随机事件与概率（基础练）解析版

第十章概率

10.1随机事件与概率（基础练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.有下列事件：①连续掷1枚硬币2次，2次都出现正面朝上：②异性电荷，相互吸引：③

在标准大气压下，水在时结冰.

其中是随机事件的有（）

A.②B.③C.①D.①③

【答案】C

【解答】由随机事件的定义得：

①连续掷1枚硬币2次，2次都出现正面朝上，是随机事件；

②异性电荷，相互吸引，是确定性事件；

③在标准大气压下，水在时结冰，是不可能事件.故选：C.

2.三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，

并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（）

A.动力学方程的知识B.概率与统计的知识

C.气象预报模型的知识D.迷信求助于神灵

【答案】B

【解析】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，

属于气象业务实践中的经脸预报法，利用的是概率与统计的知识.

并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识.故选：B.

23

3.某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉各占彳，二的份额，出厂时己知两种品种腊肉亚硝

55

酸盐超标的概率分别为g.现一市民在该超市随机挑选了一块胎肉，则该块腊肉亚硝

109

酸盐超标的概率为（）

【答案】A

【解析】设一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，该块脂肉来自甲品牌且亚硝酸盐超标为事

211

件A,该块腊肉来自乙品牌且亚硝酸盐超标为事件B,则尸(4)=-XF=T，

51025

O11Q

P(^)=1x-=—,则所求概率为P(A)+P(8)=—.故选:A.

591575

4.从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事

件是()

A.“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”

B.“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”

C.“都是白球”与“至少有一个黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

【答案】A

【解析】对于A,事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，

但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，

，两个事件是互斥事件但不是对立事件，，A正确；

对于B,事件：“至少有一个黑球"与事件：''至少有一个白球”可以同时发生，

如：一个白球一个黑球，・•・这两个事件不是互斥事件，，B不正确；

对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；

对于D,“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选：A.

5.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3

只，则恰有2只测量过该指标的概率为()

2c3

A.—B.—

35

21

C.-D.一

55

【答案】B

【解析】设其中做过测试的3只兔子为剩余的2只为A8,则从这5只中任取3

只的所有取法有他ec},{a,"A},{0,瓦8},{a,c,A},{a,c,5},{a,A,B},

{〃,c,4},{〃,c,4},{b,AB},{c,A5}Jt10种.其中恰有2只做过测试的取法有

{a,b,A\,{a,b,B},{a,c,A\,{a,cyB],{b,cyA},{b,cyB}共6种,

所以恰有2只做过测试的概率为一二一，故选:B.

105

二、多选题(共3小题，满分1b分，每小题b分，少选得3分，多选不得分)

6.袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）

A.至少有一个白球与都是白球

B.恰有一个红球与白、黑球各一个

C.至少一个白球与至多有一个红球

D.至少有一个红球与两个白球

【答案】BI）

【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，

在月中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故力不成立.

在笈中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故夕成立；

在。中，至少一个白球与至多有一•个红球，能同时发生，故。不成立；

在〃中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故〃成立；

故诜：BD.

7.设A,B,C为三个事件，下列各式意义表述正确的是（）

A.ABC表示事件A不发生且事件B和事件C同时发生

B.A+8+C表示事件A,B,C中至少有一个没发生

C.A+8表示事件A,8至少有一个发生

D.Z与C+H8C+A耳。表示事件A,B,C恰有一个发生

【答案】ACD

【解答】根据题意，依次分析选项：

对于A,Z4C表示事件A不发生且事件4和事件C同时发生，A正确，

对于8,A+8+C表示事件A、B、C至少一个发生，则A+3+C表示事件ABC都没有

发生，8错误，

对丁C,A十台表示事件A,6至少有个发生，C正确，

对彳耳。表示事件A、8不发生且事件C发生，AB。事件A、C不发生且事件3发

生，A月3事件8、C不发生且事件A发生，则无豆。+,83+483表示事件4，B,。恰

有一个发生，故选：ACI）.

8.甲、乙两人卜.棋，两人下成和棋的概率是甲获胜的概率是！，下面结论正确的是（）

25

74

A.甲不输的概率而B.乙不输的概率不

31

C.乙获胜的概率才D.乙输的概率g

【答案】ABCD

【解析】因为甲、乙两人下成和棋的概率是甲获胜的概率是《，

117

所以甲不输的概率—I—=—,故A正确：

2510

14

所以乙不愉的概率1一一=一，故B正确；

113

所以乙获胜的概率1------二一,故C正确；

5210

所以乙输的概率即为甲获胜的概率是g,故D正确；故选：ABCD

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9.从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的

概率等干.

