2027届高考数学专项复习：平面向量

专题02平面向量

考点分类五年考情(2017-2026)命题规律

1.题型以选择题为主，整体难度偏低。

2020山东卷、2020海南卷、20182.依托三角形、平行四边形等几何图

考点01平面向量

全国I卷、2017北京卷、2017全形，考查向量加减、数乘的线性分解。

的线性运算

国n卷3.结合向量共线、反向等性质，综合考

查充分、必要条件判断。

2026全国一卷、2026上海卷、20261.选择题、填空题均有考查，填空题多

天津卷、2025全国一卷、2025上为求值、求解参数范围类题型。

考点02平面向量海卷、2024上海卷、2024天津卷、2.核心考查平面向量基本定理、向量坐

的基本定理及坐标2023天津卷、2023上海卷、2022标运算、向量共线的坐标判定。

表示新高考全国I卷、2022天津卷、3.常结合三角形、正方形以及实际生活

2021全国乙卷、2018全国HI卷、情境命题，兼顾参数求解与几何最值问

2017山东卷、2017江苏卷题，题型灵活。

2026全国二卷、2026上海卷、2025

北京卷、2025天津卷、2025全国

二卷、2025上海卷、2024新课标

I卷、2024新课标II卷、2024全

国甲卷、2024北京卷、2023北京

卷、2023全国甲卷、2023全国乙1.本专题考杳题量最大，选择题、填空

卷、2023新课标I卷、2023新课题为主要题型，是平面向量的核心重难

标H卷、2022新高考全国n卷、点。

考点03平面向量2022全国甲卷、2022全国乙卷、2.重点考查数量积运算、向量模长、夹

的数量积2022北京卷、2022上海卷、2021角、垂直判定以及向量投影计算。

新高考全国I卷、2021新高考全3.常结合二角形、多边形、平面幼点考

国H卷、2021浙江卷、2021天津查取值范围与最值，也会融合常用逻辑

卷、2021北京卷、2021全国甲卷、用语命题，综合性较强，区分度明显。

2021全国乙卷、2020山东卷、2020

全国I卷、2020全国II卷、2020

全国HI卷、2020北京卷、2020浙

江卷、2019全国I卷、2019全国

II卷、2019全国III卷、2019北京

卷、2019天津卷、2019上海卷、

2018全国II卷、2018浙江卷、2018

天津卷、2018北京卷、2017全国

1卷、2017全国II卷、2017全国

III卷、2017浙江卷、2017天津卷、

2017山东卷、2017北京卷

B70年真题•精准◎

圈考点01平面向量的线性运算

1.（2020.山东•高考真题）已知平行四边形A8CZ）,点E,尸分别是AB,8c的中点（如图所示），设府=d,

A/5=5,则而等于（）

A.5（1+〃）B.5（/-B）C.—d）D.—a+b

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；

【详解】连结AC,则AC为VABC的中位线，

:.E^F=-AC=-a+-b,

222

故选：A

2.（2020・海南•高考真题）在VA6C中，。是A8边上的中点，则而二（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

CB=CA^AB=CA+2AD=CA+2（CD-CA）=2Cb-CA

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

3.（2018・全国I卷•高考真题）在AABC中，AO为BC边上的中线，£为AO的中点，则以”

A.3初」祝B.-AB--AC

4444

3—1—1—3—

C.—ABH—ACD.—ABH—AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向我的特征，求得=+力，之后应用向量

22

3__1_

的加法运算法则——三角形法则.得到阮=丽+祝，之后将其合并，得至IJ航=7丽+：蔗，卜一步应

44

一3—1一

用相反向量，求得E8==AB-；AC,从而求得结果.

44

【详解】根据向量的运算法则，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC\

222424K)

=-13A+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

3__i__

所以丽=二丽一二双，故选A.

44

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加

法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每步运算.

