人教版七年级数学：期中易错题压轴题专项复习（考试范围：第7~9章）【21大题型】原卷版

专题13・5期中易错题压轴题专项复习【21大题型】

（考试范围：第7~9章）

【人教版2024]

■FT斗通”■

【易错篇】.......................................................................................1

【考点1对顶角、邻补角、三线八角】............................................................1

【考点2两条直线垂直】........................................................................3

【考点3平行线的判定与性质】.................................................................4

【考点4命题与定理】..........................................................................5

【考点5平移】................................................................................7

【考点6平方根、立方根】......................................................................8

【考点7无理数】..............................................................................9

【考点8实数与数轴】.........................................................................10

【考点9实数的运算】.........................................................................11

【考点10平面直角坐标系中点的坐标特征】.....................................................11

【考点II用坐标表示平移】....................................................................12

【压轴篇】......................................................................................13

【考点12相交线中的角度计算】................................................................13

【考点13平行线中的折叠问题】................................................................14

【考点14平行线中的拐点问题】................................................................17

【考点15探究角度之间的关系】................................................................18

【考点16平行线中的旋转问题】................................................................19

【考点17无理数的整数与小数部分的计算】.....................................................21

【考点18平面直角坐标系中的面积计算1......................................................................................................22

【考点19平面直角坐标系中的规律探究】.......................................................24

【考点20平行线中的多结论问题】.............................................................25

【考点21新定义问题1.....................................................................................................................................27

【考点22阅读理解类问题】...................................................................28

院举一反三

【易错篇】

【考点1对顶角、邻补角、三线八角】

【例I】（24-25七年级•河北秦皇岛•期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线

通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，Zi=ZZ,

z4<z3,下列结论正确的是（）

B.乙4与乙3是对顶角

D.44=45

【变式1-1]（24-25七年级・广东河源•阶段练习）如图，下列判断：①乙4与，1是同位角；②乙4与是同旁

内角；③乙4与乙1是内错角；④21与43是同位角.其中正确的是（）

A.①②B.①②④

C.②③④D.①②③④

【变式1-2]（24-25七年级•河南南阳•期末）如图，直线力8,CD相交于点。，0E1AB,垂足为。，OF平分

乙BOD,若/AOC+4。。尸=39。，则/EOF的度数为.

【变式1-3]（24-25七年级•黑龙江大庆•阶段练习）如图，已知直线AB与CD相交于点0,0E、。尸分别是

（B0D、4力。。的平分线.

D

E

AZOB

c/

⑴zDOE的补角是」

(2)若乙BOD=62°,求Z40E和NDOF的度数.

【考点2两条直线垂直】

【例2】（24-25七年级•甘肃兰州•期中）如图，点尸是直线。外的一点,点A、B、C在直线。上,且PB1a,垂

足是8,PALPC,则下列不正确的语句是（）

A.线段PC的长是点C到直线P4的距离

B.线段4C的长是点4到直线PC的距离

C.24、PB、PC三条线段中，PB最短

D.线段PB的长是点。到直线。的距离

【变式2-1］（24-25七年级.河南南阳•期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活.下列各选项中能用“垂线

段最短”来解释的现象是（）

A.弯曲河道改直B.木板上弹墨线

起

跳

线

C,测量跳远成绩D,两钉子固定木条

【变式2-2］（24-25七年级•湖北宜昌•期末）如图，点A,B,C是直线/上的三点，点P在直线/外,PA1垂

足为A,PA=4cm,PB=6cm,PC=5cm,则点P到直线/的距离是_cm.

p

【变式2-3]（24-25七年级•河南郑州•期中）如图,直线4B,CD相交于点0,过点。作0E1AB,若乙D0B=43°,

A.43°B.137°C.57°D.47°

【考点3平行线的判定与性质】

【例3】（24-25七年级•江苏泰州•期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直

向下（0G_L40）,支持力N的方向与斜面垂直（0N工AB），摩擦力/的方向与斜面平行（0C||AB）.若

摩擦力f与重力G方向的夹角Z.1=120。，则斜面的坡角乙2的度数是（）

【变式3-2]（24-25七年级•山西晋中•期末）已知：如图，Z1=ZC,EF1BC,z2+z3=180°

A

(2)试求出N4DC的度数.

