2026华东师大版九年级数学上册第23章《解直角三角形》教案

第23章解直角三角形

23.1测量

【教学目标】

1.熟练运用勾股定理进行测量；（重点）

2.熟练运用相似三角形进行测量.（重点）

【教学过程】

―■、情境导入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学

家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.

你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗?

二、合作探究

探究点利用勾股定理进行测量

颈I如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米,

此人以0.5米每秒的速度收绳.问6秒后船向岸边移动了多少米（假设绳子始终是直的，结果保留

根号）?

c

解析：开始时，AC=5米，BC=13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC,AC长度即可求得

AB的值，然后解答即可.

解:在RtZ\ABC中，BC=13米,AC=5米，贝ijAB=A/BC2AC2=12米.6秒后，13'C=130.5X6

=10米，则AB，=地'C2-AC2=54（米）,则船向岸边移动的距离为（12—5/）米.

方法总结：本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条

件转化到同一直角三角形中求解.

例3如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60。方向走了

10O\Rkm到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间

的距离.

解析：根据所走的方向可判断出AABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解.

北

j

解:VAD//BE,.,・NABE=NDAB=60°.VZCBF=30°,AZABC=180°—NABE-/CBF=

180°-60°-30°=90°.在RtAABC中，AB=100^/5km,BC=100km,AAC=^AB2+BC2=

1

(100V3)2+1002=200(km),：・A、C两点之间的距离为200km.

方法总结：先确定△ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长.

探究点二：运用相似三角形解决高度(长度)测量问题

画❸如图所示，某同学身高(AB)是1.66m,测得他在地面上的影长(BC)为2.49m,如果

这时操场上旗杆的影长为42.31n(BE),那么旗杆的高度(DE)是多少米？

解析：首先根据已知条件求△ABCsaDEB.然后得出比例式，最后求出结果.

解：・・・AC〃DB(平行光)，「・NACB=NDBE,VZABC=ZDEB=90°,AABC^ADEB,，有.

ABBCAB•BE口门叩行■〜日口

G=俞，DE="=28.2m,即旗杆高度是28.2m.

UnntDC

方法总结：同一时刻，同一地点对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的影长之比等于它

们的高度之比.

硒1如图所示，为了估算河的宽度，在河对岸选定一点A,再在河的这一边选定点B和点C,

使得AB_LBC,然后选定点E,使EC_LBC,确定BC与AE的交点D,若测得BD=180rr.,DC=60m,

EC=50m,则河宽为m.

解析：VZABD=ZDCE=90°,ZADB=ZEDC,AAABD^AECD,・••萼=果，AB=^^

llv*vU\_/Ly

BD-EC180mX50m

XVBD=180m,DC=60m,EC=50m,，AB==150m,故填150.

*CD60m

方法总结：被测量对象无法接近，对其宽度的测量便采用此间接的方式完成，构造相似三角

形就是一种行之有效的途径.

【板书设计】

1.运用勾股定理进行测量；

2.运用相似三角形进行测量.

23.2直角三角形的性质

【教学目标】

1.理解并掌握直角三角形的性质；(重点)

2.能利用直角三角形的性质解决问题.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

用两个全等的含30°角的直角二角尺，你能拼出一个等边二角形吗？说说理由，并把你的发

现和大家交流一下.

2

二、合作探究

探究点一：在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半

的O等腰三角形的一个底角为75°,腰长4cm,那么腰上的高是_______cm,这个三角形的

面积是cm2.

A

解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为

30°,依题意画出图形，则有NA=30°,BD±AC,AB=4sm,所以BD=2cm,SAABC=|AC-BD=

]x4X2=4(cm2).故答案为2,4.

方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键.

曲如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东600方向；该船以每小时

10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B

在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里.请你确定轮船到达C处和D处的时

间.

解析：根据题意得出NBAC,ZBCD,NBDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD

的长度.根据速度、时间、路程关系式求出时间.

