2026年高考数学一轮练习：导数与函数的极值、最值（附答案）

§3.3导数与函数的极值、最值

分值：100分

阈知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

I.函数./U尸93+f-3『l的极小值点是（）

A.lB.（l,

C.-3D.（-3,8）

2.（2024•楚雄模拟）已知定义域为［-3,5］的函数a。的导函数为八x）,且八x）的图象如图所示，贝心）

A./U）在（-2,2）上先增后减

B.7U）有极小值12）

C/U）有2个极值点

D：/U）在.r=-3处取得最大值

3.（2025•苏州模拟）设04〈兀，则函数抬尸等+品的最小值为（）

35

A.lB.-C.2D.-

22

4.（2024.赤峰模拟）已知函数有极值-e,则。等于（）

A.lB.2C.eD.3

5.若函数"r尸e』n（x+〃?）的最小值为2+ln2,则m等于（）

A.-2B.--ln2

2

c.-|D.扣n2

6.已知函数加■）=yin.j/x有两个不同的极值点力，X2（.ri〈n）.狈下列说法不正确的是（）

A。的取值范围是（-8,1）

B.汨是极小值点

C当力£。2,+8)时,/(x)<0

D即必+2一⑸

lnx2+2

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.已知函数./UMPTX2,贝IJ（）

AHK）在（0,1）上单调递减

B./U）的极大值点为2

C«K）的极大值为-2

D«r）有2个零点

8.（2023・新高考全国II）若函数既有极大值也有极小值，则（）

A.Z?c>（）B.abX）

C.b2+^eic>0D.nc<0

三、填空题（每小题5分，共1（）分）

9.若函数八x）=#-4x+〃?在［0,3］上的最小值为4,则〃尸.

10.若函数次幻=#-奴+1|1］在（0,2）上有极值，则实数。的取值范围是.

四、解答题（共28分）

11.（13分）已知函数人0二色x（a£R）.

（I）若八0）=0,求实数。的值；（5分）

（2）讨论函数/U）的极值.（8分）

12.（15分）（2024.新课标全国II）已知函数加"）=e%r-〃3.

⑴当时，求曲线何⑴在点（1,川））处的切线方程；（5分）

（2）若危）有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.（10分）

10能力拓展

每小题5分，共20分

13.设MNO,若。为函数,/（x）=4（x-〃［（x-方）的极大值点，则（）

X.a<hB.a>hC.ab<h2r）.ab>b2

14.若不等式a+2x+\\nx|-l20恒成立，则a的取值范围是.

15.（2024・曲靖模拟）已知函数y（x）=2入ef+18,其中。>0且存1.若J（x）存在两个极值点为，物则实数。的取

值范围为.

16.（2025•湘潭模拟）已知函数“r）=x-alnx（a>0）,记函数产式工），产/（/&））的值域分别为M,N,若N坛M,则

a的取值范围是.

答案精析

LA2.B

3.D［因为O〈v<7t,令usinx,则，■（（）,1］,由以/尸弃三。0^1）可得,当《（0,1］时，葭1）（0,

则的单调递减，所以当t=\时，g⑺有最小值以1）=925，即段）有最小值引

4.B［由题目条件可得，函数段）的定义域为（0,+8）J（x）=lnHl-a令八x）X）,得Qe“"；

令八K）<0,得0<A<e“/.

所以函数人x）在区间（0,e”"）上单调递减，在区间（e"J，+8）上单调递增.

则函数火幻的极小值点是a",无极大值点，

故人e""尸e""lne"Ne0“=-e,

解得（7=2.）

5.B［易知人》）的定义域为（如，+8）,f（x）=e.-L-,

易知f（X）在区间（-〃7,+8）上单调递增，

又当厂-加时，F（X）f-8；当X—+8时+8,

所以存在唯一沏£（・加,+°°）,使得八/0尸0,即xo=-ln（xo+〃D,

所以当x£（-〃i,的）时，/（x）<0；当x£（xo,+8）时，八幻>0,

所以汽幻在区间（-〃？，加上单调递减，在区间（松，+8）上单调递增，

所以加）的最小值为/Uo）=e'o」n（x（）+M=e'o+xo=2+ln2=eln2+ln2,

所以xo=ln2,所以eln2=T~^—,解得/n=^-ln2.］

In2+m2

/.14m、InxVxlnx+2八

6A［令八］尸南+工/==-斫°:

由题意，方程与詈=4在（0,+8）上有两根Xi,X2（XI<T2）,

设孤）=嘿,

yfxlnx+2

K⑴2.r4rg

当O<X<1时，g'a)X),g(x)单调递增,当X>1时，gQ)<0,g(x)单调递减,

所以g(X)max=g(l)=1>0,

当X-0时，g。)二嘿f-8,当xf+8时，网工)二嘿一0,

所以a的取值范围是(0,1),故A不正确；

由A洗项分析可知0<n<1<立，

当0<底国时，八1)</(内)=0，./U)单调递减，

当X1K2时，/(X)M(Xl)=0》(K2),./U)单调递增，

当Q.Q时,/(.V)<f(X2)=0，贯X)单调递减，

所以内是极小值点，故B,C正确；

对于D,因为曾兰二电分=〃，所以产匚二江，故D正确」

27x72y[xl\nx2+2、后

7.AD[由函数凡0=.上3«,可得。x)=3f-643x(『2),

令了5)>0,解得KO或x>2；令人])<0,解得0<1<2,

所以函数人幻在(0,2)上单调递减，在(-8,0),(2,+8)上单调递增，

当％=o时，函数y(x)取得极大值，极大值为人0)=0；

当户2时，函数ZU)取得极小值，极小值为｛2)=-4,

又由上一+8时，40-+8且贝2)=-4<0，火0)=0,所以函数/U)只有两个零点，

所以A,D正确，B,C不正确.]

