江苏扬州市邗江区2025-2026学年高一年级下册期中调研数学（解析版）

2025-2026学年高一第二学期考试

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.sin720cos42O—sin420cos72。的值为()

A1'V3

A.----RB.-C.------Dn.----

2222

【答案】B

【解析】

【分析】逆用两角差的正弦公式亿简计算.

［详解］sin72°cos42°-sin42°cos72°=sin(72°-42°)=sin30°=-

2

2.在VABC中，AB=［,AC=42yZBAC=45，则BC=()

A.1B.72C.D.2

【答案】A

【解析】

【分析】借助余弦定理计算即可得.

【详解】由余弦定理可得BC=yjAB2+AC2-2AB•ACcosNBAC=Jl+2-2=1-

故选：A.

3.已知sina=1,且a为第二象限角，则sin勿的值等于()

5

【答案】B

【解析】

【分析】由二倍角的正弦公式计算.

3I-----------4

【详解】因为sina=不，且。为第二象限角，所以cosa=-Jl-sin2a=-g,

3424

所以sin2a=2sinacosa-2x-x(——)=-----.

5525

4.若a=l,卜=2,且(a+Z?)_La,则〃与〃的夹角是

712乃

A-B.—D.—

63c垓3

【答案】D

【解析】

【详解】由(a+〃)JLao(。+力)=0ocJ•〃=0,

即+\a\-b・cos6=0(其中。为〃与。的夹角),

则『+1x2xcos6=()=>cos0=—，

2

7IT

因为0K9K兀，所以。=——

3

5.设a=2cos62tanl3胃")

—sin6，b=

221+tan213

A.a>b>cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】B

【解析】

【分析】将〃、b、c进行化简，利用正弦函数的单调性可得出〃、b.c的大小关系.

i巧

【详解】因为a=/cos6--^-sin6=sin30cos6-cos30sin6=sin(30-6)=sin24，

2sin13

,2tanl32sin13cos13

b=--------—cos13=sin26,

l+tan2131sin213cos213+sin213

1+—；——

cos213

2

l-cos50l-(l-2sin25)

=sin25'

2

且函数y=sinx在0,g上为增函数，且0<24<25<26<90，

\乙)

所以，sin26>sin25>sin24»即

故选：B.

/TI2n

6.已知cosa+—一些则cos2a()

I65，T

7344

B.-C.—D.-

555

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果.

【详解】易知2a--2^=2|(a+y'-兀，

所以cos2a——-i=cos2\a+—|-n「J吟

=-cos2a+—

I3)I6JI6J

=l-2cos-a+—=1-2x

I6j

故选：B

3

7.已知tan。、tan/?是关于x的方程2/+如一4=（）的两根，且=十尸=：/，则，〃的值为：）

4

A.6B.-6C.5D.-5

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件•，利用韦达定理及和角的正切公式列式求解.

111

【详解】由tana,tan/7是方程-4=0的两根,得tana+tan/?=-5,tanatan由=-2,

m

则lan（a+0Jana+tan/?=21=—二=T，所以〃?=6.

1-tan<7tanp1+26

故选：A

8.如图，在VABC中，N84C=g,AD=2DB，P为CD上一点、,且满足AP=mAC+gAB,若

A8-AC=4，则AP的最小值是（）

A.2B.4C,D.-

33

【答案】A

【解析】

一2一I

【分析】设CP=/IC。，可得出AP=5/lAB+(l-/l)AC=§48+mAC,可得出关于九、川的方程组，即

可解得实数加的值；利用数量积得出%@・卜。=8,利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求

得卜耳的最小值.

【详解】设CP=2CQ,则AP=4C+CP=AC+2C。=AC+%(A。—AC)

(9、21

=AC+A-AB-AC\=-XAB+(\-^AC=-AB+mAC,

3./33

所以，,43=-31,解得〃2=/1=—.

m=\-Z一

ABAC=\AB\\AC\cos^=^\AB\^\AC\=4t.*.|AB|-|AC|=8,

2(1.1.V1-2121

AP=-AB+-AC=-AB+-AC+-ABAC

V32J943

i24nrii=4

-AB+-AC+->2J-AB-AC+

943V943

1一1一3

当且仅当一AB=-AC时，即当AB=-AC时，等号成立.

