级结论（圆锥）：圆锥的外接球球心在圆锥的高所在直线上，设圆锥底面半径为人高为h,外接球

半径为R,则满足（R—h）2+=2=R2,解得R==JE

Zn

39.二级结论（楂锥）：有一条侧棱垂直于底面的棱锥，其外接球球心为底面外接圆圆心在垂直于底面方

向上的投影（与顶点连线中点），半径可通过勾股定理求解.

3V

40.内切球半径求解通用二级结论：任意多面体的内切球半径「二丁（V为多面体体积，S为多面体的表面

积】，适用于正多面体、直棱柱等可求表面积和体积的几何体.

41.外接球解题核心思路：先确定球心位置（通常在几何体的对称中心、高所在直线上），再通过勾股定

理建立关于R的方程，求解半径.

42.易错点：判断几何体是否有外接球（任意凸多面体都有外接球）、内切球（需各面到球心距离相等，

并丰所有几何体都有）.

速查07统计（9个核心考点）

一、随机抽样

1.简单随机抽样方法：抽签法和随机数法.

2.分层抽样：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.

二、用样本估计总体

3.频率分布直方图

（1）频率分布表的画法:

第一步：求极差，决定组数和组距，组距隼得

第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.

（2）频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图）

-

0.030-------------r-i

0.025--------------------

0.015-----------------------1

0.010---------------------

.1.LI_

O力强

频率

横轴表示样本数据，纵轴表示而诟，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.

4.样本的数字特征

（1）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.（2）中位数：把n个数据按大

小顺序排列，处于最中间位置的•个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.

（3）平均数：把为+二：…+an称为由,a2,…，an这n个数的平均数.

（4）标准差与方差：设一组数据x1，X2,X3,…，Xn的平均数为X,则这组数据的标准差和方差分别是

22

S=J：[（X1-x）2+（X2—X）+…+（xn-X）],

2222

S=；[（Xi-X）+（x2-X）+…+（xn-X）]

5.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系

（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.

（3）