8.BCD[函数段)=Hn.栏十的定义域为(0,+-),则小)彳备詈吟产

因为函数/U)既有极大值也有极小值，

则函数人”)在(0,+8)上有两个变号零点，而々wo,

因此方程加/x-2c=0有两个不相等的正实数根为，X2,

A=b2+Sac>0,

于是，％]+亚=3>0，

%1%2=—^>0,

即有b2+Sac>0,ab>0,«c<0,

显然u2bc<0,即bc<0,故A错误,B,C,D正确」

9竺

解析八%尸/-4,

当代［0,2)时,/W<0,当xe(2,3］时J@>0,

所以£r)在［0,2)上单调递减，在(2,引上单调递增，

所以J2)为/)在［0,3］上的极小值,也是最小值,

故Lx8-4X2+〃尸4,

3

解得m号.

10.(2,+oo)

解析/U);#-ar+lnx的定义域为(()，+~),f(x)=x-a+^,

要使函数信)=#-办+1114在(0,2)上有极值，则八x)=x-%在(0,2)上有变号零点，

令gO)=x£,xe(0,2),

贝ijg(g+AJ7^=2,

当且仅当41时等号成立，所以a，2.

当a=2时，八幻=x-a+'x+L230,函数/(x)单调递增，

XX

则函数凡¥)=；/“戊+111工在(0,2)上没有极值，故〃>2,

即实数。的取值范围是(2,+8).

11.解(1)由函数人丫尸己+x,

可得/(不)=谭=9，

所以」'(())=平=1-4=0,

解得许1.

(2)函数抬尸专+x的定义域为R,

且小)=1-土黑，

VrV

当时，八x)>0恒成立，

所以负X)在R上单调递增，/U)无极值；

当。>0时，令/(x)>0,解得x>lna；

令八K)V(),解得xvlna,

所以加)在(-8,Ina)上单调递减,在(Ina,+8)上单调递增,

所以汽刈的极小值为1+lna,无极大值.

综上所述，当aWO时，段)无极值；当a>0时，段)的极小值为l+ln〃，无极大值.

12.解⑴当。=1时，

则於尸e'-x-l,

/U)=e'-1,

可得川尸e・2,/(l)=e-l,

即切点坐标为(1,e-2).

切线斜率上e-1,

所以切线方程为

_y-(e-2)=(e-l)(x-l),

(2)方法一因为,/U)的定义域为R,

且八K)二e%,

若。W0,则八戏>()对任意x£R恒成立，

可知£r)在R上单调递增，

无极值，不符合题意；

若〃>0,令人外>0,解得Qina,

令八］)<0,解得x<lna,

可知JU)在(-8,m/上单调递减,

在(Ina,+8)上单调递增，

则於)有极小值/(In«)=«-«lna-cv',无极大值，

由题意可得,fl\nd)=a-a\na-o3<0,

即a2+lna-1>0,

令g(fl)=tr+lna-\,<z>0,

则g'(a)=2〃460,

可知g(a)在(0,+8)上单调递增，

且g⑴=0,

不等式«2+lna-1>0等价于g(a)>g(l),

解得心1,

所以“的取值范围为(I,+8).

方法二因为./U)的定义域为R,

且/V尸.

若风丫)有极小值，

则八))=<?/有零点，

令人力二廿-。=0,可得ex=a,

可知y=ex与产a有交点，则a>0,

令/(A)>0,解得x>lna-

令人*0,解得xvlna,

可知加)在(-8,Ina)上单调递减，

在(Ina,+8)上单调递增,则人幻有极小值川na)=a-alna-/,

无极大值，符合题意，

由题意可得"Ina)=a-a\n。-/<。，即。，皿a-l>0,

令g(a)=/+Ina-\,a>0,

因为产a?,y=\na-1在(0,+8)上均单调递增,

所以式a)在(0,+8)上单调递增，

且g(l)=0,

不等式a2+\n«-1>0等价于g(a)>g(l),

解得“>1,

所以“的取值范围为（I,+8）.

13.C|由三次函数的性质可知，要使。为函数./W=a（x-a）2（心力的极大值点，则

当〃>0时,函数./U）的大致图象如图（1）所示，则0<a<b,此时HA?；

当〃<0时，函数人工）的大致图象如图（2）所示，则b<a<0,此时ab<lr.

综上，ab<b2.]

14.[-In2,+8）

解析不等式a+2vHlnx|-120怛成立，

即。21-2丫加1川恒成立，

设兀r）=l-2x-|lnM,.r^（0,+°°）,

当1时,fix）=1-2x-\nx,

/（x）=-2-i<0,

・・・加）在[1,+8）上单调递减，此时段）；

当（Kc<l时,y（x）=1-2x+lnx,

・•・当上£（0，：）时，/W>0,

当1）时，八幻<0,

・・../U）在（0,3上单调递增，在G，1）上单调递减，此时段）皿m（力吗=-ln2.

综上可知，。的取值范围是|-ln2,+8）.

15.Q,1）U（I,e）

解析对函数/x）=2a'-eA2+18求导得

/(A)=2aKln6z-2eA-2(a'lna-ex),

因为其丫)存在两个极值点，所以八幻有两个变号零点.

令代0=0,有用na=ex,

令/i(A)=avlna,g(x)=ex,

所以h(x)与g(x)的图象有两个交点.

当a>\时,h(x)=aK\na,

h\x)=a\\na)2,

设过原点的直线与h(x)=a'\na