自动控制原理 第4章习题参考答案

第4章习题参考答案

4.1什么是根轨迹？绘制根轨迹的依据是什么？

解根轨迹指的是当开环传递函数中某一参数从零变化到无穷大时，闭环特

征根(即闭环极点)在复平面上移动的轨迹。

绘制根轨迹的依据是幅值条件和相角条件。

4.2什么是幅值条件？什么是相角条件？这两个条件在绘制根轨迹中各起

什么作用？

解幅值条件：

Ell

\G(s)H(s)\=^-----=1

J=I

相角条件：

NG(s)"(s)=ZN(s-Zj)-Z4s-p”±(2k+l)i(k=0,1,2,)

i=iJ=1

相角条件是确定S平面上一点是否在根轨迹上的充分必要条件；幅值条件可

以用于确定根轨迹上某点所对应的根轨迹增益值。

4.3附加开环零点和开环极点对系统根轨迹各有什么影响？

解附加开环零点，可以使系统的根轨迹向左弯曲，从而提高了系统的稳定

度，有利于改善系统的动态性能；而且，所增加的开环冬点越靠近虚轴，其影响

就越大。

附加开环极点，使得系统根轨迹向右偏移，降低了系统的稳定度，不利于改

善系统的动态性能；而且，所增加的极点越靠近虚轴，这种作用就越显著。

4.4已知系统的开环零、极点分布如图4-23所示，试概略绘制相应的根轨迹

(a)(b)(c)

(d)(e)⑴

图4-23题4.4图

解根轨迹草图如下。

(c)

题解图4.4

4.5已知单位负反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的系统根轨迹。

(1)G(s)=K($+l)

s

K

(2)G(s)=

5(r+4s+8)

K(s+5)

(3)G(s)=

s(s+2)(s+3)

解（1）系统开环传递函数为69二丝助

1）起点：两个开环极点：〃]=0,〃2=（）；终点：一个开环零点马二-1,一

个无限零点。

2）实轴上的根轨迹区间：（YO,T]

3）分离点计算。

O（s）N'（s）—O'G）N（s）=0

整理得.V2+2V=0

解得M=0，52=-2o

根轨迹如题解图4.5（1）所示。

RootLocusRootLocus

6

・-《

PS4

<U

X2

9>

)S

SO

X

4

A

J

e

w-Y2

s

e

w

-

-6

-6-4-2

RealAxis(seconds*1)

题解图4.5（1）题解图4.5（2）

K

（2）系统开环传递函数为G（，）=

5(/+4$+8)

1）起点：三个开环极点：=0,〃2.3=-2±，2；终点：三个无限零点c

2）实轴上的根轨迹：（-co,（）]

3）渐近线:

。+(-2+冏+(-2-/2)4

“33

(2k+1)兀,兀

4）分离点计算。

D(s)N'(s)—D'(s)N(s)=b

整理得3/+8$+8=()

解方程可知实轴上不存在分离点。

5）根轨迹与虚轴交点。系统特征方程为

D(5)=?+4?+85+/C=0

把S=J0代入特征方程，整理并令其实、虚部分别为零得:

Rc(£>(j6y))=/C-4<y2=0

Im(£>(j7y))=8^y-d=0

69=0(O=±2y/2

解得:

K=0K=32

6)出射角计算。由相角条件得

S%=45。

根轨迹如题解图4.5⑵所示。

K(s+5)

(3)系统开环传涕函数为G(s)=

s(s+2)(s+3)

1)起点：三个开环极点：巧=0,〃2=-2,〃3=-3；终点：一个开环零点z,=-5,

两个无限零点。

2)实轴上的根轨迹：[-2,0],[-5,-3]

3)渐近线倾角及渐近线与实轴的交点。

0+(-2)+(-3)-(-5)

5,=---------2---------=0n

(2Z+1)不

网=-^-=±万

4)分离点计算。

。⑸N'(s)—O'(s)NG)=0

解方程可知分离点为：5=-0.886o系统根轨迹如题解图4.5(3)所示。

RootLocus

20

r

s

8=

岂

.2*

v

sx

=-

s^

-=

-20

RealAxis(seconds1)

题解图4.5(3)

4.6设单位负反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)=---------------

5(0.25+1)(0.55+1)

(1)绘出系统的艰轨迹图。

(2)确定使系统处于临界稳定时的根轨迹增益和开环放大系数。

(3)确定使系统处于临界阻尼状态时的根轨迹增益和开环放大系数。

解(1)将系统开环传递函数整理为

5(5+5)(54-2)

