第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第1节 集合（原卷版及解析版）

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.1集合

【高考预测】预测2027年高考集合考向仍以集合的概念与表示、元素与集合关系、集合间

的包含与相等、交集并集补集运算为基础主干，常结合一元二次不等式、分式不等式、绝对值

不等式、函数定义域值域、简易逻辑综合命题，题型固定以选择题开篇为主，注重以不等式解

集、离散数集、点集为载体考查集合运算与数形结合，强化与常用逻辑用语、函数不等式的交

汇渗透，稳中求新、侧重基础运算与逻辑辨析，突出小考点综合性、易错点辨析及数学抽象与

运算求解能力的考查。

【双基自测•明考向】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

(1)集合{xWNIx^x},用列举法表示为{4,0,1}.()

⑵区产}={比=炉+1)={(x,)沁=炉+1},()

⑶若1£{x2,x),则x=-l或x=L()

(4)对任意集合4,B,都有(ArW)G(AUB).()

2.(2025•全国I卷)已知集合{小是小于9的正整数},A={[,3,5},贝中元素的个数为()

A.OB.3C.5D.8

3.(2023•全国乙卷)设集合U=R,集合M={小<1},心{斗10<2},则{加22}等于()

A.[t<MU7V)

C.[L<MA7V)D.MU[W

4.已知集合M={X|-1<A<3},N=(水1〃},若MClN=M,则实数a的取值范围是.

【核心梳理•明考点】

1.集合与元素

⑴集合中元素的三个特性：、、.

(2)元素与集合的关系是—或,用符号且或g表示.

(3)集合的表示法：、、.

(4)常见数集的记法

非负整数集(或

集合正整数集整数集有理数集实数集

自然数集)

符号NN♦（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(I)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集

合A为集合B的子集，记作—(或83A).

(2)真子集：如果集合AG4,但存在元素x^B,且K4,就称集合A是集合B的真子集，记作室(或

(3)相等：若AG8,且,则

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为。.空集是的子集，是的真子

集.

3.集合的基本运算

B微点提醒

1.掌握有限集了集个数的结论

若有限集A中有〃个元素，则4的子集有2〃个，真子集有(2勺)个，非空子集有(2”・1)个，非空真子集

有(2"-2)个.

2.灵活应用两个常用性质

(l)l：c<AnB)=(CM)U(CaB).

(2)l：c<AUB)=(CM)n(C^).

3.牢记两个注意点

(1)在应用条件时要树立分类讨论的思想，将集合4是空集的情况优先进行讨

论.

⑵在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.

【题型突破•明方向】

题型一集合的含义与表示

例1(1)(多选)下列各组中M,2表示不同集合的是()

A.M={3,-1),P={(3,-1))

B.M={(3,1)),尸二{(1,3))

C.A/={y|y=x2+l,x£R},P={x|x=F+l,rCR)

D.M={y|y=r2-1,x£R},P=((x.y)l>,=^2-1»x£R}

(2)已知集合A={-1,a2-2a+1,4-4},若4WA,则a的值可能为()

A.-1,3B.-l

C.-l,3,8D.-l,8

【跟踪训练】1已知a,bGR,若{a,5,1}={〃，a+b,0},则/。26+〃026二.

题型二集合间的基本关系

例2(1)(2026•青岛模拟)已知全集U=R,集合A,8满足AFACW),则下列关系一定正确的是()

A.A=BB.8G4

c/n([u8)=0D.(Ct^)nB=0

(2)己知全集。=1<,集合A=3-2WxW7},3={M〃2+lWxW2〃?-l),若AG[述，则实数机的取值范围

是.

【跟踪训练】2(1)(2025•汕头模拟)若集合4={疝”2)f+2/心-1=0}恰有两个子集，则实数m的值是

()

A.-2或1B.2或1

C.-2D+2或1

(2)(多选)已知集合/(-1,1},7V={X|/MX=1),且NMM,则实数〃?的值可以为()

A.-2B.-lC.OD.1

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3(1)(2022・新高考全国I卷)若集合M=3«<4},N={x|3x21},则MCN等于()

A.{x|0Wx<2}B.{x||<%<2]

C.{x|3^x<16)D.[x||<x<16}

(2)(2025•天津)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3),B={2,3,5},则[u(AU8)等于()

A.{1,2,3,4)B.{2,3,4)

C.{2,4)D.(4}

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例4(2026•衡水模拟)己知集合A={xb，=ln(l-/)},若([RA)U8=R,则实数。的取值范

围为()

A.(l,+8)B.[l,+8)

1)D.(-8,i]

命题点3集合的应用

(链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过

程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计

算的数目排除出夫.