322

所以，AP的最小值为2.

故选:A.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知向量a=(—3,2),〃=(2,l),c=(4—l),4wR,则()

A.°.。=4

3

B.若。〃c,则a=一

2

2

C.若则4二一一

3

(1、

D.若〃与c•的夹角为钝角，则4的取值范围是一双孑

IZ)

【答案】BC

【解析】

【分析】由向量数量积的表示，向量垂直和平行的坐标表示，夹角公式逐项判断即可.

【详解】选项A：〃•〃=（—3）x2+2xl=-6+2=-4w4,A错误；

3

若“//c,则（-3）x（-l）=24,解得九二一，B正确,

2

?

若〃上6,则。•c=-3/l+2x（-l）=0,解得；1=一一，C正确，

3

若人与。夹角为钝角，/?-c=22-1<0»得2<5;

当。//c，则2x（—1）=1/,得力=-2,此时d=—6,夹角为180不是钝角，舍去，

因此义的范闱是（—8,-2）u（—2,不），D错误.

10.已知VA3C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,以下判断正确的是（）

A.若sin4>sinB,则

B.若siYA+si/B-siJCvO,则VA3c是钝角三角形

C.若。=石，^=715,A=30,则符合条件的VA3C有两个

D.若“cosA=Aos6,则VAbC为等腰直角三角形

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用正弦定理和大边对大角可判断A：利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断B；利用

〃sinA<a<b可判断C；边化角，利用二倍角公式化简，结合正弦函数性质可判断D.

【详解】对A,由sinA>sinB和正弦定理可得〃>〃，由大边对大角可知A>3,正确；

对B,由sir^A+sin^B-sin2c<0和正弦定理可得/+/?2—c2<0»

所以cos。<0,又CG（O,兀），所以正确；

2ab12J

对C,若。=6，Z?=Vi5,A=30，则力sinA二叵<皿=小〈席,

22

即》sinA<a</?,所以符合条件的VA8C有两个，正确；

对D,若«cosA=bcosB,则sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

因为2A,23E（0,2兀），2A+23w（0,2兀），所以2A=2B或24+28=兀，

即A=8或A+8=V，

2

当A+5=E时，C=兀一（A+5）=四，此时VA3c为直角三角形；

当A=B时，VA8C为等腰三角形.

所以VA8C为直角三角形或等腰三角形，错误.

故选：ABC

11.VABC的内角A,B,C的对边分别为小c,已知%cosC+2ccosB=3,

A

3sin（B+C）=2sin2y,则（）.

3A.

A.。=—B.tan—=3

22

9

C.比的最大值为:D.VA3C为钝角三角形

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据余弦定理、商关系、二倍角公式和基本不等式计算分别判断各个选项;

【详解】对于A,因为次osC+2ccosB=3,结合余弦定理推论可得,

b-+a--c~一c~+a--b-.化简得2"=3〃，解得。=0（舍）或〃=1，A正确;

2b----------+2c----------=3,

2ablac2

对干B,因为3sin(3+C)=2sin2g,A+3+C=7t,

所以3sirLA=2sin24=3x2sin4cos4=2sin24,又sin一工0,

22222

AAA

所以3cos—=sin—=tan—=3,B正确；

222

44

2tan-qcosA=---

2?2x3tanA-——5

对于C,tanA=4解得

.,3

sinZ+cos%=1sinA=—

5

34

根据余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA，代入得(不)2=〃+M+20cx《

JJ

344i«

利用基本不等式(-)2=Z?2+c2+2bcx->2bc+2bcx-=—he,

2555

当且仅当Z?=c=®时取等号;

4

所以曳匕c=/?c、0*,C错误；

458

3

对于D,•.•tan4二一一＜0,「.A是钝角，D正确;

4

故选:ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.sin75=•

［答案］"苜

4

【解析】

【详解】试题分析：

sin75=sin（45+30）=sin45cos30+cos455巾30°=正2立+亚乂）二"+，5.将非特殊角

22224

化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.

考点：两角和的正弦

13.记VA3c的内角A3,C的对边分别为a也c,已知QCOsg=/?sinA〃c=4G，则VA5C面积为

2

【答案】3

【解析】

71

【分析】根据正弦定理边化角，再结合二倍角公式化简得8=一，则可由三角形面枳公式求解.

