2026年高考数学一轮练习：数列中的构造问题（附答案）

§6.4数列中的构造问题

分值：70分

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.在数列｛%｝中,S”为其前〃项和，首项。尸1,又函数/A/a+isinx+lM+lM+l,若/0）=0,则S2025等

于（）

A2?。H2024B.22O24-2025

C.2?85_2026D.22O26-2027

2.已知数歹lj｛。”｝满足a]=I,an+1=2%+〃，则出等于（）

A.17B.18C.19D.20

3.（2025•宜宾模拟）一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房

A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用小表示蜜蜂爬到〃号

蜂房的方法数，则GmgMS-送024等于（）

4.在数列｛斯｝中，。尸1,a”+i=3a”-2'"(〃eN"),记金=3”-2X（-1）%9若数列｛c.｝为递增数列,则实数2的取

值范闱为（)

A.(-|,1B.(-2,1)

C.(-l,1)D.(0,1)

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.已知数列优〃｝的前〃项和为S”，的3,且即产3S〃+2（〃£N）则下列说法正确的有（）

A.«i=|

BS号

C.｛aJ是等比数列

D.｛S〃+|｝是等比数列

6.（2024•邢台模拟）已知数列｛小｝的前〃项和为S〃，。尸3,而产44+3X4",则（）

A.但二24

B.倒为等比数列

29X41°+1

C$o：

3

D.log2（4aioo-3S100+1）=200

三、填空题（每小题5分，共1（）分）

7.已知数列｛〃”｝中，。尸1,G=2,出+1-54“+4即尸05£川’，〃22）,则｛&｝的通项公式为.

8.（2025•南京模拟）已知数列｛。〃｝满足ai=1,2a^\-an+anan+1=0（〃£N"）,则数列｛｝的通项公式

为.

四、解答题（共28分）

9.（13分）（2025・湖北云学重点高中联盟联考）已知数列｛知｝的前〃项和为S”G=1且S”+i=2S“+”（〃£N*）.

（1）求数列｛小｝的通项公式；（6分）

（2）设数列（〃〃｝满足/?“二log2（a〃+l）,数列（力〃｝的前〃项和为T,„求■…+9（7分）

1213Qln

10.（15分）（2025•八省联考）已知数列｛6｝中，。户3,*=生.

an+2

（1）证明：数列｛1—J为等比数列；（5分）

（2）求必“｝的通项公式；（4分）

（3）令"二%\证明："<4向<1.（6分）

Qn

答案精析

l.D2.C

3.B［依题意，。”=。小1+斯.2（〃23）,

0=1.（12=2,的=。1+。2=3,

当〃22时，a”a〃+2-Q"i=a”（4〃+i+a〃）-W+i=a〃a〃+i+W-a"i=Q0+4Li（4「a”+i）=Q-a"+ia〃-i=-（a〃-ia”+i-W）,

2

2=

所以数列｛«4皿-谥十］）是首项为-1,公比为-1的等比数列，

所以a2023a2025-«2024=（-I）X（-1）23=-1.］

4.A［由。“+尸3。〃-2"」，

得即+1=31

即&

2n+l22\2n2）*

而患=0，则犯=。，

即廿2"」，则c〃=3"-2X(-l)%2""二3"-(-2)〃"

由数列｛金｝为递增数列，得V〃£N*,oc〃恒成立，

则V〃EN",3"+L(-2)"+D>3"-(-2)」，

即3〃/>(-2)叫恒成立，

当〃为奇数时，在前―恒成立，数列｛(|广]为递增数列，©1的最小值为1,则kl,

当〃为偶数时，2>-(|厂|恒成立，数列卜(|广)为递减数列，-(|)z的最大值为-|,则》・|,所以实数

」的取值范围为(一右1).]

5.ABD[由题意，数列｛斯｝的前〃项和为Sn“2=3,且而i=3S“+2,

贝ij£72=3SI+2=3«I+2,

所以“产》，故A正确；

因为斯+产3sa+2,①

所以当心2时，小=3s“+2,②

①-②得an+i-an=3an,即。”+尸4%，

当〃=1时，£71=1，不满足s=4ai,

故数列｛〃“｝不是等比数列，故C错误；

当〃22时，为+]=4斯，

贝ljch=4a2=12,«4=4«3=48,

故5户$3+12+48二等，故B正确；

由O»+I=3SM+2,

得S〃+i-S“=3S”+2,

所以S〃+i=4S〃+2,

令S"+i+2=4(S”+2),

贝|J5„+i=45„+32,

所以3/1=2,即,

所以S〃+1+|=4(Sn+1),

2

即空等4,故国+m是首项为S+M彩=1,

3

公比为4的等比数列，故D正确」

6.ACD[选项A,由题意得々2=4〃+3X4=24,A正确；

选项B,将知+i=4a〃+3X4"两边同时除以司足，

得a”+L二%3

By+l4n4，

即皿色二

1”+14n4，

则偿｝是首项为牛三，公差为:的等差数列，不是等比数列，B错误；

选项C,由知4%⑴亭，

得a?=3〃X4”“，

所以%二3+6X4+9X4?+…+3〃X4”“，①

贝lj4sk3X4+6X42+9X43+…+3〃义4",②

①.②得，.3S尸3+3X(4+4?+43+…+4”/)-3〃X4"=3+3X^^^-3〃X4”=(3〃-l)X4〃-l,

1-4

即$尸况1产1,

贝iJSo=咨*,C正确；

选项D,因为4a”-3S〃+1=4X3〃X#L3X竺节空口+1=4",

所以logzBioo-BSioo+lAlogzd$logzZZ^ZOO,D正确.]

r4n-1+2

7.0尸一--

8a尸号

解析在数列｛〃“｝中,〃|=1,2att+]-all+anan+i=0,显然。〃在0,

则有1=2•工+1,

an+lan

即二一+1=2(工+1),

an+l^an)

而工+1=2,

Qi

因此数列出+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以’•+1=2",即即二:1二.

n

an2-l

9.解(1)由S〃+尸2S”+〃，

可得%+1=5〃+/?,

令n=l,可得a2=Si+l=l,

即Si=ai=0,

由S,^\=2Stl+n可得Sn+i+(n+1)+\=2(Sn+n+1),

且S]+l+l=2W0,

可知数列(S汁〃+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，

则S〃+〃+l=2X2"=2"，可得S"+〃=2"-l,即呢+尸2"-1,

则为=2"4-1,〃22,

nl

且。尸0符合上式，所以an=2-l.

rt

(2)由⑴可得bn=log2(an+1)=log22',

则〃〃+i也』-(〃/)=1,

可知｛仇｝是首项6=0,公差为1的等差数列，

可得刀尸吧产二号2,

当时,

贝哈二岛产后_力，

所以才…力

io.⑴证明・・・斯+户卫也,

即+2

・1=32一2J

-

**an+l3an~3an3'

又1--=-^0,

的3

・•・数列｛1-2｝是首项为|,公比为:的等比数列.

(2)解由⑴知14图”,

«n\3/

故"k1_(9n="一2n.