4.（2017・北京•高考真题）设m,n为非零向量，则“存在负数；I,使得/〃=即”是“〃】•〃〈0”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：若三4<0,便帆=2〃，则两向量也〃反向，夹角是180。，那么

m-n=|m||«|cosl80°="|m||/i|<0；若旭.”0,那么两向量的夹角为（9阴180。］,并不一定反向，即不一定

存在负数％,使得利=%〃，所以是充分而不必要条件，故选A.

【名师点睛】判断充分必要条件的方法：（1）根据定义，若p=q、q冷P,那么〃是"的充分不必要条件，

同时“是P的必要不充分条件；若P=q,那么P,夕互为充要条件；若P*>q,q-P,那么就是既不充分

也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知〃：xeA

q:xeB、若A?B,那么〃是4的充分不必要条件，同时夕是〃的必要不充分条件；若A=6,那么P,4互

为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的

两个命题等价，将P是4条件的判断，转化为F是^条件的判断.

5.（2017•全国H卷•高考真题）设非零向量心5满足6，则

A.albB.同明

C.n//hD.同第

【答案】A

【详解】由忖+B卜,一.平方得不2+2〃.方+5?=/一2彳.6+Z/2,即〃.石=0,则a_l_方，故选A.

【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.

息考点02平面向量的基本定理及坐标表示

1.（2026・全国一-卷•高考真题）已知平面向量入万不共线，且2。+卯=应-3九则（）

A.x=2,y=-3B.x=-2t>'=3C.x=2,y=3D.x=-2,y=-3

【答案】A

【分析】由平面向量基本定理可得.

【详解】由题意可知平面向量工加不共线，且垢+），/；=工-3九

2.（2026•上海•高考真题）已知1=（爸3）,5=（4,6）,若Z〃兀则犬=.

【答案】2

【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.

【详解】因为2〃5，所以xx6-4x3=0,即6x-12=0,解得“2.

故答案为：2.

3.（2026•天津・高考真题）已知同=不力=1,忖＞1,记。=热+成.当4+=0时，义+〃=,

当卜+/；-目=1时，％+〃的取值范围为.

【答案】21,3]

【分析】第一空：利用:=心+/和％+得出几和〃的值，即可得出结论；

第二空：解法-：将短代入卜+万一目=1得la—aw+a一川同印，展开，令一心），=1一〃，

s=x+y,代入并整理，得出-=1—（产—1））,2«],即可求出4+〃的取值范围.

解法二：设。=（1.0）,^=（1,/）,rO,根据k+弓一4=1可设c=（2+cosa，+sin。），进而可得4+〃=2+cos。,

即可得取值范围.

--./I511UUUII

解法三：不妨设〃=。4=（1,0）,力=04=（1"）,rO,c=OC＞OD=a+b=（2j）,可知点C在直线*=机

上，且点C在以。（2/）为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可.

【详解】由题意，

同=及$=1,忖＞1,c=2a+油,

第一空：

"ia+B—c=6时，c=a+h=Aa+jLib,

•二冗二〃二1,

/.2+//=2,

第二空：

解法一：将北雨+〃5代入B+「T=I得刊+（1_〃网=1,

两边平方，得：[（1一4招+（1-〃历了=1,

展开；(14)21412T2(］义)(1"必彳+(1〃)2出［2=1,

代入1々1=1,42-6=1»记防

(1-2)2+2(1-4)(1一〃)+产(1一4)2=1,

令xl-4,y=i-jufs=x+yt

则原式变为：x2+2xy^+t2y2=\,

配方得：x2+2xy+ry2=(x+y)24-(/2-l)j2=+(r-1)/=1,

由于『>1，(/2-1)/>0,因此52=l-(/2-l)y2<1,

即|$区1,解得

=2—5e[2—1,2—(-1)]=[1,3],

因此，4+〃的取值范围为："3].

解法二：因为同=无5=1,忖>1,

不妨设4=(1,0)，Z?=(1,Z)>/*01JlVJa+h=(2,r),c=Aa+ph=(2+,

若卜+〃-W=l,设c=(2+cos0/+sin°),

则儿+〃=2+cos6e[l,3].