1)起点：三个开环极点：=0,〃2=-5,〃3=-2；终点：三个无限零点。

2)实轴上的根轨迹区间：[-2,0],(YO,—5]

3)渐近线计算。由公式计算获得渐近线倾角及渐近线与实轴交点为：

0-2-57

(7------------

33

(2A+1)乃,TC

4)分离点计算。

D(s)N，G)-D'G)N(s)=U

整理得3?+14.y+10=0

解得51=-0.88,%=-3.7863(舍去)。

5)与虚轴的交点。系统特征方程为

O(s)=s(s+5)(5+2)+1OK=0

令s=M代入系统特征方程，得

D(jco)=W0+5)(m+2)+lOK=O

令

Re[D(j(o)]=0

Im[£)(j^)]=0

求解得K=7。根轨迹与虚轴的交点：0,±V10j)o根轨迹如题解

图4.6所示。

RootLocus

(

T

3

P150

U

O

M

3

》

«0

x

v

A

aJ

u

B-

C-5

E

-10

-15

•20-15-10-5010

RealAxis(seconds1)

题解图46

(2)系统处于临界稳定时的开环放大系数为：K=7,根轨迹增益为:

K.=l0K=70

CT

(3)已求得根轨迹分窗点为以=-0.88,根据幅值条件可以求出该分离点对

K

应的根轨迹增益为：«4.06l；而开环放大系数K=」=0.4061。

?10

4.7考虑图4-24所示的控制系统，试绘制K从0—8时，闭环系统的根轨迹

图，并确定增益K的取值范围以保证系统的稳定性。

图4-24题4.7图

解由结构图可知，系统开环传递函数为

an=2K(s+l)K,(s+l)

$2(S+2)(S+5)s"(s+2)(s+5)

1)起点：四个开环极点：Pi=。，〃2=。，〃3=-2,=-5；终点：三个无

限零点和一个开环零点4二-1。

2)实轴上的根轨迹区间：[-2,-1],(-00,-5]

3)渐近线计算。由公式计算获得渐近线倾角及渐近线与实轴交点为：

,二°一2一5…7

“3

(2k4-\)7T,兀

七二一--二土三，"

JJ

4)根轨迹与虚轴的交点。系统特征方程为

D(S)=S2(S+5)(S+2)+2K(s+1)=0

把s=代入特征方程，得

D(jco)=，砥/@+5)(/0+2)+1OK=0

整理并令其实、虚部分别为零，得根轨迹与虚轴的交点(0,±;1.72),临界根

轨迹增益为20.8,即参数OvKvlO.4时闭环系统稳定。根轨迹如题解图4.7所示。

RootLocus

15

10

■

PS

OU5

。①

)s

s

x

<0

ja

£e

b6

_e

-15

-200510

RealAxis(seconds)

题解图4.7

4.8单位负反馈控制系统的开环传递函数为

G杵"

(1)绘制系统的艰轨迹图。

(2)试用根轨迹法确定系统稳定时K的取值范围。

解1)起点：三个开环极点：Pl=0,〃2=1,〃3=-4；终点：两个个无限零

点和一个开环零点Z]=-lo

2)实轴上的根轨迹区间：[0,1],M,-l]

3)渐近线计算。由公式计算获得渐近线倾角及渐近线与实轴交点为：

0+l-4-(-li1

(y=------------=-1

n2

.(24+1)万,胡

产22

4)分离点计算u

£>(s)N'(s)-O'(s)N(s)=0

得(352+65-4)(5+l)-(?+3s2-45)=0

解方程，确定分离点为4=0.44。

5)与虚轴的交点。系统特征方程为

D{s}=s(s-1)(54-4)+K(s+1)=0

令S=代入系统特征方程，得

D(ja))=1)(+4)+K(jco+1)=0

令

Rc[D(j^)]=0

Im|D(j7y)l=0

解得根轨迹与虚轴的交点为(0，±J1.4),临界根轨迹增益为6。因此，当K>6

时，闭环系统稳定。根轨迹图如题解图4.8所示。

b(

lS

P

U

O

O

a

)s

s

x

<

.

U

2

6

E

U

J

_

题解图4.8

4.9已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为

K(s+0.2)

G（5）=

/(s+3.6)

利用MATLAB绘制系统的根轨迹，并确定K=2时闭环极点的位置。

解根轨迹起点是三个开环极点：Pi=