我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A=Q,

b,c),贝ijcard(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A,B,C三类,那么，card(AU8U

C)=card(4)+card(8)+card(C)-card[ACl8)-card(8nC)-card(AnC)+card(ACl3nC).

例5某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队

24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，

则三项都参加的人数为()

A.2B.3C.4D.5

【跟踪训练】3(1)(2025・广东八校联考)设集合A={x|lO<2},B={x\x<a],若AA8=A,贝lja的取值

范围是()

A.[l,+8)B.[2,+8)

C.(-8,1]D.(-8,2]

(2)(多选)已知全集U=R,集合M=3-3Wx<4},N={x|F-2x-8W0},贝U()

A.MUN={H-3Wxv4}

B.MnN={x|-2<<4}

CDUM)UN=(-8,-3)U[-2,+8)

D.Mn([uN)=(-3,-2)

(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165

人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的

有90人.则参加竞赛的学生总人数是

题型四集合的新定义问题

例6(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意小b£P,都有“b,蓝(除

数。W0),则称尸是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集片〃£Q}也是一个数

域.下列关于数域的命题中是真命题的为()

A.0,1是任意数域中的元素

B.若数集M,N都是数域，则MUN是一个数域

C.存在无穷多个数域

D.若数集M,N都是数域，则有理数集QGA/nN

【跟踪训练】4(多选)(2025・渭南模拟淀义集合A与8的运算：48={4v£R,且点(AU8)},A。4{.巾:

eR,且依(AC1B)}.已知A=(-l,41，B=[0,7),贝lj()

A.4B=(-8,-1]U[7,+oo)

B.4O8=(-8,0)U(4,+8)

C.4([R8)=[4,7]

D.(CRA)OB=(-OO,4]U[7,+8)

【限时训练】

(60分钟)

21知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.(2025•全国0卷)已知集合A二{40,1,2,8),B={小占汨，则”18等于()

A.(0,1,2|B.{1,2,8}

C.{2,8}D.{0,1}

2.(2023•全国甲卷)设全集U=Z,集合M=&k=3〃+1,&WZ},2{小=3k+2,kGZ),则[认仞UAQ等于()

A.{.v|x=3Zc»kQZ)

B.{巾=3hl,&£Z}

C.{x|x=3〃-2,keZ}

D.0

3.(2025・淄博模拟)已知集合A二{e,Iogo.20.3,202),集合8={处(1次)>0},则A08的子集的个数为()

A.lB.2C.4D.8

4.(2026・宝鸡模拟)若集合4={工£网底2+1=0}中只有一个元素，则实数。等于()

A.lB.OC.2D.O或1

5.（2023•新课标H卷）设集合A={Q,-a},B={1,a-2,2a-2]f若AGS,则a等于（）

2

A.2B.lC.jD.-l

6.（2026•保定模拟）如图,已知全集U={-2,・1,0,1,2,3},集合A={1,2,3）,8={x£Z|（x+2）（x-l）＜0},

则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{2}B.{3}

C.{2,3)D.[2,3]

7.(2()2().新高考全国I卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的

学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比

例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

8.设集合/={1,3,5,7),若非空集合A同时满足：①AM/；②card(A)Wmin(A)(其中card(A)表示A中

元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为/的一个“好子集”，则/的所有“好子

集”的个数为()

A.7B.8C.9D.10

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.已知48是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是()

A.AC\I3=0

C.([uA)UA=U

D.(lM)U([M)=[MAn4)

1().已知/\={小2+〃计1=()},加={小＞()},若ACM=0,则实数p的可能取值为()

A.OB.-3C.3D.-

3

11.(2025•聊城模拟)已知㈤表示不超过x的最大整数,例如：[2.1]=2,[-3.5]=4[0]=0,A=(y\y=[x]t

-1.1＜XW3.2},B={y|-10WyW/n},下列说法正确的是()

A.集合A={-1,0,1,2,3)

B.集合A的非空真子集的个数是62

C若是“)，£8”的充分不必要条件，则〃?的取值范围是[3,+-)

D.若AnB=0,则加的取值范围是(-8,-2)

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.[2025・上海改编)已知全集小32辽工<5},集合4={x]2Wx<4},则(以二.