【答案】4

5

【解析】由树状图可得：从3男3女共6名同学有15种基本事件，2名都是女同学由3种

基本事件，故其概率为《，故答案为1

55

10.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有〃种，在这些取法中，

以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为〃？，则一等于___________.

n

【答案】v

【解析】从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即〃=4,可组成三角形的只

有一种（2,3,4）,因此m=1,所以‘二故答案为：_L.

n44

11.设连续掷两次骰子得到的点数分别为相，〃，令平面向量。二。几〃），8=（1,一3）,则

事件发生的概率为；事件］。卜恸”发生的概率为__________.

【答案】3

1O6

【解析】（1）由题意知，〃7£{1,2,3,4,5,6}、“£{123,4,5,6},故（m,n）所有可能的取

法共36种.

当山时,得m-3n=0,即m=3n,满足条件共有2种：［3,1）,（6,2）,

21

所以事件a_L〃的概率尸二丁=一.

3618

（2）当。工5时，可得—+1?忘10,共有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,

1）6种情况，

其概率。二0二二.故答案为：—

366186

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12.做投掷一颗骰子试验，观察骰子出现的点数，用基本事件空间的子集写出下列事件：

（1）“出现奇数点

（2）“点数大于3”.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析

【解析】（1）“出现奇数点”⑴，{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5|

（2）”点数大于3"，{4},{5},{6},{4,5},{4,6）,{5,6},{4,5,6）.

13.同时掷两个骰子,

（1）指出点数的和是3的倍数的各种情形，并判断是否为互斥事件；

（2）求点数的和是3的倍数的概率.

【答案】（1）彼此互斥；（2）」

3

【解析】（1）点数的和为3的倍数分，点数和为3,6,9,12,

分别记为事件4、B、C、。事件都是彼此互斥的；

（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

o1

事件A中：3=1+2=2+1,：.P（A）=^^=—,

6x618

事件8中，6=14-5=2+4=3+3=4+2=5+1,共5种基本事件，尸（8）=色-=9

6x636

41

事件C中，9=3+6=44-5=5+4=6+3,共4种某本事件.♦.=----=-

6x69

事件。中，12=6+6,1种基本事件，,P（B）=—!-=’

6x636

总之：P（A+8+C+O）=g

14.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家用，A2,A3和3个欧洲国家B”B2,B：§中选择2个国

家去旅游.

（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率：

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括%,但不包括4的概率.

|2

【答案】(1)P=-；(2)P=-

59

【解析】(I)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件

有：

{44},{44},{4,4},{4闰},{4，万},{4修,{4闰},{&,82},{4，星},{4再},{4e}.{4也},

{4也},{4,纭},{%4},共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：

31

{A，4},{A，4},{A，A}，共3个，则所求事件的概率为：P=-4=-.

1JJ

(II)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{44},{4也},{4与},{4出},{4也},{4，4},{4,4},{怎与},{4也},共9

个，

包含A但不包括用的事件所包含的基本事件有：{A，3}，{A，四},共2个，

2

所以所求事件的概率为：

A级必备知识基础练

1」探究点一］关于样本点、样本空间，下列说法错误的是

()

A.样本点是构成样本空间的元素

B.样本点是构成随机事件的元素

C随机事件是样本空间的子集

D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多

2.［探究点三］给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则

)

00

AAQBB.A3B

C.A与B互斥D.A与B互为对立事件

3」探究点三］抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是

奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时

向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”,

则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）

A.A与BB.B与CC.A与。D.B与D

4.［探究点四］一批产品共有100件，其中5件是次品,95件是合

格品，从这批产品中任意抽取5件.现给出以下四个事件：

事件A:恰有1件次品；

事件3:至少有2件次品；

事件C至少有1件次品；

事件至多有1件次品.

并给出以下结论：

@AUB=C;®DUB是必然事件;③4n。=c

其中正确结论的序号有（）

A.①②B.③④C.①③D.②③

5」探究点二］从装有3个红球2个绿球的袋子中任取两个小球,

请写出这一过程中的一个随机事件:.

6.［探究点四］在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件A="出现不

大于4的偶数点"，事件B=“出现小于6的点数”，则事件AU后

的含义为，事件AHB的含义为.

7」探究点四］某射手进行射击测试，设4="射中10环”乃i射

中9环”。=“射中8环

（1）“射中10环或9环”可表示为;

（2）“不够8环”可表示为.

8.口策究点三］某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去

参加比赛,则下列各对事件中是互斥事件的有.（填

序号）

①“恰有1名男生”和“全是男生”；

②“至少有一名男生”和“至少有一名女生”；

③“至少有一名男生”和“全是男生”；

④“至少有一名男生,，和“全是女生

9」探究点一］用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个

圆随机涂色,每个圆只涂一种颜色.设事件A廿三个圆的颜色

全不相同”,事件8二“三个圆的颜色不全相同二事件。=“其中

两个圆的颜色相同”,事件"三个圆的颜色全相同”.