解法三：因为同=⑦5=1,忖>1,

不妨设〃=OA=(1,0),b=OB=(\.t)，fwO,即点B在直线x=l上，

UUU11

月工=0e，OD=a+b=(2,t),

因为2=忘+=(2+",国),

若,，+〃=〃?，可知点C在直线x=，”上，（或直接由三点共线的结论可得出），

若卜+〃—W=l，即同|=1，可知点c在以。（2,，）为圆心，半径为1的圆上,

则圆D在直线x=l和x=3之间,可得即4+〃e[l,3].

所以义+〃的取值范围为[L3].

4.（2025•全国一卷•高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航

海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行

风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对

应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代

表速度大小，单位：m/s）,则该忖刻的真风为（）

级数名称风速大小（单位：m/s）

2轻风1.6-33

3微风3.4~5.4

4和风5.5~7.9

5劲风8.0-10.7

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

【答案】A

【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量,

得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.

【详解】由题意及图得，

视风风速对应的向量为：力=（0,2）-（3,3）=（-3,-1）,

视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,

船速方向和船行风速的向量方向相反，

设真风风速对应的向量为I,船行风速对应的向量为正，

・•・♦=*+区，船行风速：=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),

*,•%=2=(-3,—1)—(—1,-3)=|-2,2),

同=J(-2)I2:22=2丘*2.828,

・••由表得，真风风速为轻风，

故选：A.

5.(2025•上海•高考真题)已知4=(2/)出=(1/)，若。〃人则犬=.

【答案】1/0.5

【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】由/〃5得2x-l=0,解得x=g.

故答案为：

6.(2024.上海•高考真题)已知&ER&=(2,5),〃=(6M，且G//5,则上的值为・

【答案】15

【分析】根据向量平行的位标表示得到方程，解出即可.

【详解】日//5，/.2Z:=5X6,解得4=15.

故答案为：15

7.(2024•天津•高考真题)已知正方形ABC。的边长为1,DE=2EC,若丽=4而+juBC，其中力，〃为实数，

贝|瓜+〃=;设/是线段跖上的动点，G为线段M的中点，则衣.力存的最小值为.

45

【答案】7一正

【分析】解法一：以｛f—“BC｝为基底向量，根据向量的线性运算求加，即可得/1+〃，设U"LM1.BUUE1，求HI"BImiu

姑合数量积的运算律求荏•西的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求而，即可得4+〃，

/、「11iiiwuiui______

设F(a,-3a),ae--,0,求ARDG，结合数量积的坐标运算求行•力5的最小值.

I____1一iiurianinriuirlam

【详解】解法一：因为CE=-OE,^CE=-BA,则BE=8C+CE=-8A+BC,

233

I4

可得力=§，”1,所以丸+〃二4：

J

由题意可知：|沅卜|比S|=i.胡•前=0,

因为F为线段BE上的动点,设B户=AB百=1AB/t+A8己4e[(),I],

J

则而=荏+而=而+2而=BA+kBCf

则成=。力+而=一元+J而=

又因为G为4尸中点,(2)

可得而•诙二

又因为我[0,1],可知：当4=1时，衣•方G取到最小值-[：

1O

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

因为B£=24A+〃8C=(-4〃)，则｛3,所以4+〃=一；

1〃=13

因为点尸在线段3E:y=-3x,xe-1,O上，设/(a,-3。),aw-1,0

JJ

且G为AF中点，则G与士-Ta)