【答案】{x|4«5}

【解析】根据补集的含义知CuA={x|4<xW5}.

13.[2025・南京模拟)已知非空集合4={川〃-14<2〃+3},B={x\-2^x^4].AC\(lRB)=A,则实数a的取值范围

为.

14.(2025•六盘水模拟)定义集合片-{3|，傲，…，陶⑶，6,…，a、£A},比如：若A-{1,2},则A2T(1,

1),(1,2),(2,1),(2,2)}.把集合A"中满足条件n+s+…+Wp的元素组成的集合记为A”(p)，即A"(p户](m,

。2，…，cin)\a1+«2+,•,+an=p>a\ta?，…，已知集合+={1,2,3,4,5,6)»则

(1)集合并(6)中的元素个数为；

⑵若屋(〃)中的元素个数为56,则p的值为.

J能力拓展

[每小题5分,共10分]

15.(2020•浙江)设集合S,T,SGN"，TQN\S,7中至少有2个元素，且S,T满足:

①对于任意的x,S,若x^y,都有xy^T-,

②对于任意的x,y^T,若x<y,则衿S.

下列命题正确的是()

A.若S有4个元素，则SU7有7个元素

B.若S有4个元素，则SU7有6个元素

C.若S有3个元素，则SUT有5个元素

D.若S有3个元素，则SU7有4个元素

16.设全集8{1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如{1,3}表示的是

从左往右第1个字符为1,第3个字符为1,其余均为0的6位字符串101000,并规定空集表示的字符

串为000000.

(1)若心{2,3,6},则(“N表示的6位字符串为；

(2)若B={5,6},集合AU8表示的字符串为011011,则满足条件的集合A的个数为.

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.1集合

【高考预测】预测2027年高考集合考向仍以集合的概念与表示、元素与集合关系、集合间

的包含与相等、交集并集补集运算为基础主干，常结合一元二次不等式、分式不等式、绝对值

不等式、函数定义域值域、简易逻辑综合命题，题型固定以选择题开篇为主，注重以不等式解

集、离散数集、点集为载体考查集合运算与数形结合，强化与常用逻辑用语、函数不等式的交

汇渗透，稳中求新、侧重基础运算与逻辑辨析，突出小考点综合性、易错点辨析及数学抽象与

运算求解能力的考查。

【双基自测•明考向】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“x”)

(1)集合{x£N|?=x},用列举法表示为{“，0,1).()

(2)3产占1}={m=『+1}={。，)2=f+1}.()

⑶若1£{x2,x］,则x=-l或x=l.()

(4)对任意集合A,B,都有()

【答案】(1)X(2)X(3)X(4)4

2.(2025・全国I卷)已知集合U={.也是小于9的正整数},A={\,3,5},则［以中元素的个数为()

A.OB.3C.5D.8

【答案】C

【解析】因为U二{1,2,3,4,5,6,7,8),A={1,3,5),所以［以={2,4,6,7,8},故［以中元

素的个数为5.

3.(2023•全国乙卷)设集合U=R,集合M={小<1},N={x|-l<x<2),则{加22}等于()

A.［tXA/U/V)B.AMUM

ChMlMD.MU(UN

【答案】A

【解析】由题意可得MUN={X|A<2},

则］(XMUM={4r22},故A正确；

={巾21},

则NU［研={3［},故B错误;

Mn^=(x|-i<x<i|,

则[MMCIN)={.很W・1或x21},故C错误；

Ct'A^={x|x<-l或x22},

则MU[UN={HK<1或x22},故D错误.

4.已知集合M={R-V<3},2{小沁},若MCI2M,则实数。的取值范围是—

【答案】(-8,-1]

【解析】因为MCN-M,所以MGN,所以“W-1.