请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由.

(I)证明：vzl=ZC,(已知)

二DP||AC,(①)

Z2=Z4；(②)

(2)解：vEF1BC,(已知)

乙EFC=90°,(③)

•••z2=z4,z2+z3=180°,(已证)

z3+z4=180°,(④)

⑤，(⑥)

Z.ADF=z■⑦

：.N40C的度数为⑧.

【变式3-3](24-25七年级•辽宁沈阳•期末)如图，在中，CO平分44C8,CD交边48于点E,在边4E上

取点凡连结DF,使21=乙。.

(1)求证：DF||BC；

(2)当乙4=40。,WE=36。时,求42的度数.

【考点4命题与定理】

【例4】(24-25七年级•江苏扬州•期末)下列选项是命题的是()

A.作直线力BIICDB.今天的天气好吗？

C.连接小B两点、D.同角的余角相等

【变式4-1］（24-25七年级•山东淄博・期中）命题“同角的余角相等“改写成“如果....那么……”的形式是

（）

A.如果是同角的余角，那么相等B.如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等

C.如果两个角是同角，那么这两个角是余角D.如果两个角互余，那么这两个角相等

【变式4-2］（24-25七年级•河北石家庄•期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云

给出的证明过程：

证明：如图，vbla,

•••Z1=90°.

vc1a,

:.Z2=90°,

:.Z1=z2,

；♦b||c.

已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（）

A.在同一平面内，若b1a,且c1a,则bIIcB.在同一平面内，若6IIc,且匕1a,则c1a

C.两直线平行，同位角不相等D.两直线平行，同位角相等

【变式4-3］（24-25七年级•北京东城•期中）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能

机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个

参赛团队获奖结果预测如下：

小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；

小王说：“丁团队获得一等奖”；

小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”：

小赵说：“甲团队获得一等奖

若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是—.

【考点5平移】

【例5】（24-25七年级•广东深圳•期末）如图，在锐角△ABC中，444c=60。，将△48。沿着射线员?方向平

移得到（平移后点A,B,。的对应点分别是点（A,B',C'）,连接C4,若在整个平移过程中，

乙4cA和NCAB'的度数之间存在2倍关系，则乙4c4不可能的值为（）

A.20°B.40°C.80°D.120°

【变式5-1］（24-25七年级・重庆•期末）如图，将△48C向右平移得到△OEF,且点8,E,C,F在同一条直

线上，若EC=2,BF=8,则力。的长为（）

A.2B.3C.5D.6

【变式5-2］（24-25七年级•河北承德・期中）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，

第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖

块，第n个图案中有白色地面砖块，则下列选项中正确的是（）

第1个第2个第3个

A.16,4nB.17,4+九C.18,4〃+2D.18,4n

【变式5-31（24-25七年级•浙江台州・期末）如图，从起点4到终点B有多条路径，其中第一条路径为线段/IB,

其长度为〃，第二条路径为折线4C8,其长度为〃，第三条路径为折线/0EFGH//KL8,其长度为c,第四条

路径为半圆弧AC8,其长度为d,则这四条路径的长度关系为（）

A.a<b<c<dB.a<c<d<bC.a<b=c<dD.a<b<c=d

【考点6平方根、立方根】

【例6】（24-25七年级•江苏扬州•期末）（1）计算：用+（同广一遮7；

（2）解方程：2（x-l）2-8=0.

【变式6-1］（24-25七年级•河南鹤壁•期末）下列说法正确的是（）

A.1的平方根是1B.-6不是36的平方根

C.应不是有理数D.-2是8的立方根

【变式6-2］（24-25七年级•浙江绍兴•期末）已知小正方形的边长为1,在4x4的正方形网中.

（I）求5阴=.

（2）在5x5的正方形网中作一个边长为E的正方形.