解：由题意得NBCD=90"-30°=60°,ZBDC=90°-30°=60°.AZBCD=ZBDC=60°,

・・.△BCD为等边三角形.在AABD中，・.・NBAD=90。-60°=30°,ZBDC=60°,AZABD=90°,

即AABD为直角三角形，・・・NABC=30°.,・・BC=20海里，・・・CD=BD=20海里.又・・,BD=1AD,・・・AD

=40海里.・・・AC=AD—CD=20(海里).・・,船的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时

间端=2(h),从A处到D处的时间为^=4(h).・••轮船到达C处的时间为13时30分，到达D

处的时间为15时30分.

方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键,

再利用含30°角的直角三角形的性质解题.

探究点二：直角二角形性质的综合应用

的II如图，折叠矩形的一边AD,使点D落在边BC的点F处，已知AB=12cm,BC=15cm,求：

(1)线段BF的长；

3

（2）线段EC的长.

解析：（1）根据矩形的性质以及折叠的性质求得AF=15cm,AB=12cm,在RtZ\ABF中，勾股定

理即可求解；（2）设EC=xcm,则FC=6cm,DE=12-x（cm）,在RtZXEFC中，根据勾股定理建立方

程，解方程即可求解.

解：（1）・・•四边形ABCD是矩形，・・・AD=BC,DOABNB=NC=90°.二•折叠矩形的一边AD,使点

D落在边BC的点F处,AB=12cm,BC=15cm,.-.AF=AD=BC=15cm.

VAF2-AB2V152-122

在Rt£ABF中，ABF==9cm.

（2）设EC=xcm,DC=AB=12cn,由折叠的性质可得DE=EF=DOEC=12-x（cm）,FC=BC-BF=15-9=6cm,

在R二AEFC中，EF2=EC2+FC2,Z.（12-x）2=x2+62,解得x=4.5.

即EC的长为4.5cm.

方法总结：翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.折叠的性质：折叠是一种对称变换,

它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

【板书设计】

1.直角三角形的性质：

（1）直角三角形两个锐角互余；

（2）直珀三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

含30°锐角的直角三角形的性质

直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半

23.3锐角三角函数

第1课时锐角三角函数

【教学目标】

1.理解正弦、余弦、正切的概念；（重点）

2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.（重点）

【教学过程】

一、情境导入

牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站（点A）与水面（BC）的高度（AB）.斜坡

与水面所成的角（NC）可以用量角器测出来，水管的长度（AC）也能直接量得.

二、合作探究

探究点一：锐角二角函数

【类型一】正弦函数

的II如图，sinA等于（）

4

B

2

A.2B.C.〈D.A/5

解析：根据正弦函数的定义可得sinA=J,故选C.

乙

方法总结：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做/A的正弦，记作sinA.即sinA=

NA的对边a

斜边一c.

【类型二】余弦函数

的❷在RtZXABC中，ZC=90°，AB=13,AC=12,则cosA=()

551212

ARCD

,1312135

解析：・・・RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=13,AC=12,・,.COSA=G=R.故选C.

AD1J

方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值.

【类型三】正切函数

砸1如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，AABC的三个顶点均在格点上，则tanA=

34

A.5-B.5-

BC4

解析：在直角△ABC中，・・・/ABC=90°,・,・加而=内=3.故选以

AD6

方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值.

探究点二：求三角函数值

___3

硒1如图，在aABC中，/C=90°,点D在BC上，AD=BC=5,cosNADC=),求sinB的值.

□

5

3

解析：先由AD=BC=5,cos/ADC=三及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定

□

义解答.

3________

角单：VAD=BC=5,cosZADC=j,ACD=3.ftRtAACD+,VAD=5,CD=3,AAC=-\/?\D2-CD2

=152-32=4在RtZ\ACB中,VAC=4,BC=5,・，,AB=、JAC2+BC2=小2+52=何,AsinB=

AC__4__4迎

讪=而=41・

方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾

股定理是解答此类问题的关键.

的@如图，在AABC中，AD是BC上的高，tanB=cosZDAC.

(1)求证：AC=BD；

12

(2)若sinC=R,BC=36,求AD的长.

1o

解析：(1)根据高的定义得到NADB=NADC=90°,再分别利用正切和余弦的定义得到tanB

ADAD，再利用tanB=cosNDAC得到*=名所以AC=BD；(2)在RtAACD中,根

cosZDAC=-

OlJAL/

据正弦的定义得sinC=^=3可设AD=12k,AC=13k,再根据勾股定理计算出CD=5k,由于

AC1o

BD=AC=13k,于是利用BC=BD+CD得到13k+5k=36,解得k=2,所以AD=24.