【核心梳理•明考点】

1.集合与元素

(I)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且或色表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

非负整数集(或

集合正整数集整数集有理数集实数集

自然数集)

符号NN+（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合3中的元素，就称集

合A为集合B的子集，记作回(或33A).

⑵真子集：如果集合AG8,但存在元素工£3,且KA,就称集合A是集合B的真子集，记作恒(或

8M.

(3)相等：若AGB,且0,则

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子

集.

3.集合的基本运算

X.表示

运广、集合语言图形语言记法

并集[如三4或xd(3E)AUB

交集-EA,且(亚)AOB

补集U,且LuA

国微点提醒

1.掌握有限集子集个数的结论

若有限集A中有〃个元素，则儿的子集有2〃个，真子集有(2」)个，非空子集有(2〃・1)个，非空真子集

有(2”・2)个.

2.灵活应用两个常用性质

(2)kAU5)=(C〃A)n(Cu3).

3.牢记两个注意点

(1)在应用条件时要树立分类讨论的思想，将集合4是空集的情况优先进行讨

论.

(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.

【题型突破•明方向】

题型一集合的含义与表示

例1(1)(多选)下列各组中2表示不同集合的是()

A.M={3,-1),尸二{(3,-1)}

B.M={(3,1)),P={(1,3))

C.Af={y|y=x2+l,x^R),P={x|x=/2+l,/GR)

D.M={}i},=x2-!,x£R},P={(x.j)ly=^2-1»x£R}

【答案】ABD

【解析】选项A中，M={3,・1}是数集，P={(3,-1)}是点集，二者不是同一集合，故MWP；

选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故MWP；

2

选项C中，M={地=f+1,x£R}=[l,+8),P={x\x=l+\ir£R)=[l,+°°),故M=P；

选项D中，M是二次函数产f-1,x£R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数)=f-l,x£R图

象上所有点组成的集合，故MNP.

(2)已知集合4={-1,a2-2a+1,4-4},若4WA,则a的值可能为()

A.-1,3B.-1

C.-1,3,8D.-1,8

【答案】D

【解析】由题意，若。2-2。+1=4,解得斫3或斫-1,若。-4=4,解得诉8,

当a=・l时，A={-1,4,-5}满足题意；

当以-3时，A-{-l,4,-1}违背了集合中元素间的互异性；

当。=8时，A={-1,4,49}满足题意，

综上所述，。的值可能为-1,8.

【思维升华】解决集合含义问题的关键点

(I)确定集合中的代表元素.

(2)确定元素的限制条件.

(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入脸证，防止与集合中元素的

互异性相矛盾.

【跟踪训练】1已知a,beR,若{a,5，1}={标，a+b,0),则a20%+〃026=

【答案】1

[解析]由巳知得a#0,则2=0,所以b=0,

a

于是々2=1,即a=l或a=-l,

又由集合中元素的互异性知，应舍去，故加-1,

0262

所以cr+/>026=(一])2026_|_Q2026—J

题型二集合间的基本关系

例2(1)(2026•青岛模拟)已知全集U=R,集合A,8满足A£(ACW),则下列关系一定正确的是()

A.A=BB.BQA

c./in(C(/B)=0D.([M)nB=0

【答案】c

【解析】因为集合A,8满足AG(AnB),

故可得AG8,

对A,当A为8的真子集时，不成立；

对B,当A为8的真子集时，也不成立；

对cAn([^)=0,恒成立；

对D,当A为8的真子集时，不成立.

(2)已知全集。=&集合A={M-2WX<7},4={X|〃7+1WXW2〃?-1},若AC［通，则实数用的取值范围

是.

【答案】(-8,2)U(6>+°°)

【解析】①当8W0时，〃z+lW2〃?-l,即机22,因为集合A={x|-2WxW7),

B={x|m+1WxW2m-\},则［uB={x\x<m+1或x>2m-1},

又AG「uB,则m+1>7或2〃z-1<-2,解得m>6或/〃<-；,又22,所以m>6；

②当8=0时，〃即机<2,此时>后二R,符合题意.

综上所述，实数机的取值范围为〃?<2或小>6.

