人教版八年级数学下册期末测试卷（二）（原卷+解析）

人教版八年级数学下册期末测试卷（二）

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）已知同=5,^2=7,R\a+b\=a+h,贝U〃一方的值为（）

A.2或12B.2或-12C.-2或12D.-2或-12

2.（3分）一组数据3、2、1、2的方差是（）

A.0.25B.0.5C.1D.2

3.（3分）已知在四边形48。。中，43〃。。，添加下列-个条件后，一定能判定四边形力8。。

是平行四边形的是（）

A.AD=BCB.AC=BDC.NA=NCD.NA=N8

4.（3分）己知关于x的一次函数y=（9+1）x・2图象经过点A（3,m）、3（-1,〃）,

则小，〃的大小关系为（）

A.B.m>nC.mWnD.m<n

5.（3分）一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水

机，两台抽水机同时工作直到抽干.设从开始工作的时间为，，剩下的水量为s.下面能

反映s与/之间的关系的大致图象是（）

6.(3分)函数y=-^+(x-5)2中自变量X的取值范围是（)

Vx-3

A.%23且x#5B.x>3且xW5C.x<3且D.xW3且xW5

7.（3分）在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛

同学的得分情况如图所示.这些成绩的中位数和众数分别是（）

人数人

8.（3分）下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（）

A.1、V3B.贬、加、V5C.2、近、V5D.1、2、弧

9.（3分）如图，在矩形A8CO中，点M从点B出发沿8c向点C运动，点E、尸分别是

AM、MC的中点，则Er的长随着M点的运动（）

A.不变B.变长

C.变短D.先变短再变长

10.（3分）如图，在直角三角形A8C中，ZACB=90°,AC=3,8c=4,点M是边A8

上一点（不与点A,3重合），作MEJ_AC于点E,Mr_L5c于点尸，若点P是EF的中

点，则CP的最小值是（）

A.1.2B.1.5C.2.4D.2.5

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）计算（的+2）2的结果等于.

12.（3分）如图，把一张平行四边形纸片48。。沿BC对折，使点。落在E处，BE与AC

相交于点O,若NDBC=15°,则N8OC=度.

c

13.（3分）李刚师范大学毕业后参加了某市教育局组织的教师招聘考试，这次考试包括笔

试、面试两项，其笔试、面试成绩按3：7的比例确定各人的最终成绩.考试结束后他笔

试、面试的成绩分别为90分、96分，那么李愀参加这次招聘考试的最终成绩为

分.

14.（3分）已知直线〉，=奴+〃在y轴上的截距为3,且经过点（1,4）,那么这条直线的表

达式为.

15.（3分）如图，E,F,"分别是正方形48C。三边的中点，CE与DF交于N,连接AM,

AN,MN对于下列四个结论：①AM〃。凡®DFACE：③AN=BC：④NAND=NCMN.其

中正确的是.（填序号）

16.（3分）如图，在边长为6的等边△ABC中，。为AC上一点，AO=2,P为BD上一点、,

连接CP,以CP为边，在PC的右侧作等边△CPQ,连接AQ交8。延长线于E,当4

CPQ面积最小时，QE=.

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（8分）计算：

（1）V27--1V18-<12；

（2）收X郎+血：

（3）（V48-3V27）

18.（8分）元旦期间，小黄自驾游去了离家156千米的黄石矿博园，右图是小黄离家的距

离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象.

（1）求小黄出发0.5小时时，离家的距离；

（2）求出/W段的图象的函数解析式；

（3）小黄出发1.5小时时，离目的地还有多少千米？

19.（8分）如图，一次函数yi=-Lr+/”的图象与x轴和），轴分别交于点4和点以与正

2

比例函数”=一旦”图象交于点C（-2,〃）.

2

（1）求〃?和n的值；

（2）求△OAC的面积;

（3）问：在y轴上，是否存在一点P,使得若存在，直接写出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

20.（10分）如图，在口ABC。中，ZBAD,NAOC的平分线AF,分别与线段8C交于

点凡E,A/与OE交于点G.

（1）求证：AFVDE,BF=CE.