【变式6-3］（24-25七年级•山西太原・期末）王红与王亮设计了一个数值转换器，输入的无＞0,流程如下:

是有理数

卜而是他们得到的相关结论，具中是真命题的是（）

A.若输入％的值是8,则输出少的值是企

B.若输出y的值是百，则输入x的值是9

C.若输入％的值是64,则输出y的值是好

D.若输入”的值是1,则输不出y的值

【考点7无理数】

【例7】（24-25七年级•安徽安庆・期中）满足一75VxV的整数％是.

【变式7-1]（24-25七年级•山东泰安・期末）在实数一3,0,V7,,斗:不，0.1313313331...（每两个1之

间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【变式7-2]（24-25七年级•甘肃天水・期末）因为22<5<32,可以肯定2〈遍V3,也就是花在2与3之间.依

据这一方法，对2.2?V5<2.32,可以肯定2.2〈遍V2.3,也就是愿在2.2与2.3之间，可以得到遍的近似

值.那么4U的估算结果中正确的是（）

A.3.15<<10<3,16B.3.16<V10<3.17

C.3.17<V10<3.18D.3.18<V10<3.19

【变式7-3]（24-25七年级•辽宁本溪•期末）解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探

究CTU的近似值的过程如下：

•••V100<7110<7121

•••10<VT1O<11

•••面积为110的正方形的边长是

设，HU=10+%,其中0VXV1,

画出示意图，如图所示.根据示意图，可得图中正方形的面积为

S正方形ED=1O2+2X10x+x2,

又'S正方形ABCD=110，

102+2xl0x+x2=110,

当CVxVl时，可忽略公,得100+20%4110,解得“、0.5,

（1）求旧月的整数部分；

（2）仿照该数学爱好小组的探究过程，求45万的近似值（结果保留1位小数）.（要求：画出示意图，标注

数据，并写出求解过程）

【考点8实数与数轴】

【例8】（24-25七年级•浙江杭州•期中）实数。在数轴上对应点A的位置如图所示，若力=|。-同|+

|2-Q|.则：

11111t1.A1,

-4-3-2-10123

（1）6的值是.

（2）g（b+2）的平方根是.

【变式8-1]（24-25七年级•山西长治・期中）数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上

表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为1个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到

【变式8-2]（24-25七年级•浙江杭州•期中）数轴上点A表示的数是-2,点、B,C分别位于点4的两侧,且

到点A的距离相等.若点8表示的数是百，则点。表示的数是.

【变式8-3]（24-25七年级•广东江门•期中）实数。、》在数轴上的位置如图所示.

।1gl[[。।.

-10IX

化简或？-+《(a-匕＞=

【考点9实数的运算】

【例9】(24-25七年级•河北邯郸・期中)任意给出一个非零实数冽，按如图所示的程序进行计算.

(1)当〃时，输出的结果为.

⑵当实数机的一个平方根是时，求输出的结果.

【变式9-1](24-25七年级・重庆云阳・期末)计算：(一1)2。25+|乃一1|=.

【变式9-2](24-25七年级•湖北十堰・期末)计算：

(l)^/25-22+V27

(2)(V2)+|7r-3|+(-l)100

【变式9-3](24-25七年级•山东烟台・期末)(1)若M=(-7)2,砂=(_3)3,请求出血+九的值；

(2)Q是-27的立方根和代的算术平方根的和，b是比大且最相邻的整数，请求出5a+b的立方根

【考点10平面直角坐标系中点的坐标特征】

【例10](24-25七年级•山东荷泽期中)若点力的坐标(%,y)满足条件(％-1)2+仅+2|=0,则点力在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【变式10-1](24-25七年级•浙江绍兴•期末)在平面直角坐标系中，第一象限内一点(m,2m—1)到x釉和y

轴的距离相等，则加=.

【变式10-2](24-25七年级•山东日照・期末)将正整数按如图所示的规律排列下去(第k排恰好排A个数)，

若用有序实数对(％m)表示第n排，从左到右第m个数，如(4,3)表示的实数为9,17可用有序实数对(6,2)表

示，则2024可用有序实数对表示为.