【思维升华】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空巢的情况，否则易造成

漏解.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数

所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

【跟踪训练】2(1)(2025•汕头模拟)若集合4={疝”2)/+2/心-1=0}恰有两个子集，则实数m的值是

()

A.-2或1B.2或I

C.-2D.±2或1

【答案】D

【解析】因为集合人={冰"卜2)『+2〃犹-1=0}恰有两个子集，则集合A只有一个元素，

即关于x的方程(怙2濡+2〃31=0只有一个实数根，分以下两种情况讨论：

当时2=0,即〃?=2时，原方程为4片1=0,解得广；，符合题意；

当.'«-2^0,即〃学2时，贝1/=4〃尸+4(〃2-2)=4(〃P+〃卜2)=0,

解得加=1或in=-2.

综上所述，形=±2或1.

(2)［多选)已知集合M={-1,1},N={x|〃gl},且NGM,则实数〃?的值可以为()

A.-2B.-lC.OD.1

【答案】BCD

【解析】当20时，满足NEM,此时〃尸0；

当NW0时，mW0,

解mx=1可得，x=—.

m

因为NJM,所以工=-1或2=1.

mm

当二=_]时,〃?=-];

当二=1时，"7=1.

综上所述，〃?=0或〃?=-1或加=1.

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3(1)(2022・新高考全国I卷)若集合y<4},N="|3xNl},则"ClN等于()

A.{x|0Wx<2}B.[x^<x<2]

C.{x|3Wxvl6}D.{x||<x<16]

【答案】D

[解析】因为M={A|VX<4),所以{x|0Wxv16}；

因为N={x|3x21},所以N={xk>|j.

所以MAN-116卜故选D.

(2)(2025•天津)已知集合U={1,2,3,4,5),A={1,3},B={2,3,5),则CMAUB)等于()

A.(l,2,3,4}B.(2,3,4|

C.(2,4)D.(4}

【答案】D

【解析】由A={1,3},B={2,3,5),则AUB={1,2,3,5),

又集合U={\,2,3,4,5),

故(M4U5)={4}.

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例4(2026•衡水模拟)已知集合A=3)，=ln(l-/)},8={小<。},若([RA)U8=R,则实数。的取值范

围为()

A.(l,+8)B.[l,+8)

C.(-8,1)D.(-8,1]

【答案】B

【解析】由题可知A=(妙=ln(l-W)}

={.r|-I<r<l},

%4={也忘1或X21}，

所以由([R4)UB=R,得

【思维升华】对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合

中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

命题点3集合的应用

(链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过

程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计

算的数目排除出去.

我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A二{小

b,c},则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有4,B,C三类，那么，card(AU8U

C)=caid(/4)Icard(B)icard(C)-card(z4A5)-card(BPC)-card(A0C)।card(ACBGC).

例5某校初一(4)班有学牛.46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队

24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人,

则三项都参加的人数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】设集合A={Hr是参加足球队的学生},

集合8二{xk是参加排球队的学生},

集合C二{人就是参加游泳队的学生},

则card(A)=25,card(B)=22,card(C)=24,

card(AriB)=12,card(BnC)=8,card(/\ClC)=9.

设三项都参加的有/"人，即card(An8nC)="?,card(AUBUC)=46,

所以由card(4UUC)=card(?l)+card(B)+card(O-card(/^A^)-card(C)-card(4AC)+card(ACl7^0C),

即46=25+22+24-12-8-9+/〃，

解得〃-4,

故三项都参加的有4人.

【思维升华】在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠

或包含关系的问题，确保计算结果的准确性.

【跟踪训练】3(1)(2025・广东八校联考)设集合A={x|l〃v2},B={x\x<a]t若AD8=A,则。的取值

范围是()

A.[l,+8)B.[2,+8)

C.(-8,1]D.(-oo,21

【答案】B

【解析】由4n8=4知

又A={x[l<x<2},B={x\x<a}f所以

(2)[多选)已知全集U=R,集合M={R-3Wxv4},N={小也区在。},则()

A.MU2{H-3Wx<4}

B.MnM=3-2Wx<4}

C.([UM)UN=(-8,-3)U[-2,+<«)

D.Mn([0-AO=(-3,-2)

【答案】BC

【解析】由F2x・8W0,得・2WxW4,所以N={x|-2WxW4},

对于选项A,〃UN-3-3WAW4},故A错误；

对于选项B,MA/V={x|-2^x<4),故B正确；

对于选项C,由于CuM=(-8,-3)U[4,+OO),故([UM)UN=(-8,-3)U[-2,+«>),故C正确;

对于选项D,由于1U2(-8,-2)U(4,+8),故Mn([uN)=[3-2),故D错误.