3

【详解】因为4cos0=加in>4,

2

根据正弦定理得sinAcosO=sinBsinA,

2

BBB

因为sinAw0,贝ijcos—=sinB=2sin—cos—,

222

BB।

又因为cos—00,贝I」sin—=一,

222

由于8£（0,兀），得&=2，即8=工

263

=^acs\nB=

所以SABC=3.

14.如图，在平面四边形A8CQ中，ABrBC,AD±CD,NB4O=120。，AB=AD=2.若点E

为边C。上的动点，则的最小值为

B

DA

21

【答案】v##5.25

4

【解析】

【分析】以。为原点，。从。。的方向分别为x轴，,，轴的正方向建立平面直角坐标系，利用向量坐标运

算，结合二次函数性质可得.

【详解】连接AC,因为AB工BC,AD±CD,AB=AD,AC=AC,

所伏Rf_ACD=Rf_ACB,

乂/朋。=120。，所以NZMC=600,

所以。C=ADtan60°=2百.

过点8作AO的垂线8R垂足为八

易知，在/中，NBAF=60°,AB=2,

所以B尸=6,A"=1,

以。为原点，DA,DC的方向分别为x轴，），轴的正方向建立平面直角坐标系,

则A（2,0）,B（3,g）,

设E（0,〃?）,〃2G[0,2石],

UlUUU1（、

则4石=（一2,〃z）,BE=（-3,加一J3）,

Ul・UlU/、

AE-BE=6-^-=m2-V3w+6,

当加二且时，AE-8E1有最小值

24

21

故答案为：—

4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

7T

15.如图，在平行四边形A8CO中，AD=2,AB=^ZDAB=-,点七是A8的中点，连接DE,AC,记

3

它们的交点为G,设==

DC

（1）用表示AC,AG;

（2）求AC与AB的夹角的余弦值・

【答案】（1）AC=a-vb»=+

⑵地

14

【解析】

【分析】（1）根据图形的几何形状宜接分解向量即可;

ACA8

（2）根据公式cos。=只需由数量积的运算律分别求出AC-AB,|AC，M的值即可.

AC\\AB

【小问1详解】

因为Ae=A6+AO，所以八6二1+。，

在平行四边形4BCO中，点E是A3的中点,

AFI

所以JDC//AE,且=—>

CD2

AGAE1

所以CAGES,CG。，所以——=——=-,

GCCD2

则AG=」11

AC,即=+.

333

【小问2详解】

已知AD=2,AB—4，

则同=4,b=2,

7T

又已知ND48二一

3

则〃•/?=\d\bcosZD/4^=4x2x—=4,

2

因为|4。|2=3+〃）2=/+〃2+2〃.〃=16+4+8=28,

所以|AC|=2J7,

又AC-AB=（4+/?）々=[2+。0=16+4=20,

设AC与AB的夹角为。，

八ACAB205出

3（哈

16.已知cos2。=—,6w0,—.

5I2；

（1）求tan。的值：

（2）若tan/?=3,/?e。，/），求角。+Q的大小.

【答案】（1）2

⑵羽

4

【解析】

【分析】（1）由余弦二倍角公式及同角三角函数关系即可求解;

（2）由两角和的正切公式求得。+尸的正切，进而可求解.

【小问I详解】

、3

因为852。=28§-0-\=——，

5

又所以COS夕二更.

又sin,6+CQS?，=1，得sin8=2旧，所以tan〃=2.

5

【小问2详解】

,/八c、tan°+tan/72+3,

由(1)可知tan(O+0=Lta”=H~

因为夕£o,—兀j,pG，所以6+/e（0,兀），

2

所以，+夕=型.

4

17.V44c的内角Aac的对边分别为久友C，已知反osC=（2a—c）cos8.

（1）求3：

（2）若〃=4,求VA8C周长的最大值.

【答案】（一

(2)12

【解析】

【分析】（1）由正弦定理将已知条件中的边与角的混合等式转化为角，再利用三角形内角和定理与三角恒等

变换公式化简等式，进而求出知8；

（2）已知人和角8,要求周长最大值，可先结合余弦定理得到关于4，C的关系式，再利用基本不等式求出

Q+C的取值范围，进而得到周长的最大值.