(2)若AQ=IO,A8=6,Ab=8,求。E的长度.

AD

21.（8分）某工厂生产某种产品，3月份的产量为6000件，4月份的产量为9000件.用简

单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别

绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界

值）.已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品.

（1）4月份随机抽取的若干件产品中位数在组：

（2）4月份生产的该产品抽样检测的合格率是；

（3）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？

某工厂4月份生产的某种产品检测

频综合得分的频数直方图

某工厂3月份生产的某种产品检测

200

情况的扇形统计图200

160

160

132

120

80

40

06070809010°综合得分（分）

22.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC,/ABC的角平分线交AC于点。，过点A作AE

交8Q的延长线于点E.

（1）若N84C=5（T,求NE的度数.

（2）若尸是上的一点，且求证：BF=DE.

23.（10分）（1）观察猜想:

如图1,在△ABC中，lanB=l,AB=AC=3,AO是NB4C的平分线，以CQ为一边作

正方形CDEF,点七与点4重合,

（2）类比探究：

在（1）的条件下，如吴正方形CDEF绕点、C旋转,连接8£、CE、AF,（1）中的结论是

否成立？请按图2加以证明.

（3）问题解决：

当正方形CDEF旋转到仄E、尸三点共线时，请直接写出线段A尸的长.

图2

备用图

24.（12分）如图，平面直角坐标系xOy中，直线），=-m+3交x轴于点A,交），轴于点8,

4

点P是线段OA卜一动点（不与点八重合）,过点P作干点C

（1）当点尸是04中点时，求△4PC的面积;

（2）连接BP,若8P平分N48。，求此时点P的坐标:

（3）设点。是工轴上方的坐标平面内一点，若以点O,B,C,。为顶点的四边形是菱

形，求点。的坐标及比时OP的长.

（备用图）

2021年人教版八年级数学下册期末测试卷（二）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）已知|〃|=5,而=7，且|。+加=。+乩则4-3的值为（）

A.2或12B.2或-12C.-2或12D.-2或72

【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求M小〃的值，然后把。，b的

值代入1+b|=a+b中,最终确定小一的值,然后求解.

【解答】解：・・・同=5,

.*.«=±5,

:后=7，

・•・/，=±7,

*：\a+b\=a+bt

a+b>0,

所以当a=5时，〃=7时，a-b=5・7=-2,

当。=-5时，〃=7时，a-b=-5-7=-12,

所以a-b的值为-2或-12.

故选：D.

【点评】此题主要考查了绝对值的意义：即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它

的相反数，0的绝对值还是0.也利用了算术平方根的定义.

2.（3分）一组数据3、2、1、2的方差是（）

A.0.25B.0.5C.1D.2

【分析】先求出这组数据的平均数，然后代入方差公式求出即可.

【解答】解：这组数据的平均数为：（3+2+1+2）+4=2；

则方差为：52=1[（3-2）2+（2-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（2-2）2]=TX2=^

dt3乙

故选:B.

【点评】此题主要考杳了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是

解决问题的关键.

3.（3分）已知在四边形ABCD^P，AB//CD,添加下列一个条件后，一定能判定四边形力8C。

是平行四边形的是（）

A.AD=BCB.AC=BDC.NA=NCD.NA=N3

【分析】利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可.

【解答】解：如图所示：・.,人8〃（7。，

AZS+ZC=180°,

当NA=NC时,则NA+N8=180°,

故AO〃8C,

则四边形ABCD是平行四边形.

【点评】此题主要考杳了平行线的判定与性质以及平行四边形的判定，得出是

解题关键.

4.（3分）已知关于x的一次函数y=（&?+］）x-2图象经过点A（3,〃?）、4（-1,〃），

则加，〃的大小关系为（）

A.m2〃B.m>nC.D.m<n

【分析】由偶次方非负可得出炉+1>0,利用一次函数的性质可得出y值随x值的增大而

增大，再结合3>-1可得出m>n,此题得解.

【解答】解：・・・920,

・・・9+1>0,

・•・），值随x值的增大而漕大.

又\・3>-1,

故选:B.