AD

(1)证明：:AD是BC上的高，AZADB=ZADC=90°.在RtaABD中，tanB=±,在RtZ\ACD

DIJ

ADADAD

中，cosNDAC=—.VtanB=cosZDAC,/.AC=BD；

ACDDAC

AD12_______

(2)解：在RtZ\ACD中，sinC=—AD=12k,AC=13k,ACD=^/AC2-AD2=5k.VBD

Av115

=AC=13k,.*.BC=BD+a)=13k+5k=36,解得k=2,AAD=12X2=24.

【板书设计】

锐角三角函数

6

1.正弦的定义

2.余弦的定义

3.正切的定义

4.求三角函数值

第2课时特殊角的三角函数值

【教学目标】

1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；（重点）

2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；（重点）

3.能够结合30°、45°、60。的三角函数值解决简单实际问题.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？

问题2：两块三角尺中有儿个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1,分别

求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

二、合作探究

探究点一：特殊角的三角函数值

【类型】利用特殊的三角函数值进行计算

砸1计算：

(l)2cos60°•sin30°一msin450•sin60°；

解析：将特殊角的三角函数值代入求解.

解：（1）原式=2X）x1一镉X半X算=:一,=一1；

3

⑵原式==272-3,

方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值.

【类型二】已知三角函数值求角的取值范围

2

的■若cosa则锐角a的大致范围是（）

A.0°<a<30°

B.30°<a<45°

C.45°<a<60°

D.0°<a<30°

解析：Vcos30°cos45°=坐，cos60°=：,且<<£<坐，/.cos600<cosa<

232

eos45°,I.锐角a的范围是45°VaV60°.故选C.

方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性.

【类型三】根据三角函数值求角度

7

磔3若，5tan(a+10°)=1,则锐角a的度数是()

A.20°B.30°C.40°D.50°

解析：・・・/tan(a+10°)=1,Atan(a+10°)=^~.Vtan30°=牛，Ja+10°=30°,

Aa=20°.故选A.

方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键.

探究点二：特殊角的三角函数值的应用

【类型一】利用三角形的边角关系求线段的长

的❾如图，在AABC中，ZABC=90n,ZA=30n,D是边AB上一点，ZBDC=45rt,AD=4,

求BC的长.

解析：由题意可知ABCD为等腰直角三角形，则BD=BC,在Rt^ABC中，利用锐角三角函数

的定义求出BC的长即可.

解：VZB=90°,NBDC=45。，.・.△BCD为等腰直角三角形，・・・BD=BC.在Rt/^ABC中,tan

BCBC/3

NA=tan30°—TZ>即4_二=；，解得BC=2(4^+1).

ADDC-r46y

方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式

子，求出三角函数值，进而求出答案.

【类型二】判断三角形的形状

的@已知AABC中的NA与NB满足(l—tanA)2+|sinB一半|=0,试判断aABC的形状.

解析：根据非负性的性质求出lanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出NA及NB

的度数，进而可得出结论.

解：V(l-tanA)2+|sinE-^|=0,AtanA=l,sinB=乎，AZA=45°,ZB=60°,

ZC=180°—45°-60°=75°,，△ABC是锐角三角形.

方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为

0时，则其中的每一项都必须等于0.

【类型三】构造三角函数模型解决问题

的总要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算.作RlZ\ABC,使NC=90°,

斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=/,ZABC=30°，：.tan30°卷=J=坐在此图的基

础上，通过添加适当的辅助线，探究tanl5。与tan75。的值.

8

解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tanl5°=歹，tan75°

点求出即可.

解：作NB的平分线交AC于点D,作DE_LAB,垂足为E.〈BD平分NABC,CD1BC,DE1AB,

・・・CD=DE.设CD=x,贝ijAD=l-x,AE=2—BE=2—BC=2一小.在RtZkADE中,DE24-AE2=AD2,

BCA/3

x2十(2—4)2=(1—x)2,解得x=2#—3,・・.tanl50,tan75°

CD—2:一3

=2+4

方法总结：解决问题的关铤是添加辅助线构造含有15°和75。的直角三角形，再根据三角函

数的定义求出15。和75。的三角函数值.