第f

一l

第f

2二

-二l

第f

456三l

第

四f

7839-Ol

【变式10-3](24-25七年级.山东济南.期中)已知点P(2m-6,7兀+1),试分别根据下列条件直接写出点户

的坐标.

⑴点P在y轴上；

⑵点P的纵坐标比横坐标大5；

⑶在(2)的条件下，直线PQIIy轴，且PQ=4,直接写出点。的坐标.

【考点11用坐标表示平移】

【例11】(24-25七年级•吉林松原•期末)如图，在平面直角坐标系％Oy中，A、B、C三点的坐标分别为(-5,4)、

(2)AABC面积为.

(3)如图，△A夕C'是由△48。经过平移得到的.请写出平移的方法.

【变式11-1124-25七年级•安徽安庆・期中)在平面直角坐标系中，若4,8两点的坐标分别是(-5,4),(3,1),

将点B向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点C,则点A与点C()

A.关于入轴对称B.关于y轴对称

C.关于原点对称D.以上都不对

【变式11-2](24-25七年级•安徽蚌埠♦期末)将点P(m-2,3)向右平移3个单位长度到P,且P'在)，轴上,

那么，〃的值是()

A.1B.-1C.-3D.-5

【变式11-3](24-25七年级•辽宁丹东•期末)如图在平面直角坐标系中将团/WCO向右平移得到国

其中点A坐标为(2,3),点。坐标(2,1),点。坐标(1,1),点G坐标(5,1)，则和1BCD在平移过程扫过的面积

即四边形4DGa的面积为.

【压轴篇】

【考点12相交线中的角度计算】

【例12】(24-25七年级•黑龙江哈尔滨•期中)已知：如图,直线4B与直线CD交点O,0E1DC,IE平分乙4。尸.

⑴如图1,求证：0C平分乙80尸；

(2)皿图2,0G,OP,0K,在直线48的下方，若0K平分乙COG,0P平分4BOG,^KOP=25°,求乙力OF的

度数.

【变式12-1](24-25七年级•江苏南京•期末)已知与4BOC互为补角，0D平分4BOC.

(1)如图①，若NAOB=80。，贝iJiBOC=°,LA0D='

(2)如图②,若NA0B=140。，求乙40。的度数;

（3）若乙八。8=心，直接写出乙4。。的度数（用含〃的代数式表示），及相应的〃的取值范围.

【变式12-2]（24-25七年级•广东广州•期末）如图，点。为直线A3上一点，ZBOC=40°,平分NAOC

（1）求乙40。的度数；

（2）作射线0E,使NBOE=[NCO£,求NCOE的度数；

（3）在（2）的条件下，作NFOH=90。，使射线。”在N30E的内部，且NDOF=3N3OH,直接写出NA。”

的度数.

【变式12-3]（24-25七年级•云南由靖•期末）直线CO相交于点O,。21C。于点O,作射线0E,且0C在

的内部.

（1）①当困。尸在如图1所示位置时,若乙BOD=20O/B0E=130。,求“0尸的度数;

②当0从。尸在如图2所示位置时，若OF平分MOE,证明：0c平分410E；

⑵若〃0"=2Z.C0E,请直接写出Z80E与N40C之间的数量关系.

【考点13平行线中的折叠问题】

【例13】（24-25七年级•浙江台州・期末）如图，有一张长方形纸条4BCD,AD\\BC,在线段0E,C/上分别

取点G,H,将四边形CDGH沿直线G"折舂，点C,。的对应点为L,。，将四边形/B/E沿直线E尸折叠，

点A,8的对应点为A,B',设4EFB=a（0<a<90。）.

（备用图）

⑴若C'、。在直线4。的上方，当）=50咀满足CHIEF时,求乙C，G的度数.

（2）在（I）的条件下，猜想直线£7和GH的位置关系，并证明

（3）在点G,〃运动的过程中，若请直接用含有a的式子表示匕G7G的度数

【变式13・1］（24-25七年级•北京期中）学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线机外一点尸画这条

直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图（1）〜（4））.