【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“Q>0,y随式的增大而增大；KV0,），随x

的增大而减小”是解题的关键.

5.（3分）一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水

机，两台抽水机同时工作直到抽干.设从开始工作的时间为f，剩下的水量为S.下面能

反映S与，之间的关系的大致图象是（）

【分析】根据抽水时间的增加，剩下的水量逐渐减少；停止时剩下的水量不变，两台抽

水机同时T作抽水速度增大.剩下的水量迅速减少，可得答案.

【解答】解：由题意，随着抽水时间的增加，剩下的水量逐渐减少；停止时剩下的水量

不变，两台抽水机同时工作抽水速度增大，剩下的水量迅速减少，可得答案.

故选：D.

【点评】本题考查了函数图象，利用抽水时间确定剩下的水量是解题关键，注意两台抽

水机同时工作的剩余水旱迅速减少.

6.（3分）函数5）―中自变量内的取值范围是（)

A.工23且x#5B.x>3且工了5C.x<3且x#5D.xW3且反5

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可

以求出x的范围.

【解答】解：依题意有％-3>0且X-5W0,

解得：A3且#5.

故选：B.

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围•般从三个方面考虑：

当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数：当球数表达式是分式时，考虑分式的分

母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

7.（3分）在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛

同学的得分情况如图所示.这些成绩的中位数和众数分别是（)

人数人

【分析】利用众数和中位数的定义求解.

【解答】解：98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分；

共有25个数，最中间的数为第13数，是96,所以数据的中位数为96分.

故选：A.

【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.也考查了中位数.

8.（3分）卜列各组线段中，小能构成直角三角形的是（）

A.1、&、V3B.加、加、V5C.2、心V5D.1、2、V3

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【解答】解：A、户+（加）2=（近）2,故能构成直角三角形；

B、（V2）2+（V3）2=（%）2,故能构成直角三隹形；

。、22+（V3）2/（V5）2,故不能构成直角三角形；

D.12+（V3）2=22,故能构成直角三角形.

故选：C.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角

形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

9.（3分）如图，在矩形ABCQ中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E、F分别是

AM、的中点，则£尸的长随着M点的运动（）

A.不变B.变长

C.变短D.先变短再变长

【分析】证明E尸为三角形AMC的中位线，那么E尸长恒等于定值AC的一半.

【解答】解:连接AC,如图所示：

■:E,尸分别是AM,MC的中点，

:.EF=1AC,

2

・・・c是定点，

•••AC是定长，

・•・无论M运动到哪个位置EF的长不变,

【点评】此题考查的是进行的性质、三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第

三边且等于第三边的一半.

10.（3分）如图，在直角三角形ABC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,点M是边AB

上一点（不与点A，8重合），作ME_LAC于点E,MF_L8C于点F,若点尸是七户的中

点，则CP的最小值是（）

A.1.2B.1.5C,2.4D.2.5

【分析】先由勾股定理求出A6=5,再证四边形CEM/是矩形，得E*=CM,当GW_L

A3时，CM最短，此时石厂也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM=2.4,即可

得出答案.

【解答】解：连接CM,如图所示：

VZACB=90°,AC=3,BC=4,

**-^=7AC2+BC2=732+42=5,

'：MELAC,MF±BC,ZACB=90°,

・•・四边形CEMb是矩形，

：.EF=CM,

・・•点P是EF的中点,

：,CP=^EF,

2

当CM_L八8时，CM最短，

此时E尸也最小，则CP最小，

△ABC的面积=L/6乂。加=24。><8。,

22

...CM=ACXBC=&iA=24

AB5

/.CP=^-EF=^CM=1.2,

22

故选：A.

A

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟

练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）计算（小2）2的结果等于7+4«.

【分析】根据完全平方公式可以解答本题.

【解答】解：（杼2）2

—3+4^/3+4

=7+4^，

故答案为：7+4时.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的

计算方法.

12.（3分）如图，把一张平行四边形纸片A8DC沿8c对折，使点。落在E处，8E与AC

相交于点O,若NO8c'=15°,则N3OC'=15()度.