可得而=(a+l,_3〃),oC=(等，一■!〃一「，

则而.砺="^+(-3a),*1)=5(4+|)一得，

且ae，所以当”=T时，而衣取到最小值为一系

故答案为：；45

31o

8.（2023•天津•高考真题）在V/WC中，BC=1,44=60,AD=^AB,CE=^CDf记福=万,衣=5,用

口方表示荏=;若85二3,则通•荷的最大值为

13

【答案】

4224

【分析】空I：根据向最的线性运算，结合E为C。的中点进行求解：空2：用优石表示出而，结合上一空

答案，于是瓶.卷可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

AE+ED=AD

【详解】空|：因为石为co的中点，则前+反=6,可得＜

AE+EC=AC'

两式相加，川得到2荏=而+而,

即2荏=与+况则荏=与+与；

242

因为访=；而，则2而+而=6,可得，AF+FC=AC

空2：

AF+H3=AB

得到通+定+2（/+而）=/+2通,

—2-1-

即3A户=2£+6,即十;"

-21i

r是赤赤

-a+-b2a+5ah+

42

记A3=x,AC=y,

则通•府:4伊圣^—^卜+囚+5xycos60+29)=32.?+^+2/

在VA8C中，根据余弦定理：^C2=x2+y2-2xycos60=x2+y1-xy=\,

于是福存靖加+争2卜提/2}

由f+y2-xy=\和基本不等式，x2+y2-xy=1>2xy-xy=xy,

故犯不，当且仅当x=），=l取得等号,

13

则X=）,=1时，荏.A/,：有最大值

24

、i1-1r13

故答案为：-a+-b-

•乙4A+

c

9.(2023•上海•高考真题)已知向量2=(3,4)石=(1,2),则Z—加=.

【答案】(1,0)

【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.

【详解】因为2=(3,4)出=(1,2),所以1一'=(3,4)-2(1,2)=(1,0),

故答案为：(1,0)

10.(2022・新高考全国I卷•高考真题)在VAAC中，点。在边人B上，80=204.记商丽"，则加=

()

A.3ih—2nB.—2ni+3nC.3ni+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以而=2砺，^CD-CB=2(CA-CD],

所以e=3CD-2CA=3n-2m=-2访+3元.

故选：B.

11.(2021・全国乙卷•高考真题)已知向量3=(2,5)⑤=(44),若二加，贝IJ4=.

【答案w

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于丸的方程，解方程即可求得实数尤的值.

【详解】由题意结介向量平行的充分必要条件可得：2x4-；U5=0,

Q

解方程可得：2=|.

故答案为：.

12.(2022•天津•高考真题)在VABC中，点。为AC的中点，点E满足而=2丽.记窈=口通=凡用乱行

表示瓦=,若AB_DE,则NACB的最大值为

・AA-IT.37*1-兀

【答案】-b--a-

【分析】法一:根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出力g,以｛痴｝为基底，表示出成龙，由ABLDE

可得3片+7=防%，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0.0)I(1,0),C(3,0),A(X,)，)，由石可得点A的轨迹为

以M(TO)为圆心，以，-2为半径的圆，方程为(x+N+V=4，照可根据几何性质可知，当且仅当C4与OM

相切时，NC最大，即求出.

【详解】方法一:

AB=CB-CA=b-a,A81DE=>^b-a)(b-d)=Of

3人蓝=40-3需=次之需=立，当且仅当同二百忖时取等号，而

\a\\b\4HH4丽2

0<Z4CB<TT,所以NAC5e(O,2].

6

3-1—7T

故答案为：g.

226

方法二：如图所示，建立坐标系：

E(O.O).B(l.O).C(3.0),A(x,j),

瓦,通n(罟)(1)+9。­)f-，所以点A的轨迹是以MT。)为圆心，以T为半径的

圆，当且仅当。与OM相切时，/C最大，此时$皿。=三=：=!，/。=^.

CM426

3-1-7T

故答案为：-b--a；—.

226

13.（2018・全国山卷・高考真题）巳知向量片（1,2）,^=（2,-2）,c=（l,2）.若列（2"五），贝厂=.

【答案】|

【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可.

【详解】由题可得用+,=（4,2）

­;cI1（2a+byc=（l,A）

.•.4入一2=0,即九=,

2

故答案为g

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.