(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165

人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的

有90人.则参加竞赛的学生总人数是.

【答案】281

【解析】由题意，用A,&。分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，

贝ijcard(4)=203,card(B)=179,card(C)=165,

card(/inB)=143,card(BAC)=97,card(AClC)=l16,card(AClBnC)=90,

因比card(AUAUC)=card(/4)+card(B)+card(C)-card(An^)-card(RnC)

-card(AAO+card(AABA。=203+179+165-143-97-116+90=281.

所以参加竞赛的学生总人数是281.

题型四集合的新定义问题

例6(多选)设尸是一个数集，且至少含有两个数，若对任意小bQP,都有a+4蓝£尸(除

数。W0),则称。是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集4{〃+〃&•，也是一个数

域.下列关于数域的命题中是真命题的为()

A.0,1是任意数域中的元素

B.若数集N都是数域，则历UN是一个数域

C.存在无穷多个数域

D.若数集M,N都是数域，则有理数集QGMnN

【答案】ACD

【解析】对于A选项，由定义可知，对任意的数域P,至少含有两个数，则至少有一个非零元素

所以有故正确；

-a=1£P,A

对于B选项，假设数域M={"6②a,/?eQ},N={a+b®a,bGQ),则当m&EM,.y=VJeN时，x

£MUN,y£MUN,x+产或且x+)，=应+g6N,

故x+)=&+百住MUN,故B错误；

对于C选项，可以利用题中的教域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z,

集合P={a+/八夕|〃，〃£Q}都是教域，这样就有无穷多个数域，故C正确；

对于D选项，在A选项的基础上进行证明：任意数域P,都有有理数集QGP.

因为0,I是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差，

故所有整数都属于数域P,

又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属干数域P,即QGP,

所以QGM,QGN,即QGMCM故D正确.

【思维升华】此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依

托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力.

【跟踪训练J4(多选)(2025・渭南模拟)定义集合4与8的运算:£R,且m(AUB)),4。8={小

eR,且上(AAB)}.已知A=(-l,4J,B=[0,7),则()

A.A-8=(-8,-1]U[7,+8)

B.4OB=(-8,0)U(4,+8)

CJH[R8)=[4,7]

D.([RA)OB=(-8,4]U[7,+8)

【答案】ABD

【解析】VA=(-1,4],gO,7),

・"U8=(-1,7),AClg。4],

•"♦8=(-8,-1]U[7,+8),

AoB=(-°°,0)U(4,+8),选项A,B正确；

V[RB=(-°O,())U[7,+8),

・・・4U(CR8)=(-8,4JU17,+8),

，4([R8)=(4,7),选项C错误；

V[RA=(-OO,-1]U(4,+8),

A(CRA)nB=(4,7),・・・(CRA)°B=(-8,4]U[7,+8),选项D正确.

【限时训练】

(60分钟)

□]知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.（2025•全国H卷）已知集合）={40,1,2,8）,B=[x^=x]f则415等于（）

A.[0,1,2}B.{1,2,8）

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【解析】6={小（xM）=0}={0,-1,1],故AD8={0,1}.

2.（2023•全国甲卷）设全集U-Z,集合知一{川-3&+1,&WZ},N-{A|A-3&+2,k^Z],贝此贸何UN）等丁（）

A.{x|x=3&,&£Z}

B.{x|x=3M,keZ]

C.{xk=3h2,kGZ\

D.0

【答案】A

【解析】方法一A/-{…，-2,1,4,7,1（）,

心{…，-1,2,5,8,11,-）,

所以MU2{…，-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},

所以（u（MUN）={…，-3,0,3,6,9,…},其元素都是3的倍数，

即〔u（MUM={4V=3k,kGZ].