请你观察图（1）-（4）,完成下面的填空题和选择题.

第一次折叠后（如图（2）所示），得到的折痕AB与直线机之间的位置关系是：将正方形纸

展开，再进行第二次折叠（如图（3）所示），得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是:再将

正方形纸展开（如图（4）所示），可得第二次折痕CD所在的直•线即为过点尸的已知直线〃?的平行线.从

图中可知，小明画平行线的依据有（）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等：

③同位角相等，两直线平行：④内错角相等，两直线平行.

A.①②B.②③C.③④D.①©

【变式13-2］（24-25七年级•山西晋中•期中）综合与实践

折纸是一门占老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索.

图1图2

初步探索

(1)如图1,四边形纸片48CD中，||DC,BCIIAD,^C=100°,点E是线段DC上一点，将纸片力BCD沿BE

折叠，点C的对应点为点。'，测得"BU=20。，求乙1和N2的度数；

深入探究

(2)如图2,小明将纸片换成一张长方形纸片48CD(乙力=ZB=zC=ZD=90。)，点£,小分别是线段AD,

BC上的一点，他先将纸片沿£T折叠，点A,8的对应点分别为点4,夕，4夕与线段4。交于点G,点”是线

段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点。的对应点为点D',使得点9恰好在GD'上，测得NEFB'=62。，则

乙DGH=

【变式13-3](24-25七年级•广西南宁・期中)综合与实践——折纸中的数学：我们在七年级上班第四章《儿

何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理.七年级下册第五章学习了平行线

的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——折纸与平行线.

如图I,长方形纸条48MN中，ABWMN,AN\\BM.第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A,得到折

痕再将纸片展平：第二步，如图2,将折痕4c折到AE处，点8落在夕处;第三步，如图3,将4NED对

折，使点“落在M'处，点N落在N'处，EN'与D夕共线，得到折痕

>—:—:/

/M

图1图2图3

(1)如图2：①若/。口4=36。，则£8'EN=_______；

②若/GM=a,则乙B'£7V=_______(用含a的式子表示).

(2)如图2,47和DE有怎样的位置关系，并说明理由.

(3)如图3,折痕AD和EF有怎样的位置关系，请说明理由.

【考点14平行线中的拐点问题】

【例14】（24-25七年级•黑龙江哈尔滨•期中）如图||CD,LEAF=2乙FAB,乙ECF=2乙FCD、LAFC=16°,

则/力EC的度数为.

【变式14-1](24-25七年级•四川南充・期中)如图,已知48IICD,LPAQ=2乙BAQ,乙PCD=3乙QCD,Z.AQC=

98%则NP=.

【变式14-2］（24-25七年级•湖北恩施•期中）如图，若乙BAP=90。一a,Z.APD=90°4-a,^BAE=zCPF,

CD

【变式14-3］（24-25七年级•甘肃兰州•期中）［问题情境］

在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1,已知直线AB||

CD,点E、G分别为直线48、CD上的点，点F是平面内任意一点，连接EF、GF.

［探索发现】

(1)当，尸=600时，求证；/.AEF+Z.FGC=60°；

［拓展探究］

（2）如图2点P,Q分别是直线CD上的点，且LPFQ=Z.EFG=90°,直线MN||FG,交尸Q于点K,“智胜

小组''探究与4PFE之间的数量关系.请写出它们的关系，并说明理由.

【考点15探究角度之间的关系】

【例15］（24-25七年级•湖南永州•期中）已知，48IICD,点E为射线尸G上一点.

⑵如图2,当点“在PG延长线上时，此时C。与AZ?交于点〃，则乙4£7）、^EAF.々EDG之间满足怎样的关系,

并说明理由.

（3）如图3,当点E在FG延长线上时：OP平分4EDC,且NE4P:NB/1P=1:2,Z,AED=32°,ZP=30°,求NEKQ

的度数并说明理由.