⑴写出试验的样本空间；

（2）用集合的形式表示事件人民C,D

B级关键能力提升练

10.下列现象是必然事件的是（）

A.某路口单位时间内通过的车辆数

B.正n边形的内角和为（加2）・180。（佗3）

C.某同学竞选学生会主席成功

D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数

1L同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且都不是6点"

的对立事件为()

A.一个是5点，另一个是6点

B.一个是5点，另一个是4点

C.至少有一个是5点或6点

D.至多有一个是5点或6点

12.(多选题)设集合A二{可/2",1£2},〃,〃£4,设直线3x+4y=0

与圆(x-Q)2+(.y-〃)2=i相切，则满足条件的样本点可能是()

A.(-l,2)B.(l,-2)

C.(-l,-2)D.(l,2)

13.(多选题)下列各组事件中是互斥事件的是()

A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6

B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高

于90分

C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒

D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%

14.某人忘了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设

拨过的号码不再重复，若用A尸“第i次拨号接通电话'"=123.

则事件第3次拨号才接通电话可表示为，拨号不超

过3次而接通电话可表示为.

15.从一批产品中取出三件产品，设三件产品全不是次

品13="三件产品全是次品”,C=”三件产品不全是次品”，则下

列结论不正确的是.

①A与C互斥②3与。互斥③任何两个均互斥

④任何两个均不互斥

16.从含有两件正品0/2和一件次品仇的3件产品中每次任

取1件，每次取出后不放回，连续取两次.

⑴写出这个试验的样本空间；

⑵设A二"取出的两件产品中恰有一件次品”，写出集合A

⑶把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,

其余条件不变，请继续回答上述两个问题.

17.某连锁火锅城开业之际,为吸引更多的消费者，开展抽奖活

动，前20位顾客可参加如下活动:摇动如图所示的游戏转盘

（上面扇形的圆心角都相等），顾客可以免费获得按照指针所指

区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元,每人只

能参加一次这个活动.记事件A廿获得不多于30元菜品或饮

品

(1)求事件A包含的基本事件；

(2)写出事件A的对立事件，以及一个与事件A互斥的事件.

c级学科素养创新练

18.甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各伸出1至U5根手

指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.

⑴若以A表示和为6的事件，写出事件A的样本点；

⑵现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至

少赢两次的事件，试问与。是否为互斥事件?为什么？

参考答案

1.D由定义知A,B,C均正确.因为随机事件是样本空间的子集，所以由子集的定义可知D

错.

2.C由互斥事件的定义知C正确.

3.C在A选项中力与8是对立事件，故A错误;在B选项中,8与。能同时发生，故8与C

不是互斥事件，故B错误;在C选项中/与。不能同时发生，且不是对立事件，故A与。是

互斥事件但不是对立事件，故C正确;在D选项中,8与D能同时发生，故B与D不是互斥

事件，故D错误.故选C.

4.A事件AUB表示的事件:至少有1件次品，即事件C,所以①正确;事件。U8表示的事

件:至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况,所以②正确;事件ACI8=0,③不正

确;事件ACIO表示的事件:恰有1件次品，即事件人所以④不正确.

5.两个小球都是绿色(答案不唯一)

6.出现2,4,6点出现2,4点易知日="出现6点”，则"出现2,4,6点”小0〃="出现

2,4点”.

7.（1）AUB（2）AU8UC

8.①④①是互斥事件，”恰有一名男生”的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名

女生，它与“全是男生''不可能同时发生;②不是互斥事件;③不是互斥事件;④是互斥事

件，“至少有一名男生”与“全是女生'’不可能同时发生.

9.解（1）由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样，另1个异色，或者三个球都异色,

则试验的样本空间

｛（红，红，红）,（黄，黄，黄）,（蓝，黄，蓝）,（红，红，黄）,（红，红，蓝）,（蓝，蓝，红）,（蓝，或，黄）,（黄，黄,

红）,（黄潢，蓝）,（红，黄,篮）｝.

（2）4=｛（红，黄，蓝％

B=｛（红，红，黄）,（红，红，蓝）,（蓝，蓝，红）,（蓝，蓝，黄）,（黄，黄，红）,（黄，黄，蓝）,（红，黄，蓝巾

C=｛（红，红，黄）,（红，红，蓝）,（蓝灌，红）,（蓝，蓝，黄）,（黄，黄，红）,（黄，黄，蓝）｝,

O=｛（红，红，红）,（黄，黄，黄）,（蓝，篮,蓝）｝.

10.BA,C,D选项为随机事件,B选项为必然事件.

11.C同时掷甲、乙两枚骰子,可能出现的结果共有36个，“都不是5点且都不是6点”包

含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.

mb

12.ABA=｛-2,“,0』,2｝,由直线与圆相切知，5=