八年级上册数学【浙教】第一次月考B卷（考试版+解析）

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考

B卷•重点难点过关测

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上c

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：第1章.第2章逆命题和逆定理。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知三角形的两条边长分别是3和5,且第三边的长为整数，那么第三边的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

2,下列定理中，逆命题是假命题的是（）

A.在一个三角形中，等角对等边

B.全等三角形对应角相等

C.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

D.等腰三角形两个底角相等

3.某班学生对三角形内角和为180。展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明△48C的内角

B.延长8c至U点。，过点C作CE||AB

D

c.过点A作AO1BC于点D

h

4.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将

其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）

带②去C.带③去D.①②③都带去

5.如图，在四边形48co中，连接4C,BD,若AABC是等边三角形，AB=BD,乙480=20。，则

/BDC的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.75°

6.如图，0G平分/M0N,点力,8是射线OM,ON上的点，连接AB.按以下步骤作图:

①以点8为圆心，任意长为半径作弧，交于点C,交BN于点、D；

②分别以点C和点。为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于•点E；

③作射线的，交0G于点P.若“ABN=140。,/M0N=50。，则NOPA的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

7.如图，中，AB=AC,AD±DE_L4®于点E,笈尸_L于点凡DE=3cm,则

BF=()cm.

A.4.8B.6C.5D.6.4

8.如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC,△AC。，xEFG,&EGH.已知/AC8=NCAO=

/EFG=/EGH=7U。,/BAC=NACD=NEGF=NEHG=50。,则叙述正确的是()

A.甲、乙全等，丙、丁全等B.甲、乙全等，丙、丁不全等

C.甲、乙不全等，丙、丁全等D.甲、乙不全等，丙、丁不全等

9.如图所示，锐角^ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，△ADCg^ADO,^AEB四

且CD〃EB,"BC,BE、CD交于点F,若NBAC=40。，则NBFC的大小是（）

A.105°B.100°C.110°D.115°

10.如图，等腰内△力BC中，AC=90°,ADIBC于。，48C的平分线分别交4C、AO于七、F

两点，M为EF的中点，延长4M交8c于点N,连接DM、MC;下列结论：®DF=DN；②AABM为

NBM；③ACMN是等腰三角形；④AE=CN；其中正确的结论个数是（）

B

\\D

N

AEC

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题:本大题有6个小题，每小题4分，共24分.

11.把命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”改写成"如果……，那么...”的形式

为：•

12.如图，是一个3X3的正方形网格，则N1+N?+N3+/4=.

13.如图，在等边三角形A8C的边48,4c上各取一点D,E,连接CD,BE交于点F,使4EFC=

60。，若BD=1,CE=2，则BC长度为.

14.如图，已知△48C,z_BAC=70%ZABC=46°,若BE平分匕ABC，CE平分外角44c。，连接

AE,贝IJ/4EB的度数为.

15.如图，△480和△4CE分另!是等边三角形，AB工AC,下列结论中(1)DC=BE,12)

乙800=60。，(3)LBDO=LCE0>(4)。4平分NOOE，(5)4。平分/B4C.正确的有

(填序号).

16.已知正AABC的边长为1,点P,点。同时从点A出发，点P以每秒1个单位速度沿边A8向点B运

动，点。以每秒4个单位速度沿折线4-C-B-A运动，当点。停止运动时，点尸也同时停止运动.在

整个运动过程中，若以点A,B,C中的两点和点。为顶点构成的三角形与全等，运动时间为/

秒,则,的值为

三、解答题:本大题有7个小题，第17题6分，第18・19每小题8分，第20・21每小题10分，第22-23每小题12

分，共66分.解答写出文字说明，证明过程或演算步既.

17.(6分)如图，点E,尸在直线8C上，AB=DF,△/!=〃，4B=/F.求证：BC+BE=BF.

18.(8分)如图，方格中每个小正方形的边长均为1,仅用无刻度的直尺按要求画图.

(1)在图I中，已知线段且人，9为格点，画一个以49为底边的等腰要求顶点C是格点.