【分析】由折叠易得/。。6=/。月。=15°,由平行四边形对边平行易得NAC8=NO8C

=15°,利用三角形内角和即可求得所求的角的度数.

【解答】解：••.△BEC是△8OC翻折变换的三角形，

:•丛BECm/\BDC,ZEBC=ZDBC=\5°,

*：AC//BD,

：・N0CB=NDBC=150,

AZBOC=1800-NOCB-NEBC=1800-15°-15°=150°.

故答案为150.

【点评】本题考查的是经过翻折变换后的图形与原图形全等的性质，及平行四边形的性

质.

13.（3分）李刚师范大学毕业后参加了某市教育局组织的教师招聘考试，这次考试包括笔

试、面试两项，其笔试、面试成绩按3：7的比例确定各人的最终成绩.考试结束后他笔

试、面试的成绩分别为90分、96分，那么李刚参加这次招聘考试的最终成绩为94.2分.

【分析】根据笔试和面试所占的权重以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即

可.

【解答】解：李刚参加这次招聘考试的最终成绩为9°X3+96义7=94.2（分）.

3+7

故答案为：94.2.

【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的

知识点是加权平均数.

14.（3分）已知直线），=奴+2在y轴上的截距为3,且经过点（1,4）,那么这条直线的表

达式为v=x+3.

【分析】根据“在y轴上的截距为3”计算求出人值，然后代入点（1,4）即可得解.

【解答】解：•・,直线产质+b在y轴上的截距为3,

**•b=3>

.\y=kx+3,

•・•经过点（1,4）,

.•・4=攵+3,

：.k=\,

・•・这条直线的解析式是y=x+3.

故答案是：y=x+3.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟

练掌握待定系数法是解题的关键.

15.（3分）如图，E,尸，M分别是正方形48CQ三边的中点，CE与DF交于N,连接AM,

AMMN对于下列四个结论：①AM〃C£：②。尸_LCE：③AN=BC；④/AND=/CMN.其

中正确的是一①②③.（填序号）

【分析】①通过证明匹边形AMCE是平行四边形，瓦得AM〃CE；

②由“SAS”可证△OCTg/XCBE,可得NBCE=NCDF,由直角三角形的性质可求NCNO

=90°；

③由直角三角形的性质可得DM=MN,由等腰三角形的性质可得AM垂直平分DN,可

得AN=AD=5C：

④由等腰三角形的性质和余角的性质可得N4QN=NQCN=/AND=NCNM,即可求解.

【解答】解：•・•£,F,M分别是正方形人8CO三边的中点，

：.AE=BE=BF=CF=DM=CM,CD//AB,

・•・四边形AMCE是平行四边形，

J.AM//CE,故①正确；

在△OC/和△C8E中，

[DC=BC

NDCF:NCBE，

lcF=BE

:.△DCF@/\CBE（SAS）,

：,NBCE=/CDF,

•：ZDCE+ZBCE=90,

AACDF+ADCN=W,

：・/CND=90°,

：・DFLCE,故②正确：

VDF1CE,DM=CM、

:,DM=MN=CM,

,:AMUCE、

：.AM±DN,

：.AM垂直平分DN,

：,AD=AN,

：.AN=BC,故③正确；

*：AN=BC,

；・4ADN=乙AND,

,:DM=MN=CM,

・•・/DNM=/NDM,4MCN=/MNC,

•：/ADN+/CDN=96：ZCDN+ZDCN=90°,

；・NADN=NDCN=ZAND=NCNM,故④错误，

故答案为；®®@.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及

垂直平分线的性质等知识.此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思

想的应用.

16.（3分）如图，在边长为6的等边aABC中，。为AC上一点，AD=2,P为BD上一点、,

连接CP,以CP为边，在PC的右侧作等边△CP。，连接AQ交4。延长线于E,当X

CPQ面积最小时，QE=_$ZZ_.

【分析】如图，过点。作O/<L3C'于"，由"SAS”可证△AC'Q0△8CP,可得AQ=3P,

ZCAQ=ZCBP,由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求

8P的长，由相似三角形的性质可求A£的长，即可求解.