方法二集合MUN表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.

02

3.（2025・淄博模拟）已知集合4={e,log（）,20.3,2）,集合8={.小（1㈤>0},则ACI8的子集的个数为（）

A.lB.2C.4D.8

【答案】B

【解析】因为集合B={xMl-x）X））=M0<x<I）,

02

且e>l,0<log0,20.3<l,2>1,可得AC18={log也20.3},

所以AC18的子集的个数为2.

4.（2026•宝鸡模拟）若集合4={]£1<|加2+1=0}中只有一个元索，则实数。等于（）

A.lB.OC.2D.0或1

【答案】D

【解析】当。=0时，由苏-21+1=0可得户也满足题意；

当q关0时，则浸2:+1=0满足/=（-2）2"4O=0,解得a。.

综上，实数。的值为0或1.

5.（2023•新课标0卷）设集合A={O・a},B={1,。2,2a.2},若A£B,则。等于（）

2

A.2B.lC.gD.-1

【答案】B

【解析】若。-2=0,解得4=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意;

若2〃-2=0,解得“1,此时A={0,-1),B={1,-1,0),符合题意.

综上所述，a=\.

6.(2026・保定模拟)如图，已知全集t/={-2,-1,0,1,2,3),集合A二{1,2,3),B={x£Z|(x+2)(x・l)W0},

则图中阴影部分表示的集合为()

A.{2}B.{3}

C.{2,3)D.[2,3J

【答案】C

【解析】由(x+2)(x-l)W0,解得-2WxWl,所以8={-2,-I,0,I),

又全集U={-2,-1,0,1,2,3},A={1,2,3},所以图中阴影部分表示的集合为AC([通户{2,3}.

7.(2020.新高考全国【卷谋中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的

学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比

例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

【答案】C

【解析】用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，

82%工，

设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为工，

则(60%-幻+(82%㈤+x=96%,解得.146%.

8.设集合/={1,3,5,7),若非空集合A同时满足：®AQh②card(A)Wmin(A)(其中card⑷表示A中

元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为/的一个“好子集”，则/的所有“好子

集”的个数为()

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】当card(I)=l,即集合4中元素的个数为1时，4的可能情况为{1},{3),{5},(7)；

当card(A)=2,即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5),{3,7),{5,7)；

当card(A)=3,即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7),

综上所述，/的所有“好子集”的个数为8.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.已知A,8是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是()

\.AQB=0

B.XC(AUB)

C.(luA)\JA=U

D.([M)U([u8)=[u(An8)

【答案】BCD

【解析】如图所示，ACI8关0,A选项错误；

AC(AUB),(]uA)UA=U,([uA)U([4)=(认408),BCD选项正确.

10.已知A={x*+px+i=o},M={m>0},若AfW=0,则实数p的可能取值为()

A.OB.-3C.3D.-

3

【答案】ACD

【解析】当A=0时，J=p2-4<0,解得-2<p<2；

当AW0,即“W-2或〃22时，此时方程f+px+l：。的两个根为，松需满足小于等于0,

贝UX|X2=I>0,X|+X2=-p<0，得，

••卬22,

综上，〃>2

11.⑵)25•聊城模拟)已知印表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2,卜3.5]=4,[()]=(),A={y|y=[x],

-1.VW3.2},8:{〈-lOWyWm},下列说法正确的是()

A.集合A={-1,0,1,2,3)

B.集合A的非空真子集的个数是62

C.若“)，£A”是“)，£8”的充分不必要条件，则〃?的取值范围是[3,+8)

D.若川8=0,则阳的取值范围是(q,・2)

【答案】BCD

【解析】当时，)=[x]=・2,

当.IWxvO时，>=[x]=-l,

当0〈工<1时，)=[.x]=0,

当时，尸㈤=1,

当2Wx<3时，y=[x]=2,

当3WxW3.2时，)=3=3,

所以A={-2,-1,0,1,2,3},集合A的非空真子集有26・2=62(个)，故A错误，B正确；

若是“)，£B”的充分不必要条件，则A是8的真子集，所以〃?23,C正确；

若408=0,当8=0时，"z<-10；

当BW0时，{:|二£解得-10-

综上