(2)在图1中4力8c的面积为.

(3)在图2中画△A8C的中线AE.

19.(8分)如图，在AABC中，。，E分别为8C,4c边上一点，连接力。，DE,BE,过点£向作

垂线，交8A的延长线于点E己知力E平分/ZX4F.晅平分乙48C,2AB=3AD.

(1)求证：OE平分4DC;

⑵若=3,CD=7,S^=求

ABEo

20.(10分)如图，在△A8C中，AC=BC,4ACB=90。，点。为448。内一点，且80=49.

(1)求证：CD1AB；

(2)NC4O=15。，E为力。延长线上的一点，且CE=C4.

①求证：0E平分NBOC；

②若点M在0E上，且DC=OM.请判断ME、80的数量关系，并给出证明;

21.(10分)已知△ABC和aADE是一对共顶点的等腰直角三角形，LEAD=^CAB=90%连接

CE,BD.

(1)如图1,求证:LACE=^ABD；

⑵如图2,点8在线段OE上(不与端点。，E重合)4E和8c交于点G,且ACGE为等腰三角形，求

NCAG的度数;

(3)如图3,若乙480=90。，点尸是线段8C,DE的交点，求证：点尸是DE的中点.

22.(12分)【基础巩固】

(1)如图1,在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,LBAC=zME，求证：△AEC三4

ADB；

【尝试应用】

(2)如图2,在△4BC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,Z.BAC=Z-DAE=90°>B、D、E三点在

一条直线上，AC与BE交于点、F,若点F为AC中点,

①求/8EC的大小；

②CE=2，求△ACE的面积；

【拓展提高】

(3)如图3,△48C与△ADE中，AB=AC,DA=DE,加C=ZAPE=90°,BE与CA交于点F,

DC=DF,CD1DF,ABCF的面积为18,求AT的长.

23.（12分）（1）如图1,在△AAC中，。是8C的中点，过Q点画直线EF与4c相交于E,与A8的延长

线相交于凡使BF=CE.

①已知△CQE的面积为1,AE=kCE,用含2的代数式表示MBZ）的面积为—；

②求证：△AEF是等腰三角形；

（2）如图2,在△A8O3若N1=2N2,G是aABC外一点，使N3=N1,A〃〃BG交CG于“，且/4

=/BCG-N2,设NG=x,ZBAC=y,试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3,在（1）、（2）的条件下，△AFO是锐角三角形，当NG=100。，AO=。时，在AO上找

一点P,人下上找一点Q,上找一点用，使的周长最小，试用含a、帕勺代数式表示△PQ/W周长

的最小值—.（只需直接写出结果）

图1图2图3

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考

B卷•重点难点过关测

注意事项：

I.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅第把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：第1章-第2章逆命题和逆定理。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题

1.已知三角形的两条边长分别是3和5,且第三边的K为整数，那么第三边的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范

围：再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值.

【解析】解：设第三边为Q,根据三角形的三边关系，得：5—3VQV3+5,即2VQV8.

。为整数，

•x的最大值为7.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，求不等式组整数解,关键知道三角形的任何一边大于其他

两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形.

2.下列定理中，逆命题是假命题的是（）

A.在一个三角形中，等角对等边

B.全等二角形对应角相等

C.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

D.等腰三角形两个底角相等

【答案】B

【分析】先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可.

【解析】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；

8、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；

C、逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于6（）。，

逆命题正确，是真命题;

。、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题;

故选：B.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题.

3.某班学生对三角形内角和为180。展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明△力BC的内角

和为180。的是（）

B.延长8c到点过点C作CEIIAB

过点A作AO1BC于点D

D.过BC上一点。作DE||AC,DF||AB

H

【答案】C

【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解

决此题.

【解析】解：A、由40||8C,则4010=乙C,々BAD+/B=180°.由=

180%得/B4C+NC+=180。，故符合题意.

B、由CEIIA8,则44=NB=/DCE.由々4CE+乙ECO+44cB=180°,得4+/B+

NACB=180%故符合题意.