【板书设计】

1.特殊角的三角函数值：

304560

ooQ

S]_亚也

inQ222

C更亚

osQ222

t

也1

anQ3小

2.应用特殊角的三角函数值解决问题.

第3课时用计算器求锐角三角函数值

【教学目标】

1.初步掌握用计算器求三角函数值的方法；（重点）

2.熟练运用计兑器求三角函数值解决实际问题.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

教师讲解：通过上面几节课的学习我们知道，当锐角NA是30°、45。或60°等特殊角时，

可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角NA不是这些特殊角，怎样得到它的

三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值.

二、合作探究

探究点一：用计算器求锐角三角函数值及锐角

【类型一】已知角度，用计算器求函数值

9

砸1用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：

(Dsin47°；

(2)sinl2°30'；

(3)cos25°18'；

(4)sinl8°+cos550-tan59°.

解析：熟练使用计算器，而计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数.

解：根据题意用计算器求出:

(l)sin47°^0.7314；

(2)sinl2°30'^0.2164；

(3)cos25°18'凫0.9041；

(4)sinl8n+cos55"—tan59c弋一o7817.

方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序.

【类型二】已知三角函数值，用计算器求锐角的度数

圆2.已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角NA,NB的度数(结果精确到0.1。)：

(l)sinA=O.7,sinB=O.01；

(2)cosA=0.15,cosB=0.8；

(3)tanA=2.4,tanB=O.5.

解析：由三角函数值求角的度数时，用到鬲,区，画］键的第二功能键，要注意按键的

顺序.

解：(l)sinA=O.7,得NA心44.4°；sinB=O.01得/Bg0.6°；

(2)cosA=0.15,得NA-81.4°；cosB=0.8,得NB-36.9。；

(3)由tanA=2.4,得NA^67.4°；由tanB=O.5,得NB-26.6°.

方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序.

【类型三】利用计算器验证结论

丽(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：

①sin3002sinl5°cosl5°；

②sin3602sinl80cos18°；

③sin4502sin22.5°cos22.5°；

@sin60°_________2sin30°cos30°；

⑤sin8002sin40°cos40°.

猜想：已知0°<a<45°,则sin2a2sinacosa.

(2)如图，在△ABC中，AB=AC=1,ZBAC=2a,请根据提示，利用面积方法验证结论.

解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边，比较大小；(2)通过计算4ABC的

面积来验证.

解：(1)通过计算可知：

①sin30°=2sinl5°cosl5°；

②sin36°=2sinl8°cosl8°；

③sin450=2sin22.5°cos22.5°；

©sin60°=2sin30°cos30°；

⑤sin800=2sin40°cos400:

sin2a=2sinacosa.

10

(2)VSA/\BC=|AB・sin2a•AC=|sin2a

SAABC=TX2ABsina•ACcosa=sina•cos

乙

Q,.*.sin2a=2sinacosa.

方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得

到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到.

【类型四】用计算器比较三角函数值的大小

硒1用计算器比较大小：20sin87°________tan87°.

解析：20sin87°-20X0.9986=19.974,tan87°219.081,V19.974)19.081,

20sin87°>tan87°.

方法总结：利用计算器求值时，要注意计算器的按键顺序.

探究点二：用计算器求三角函数值解决实际问题

的@如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=20km,NCAB=25°,ZCBA=37°,

因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路.

(1)求改直的公路AB的长；

(2)公路改直后比原来缩短了多少千米？

解析：(1)作CH1AB十H.在RtAACH中根据CH=AC-sinZCAB求出CH的长，由AH=AC-cos

NCAB求出AH的长，同理可求出BH的长，根据AB=AII+BH可求得AB的长；(2)在RtZ\BCH中，

CH

由BC=­可求出BC的长,由AC+BC-AB即可得出结论.

sinZCBA

解：(1)作CH_LAB于H.在RtZ\ACH中，CH=AC-sinZCAB=AC-sin25°^20X0.42=8.4km,

CH8.4

AH=AC・cosZCAB=AC•cos250比20X0.91=18.2km.在RtABCH中，BH=

tanZCBAtan37°

11.1km,r.AB=AH+BH=18.2+11.1=29.3km.故改直的公路AB的长为29.3km；

CHCH84

(2)在RtZ^BCH中，BC=.■晨=]4km,则AC+BC—AB=20+14—29.3=

sinZCBAsi…n37。0.6

4.7km.