【解答】解：如图，过点。作。AL3C于人

•:△ABC,△PQC是等边三角形，

：.BC=AC,PC=CQ,^BCA=ZPCQ=60°,

・・・NBC?=NACQ,且AC=8C,CQ=PC,

A(SAS)

：.AQ=BP,4CAQ=4CBP,

VAC=6,AD=2,

.\CD=4,

・・・NACB=60°,。产IBC,

AZCZ)F=30°,

.-.CF=ACD=2,DF=y/3CF=2^

2

；・M=4,

••即=办〃2+BF2=416+12=20,

•••△CPQ是等边三角形，

:・S&CPQ=返?p2,

4

・••当CP_LBO时，△CPQ面积最小，

・・・cosNC8Q=组里，

BCBE

.BP4

••--------------="9

6277

:.BP：'?叵,

7

：,AQ=BP=1<2^,

ZCA(2=NCBP,NAOSZBDC,

・•・AADESABDC,

・AEAD

••而而

・AE2

FW

・・・AE=^ZZ,

7

/.QF-AQ-AE=^2-.

7

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等这三角形的性质，锐角三角函数，相

似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出B尸的长是本题的关

键.

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（8分）计算：

⑴V27--1V18-V12：

⑵V24X^|^V18：

（3）（V48-3V27）-2近

【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式；

（2）按二次根式的乘除法法则计算求值即可；

<3）先算括号里面的，再除法运算.

【解答】解：（1）原式=3近-』X3加-2的

3

=V3-V2；

（2）原式=、24乂>18

—V2；

（3）原式=（4V3-9V3）+2加

276

=-^2.

4

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键.

18.（8分）元旦期间，小黄自驾游去了离家156千米的黄石矿博园，右图是小黄离家的距

离y（千米）与汽车行驶时间工（小时）之间的函数图象.

（1）求小黄出发0.5小时时，离家的距离；

（2）求出A3段的图象的函数解析式；

（3）小黄出发1.5小时时，离目的地还有多少千米?

【分析】（I）先运用待定系数法求出04的解析式，再将工=0.5代入，求出y的值即可;

（2）设AB段图象的函数表达式为y=3x+〃，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数

法即可求解：

（3）先将x=L5代入A8段图象的函数表达式，求出对应的y值，再用156减去），即可

求解.

【解答】解：（1）设0A段图象的函数表达式为_），=".

•・•当x=0.8时，），=48,

・・・0.8k=48,

，攵=60.

/..v=60.v(04W0.8),

・••当x=0.5时，y=60X0.5=30.

故小黄出发0.5小时时，离家30千米;

(2)设A8段图象的函数表达式为)，=&'"儿

VA(0.8,48),B(2,156)在A3上,

[0.8k’+b=48,

l2kz+b=156'

解得=90,

lb=-24

.,.y=90x-24(0.84W2)；

(3)•・•当x=1.5时，y=90X1.5-24=111,

/.156-111=45.

故小黄出发1.5小时时，离目的地还有45千米.

【点评】本题考杳了一次函数的应用及一次函数解析式的确定，解题的关键是通过仔细

观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，本题较简单.

19.（8分）如图，一次函数），1=・1+阳的图象与x轴和y轴分别交于点A和点8,与正

2

比例函数”=-浜图象交于点C（・2,〃）.

（1）求相和n的值;

（2）求△OAC的面积；

（3）问：在y轴上，是否存在一点P,使得SMCP=S&OAC?若存在，直接写出点。的

【分析】（1）直接利住待定系数法可先确定〃的值，然后再把C的坐标代入一次函数y

=--x+m可得m的值;

2

（2）首先确定4点坐标，进而可得40的长，再集合C点坐标可得△04C的面积；

（3）根据题意可得以BCP=2PB・kd=SaQAC=6,解出的值，进而可得。点的坐标.

2

【解答】解：（1）•・•点。（-2,〃）在正比例函数），2=图象上，

2

・•・〃=-3x（-2）=3,

2

・••点C的坐标为（-2,3）.