C、由4。1BC于D,贝吐40c=乙ADB=90。，无法证得三角形内角和是180。，故不符合题意.

D、lIWE||AC,得乙FDE=4BED,乙4=48£。，则NF£)£=ZA.FflDF||AB,得4尸0。=48,

/C=NBDE,由/BOE+4EOF+/"0C=180。，得/C+/4+夕=180°,故符合题意,

故选：C.

【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决

本题的关键.

4.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将

其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）

A.带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去

【答案】B

【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证.

【解析】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带

它们去,

只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的.

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定.判定两个

三角形全等的一般方法有：sss、SAS、ASA、AAS-

5.如图，在四边形4BCD中，连接力C,BD,若△4BC是等边三角形，AB=BD,乙48。=20。，贝U

的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.75°

【答案】C

【分析】根据等边三角形的性质可得48=BC,^ABC=60%根据已知条件可得4CBC的度数,

BD=8C,再根据等腰三角形的性质可得NBOC的度数.

【解析】解：在等边中，AB=BC/ABC=60。，

•：AB=BD,ZABD=20%

:•BD=BC,^CBD=60°-20°=40°,

•••/BDC=（180。-40。）+2=70。，

故选：C.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.

6.如图，0G平分/MON，点48是射线OM,ON上的点，连接A8.按以下步骤作图:

①以点8为圆心，任意长为半径作弧，交48于点C,交BN千点、D；

②分别以点C和点。为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E;

③作射线防，交0G于点P.若UBN=140。,“ON=50。，则NO尸8的度数为()

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】B

【分析】根据条件可知BP平分Z4BN,则可求出aPBN,根据OG平分4MON求出/BOG，进而利用

ZPBN=/POB+N0PB即可求出答案.

【解析】由作法得8P平分

/.NPBN=:NABN=：x140。=70°,

22

TOG平分/MON,

NBOP=-/NOM=-x50°=25°,

22

•：NPBN=NPOB+/OPB,

:.NOPB=/PBN-NPOB=70。-25。=45。.

故选B.

【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线

是解题的关键.

7.如图，△ABC中，4B=4C,AD1BC于。点，DE1AB于点E,8F14C于点凡DE=3cm,贝lj

BF=()cm.

c

A.4.8B.6C.5D.6.4

【答案】B

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，三角形面积公式计算即可.

【解析】解：••,△48C中，=

・・・A0是AABC的中线，

•・SAABC=2s4ADB=2x^BAxDE=348,

•・・SAA“C=；/CxBF,

：.\ACxBF=3AB,

2

•；AB=AC,

,9=3，

=6.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形面枳公式，熟练掌握性质是解题的关键.

8.如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示AABC,aCD,AEFG,&EGH.已知NAC8=NCAO=

NEFG=NEGH=7a。,NBAC=NACD=NEGF=NEHG=5。。,则叙述正确的是（）

A.甲、乙全等，丙、丁全等B.甲、乙全等，丙、丁不全等

C.甲、乙不全等，丙、丁全等D.甲、乙不全等，丙、丁不全等

【答案】B

【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等.运用判定定理解答.

【解析】解：VZACB=CAD=70°,ZBAC=ZACD=50°,AC为公共边，

AAABC^AACD,即甲、乙全等；

△EHG中，ZEGH=70VZEHG=50°,即EHREG,

虽NEFG=NEGH=70。，ZEGF=ZEHG=50°,

•••△EFG不全等于AEGH,即丙、丁不全等.

综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，

故选：B.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力.判定两个三角形全等的一

般方法有：SSS、SAS、AAS.HL.找着NEGH=70¥/EHG=50。，即EH，EG是正确解决本题的关

键.

9.如图所示，锐角ZiABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，AAEB^A^S

凫CD//EBRBC,BE、CD交于点F,若NBAO40。，则NBFC的大小是（）

A.105°B.100°C.110°D.115°

【答案】B

【分析】延长CD交AB，于H.利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明N

BFC=ZC,+ZAHC,+ZCAD,再求出NC+NAHC即可解决问题.