【小问1详解】

bC=(2a-c)B,由正弦定理得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,即《消皿。+

Wrct<oiVrcMt(oiOlliVvzO

=

cos^sin^2sin"cosB,得sin。+C)=2sjn4cosF；

又A+B+C=n,sin(^+C)=sinA,得sinA=2sin4cosB；

A«0,兀），.一迅工。，得cosB=g；

BG(O,71),/.B=y

【小问2详解】

JI

B=§,8=4,•.・由余弦定理得Z?2=/+(.2_，2accos3=a2+(?一加.，即

a2+c2-6fc=(6/+c)--3ac=\6；

a>0,c>0,4£（”），当且仅当4=。时等号成立;

4

2/、

2\23(a+c)=(a+c),解得0V4+C48,当且仅当a=c=4时等号

16=(a+c)-3ac>(a+c)-

44

成立;

又:。为VABC的边长，b=4,,\a+c>b,即a+c>4；

.,.4<a+c<S,彳导8va+Z?+cW12：

.•「ABC周长的最大值是12.

18.已知函数/(x)=2sinx(sinx+Gcosx)+l.

(1)/（x）的最小正周期和单调递增区间;

(2)求不等式/（力23在（0,兀）上的解集;

对于任意的xw0（，关于x的不等式在尸（加机一心”0恒成立，求实数，〃的取值范围.

Tt.Tl.,

【答案】（1）7二兀；----bE,—+E,KGZ；

63

兀兀

(2)

6,2

⑶”.

【解析】

【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式得到〃x）=2sin2x-B+2,结合周期公式和整体代换即可

V6）

求解;

（2）由（1）得到sin?!1，再结合正弦函数性质即可求解;

I6J2

m>---------：―/、

（3）通过分离参数得到f（A[1,再结合/（女）的值域和基本不等式即可求解.

17W

【小问1详解】

/(x)=2sinx(sinx+5/3cosx)1=2sin2x+2>/3sinxcosx4-1

1-cos2x+百sin2x+l=Gsin2x-cos2x+2=2sin

所以/(©的最小正周期r=——=兀.

由一工+24兀《2工一工《工+2ATI,A£Z,

262

可得一=+%兀<四+E,ZGZ,

63

兀71

所以/(幻的单调递增区间为一二十%兀，z+E/ez；

_63

【小问2详解】

由/(x)之3可得2sin(2x--|+2>3,

整理可得sin一二]之二.因为OVXVTI,所以—<2x----<-----.

k6j2666

根据正弦函数的性质可知，要使sin12x—二〕之!，应满足三工21一当工些,

666

7171

解得:WxW7.

62

TtTt

所以不等式/(X)?3在(0,兀)上的解集为

【小问3详解】

因为xw(),[■,所以2元一?£~~7^~7，

oJoo6

(乃、「]]]

得到sin2x~~e,所以可

又因为不等式〃矿2(力+rn-f[x)>0恒成立，

、〃工)1

〃m？>-—''-=----------------

得到一““小」

/W

因为/(x)+/(x)-J3=2,当且仅当/(x)=

所以7〃之g,所以实数，〃的取值范围是

19.如图，已知AOB是半径为I,圆心角为。的扇形，夕是扇形弧上的动点，记NAQP=a,

（1）请用仇。来表示平行四边形OCR2的面积；

（2）若。二二.

3

①求平行四边形。CPQ面积的最大值，以及面积最大时角a的值;

②记0P=MM+>08（其中x,ywR）,求工+2），的取值范围.

【答案】(1)-sin2a-^-^(0<«<6^).

2⑶】。

（2）①SQL=络，二二/②x+2y£（l,2）

【解析】

【分析】（1）过点〃作04的垂线，在RtZXP。。，RLPDC中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边

形的面积；

（2）①运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于。的三角函数的最值即可；②通过建系，得出点的坐

标，利用。的三角函数来表示乂孔再由三角函数的性质即可求得x+2y的范围.

【小问1详解】

过点P作。4的垂线，垂足为Q,在Rtz^POO中，W=sina,Qf）|=cosa,

\PD\_sina

在RLPO