14.（2017•山东•高考真题）已知向量2=（2,6）由二（-1,团,若2〃氏则/1=.

【答案】-3

【详解】由。|仍可得一1x6=24=4=-3.

【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：

⑴利用两向量共线求参数.如果己知两向量共线,求某些参数的取值时，利用“若a=（MJi）,b=（M..V2）,则〃||力的

充要条件是片力=及）4解题比较方便.

（2）利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为

2a（i£R）,然后结合其他条件列出关于2的方程，求出A的值后代入加即可得到所求的向量.

（3）三点共线问题.ABC三点共线等价于用与北共线.

15.（2017•江苏•高考真题）如图，在同一个平面内，向量加，加,祝的模分别为1J庭,次与定的夹角为

夕，且tana=7,而与OC的夹角为45、，若OC=mOA+nOB（m.nGR）,则〃z+〃=.

【答案】3

【详解】以。4为x轴，建立直角坐标系，则A。，。），由玩的模为血与画与元的夹角为。•月.lana=7

知，cosa=,sina=2^2-,可得。传,（）,8（cos（a+45）,si”（a+45））,「.8K，由

1010〉:）

3

=tn——n

557

.'m=-,n=—:.in+n=3,故答案为3.

444t

=­n

5

（方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、问角三角函数之间的关系，属于难题.向

量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平

行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，

箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最

值问题时用起来更方便.

围考点03平面向量的数量积

1.（2026.全国二卷•高考真题）已知卜+同=1,卜一可=石，则1石=（）

AcD.——

-I-42

【答案】D

【详解】由+得,+年=1,

所以（%+"=],即4①5+户=1；

由I"*有，得忖-司=3,

所以（a-q=3,即力-21$+户=3.

两式相减,得4（石=-2，

所以〃.5=一;.

uuuiium

2.（2025・北京・高考真题）在平面直角坐标系屹Y中，|两=|两=&,|而|=2.设C（3,4）,则12cA+A3|的

取值范围是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.18,14]D.[8,12]

【答案】D

【分析】先根据猫=加-加，求出〈力,而〉，进而可以用向量d而表示出羽+而，即可解出.

【详解】因为|。4|=|08|=拉，|而|=2,

由八月=。月-。[平方可得，OAOB=0^所以〈04,08〉=].

2CA+AB=2(OA-OCyOB-OA=OA+OB-2OC,西="+下=5,

所以，阳+而卜罚+第+4反=4(西+西衣

=2+2+4x25-4仍+网友=104-4件+网.南

x||^+dfi)-Oc|<|O4+dS||0C|=5xV2+2=10,g[J-10<(04+D5)OC<10,

所以12日+画、[64,144],即|2&4+通同8,12],

故选：D.

3.(2024•新课标I卷・高考真题)已知向量。=(0,1),5=(2,X),若必(5-4。),则-=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【详解】因为-甸,所以"伍-4q=0,

所以-4ab=0即4+f-4%=0,故x=2,

故选：D.

4.(2024・北京・高考真题)设£,丐是向量，则“伍+现1-5)=0"是二=_万或1|的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量数量积分析可知(3+5)・("-5)=0等价于同=忖，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为(乙+孙("5)=/一斤=(),可得公2=片，即回=忖，

可知,+孙,5)=0等价于同=瓦

若》=万或2=-.,可得同=|同，即,+5),—5)=。，可知必要性成立；

若k+B)R—B)=o,即同二忖，无法得出2=5或£=多，

例如a=(i,o),6=(o,i),满足同明，但24且2W不，可知充分性不成立；

综上所述，”(G+冲•(万")=0”是“£=从或3=用的必要不充分条件.

故选：B.