【解析】解：延长CD交AB，于H.

VAAEB^AAEB\

.,.ZABE=ZB\ZEAB=ZEAB,=40°,

:C'H〃EB，，

/.ZAHC,=ZB/,

:△ADC丝△ADC,

/.ZC=ZACD,ZDAC=ZDAC'=40°,

VZBFC=ZDBF+ZBDF,ZBDF=ZCAD+ZACD,

・•・ZBFC=ZAHCr+ZC+ZCAD,

丁ZDAC=ZDAC=ZCABr=40°,

.,.ZCAH=120°,

・・・NC+NAHC=60。，

.•.ZBFC=60°+40°=100°,

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性

质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键.

10.如图，等腰RtZiABC中，£BAC=90°,AD1BC于。,乙4BC的平分线分别交AC、AD于E、尸两

点，M为EF的中点，延长AM交BC于点M连接0M、MC.x下列结论：①DF=DN：②△A8M三4

NBM；③△CMN是等腰三角形；④AE=CW：其中正确的结论个数是（)

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】利用ASA证明△/8。三△M4D得到DF=DN即可判断①；根据ASA证明△A8M*N8M即

可判断②；得到/M=MN,再证明△AFBGCM4得到AF=CN,进一步证明4E=CN,即可判断

④；再由4E>4M,得到CN>AM=MN,又乙MNC是钝角，则△CMN不是等腰三角形，即可判断

③.

【解析】解：：ZBAC=90°,AC=AB,AD1BC,

:.ZABC=ZACB=45。，/ADN=ZADB=90。，AD=BD=CD,

/BAD=45°=NCAD,

•BE平分/ABC,

ZABE=NCBE=gZABC=22.5。，

2

AZBFD=^AEB=90°-22.5°=67.5°,

ZAFE=/BFD=ZAEB=67.5。，

：.AF=AE,

“为E尸的中点，

AM1BE,

•••^AMF=ZAME=90°,

/DAN=90。-67.5。=22.5°=NMBN,

(NFBD=/NAD

在AFBO和△N4O中，{BD=AD,

{^FDB=ZNDA

FBD=△NAO(ASA),

:.DF=DN,故①正确；

(ZABM=/NBM

在△力BM和ZkNBM中，(BM=BM,

(NAMB=NNMB

A△ABMNBM(ASA)，故②正确；

：.AM=MN,

vAD1BC,AD=CD,

4AD=45。，

,:AF=AE,

・•・/CAN=22.5。，

•••^ABF=/CAN,

ZABF=/CAN

AB=CA,

(ZBAF=ZACN

AFB=△CN4(SAS)，

:.AF=CN,

-AF=AE,

AE-CN,故④正确；

VAE>AMt

：.CN>AM=MN,

又T/MNC是钝角，

•••△CMN不是等腰三角形，故③错误；

故选：C.

【点睛】本题考杳了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知

识点，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键.

二、填空题

11.把命题”线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”改写成“如果……，那么……”的形式

为：■

【答案】如果一个点在线段的垂直平分线上，那么该点到线段两端的距离相等.

【分析】根据线段垂直平分线的性质按照命题的形式改写即可.

【解析】如果一个点在线段的垂直平分线上，那么垓点到线段两端的距离相等

故答案为：如果一个点在线段的垂直平分线上，那么该点到线段两端的距离相等.

【点睛】本题考查了命题的相关问题，掌握命题的形式和方法是解题的关键.

12.如图，是一个3x3的正方形网格，则Nl+N?+N3+4=.

【答案】180。/180度

【分析】根据三角形全等求出和N4的数量关系以及42和N3的数量关系，即可求出四个角之和.

【解析】解：如图所示，

AC=ED

在太△力8c中和R48ED中，/4=4=90。，

AB=BD

ABC*DBE(SAS).

••・Z4=/BED,

•••/I+/BED=90。，

•••+4=90°.

同理可证：N2+N3=90°.