【变式15-1］（24-25七年级•福建福州•期中）已知直线EJMN,点力、8分别为EF,MN上的动点，且80平

图1

(1)如图1,若"*DB=110°,Z-EAC=60°,

①直接写出NOBN的度数;

②求NM8C与41cB的度数.

（2）如图2,延长AC交直线MN于G,GH平分乙AGB交DB『点、H,写出与々GH8的关系，并说明理由.

【变式15-2］（24-25七年级•福建福州♦期中）如图，已知48||。。，CH平分乙BCD交AB于E点,点F是CH上

一动点（点?在的上方）.

（1）如图1,当力尸IICB时，若4=求NB的度数;

（2）如图2,当4F_LCE时，判断乙4与N8数量上有何关系？并说明理由；

（3）若乙4=a。，（ABC=伊，分别作乙4%和乙48。的平分线FG和BG且交于点G,如图3,求出NMG5的度数

（用含a。和口。的式子表示）.

【变式15-3］（24-25七年级•江苏•期末）如图①，已知直线MG，且b和。分别相交于儿B两点,〃和心

%分别交于C，D两点,NACP=/1,乙BDP=乙2,4CPD=23,点P在线段48上.

⑵试找出乙1,d43之间的等量关系，并说明理由；

（3）应用（2）中的结论解答以下问题：如图②，力S在3处北偏东40。的方向上，在C处的北偏西45。的方向上,

求MAC的度数；

（4）如果点P在直线右上且在4B西点外侧运动时，其他条件不变，试探究N1,乙2,43之间的关系（点P和4

8两点不重合），直接写出结论即可.

【考点16平行线中的旋转问题】

【例16］（24-25七年级•江苏徐州•期末）如图，把一副三角板如图1摆放，乙B=60°,ZD=45。，点C在边

。力上，将图中的△AOB绕点。按每秒3。的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时间

为刑.

图2图3

⑴如图2,求当f为多少秒时,ABWCD；（注：要写出求解过程）

(2)如图3,当£=.,秒时，ABWCD；（注：直接写出结果）

【变式16-1]（24-25七年级•河北石家庄•期中）为美化我市夜景，在两栋楼体上安置了两座可旋转探照灯.如

图所示，灯A射线从/1M开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯5射线从8P开始顺时针旋转至BQ便立即回转,

两灯不停交叉照射，若灯4转动的速度是每秒2。，灯4转动的速度是每秒1。.假定两栋楼的墙面是平行的,

备用图

(1)填空：^BAN=_°；

（2）若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯8射线第一次到达BQ之前，求人灯转动几秒，两

灯的光束互相平行.

（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C,在灯8射线第一次到达5Q之前，直接写出转动的时间

为多少秒时，Z-ACB=90°.

【变式16-2]（24-25七年级•贵州遵义・期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光

秀”.“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯.如图1,灯4射线AE自AM开始

顺时针旋转至4N便立即回转，灯B射线B尸自8P开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射.若

灯A转动的速度是3。/秒，灯A转动的速度是1。/秒，两灯同时转动，转动时间为/秒，假定这一带两岸河堤

是平行的，即PQIIMN,R/-BAN=45°.

［\}LEAN=。（用含/的式子表示）；

（2）当£=55时,求乙8£4的度数；

（3）如图2,在灯A射线已转过但未到达4N时.若两灯射出的光束交于点C,过C作交户Q于点Q,

在转动过程中，4BCCNB47的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.

【变式16-3］（24-25七年级•浙江,期末）将一块三角板ABC（zXC5=90°,乙力=30。）按如图①所示放置

在锐角“OQ=a内，使直角边8c落在。Q边上.现将三角板/BC绕点B逆时针以每秒m。的速度旋转£秒（直

角边BC旋转到如图②所示的位置），过点力作MN||OQ交射线OP于点M,40平：分NM/1B,且在旋转过程中，

当t=3秒时，AB1OQ.

（1）求血的值；

（2）当£=4秒时，求NM4c的度数；

⑶在某一时刻，当BCIIOP时，试求出N40。与。之间的数量关系.