5.(2024.全国甲卷•高考真题)设向量方=(x+l,x),方=(x,2),则()

A.“x=-3”是"Z_Lr'的必要条件B.“x=1+6”是。//厂的必要条件

C.“x=0”是“打片的充分条件D.“x=-l+G”是。/区”的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当打坂时，则〉石=0,

所以x,(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，£=(1,0)3=(0,2),故乱石=0，

所以即充分性成立，故c正确；

对B,当Z/"时，则2(x+l)=a解得X=1±G，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+G时，不满足2U+D=f,所以而不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

6.(2024.新课标H卷•高考真题)已知向量海满足向=中+力卜2,且9-2Z)JX则呵=()

A.；B.—C.立D.1

222

【答案】B

【分析】由他一2可_1万得岳结合忖=1干+刃卜2,得1+476+4片=1+6^=4,由比即可得解.

【详解】因为伍—2£)_LB,所以仅—2孙B=0,即片=21人

又因为忖=1,〃+2q=2,

所以1+47石+4万,=1+6日”=4，

从而忖考.

故选：B.

7.(2023・北京・高考真题)已知向量万，7满足d+5=(2,3)，1-5=(-2,1),则|肝-出『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量乙出满足彳+B=(2,3),a-b=(-2,1),

所以|Z|2-|B|2=Q+5.(£_B)=2X(-2)+3X1=—1.

故选：B

8.(2023・全国乙卷•高考真题)正方形488的边长是2,E是的中点，则反.而=()

A.石B.3C.2亚D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛而，而｝为基底向量表示浅，茴，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数展积的定义运算求解.

【详解】方法一：以｛而，而｝为基底向量，可知网=|而卜2,宿而=0,

ianuirmuimuin.iuminmruuoiumlum

\)]\lEC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=--AB+AD,

所以反1•石力二(3八公十八方)(一3：44十=方2十只方:=一]十4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

则E(l,0),C(2,2),D(0,2),可得芯=(L2),E(T,2),

umuiu

所以ECEO=-l+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=>f5,CD=2,

DF2+CF2-DC15+5-43

色8E中，由余弦定理可得8s功EC=2DECE=双以7r寸

所以七乙.9二|或口前|cosNDEC=>/^xKx，=3.

5

故选：B.

9.（2023•全国甲卷・高考真题）已知向量2=（3』）石=（2,2）,则COS(4+B,4-B)=()

A.±B・备

C-TD,正

175

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得它+困2-斗（公+今伍-5）,从而利用平面向量余弦

的运算公式即可得解.

【详解】因为2=（3,1）石=（2,2）,所以〃+丐=（5,3）,〃一/2=（1,-1）,

则,十万|=Js?+3?=卜-4=《1+1=,(a+石).(〃一到=5xl+3x(-l)=2,

伍十4(力］2屈

所以cos〈a+瓦a—B)=

卜+用〃一0>/34x>/217

故选:B.

10.（2023•全国甲卷・高考真题）已知向量,,/；1满足同=|同=1,同二夜，且己+弓+3=0,则cos5-2石-2〉=

（）

42―2n4

A-"?B-"?C-?D-?

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为々+坂+5=0,所以。+/?=-[,

即。2+户+功5=32,即]+]+2£力=2,所以々0=0.

如图，设为=祇砺=后,觉=人

c

由题知,OA=。8=\,OC=y/2^OAB是等腰直角三角形,

A4边上的高包,AD=显,

22

所以。。=。。+0。=&+立=^^,

22

lanNACO=^^二』,cosNACO=/=

CD3J10

cos。-c,/?-c>=cosNACB=cos2NAC。=2cos2ZACD-1

故选:D.

11.(2023•新课标I卷•必考真题)已知向量Z=(U)④=(1,一1),若0+4®_L伍+〃勾，则()

A.2+〃=1B.2+〃=-1

C.4/=1D.初=-1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出%+泌,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为〃=(□),6=(1,T),所以£+/1方=(1+41—4),£+1必=(1+〃/一〃)，

由伍+必)J,(G+可得，(a+•(4+=0,

即(1+丸)(1+〃)+(1_尤)(1_〃)=0,整理得：加=7.