•••Nl+N2+N3+2=90。+90°=180°.

故答案为：180。.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的性质以及观

察图形分析出相等的边长和角度.

13.如图，在等边三角形ABC的边48,4c上各取一点D,E,连接CD,BE交于点F,使4“C二

60。，若80=1，CE=2,贝1J8C长度为.

A

E

\

长----------~^C

【答案】3

【分析】由等边三角形的性质得出力B=CB,z/1=AABC=60°,根据条件得出々/BE=4BCG证

明AA8E三ABC。64SA),由全等三角形的性质得出＞4E=BO,则可得出结论.

【解析】解：,••△A8C为等边三角形，

-'-AB=CB,4=NABC=60。，

AZABE+ZCBF=60。，

XVZEFC=NCBF+ZBCF=60°,

：-ZABE=NBCF，

(ZA=ZDBC

在△力BE和△BCD中，|AB=CB,

{^ABE=/BCD

/.△ABE=△BCD(ASA)，

：.AE=BD,

=AC=AE+CE=DB+CE=1^2=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△48E三△BCD是解题的

关犍.

14.如图，已知△ABC,^BAC=70%ZA4C=46。，若跖平分心ABC,CE平分外角〃CD，连接

AE,则4EB的度数为.

【答案】32。##32度

【分析】过点E作石/于点F,作EGJLAC于点G,作EH工BA于点H,得到乙EB4=二

23。，4E是乙的平分线，求出NK4H=g/c47/=55。，再利用三角形外角性质求出答案.

【解析】解：过点E作石/_1_4。于点F,作EGJL4C于点G,作于点H,

,/△4BC的外角乙AC。的平分线CE与内角4BC平分线BE交于点E,

；・EH=EF,EG=EF,^EBA=*^ABC=23°,

2

：.EG=EH,

・・・4E是NC4H的平分线，

VZBAC=700,

:・NCAH=110%

AZEAH=i^CAH=55°.

2

***ZEBA+ZAEB=ZEAH

:・NAEB=ZEAH-NEBA=55°—23。=32。

故答案为:32。.

【点睛】此题考查了角平分线的性质定理及判定定理，三角形外角性质定理，熟记三角形角平分线

的性质定理是解题的关键.

15.如图，△ABD和△4CE分别是等边三角形，AB^AC,下列结论中(1)DC=BE,：2)

4800=60°,(3)LBDO=ZLCEO,(4)。4平分乙。。氏(5)40平分正确的有

(填序号).

【答案】(1)(2)(4)

【分析】根据等边三角形的性质推出4。=4-AE=AC,NA08=NABAA60。，ND48=NEAC=60°,

求出NDAON/ME,根据SAS证△D4C0推出8E=OC,NADONABE,根据三角形的内角

和定理求出N8OZ>18()o-NOO&NO84-/A8E=60。，根据等边三角形性质得出/4O8=NAEC=6()。,

但/AOC/AEB,过点A分别作AM_LBE,AN1DC,垂足为点M,N.根据三角形的面积公式求出

AN=AM,根据角平分线性质求出即可，根据以上推出的结论即可得出答案.

【解析】解：•••△A8D与"EC都是等功三角形，

：.AD=AB,AE=AC,NADB=NABD=60。,ZDAB=ZEAC=60°f

：.ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBACt

：.ZDAC=ZBAE,

(AD=AB

在ADAC和△BAE中，\ZDAC=/BAE,

14c=AE

•二△OAC丝△RAE(SAS),

：.BE=DC,/ADC=NABE,

丁ZBOD=\80°-ZODB-ZDBA-NABE

=180。-Z008-60。-ZADC

=120°-(ZODB+ZADC)

=120°-60°=60°,

・・・/8。。=60。，J①正确；②正确；

AAB。与AAEC都是等边三角形，

.♦・/4。8=NAEO60。，但根据已知不能推出NAOL/4E用

・・・N8DO=NCEO错・误，・••③£昔误；

如图，过点A分别作AM_LBE,AN上DC,垂足为点M,N.