•・•点。（-2,3）在一次函数y=的图象上，

.*.3=--X（-2）+怙解得：机=2,

2

・•・一次函数解析式为），=・/x+2.

・•・〃？的值为2,〃的值为3.

（2）当），=0时，0=-~kr+2,解得x=4,

2

・••点。的坐标为（4,0）,

・•・S^OAC=—OA•yc=—X4X3=6.

22

（3）存在.

当x=0时，y=-—x+2=2,

2

・・・B（0,2）,

丁S“CP=2P8・|xd=S△。八。=6,

2

・・・2PB・2=6,

2

:・PB=6,

・••点P的坐标为（0,8）或（0,-4）.

【点评】此题主要考查了两直线相交问题，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握

凡是函数图象经过的点必能满足解析式.

20.（10分）如图，在。/WCO中，/BAD,NAOC的平分线4F,OE分别与线段交于

点F,E,A”与。E交于点G.

（1）求证：AFLDE,BF=CE.

（2）若AO=10,A8=6,AF=8,求OE的长度.

【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到/84。+/4。。=180。；然后

根据角平分线的性质推知/。4七+/4。/=工/胡。+2/4。。=90°,即NAGO=

22

90°.证得/明尸=/4五从由等腰三角形的判定可得出AB=8F,同理可得CD=CE,

则可得出结论；

（2）过点。作CK〃力尸交A。于K,交DE于点I,证明四边形A广CK是平行四边形，

NAGQ=NK/Q=9（）°,得出A/,'=C'K=8,由勾股定埋求出。/,则可得出答案.

【解答】（1）证明：在平行四边形A8CO中，AB//DC,

：.ZBAD+ZADC=\SO°.

VAE,。r分别是NZM。，NAQC的平分线，

・•・ZDAE=NBAE=L/BAD,ZADF=ZCDF=^ZADC.

22

AZDAE+ZADF=AZBA£>+AZ^DC=90C.

22

AZAGD=90°.

：.AEA.DF,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,AB=CD,

：.ZDAF=ZAFB,

又・・・/。八尸=/孙凡

：.ZBAF=ZAFB,

：・AB=BF,

同理可得CD=CE,

：・BF=CE；

（2）解：过点C作CK〃人产交AO于K,交DE于点I,

*：AK//FC,AF//CK,

二四边形人尸CK是平行四边形，NAGD=NKID=90：

・"QCK=8,

•・・NKO/+NOK/=90°,ZD/C+ZDC/=90°,/IDK=NIDC,

：.ZDKI=ZDCI,

:,DK=DC=6,

:,KI=CI=4,

•:AD"BC,

NADE=NDEC=4CDE,

：.CE=CD,

'：CILDE,

:・E1=D1,

•・•DI={cd-C12=4r_42=2正,

:,DE=2DI=4近.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性

质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

21.（8分）某工厂生产某种产品，3月份的产量为6000件，4月份的产量为9000件.用简

单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别

绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界

值）.已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品.

（1）4月份随机抽取的若干件产品中位数在80VxW90组:

（2）4月份生产的该产品抽样检测的合格率是一98.4%；

（3）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？

某工厂4月份生产的某种产品检测

综合得分的频数直方图

【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据，可以得到4月份随机抽取的若干件产品中

位数在哪一组；

<2）根据频数分布直方图中的数据，可以得到4月份生产的该产品抽样检测的合格率；

（3）根据统计图中的数据，可以分别计算出3月和4月不合格的件数，然后比较大小即

可解答本题.

【解答】解：（1）4月份随机抽取的产品数为：8+132+160+200=500,

则4月份随机抽取的若干件产品中位数在80<%<90这一组，

故答案为：80VA<90；

(2)4月份生产的该产品抽样检测的合格率为：132+160+200XIOO%=98.4%,

500

故答案为：98.4%；

(3)4月的不合格件数多，

理由：由题意可得，

3月的不合格件数为：6000X2%=120,

4月的不合格件数为：900()X(I-98.4%)=144,

V144>120,

・・・4月的不合格件数多.

【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是

明确题意，利用数形结合的思想解答.