故选：D.

12.(2022.新高考全国n卷•高考真题)已知向量4=(3,4),5=(1,0),八江+加，若〈&»=(瓦力，则”()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

9+3/+163+/

【详解】解："（3+/,4）、8S@3=8S他可，即二百，解得"5,

故选：C

13.（2022・全国乙卷•高考真题）已知向量2=（24）石=（-2,4）,则|〃-同=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得好人然后求得以」.

【详解】因为。一方=（2,1）—（―2,4）=（4,—3）,所以口叫_142+（-3）2—5.

故选：D

14.（2022.全国乙卷•高考真题）已知向量工•满足|刈=1,出|=6,|5-2方|=3,则入出=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：,••旧-2讨=团2-4心5+4时，

又「瘴|=1,|加=6,1251=3,

•••9=1-4无6+4乂3=13-4。5，

d-b=\

故选：C.

15.（2022・北京・高考真题）在VABC中，AC=3,6C=4,NC=90。/为VA8C所在平面内的动点，且PC=1,

则的取值范围是（）

A.l-5,3JB.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设尸(cos。,sin。)，表示:||方，PB，根据数量积的坐标表示、辅助

角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0),4(3,0),13(0A),

因为尸C=l,所以P在以C为圆心，1为半径的圆I:运动，

设P(cos6,sin。)，［0,2句，

所以PA=(3-cosa一sinJ),PB=(-cos^,4-sin0),

所以PA-PB=(-cos6?)x(3-cos^)+(4-sin^)x(-sin^)

=cos2^-3cos^-4sin^+sin20

=l-3cos^-4sin^

34

=l-5sin(6+0),其中sin/=I，cos^)=—,

因为一lWsin(6+°)Kl,所以TWl-5sin(e+Q)K6,即总.万e［T,6］；

故选：D

16.(2021・新高考全国I卷•高考真题)已知。为坐标原点，点《(8sa,sina),£(cos△-sin/?),

"(cos(a+/?),sin(a+£)),-4(1,0),则()

A.|阿二网B.四=|阿

C.OAOP3=O^O^D.丽丽=西砥

【答案】AC

一___Ulltluuu

【分析】A、B写出OR,OP八八片，A6的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的

坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

22

【详解】A：。升=(cosa,sina),OR=(cos/，一sin〃)，所以|OPi|=>/cosa+sina=1»

|可|=J(cos夕》+(—sin夕)2=1，牧|O月ROgl，正确；

B：/VJ=(cos«-l,sina),=(cos£-l,-sin£),所以

22222

|~APX|=^/(cosa-1)+sina=Vcosa-2cosa+l+sina=J2(l-cosa)=^4siny=2|sin^-|,同理

|AP；|=7(cos/?-l)2+sin2^=21sin^|,故|福|,|福|不一定相等，错误；

C：由题意得：Q40^=lxcos(a+/7)4-0xsin(cz4-/7)=cos(a+)6),

OPOP,=cosa-cos/?+sina-(-sin/3)=cos(a+/3),正确：

D：由题意得：办。彳=1xcosa+0xsina=cosa,OP2Of}=cos/7xcos(a+/?)4-(-sin/7)xsin(a+^)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p)，故一般来说次.丽工说.西故错误；

故选：AC

17.(2021・浙江•高考真题)已知非零向量则尻I"是"2=石”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条，’牛

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，OA=a,OB=b,OC=cM=a-b,当AB_LOC时，”5I元垂直，

伍-5卜2=0,所以。1=成立，此时"wb,

「.n不是a=5的充分条件，

当0=5时，=c=0c=0,.\c=^c成立，

;.G々=5守是@=5的必要条件,

综上，=尻2”是“2=用的必要不充分条件

故选:B.

18.（202。山东•高考真题圮知P是边长为2的正六边形ABCDE”内的一点，则而.丽的取值范围是（）

A.（-2,6）B.