•・•由(1)知：AABE咨△AOC,

：,SAABE=S^ADCf

：.-BE-AM=-CD-AN,

22

：.AM=AN,

・••点A在N。。石的平分线上，

即。A平分/。。£故④正确，⑤错误；

故答案为：(1)(2)(4).

【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的

内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

16.已知正的边长为1,点P,点。同时从点A出发，点P以每秒1个单位速度沿边4B向点8运

动，点。以每秒4个单位速度沿折线A-C-8-A运动，当点。停止运动时，点P也同时停止运动.在

整个运动过程中，若以点A,B,。中的两点和点。为顶点构成的三角形与△P4C全等，运动时间为，

秒，则f的值为

c

【答案】（或;或I或I或I

【分析】分三种情形：当点。在AC上时，当点Q在8cL时，有两种情形，CQ=AP或8Q=PA满足条

件，当点。在84上时，。与尸重合或AP=Q8满足条件，分别构建方程求解即可.

【解析】解:当点。在AC上时,CQ=PA时,ABCQ/ACAP,AP=tfAQ=4tfCQ=l-4t；

此中=1・43解得

当点Q在8c上时，有两种情形，CQ=AP时，△ACQg/XCAP,AP=t,CQ=4t-1,8。=24；

.*.4/-\=t,解得，=；；

6Q=FA时，△ABQgZXCAP,

A2-4r=r,

解得f=j

当点。在BA上时，有两种情形，。与P重合，△ACgXNCP,AP=tfAQ=34,BQ=4t-2；

Ar=3-4/,解得/=：；

J

AP=Q8时，&ACPQ4BCQ,

f=4f・2,

解得f=g，

综上所述，满足条件的，的值为g或;或|或|或g,

故答案为:黑［或涎涎：.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的

思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

三、解答题

17.（6分）如图，点E,产在直线8c上，AB=DF,=",乙B=（F.求证：BC+BE=BF.

【答案】见解析

【分析】根据已知条件，证明根据全等三角形的性质可得=,再由^。一

EC=EF—EC,即可得8E=CF.再由8C+C尸=8凡继而得到8C+BE=8F.

2=ND

【解析】在△4BC与中，＜AB=DF,

、NB=NF

△ABC三△/）/£*（ASA）,

：.BC=EF,

：.BC-EC=EF—EC.

即BE=CF,

•:BC+CF=BF,

:・BC+BE=BF

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法.

18.（8分）如图，方格中每个小正方形的边长均为1,仅用无刻度的直尺按要求画图.

图1图2

⑴在图1中，已知线段48,且4,8为格点，画一个以A8为底边的等腰△48C,要求顶点C是格点.

（2）在图I中44BC的面积为.

（3）在图2中画△/8C的中线4E.

【答案】（1）见解析

（2）|

⑶见解析

【分析】（1）根据等腰三角形的定义画图即可；

（2）杷三角形的面积看成矩形的面积减去周闱的三个三角形面积即可：

（3）先根据矩形的性质确定8c的中点，再根据三角形的中线的定义画图即可.

【解析】⑴解：如图：dBC即为所求.

图1

（2）解：图1中的面积为=2x3-；xlx2-；xlx2-：xlx3=，

（3）解：如图：线段力E即为所求.

【点睛】本题主要考查作图与设计作图、三角形的面积、三角形的中线等知识点，解题的关键是学

会利用数形结合的思想解决问题.

19.（8分）如图，在△48C中，D,E分别为8C,AC边上一点，连接A。，DE,BE,过点E向48作

垂线，交的延长线于点F.已知4E平分尸.晅平分乙48C，2AB=3AD.

F

（1）求证：DE平分Z40C；

（2）若4。=3,CD=7,S=求九.