答：公路改直后比原来缩短了4.7km.

方法总结：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键.

【板书设计】

1.已知角度，用计算器求函数值；

2.已知三角函数值，用计算器求锐知的度数；

3.用计算器求三角函数值解决实际问题.

23.4解直角三角形

第1课时解直角三角形及其简单应用

【教学目标】

11

1.理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未

知元素；（重点）

2.能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活中

的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜.设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直

中心线夹角为NA,过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在RtAABC中，ZC=90°,BC=5.2m,

AB=54.5m,求NA的度数.

在上述的RtAABC中，你还能求其他未知的边和角吗？

二、合作探究

探究点一：解直角三角形

【类型一】利用解直角三角形求边或角

的O已知在RtAABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的对边分别为a,b,c,按下列条件解

直角三角形.

（1）若a=36,ZB=30°,求NA的度数和边b、c的长；

（2）若a=6，Lb=6^/6,求NA、NB的度数和边c的长.

解析：（1）已知直角边和一个锐角，解直角三角形；（2）已知两条直角边，解直角三角形.

解：（1）在RtZ\ABC中，・・・NB=30°,a=36,AZA=90°-ZB=60°,VcosB=-,即c

c

羡疝=近=24^/§,.\b=sir.B•c=]X24嫡=12项;

2

(2)在RtZSABC中，；a=6也,b=6m,AtanA=^=^-f：.ZA=30°,AZB=60°,Z.c

DJ

=2a=12yf2.

方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个

已知元素的关系式求解.

【类型二】构造直角三角形解决长度问题

的■一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB〃CF,ZF=ZACB=90°,NE=

30°,ZA=45°,AC=12位,试求CD的长.

解析：过点B作BMJ_FD于点M,求出BM与CM的长度，然后在AEFD中可求出NEDF=60°,

利用解直角三角形解答即可.

12

解：过点B作BM_LFD于点M,在aACB中，ZACB=99°,ZA=45°，AC=12^2,Z.BC=AC

=12^2.VAB^CF,.e.BM=sin45°BC=12啦X平=12,CM=BM=12.®AEFD中，ZF=90°,

ZE=30°,・・・NEDF=60°,二人二二：；。二4/,，CD=CM—MD=12—4第.

方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关

系进行解答.

【类型三】运用解直角三角形解决面积问题

____3

砸1如图，在△ABC中，已知NC=90°,sinA=y,D为边AC上一点，ZBDC=45°,DC=

6.求AABC的面积.

CD八

解析：首先利用止弦的定义设BC=3k,AB=7k,利用BC=CD=3k=6,求得k值，从血求得

AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进一步求解.

BC3

解：VZC=90°,・••在RlZ\ABC中，sinA=/=；,设BC=3k,则AB=7k(k>0),ftRtA

ADi

BCD中，VZBCD=90°,.,.ZBDC=45°,AZCBD=ZBDC=45°,ABC=CD=3k=6,.\k=2,

・・・AB=14.在RtZXABC中,屁=582-1^2=4142-62=4四,.\SAABC=^AC•BC=^X4y/wx

6=12，五所以AABC的面积是12班.

方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程

解答.

探究点二：解直角三角形的简单应用

【类型一】求河的宽度

m根据网上消息、，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸

的新大桥.如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥

AB的直线型道路1上测得如下数据：ZBDA=76.1°,ZBCA=68.2°,CD=82米.求AB的长(精

确到Q1米).参考数据：sin76.l°^0.97,cos76.1°^0.24,tan76.1°0；sin68.2°^0.93,

cos68.2°^0.37,tan68.2°*2.5.

解析：设AD=xm,则AC=(x+82)m.在RtZXABC中,根据三角函数得到AB=2.5(x+82)m,

在R二AARI)中，根据二角函数得到AR=4x,依此得到关于x的方程，进一步即可求解.