22.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,NA8C的角平分线交AC于点。，过点A作AE

交8。的延长线十点£.

(1)若N84C=50°,求NE的度数.

(2)若尸是OE上的一点，且人。=人尸，求证：BF=DE.

【分析】(1)根据等腰三角形两底角相等，已知顶凭，可以求出底角，再根据角平分线

的定义求出NC8。的度数，最后根据两直线平行，内错角相等求出；

(2)根据A4S先证明A4B。空△4EF,根据全等三角形的对应边相等得出8。=",再

根据等式的基本性质证出BF=DE.

【解答］解：<1>*：AB=ACt

：,ZABC=NACB,

VZB4C=50°,

AZABC=­(180°-ZBAC)=65°,

2

•・・B。平分NABC,

・•・NC8O=2NA8C=32.5°,

2

■:AEHB3

・・・NE=NC8Z)=32.5°.

(2)・・・BD平分NABC,

Z.NABD=NCBD,

■:AE//BC,

；・NAEF=NCBD,

・•・NABD=NAEF,

'：AD=AF,

；・ZADF=ZAFD,

•.•/4。8=180°-ZADF,NA/E=180°-ZAFD,

・•・NADB=NAFE,

在△ABO与△?1£：/中，

rZADB=ZAFE

<NABD=NAEF，

AB=AE

•••△ABO/△AMCAAS),

:・BD=EF,

：.13D+DF=EF+DF,

:.BF=DE.

【点评】本题考杳了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等,

考核学生的推理能力，证明三角形全等是解题的关键.

23.(10分)(1)观察猜想：

如图1,在△ABC中，tan8=l,AB=AC=3,4。是N84C的平分线，以CQ为一边作

正方形COE凡点E与点A重合，则理=_去_.

AF-

(2)类比探究:

在(1)的条件下，如具正方形CDEF绕点、C旋转,连接CE、AF,(1)中的结论是

否成立？请按图2加以证明.

(3)问题解决：

当正方形COE尸旋转到仄E、尸三点共线时，请直接写出线段A尸的长.

A

【分析】（1）先判断出△ABO为等腰直角三角形，进而得出43=d永。，即可得出结论；

（2）先利用三角函数得出空0,证明夹角相等即可得出△AC”saBCE,进而得出

CECA

结论：

（3）分两种情况计算，当点E在线段8r上时，如图3,先利用勾股定理求出£尸=。尸

=。。=2返，8”=亚，即可得出BE的长，借助（2）得出的结论，当点七在线段

22

8户的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论.

【解答】解•：（1）些=加，理由是：

AF

在RtA/\BC中，AB=AC,

根据勾股定理得，BC=&AB，

又•・•点。为BC的中点,

：,ADLBC.

・・・A8=V5A。，

•・•四边形COE/是正方形，

：,AF=EF=AD,

:・AB=4^F,即理=加，

AF

故答案为：V2：

（2）（1）中的结论成立.

证明：*/tanU=1»

，N/WC=45°,

*：AB=AC=3,

・・・NA8C=NAC8=45°,

・・・NB4C=90°,

/.sin45°=亚工4,

2CB

・CB

,•不心r

•・•四边形CDE”是正方形,

AZFFC=45°,

.\sin450=V2=CF

・CF_CA

••---=--9

CECB

'：/FCA=/ECB,

/.XACFsXBCE,

.BEJB;

**AF"CAW2

盟翘或延至

2-2

如图2,当点E在线段8/上时,

图2

由（I）知CF=EF=CD=^^,

•・•在RtZ\8Cb中，CF=^~^,03=3^2,

2

・•・B”=寸B《2—cF2=

乙

:.BE=BF-E尸=冬至冬叵=

222

由（2）知型幼，

AF

:.BE-yj~2AF,

...39-3也=小尸,

2

：.AF=^~3,

2

如图3,当点E在线段8/的延长线上时，同理可得BE=BF+EF=诉+电,

A

图3

乙

・"尸=设1%

2

综上所述，当正方形CDEF旋转至qB,E,r三点共线时，线段A尸的长为延0或之叵心

22

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角