LABEoSM

【答案】（1）见解析

喈

【分析】（1）过E点分别作EM148于W,EN工BC于N,根据角平分线的性质得出EF=EN,进而

得出EM=EN,根据角平分线的判定即可得出结论；

（2）先求出力=3:7,进而得出力8:AD:CO=9:6:14,根据S.BE=•EnS^ADE=^AD-

EM,SMDE=；CD.EN,EF=EM=EN,得出SMBE：S—DE：SACDE=4&人。：。。=9：6:14，求出

SA4DE=：，S&CDE=?即可得出答案.

【解析】（1）证明：过E点分别作EMJ.48于M,ENA.BC于N,

•・•酩平分乙ABC,EF1AB,

：.EF=EN,

•・\4E平分

；・EF=EM,

：.EM=EN,

••・DE平分/DC;

(2)解：*：2AB=3AD，

^AB-.AD=3:2,

V.4D=3，CD=7，

^ADiCD=3:7，

*­AB:AD:CD=9:6:14,

^S^ABE=^AB-EF,S^ADE=^AD-EM,SACDE=JD.EN，EF=EM=EN,

,•SAAEE：SMDE：SACDE=4B:7W:CO=9:6:14>

・・c_27

•^hABE—万，

•921

-S^ADE-7，S&CDE~彳，

.c_c,c_921_15

••^ACD—^ADE十、&CDE_4十4—?,

【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键.

20.（10分）如图,在MBC中,AC=BC,乙4c8=90。，点。为448C内一点，月.8。=40.

(1)求证：CDLAB.

（2）4乙40=15。，E为40延长线上的一点，且CE=C4.

①求证：DE平分NBDC;

②若点M在0E上，且0C=0M：请判断ME、8。的数量关系，并给出证明;

【答案】（1）见详解

⑵①见详解：②见详解

【分析】(1)由线段垂直平分线的判定可得结论；

(2)①由“SAS”可证△ADC=△8。。，可得乙4CD=乙BCD=45°,可求/CDE=/BDE=60°,可

得结论；

②由“S4S”可证△BDC=△EMC,可得ME=BD；

【解析】(1)证明：•••C8=C4,DB=DA,

•••CO垂直平分线段

：.CD1AB；

(2)①证明：:AC=6C,

/.ZCR4=ZC4fi,

X/ZACT=90°,

•••4BA=NCAB=45。，

又；ZCAD=NCBD=15。，

CDBA=ZIWJ=30°,

Z«DE=30o+30o=60°,

AC=BC

在AAOC和ABOC中，ZCAD=NCBD,

AD=BD

ADCw480C(S4S),

•••4ACD=/BCD=45。，

.­.NCDE=60。，

.NC7拓=N8/)£=60°,

•••DE平分

②解：结论：ME=BD,

理由：连接MC,

•••△MCO为等边三角形，

:.CM=CD,

EC=CAtZEA/C=120°,

/.ZEGW=ZBCD=45°,

DC=MC

在ABDC^UAEMC中，/BCD=NECM,

BC=EC

BDC=△EMC(SAS)，

•••ME=BD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判

定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

21.(10分)已知△48C和AADE是一对共顶点的等腰直角三角形，LEAD=^CAB=90%连接

CE,BD.

(1)如图1,求证：△4CE三△4BD；

(2)如图2,点B在线段DE上(不与端点O,E重合)，AE和8C交于点G,且△CGE为等腰三角形，求

4AG的度数；

(3)如图3,若4/18。=90。，点户是线段8C,OE的交点，求证：点尸是OE的中点.

【答案】⑴见解析

(2bOlG的度数为22.5。或45。；

(3)见解析

【分析】(1)根据题意及等量代换得出NE%C=ZB4D，利用全等三角形的判定证明即可；

(2)根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出/。£71=40=45。，分三种情况分析：当

EC=EG时，当GC=EG时、当EC=CG时，利用三角形内角和定理求解即可；

(3)过点。作OH||48,由全等三角形的性质得出80=EC,Z.ECA=AABD=ACAB=90%利用

平行线的判定和性质确定"OH=乙FEC,乙HDB=90。，乙HBD=乙DHB=45。，根据等角对等边得

出B。=HD,再由全等三角形的判定和性质即可证明.