13

AB

解：设AD=xm,贝ljAC=(xI82)m.在RtAABC中，tanZBCA=—,AAB=AC-tanZBCA=2.5(x

+82).在Rt/XABD中,tanNBDA=牌,.・・AB=AD・tan/BDA=4x,・..2.5(x+82)=4x,解彳导x=¥.

zlU15

410

AAB=4x=4X—^546.7m.

答：AB的长约为546.7m.

方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出

所要求的物体的高度或长度.

【类型二】求不可到达的两点的高度

如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm,灯罩BC长为20cm,底座厚度为

2cm,灯臂与底座构成的/BAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,

此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少（结果精确到0.1cm,参考数据：4%1.732）?

解析：首先过点B作BF_LCD于点F,作BGJ_AD于点G,进而求出FC的长，再求出BG的长,

即可得出答案.

解：过点B作BF_LCD于点F,作BGJ_AD于点G,・••四边形BFDG是矩形，・・・BG=FD.在

入△BCF中，NCBF=30°,ACF=BC-sin30°=20X；=10cm.在RtZ\ABG中，VZBAG=60°,

乙

.*.BG=AB-sin60°=30X乎=154cm,JCE=CF+FD+DE=10+154+2=12+

38.0（cm）.

答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.

方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三

角形问题.

【板书设计】

1.解直角三角形的基本类型及其解法；

2.解直角三角形的简单应用.

第2课时仰角、俯角问题

【教学目标】

1.使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；（重点）

2.初步掌握将实际问题转化为解直角二角形问题的能力.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

14

，凶口角水平线

［、^线

在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线

就构成了直角三角形.当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰

角，在水平线下方的角叫做俯角.今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题.

二、合作探究

探究点：利用仰（俯）角解决实际问题

【类型一】利用仰角求高度

的II星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的

高度.如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角a为45°,小涛站在B处测得塔顶C的仰角B

为30°,他们又测出A、B两点的距离为的.5m,假设他们的眼睛离头顶都是10cm,求塔高（结果

保留根号）.

解析：设塔高为所利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用犷tan3。。，求出x的值

解：设塔底面中心为0,塔高xm,MN〃AB与塔中轴线相交于点P,得到△CPM、4CPN是直角

x—（］6—01）CP

三角形，则:-----K―:——=tan45°,Vtan45°=1,；.PM=CP=x—1.5.在RtZ\CPN中，—=

IMrlN

x-1.5“口83^3+89

tan30,即x-1.5+41.5=号斛得4

小田用^83市+89

答：塔高为言in.

方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形.

当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.

【类型二】利用俯角求高度

福如图，在两建筑物之间有一旗杆EG,高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建

筑物的墙角C点，且俯角Q为60°,又从A点测得D点的俯角&为300.若旗杆底部G点为BC

的中点，求矮建筑物的高CD.

15

*CiniM

6C

解析：根据点G是BC的中点，可判断EG是aABC的中位线，求出AB.在RtZXABC和RtZ^AFD

中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF,继而可求出CD的长度.

解：过点D作DF_LAF于点F,,・,点G是BC的中点，EG〃AB,...EG是AABC的中位线,...AB

=2EG=30m.在RtAABC中，VZCAB=30°,.-.BC=ABtanZBAC=30X^=RtAAFD

J

中,VAF=BC=l（）V3m,AED=AF-tanP=1073X-^-=10m,.*.CD=AB-FD=30-10=20m.

o

答：矮建筑物的高为20nl.

方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数

的知识求解相关线段的长度.

【类型三】利用俯角求不可到达的两点之间的距离

砸1如图，为了测量河的宽度AB,测量人员在高21n的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处

的俯角为45°,测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约是

多少m（精确到0.1m,参考数据：出y1.41,班21.73）?

解析：在RtZ\ACD中，根据已知条件求出AC的值，再在RtZ\BCD中，根据NEDB=45°,求

出BC=CD=21m,最后根据AB=AC—BC,代值计算即可.

解「,在RSACD中，CD=21,NDAC=3。。，・・・AC="m.•・•在RtABCD

m噬=22

3

中，ZEDB=45°,AZDBC=45°,.-.BC=CD=21m,・・・AB=AC-BC=21/-21-15.3（m）.则河

的宽度AB约是15.3m.

方法总结：解决此类