【考点17无理数的整数与小数部分的计算】

【例17］（24-25七年级.浙江宁波・期中）19一库的整数部分为a,小数部分为4则2a-b=.

【变式17-1］（24-25七年级•江苏苏州•阶段练习）如图1,把两个面积为1由小的小正方形沿对角线剪开，拼

成一个面积为2dm2的大正方形，所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先面积为1dm2的小正方形

的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为

图2

（1）某同学把长为2,宽为1的两个长方形沿对角线剪开裁剪，拼成如图2所示的•个大正方形.仿照上面的探

究方法求空白部分正方形的面积及其边长”的值；

（2）若c为（1）中”的整数部分，求c的平方根.

【变式17・2】(24-25七年级•甘肃兰州•期中)大家知道鱼是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此鱼的

小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用a-1来表示我的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事

实上小平的表示方法是有道理的，因为a的整数部分是1,用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请

解答：若旧的整数部分为。，小数部分为反

(1)求小。的值；

(2)求小+b一代的值.

【变式17-3](24-25七年级•浙江杭州•期中)以下是小明与老师之间的对话：

小明：张老师，我们知道乃是无理数，无理数就是无限不循环G数，那该如何表示出它的小数部分呢？

老师：小明，因为述的整数部分是2,所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即逐-2.

根据上述对话内容，解答下面的问题：

已知7+“！=%+%其中％是整数，且OVyVl.

⑴"；y=；

(2)求3x+VTT-y的值.

【考点18平面直角坐标系中的面积计算】

【例18】(24-25七年级•安徽安庆期末)如图，在平面直角坐标系无Oy中，点A的坐标为(0,4),点8的坐标

为(4,0),过点。(3,0)作直线CDlx轴，垂足为C,交线段A8于点。，过点A作AE1CD,垂足为&连接BE.

(2)点P为直线CO上一动点，当又相"=SMOB时，求点P的坐标.

【变式18-1](24-25七年级•甘肃酒泉・期中)如图，已知式(-2,0),1(4,0),6(2,4),

(1)求△ABC的面积；

(2)设P为不轴上一点，若S&APC=：S“BC，求P点坐标.

【变式18-2](24-25七年级•安徽安庆・期末)如图，在平面直角坐标系中，点儿8的坐标分别为(3,5),(3,0),

将线段A8向卜.平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD,连接力C,80.

⑴直接写出点C,0的坐标；

(2)M,N分别是线段718,。。上的动点，点M从点/出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点。出发

向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN||x轴；

(3)若P是％轴上的•个动点，当三的形CDP的面积是三角形BDP面积的2倍时，求点P的坐标.

【变式18-3](24-25七年级•安徽安庆・期末)如图①，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A的坐标为

(5,0),将A。向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段8C.连接48MC,0C.

⑵在％轴上是否存在一点0,使得三角形A80的面积等于三角形AOC面积的一半？若存在，请求出点。的坐

标，若不存在，请说明理由：

(3)如图②，若P是直线力8上的一个动点，连接OP,PC,当点P在直线AB上运动时，请直接写出/CPO/BCP,

乙40P之间的数策关系.

【考点19平面直角坐标系中的规律探究】

【例19】（24-25七年级.河南郑州•期中）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，

6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力.无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到

多项技术的深度融合.这其中就包括了精准的定位技术.如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边

长均为1个单位长度,无人机按图中方向飞行,匕（。川）,〃2（U,1），〃3（1，1），匕（1，-1）…根据这个规律，

A.（-505,506）B.（-506,-506）C.（506,-506）D.（506,506）

【变式19-1]（24-25七年级•广西梧州•期末）如图,将点力式1,1）向上平移1个单位，再向右平移2个单位，

得到点%；将点4向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点生；将点&向上平移4个单位，再向

右平移8个单位，得到点4……按这个规律平移得到点力〃，则点42025的横坐标为（）

产

-----------4

武、

0|（1,1）

A.22023B.22024C.22025+1D.22025一1

【变式19-2]（24-25七年级•山东东营•期末）在平面直角坐标系中，直线I：y=x+l与y轴交于点力1，依次

作正方形4B1C1。,正方形4232c2。1，正方形4383c3。2,……使得点4，4,43,……在直线。上，G，G,

C3,……在X轴正半轴上，则点5025的纵坐标为.