【解析】(1)证明：二♦△ABC和△40E是一对共顶点的等腰直角三角形，ZEAD=ZCAB=90°,

：-LEAC=£.BAD,AC=AB,EA=AD,

**•△ACE三△48。(SAS)；

(2),••△48C和AAOE是一对决顶点的等腰直角三角形，

・••乙4cB=45。，ZD=45%

由（1）WAACE三△ABD,

ZCEA=ND=45°,

当EC=EG时，4GE="180。-45。）=67.5°,

AZCAG=ZCGE-ZACG=22.5°;

当GC=EG时，ZCGE=180o-45°-45°=90%

/.ZCAG=ZCGE-ZACG=45°;

当EC=CG时，Z.CGE=^CEG=45°,

与题意不符，ZCAG=45。+ZCAG>45。，

综上可.得：4CAG的度数为22.5。或45。；

（3）过点。作OHIIAB,

'：LACE三AABD,

:,BD=EC,ZECA=NABD=ZCAB=90%

：.EC||AB||DH,

:•乙FDH=LFEC，ZHDB=90°,

•・・/4BC=45。，

:・NHBD=NDHB=45。，

：.BD=HD,

:・HD=EC,乙CFE=CHFD，/FDH=NFEC，

：,LECF=^DHF

:,EF=DF,

・•・点”是OE的中点.

【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，理解

题意，综合运用这些知识点是解题关键.

22.(12分)【基础巩固】

(1)如图1,在与中，AB=AC,AD=AE,z_BAC=zD/lE,求证：△AEC三4

ADB；

【尝试应用】

(2)如图2,在△4BC与△4DE中，AB=AC,AD=AE,ABAC=^DAE=90%B、D、E三点在

一条直线上，AC与BE交于点F,若点尸为力C中点,

①求/BEC的大小;

②CE=2，求△ACE的面积;

【拓展提高】

（3）如图3,△48C与△ADE中，AB=AC,DA=DE,zmc=ZADE=90°,BE与CA交于点F,

DC=DF,CD1DF,4BC9的面积为18,求AF的长.

【答案】（1）见解析；（2）①N8EC=90。；②2;（3）6

【分析】（1）首先得到NE4C=NZM8,然后证明出△AEC三△AOB（SAS）即可；

（2）首先由△4EC三△AD8得到BO=EC=2,然后证明出△4GF三△CEF（AAS）得到AG=EC=

2,进而求解即可;

（3）连接EC,首先得至此=然后证明出△COE三△F04（SAS），然后得到S“EF=

S^CFB=18,设AF的长度为。，列方程求解即可.

【解析】解：（1）ZBAC=ZDAE

：,ZEAC=ZDAB

AC=AB

在△力EC和△408中，ZEAC=ZDAB

AE=AD

:.△AEC=△A08（SAS）

（2）①ZBAC=ZDAE

：.ZEAC=ZDAB

AC=AB

在4/EC木口△ADB中,ZEAC=zTDAB

AE=AD

•••△AEC=△71OB（SAS）

/.ZABE=ZACE

J/BEC=180-ZACE-^EAC-^AEB

=180-ZABE-ZEAC-ZAEB

=ZBAC=90°

②作4G1BE

AEC=△ADB

=EC=2

(ZAFG=NEFC

AGF^WLC“中，j^AGF=ZCEF

(AF=CF

••△AGF=△CE/7IAAS)

A.4(?=EC=2

・'SAACE=SA4R0=-X2X2=2

(3)连接EC

•.*ZBAC=ZADE=90Ph.CD1DF

:・NCDE=/FDA

(CD=FD

在ACOE和△F04中，jZCDE=ZFDA

(DE=DA

**•△CDE=△FDA(SAS)

：.CE=AF

•・•△CEF是公共部分，S*CE=S^AB

^hAEF=S^cFB=18

设4尸的长度为a,

则SMEF=N=18,a=6»

故AF的长度为6.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定.

23.(12分)(1)如图1,在44AC中，。是8c的中点，过D点画直线Er