【变式19-3］（24-25七年级•江苏连云港•期中）如图.在平面直角坐标系中，四边形力HOC是正方形，点A

的坐标为（1,1）,弧441是以点8为圆心，84为半径的圆弧；弧力"2是以点。为圆心，。必为半径的圆弧；

弧人24是以点C为圆心，C①为半径的圆弧；弧44是以点A为圆心，4小为半径的圆弧.继续以点aO,

C,A为圆心按上述作法得到的曲线44/12力3445…称为正方形的“渐开线”，则点力2024的坐标是（）

A.(1,2025)B.(1,2024)C.(2025,0)D.(2024,0)

【考点20平行线中的多结论问题】

【例20］（24-25七年级.四川眉山.期末）已知直线力BIICZ）,点P在直线之间，连接AP,CP.下面结

论正确的个数为（）

①如图1,若NAPC=a,乙PAB=0,则4PCD=360。-a—0；

②如图2,点Q在之间，当乙QAP=4QA8,乙QCP=LQCD,则4APC+2NAQC=360°；

③如图2,点Q在之间，当/Q4P=2/Q4B,乙QCP=2乙QCD,则N4PC+3/4QC=360°；

④如图3,4的角平分线交C。于M,且AM||。（7,点可在直线48,（；0之间，连接CN,MN,Z.PCN=n乙NCD,

"MN="NMO,">1,贝叱P和“的关系为e=岳（用含"的式子表示,题中的角均指大于0。且小于18。。

的角）.

【变式20-1］（24-25七年级•广东广州•期末）如图，点E在8A延长线上，EC与AD交于点入且4E=

乙B=£D,乙£7弘是N/T8的余角的5倍，点M是线段C8上的一动点，点N是线段MB上一点且满足乙MNF=

（MFN,尸K平分4EFM.下列结论：①8臼|CD；@AD\\CBi③FN平分N4/M；④ND+4E=105c；©Z.KFN=

30°.其中结论正确的个数是（）

【变式20-2］（24-25七年级•山东威海•期中）如下图，△4BC的角平分线8、BE相交于凡4力=90°,EGWBC,

且CG1EG于G,下歹I」结论：①NCEG=2zDCF；®AADC=NGCD；③G4平分NBCG；®ADFB=\z.CGE.其

中正确的结论是（）

A.®@B.①®③C.①②④D.②③④

【变式20-3124-25七年级•重庆云阳•期中）如图,E在线段84的延长线上,"4。=（D,乙B=乙D,EF||HC,

连FH交40于G,"G4的余角比20GH大16。，K为线段BC上一点，连CG,使乙CKG=〃：GK,在乙AGK内

部有射线GM,GM平分乙"GC.则下列结论：®ADIIBC；②GK平分乙AGC；®£FGA=42°：④4MGK=21°.其

中正确结论的个数有（）

C.3个D.4个

【考点21新定义问题】

【例21】（24-25七年级•北京房山・期末）在平面内，对于NP和4Q,给出如下定义：若存在一个常数

使得NP+UQ=180。，则称NQ是NP的“r系数补角”.例如,LP=80°,4=20。,有"+54=180。,

则，Q是，P的“5系数补角”.

（1）若乙P=90。，在△1=60。，42=45°,43=30。中，4P的“3系数补角''是；

（2）在平面内，ABWCD,点E为直浅上一点，点尸为直线CO上一点.

①如图1,点G为平面内一点，连接GE,GF,^DFG=50°,若/BEG是4EG5的“6系数补角”，求MEG的

大小.

②如图2,连接EF.若”为平面内一动点（点〃不在直线88,CD,EF上），±EFH与4FEH两个角的平分

线交于点M.若乙BEH=a,乙DFH=0,iN是NEMF的“2系数补角”，直接写出4N的大小的所有情况（用

含a和0的代