2026年小升初数学专项讲义：圆柱与圆锥（学生版+解析）

第七章：立体图形

专题23：圆柱与圆锥

（7大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）

◎）考点导览

考点01：圆柱的侧面积

考点02：圆柱的表面积

考点03：圆柱的体积

考点04：圆柱的容积

考点05：圆锥的体积（容积）

考点06：圆柱与圆锥体积的关系

考点07：立体图形的切拼（圆柱与圆锥）

回知识点梳

知识点01：圆柱

1.圆柱的认识

（1）底面：圆柱有两个底面，是完全相同的两个圆。

（2）侧面：圆柱的侧面是一个曲面，展开后是一个长方形或正方形。当圆柱底面圆长和高相

等时，侧面展开是正方形。

（3）高：两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。

2.圆柱的表面积

（1）圆柱的表面积等于两个底面积减上侧面积。

（2）计算公式为5=2加2+2mh,其中r为底面半径，h为高。

3,圆柱的体积

圆柱的体积计算公式为丫=兀件，其中r为底面半径，h为高。

【易错点拨】

（1）无盖圆柱（如水桶）的表面积=S恻+S底。

（2）烟囱、通风管、压路机滚筒：只有侧面积，无底面。通风管、烟囱等的表面积=5财

（3）半径与直径混淆：看清给的是r还是d。

（4）圆柱横切：增减2个圆形底面；竖切增减2个长方形。

（5）切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积

变大。

知识点02：圆锥

1.圆锥的认识

（1）底面：圆锥的底面是一个圆。

（2）侧面：圆锥的侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。

（3）高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有一条高。

2.圆锥的体积

（1）圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的

1

-O

3

（2）圆锥的体积公式：随柱=，!•下

（3）圆柱与圆锥的关系

①等底等高：V谁柱，V柱=3V篌；

②体积相等、底面积相等：h产3h柱；

③体积相等、高相等：S镣底=3S柱帐。

【易错点拨】

（1）圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距

离。

（2）等底等高关系混淆：在体积相等的情况下，V垠柱，V柱=3V推。

重难点题型讲解

考点01：圆柱的侧面积

【典型例题】大厅内有8根同样的圆柱形支撑柱，每根高5米，底面圆长是3.14米。给这些

支撑柱的表面刷油漆，刷油漆的面积是（）平方米。如果每克油漆可漆2平方米,

需要油漆（）克。

【变式训练1】一个圆柱形纸盒，侧面展开是一个边长15cm的正方形，这个圆柱形纸盒的侧

面积是（）cm?。

A.225B.47.1C.45

【变式训练2】一节圆柱形铁皮烟囱的长是1.5m,底面直径是0.2m,做100节这样的铁皮烟

囱，至少需要（）n?的铁皮。

考点02：圆柱的表面积

【典型例题】一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面直径3分米，高5分米。做这个水桶大约要

用多少铁皮？

【变式训练1】一个圆柱的底面直径是8cm,高是10cm,把它平均分成若干等份，拼成近似

的长方体，表面积增减了（）口蜡。

【变式训练2】一个圆柱形的蓄水池，从里面量底面半径2米，深3米，在它的内壁与底面

抹上水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？

考点03：圆柱的体积

【典型例题】下图是棱长为6cm的正方体，它的棱长总和是（）cm。若将正方体削

成一个最小的圆柱，体积是（）cnP。（结果保留兀）

【变式训练1】一根圆柱形油管，内直径是2分米，油在管内的流速是4分米/秒，每秒流过

的油是（）立方分米。

【变式训练2】把一个直径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似

的长方体，这个长方体前面的面积是18.84平方厘米，圆柱的体积（）立方厘米。

这个长方体的表面积比原来增减（）平方厘米。

考点04：圆柱的容积

【典型例题】越剧是仅次于京剧的第二大剧种，越剧《九斤姑娘》中有一段叫《箍桶记》，其

中就讲到箍桶千奇百怪，五花八门。箍桶匠制作了一个圆柱形无盖箍桶（如下图），底而直径

是6dm,高是7dm。制作这个箍桶至少用了（）dm2的木板，这个箍桶最多能装水

（）Lo

【变式训练1】营养学家建议，12岁儿童在天气较热时，每日喝水应不少于1500毫升。用底

面直径6厘米，高10厘米的圆柱形水杯喝6满杯水，达到要求了吗？（）

A.没达到B.达到了C.无法计算

【变式训练2】将一个长18分米、宽12分米的长方形铁片减工成一个圆桶，另减一个底,

则这个圆桶的最小容积是（）立方分米。（接头处忽略不计，兀取3）

A.324B.216C.1296D.864

考点05：圆锥的体积（容积）

【典型例题】一个圆锥形沙堆，底面圆长12.56米，高1.2米。如果每立方米沙子重1.7吨,

这堆沙子约重多少吨？（得数保留整数）

【变式训练1】一个圆锥的高是10厘米，体积是157立方厘米，这个圆锥的底面积是

（）平方厘米。

【变式训练2】有一块正方体木料，它的棱长是6cm,把这块木料削成一个最小的圆锥，这

个圆锥的体积是（）cm3。

A.216B.169.56C.56.52

考点06：圆柱与圆锥体积的关系

【典型例题】等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是18.84立方厘米，它们的体积相差

（）立方厘米。

A.3.14B.6.28C.9.42D.12.56

【变式训练1】把一段体积是42.9立方分米的圆柱形木料削成一个最小的圆锥，圆锥的体积

是（）立方分米。

【变式训练2】一个圆柱和一个圆锥等底等高。如果它们的体积相差12m3,那么回锥的体积

是（）0?,圆柱的体积是（）nA

考点07：立体图形的切拼（圆柱与圆锥）

【典型例题】把一个圆锥沿着高切开，切成形状、大小完全一样的两个部分，结果表面积之

和比原来增减了48dmJ已知圆锥的高是6dm,原来圆锥的半径是（）dm,体积是

（）dnA

【变式训练1】把一根长2米的圆柱形木料锯成两段，表面积增减了4平方分米，这根木料

的体积是（）立方分米。

A.80B.40C.120D.4

【变式训练2】将底面圆长为62.8厘米，高为20厘米的圆柱沿直径切开，表面积噌减

（）平方厘米°

◎真题演练

一、选择题

1.将圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高不变，则圆柱的体积扩大为原来的（)

倍。

A.2B.4C.6D.8

2.一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是（）。

A.K：1B.271:1C.1:1D.I:re

3.如下图，一瓶900亳升的果汁正好倒满下图中的三个杯子（两种杯子的杯口直径相同）。

这样的一个圆锥形杯子最多能装（）毫升果汁。

A.120B.15（）C.200D.240

4.四个同样大小的圆柱拼成一个高为4（）厘米的圆柱时，表面积减少了72平方厘米，原来小

圆柱的体积是（）立方厘米。

A.12()B.470C.480D.720

5.一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱体积的比是1：6,圆锥的高是

4.8cm,圆柱的高是（)cm。

A.28.8B.9.6C.1.6D.0.8

6.如图所示，把直角三角形绕一条直角边旋转一周,得到的圆锥的体积是（）立方

C.18.84D.50.28

7.下面四组图形中，圆柱和圆锥体积不相等的是（)o

C.D.

S=3cm2S=9cm2

二、填空题

8.一块正方体木材的棱长是4分米，这块木材的表面积是（）平方分米，把它切成

一个最小的圆柱，圆柱的表面积是（）平方分米，体积是（）立方分米。

9.一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积相差36立方厘米。这个圆柱的体积是

（）立方厘米。

10.一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积

比是（）<>

11.小悦同学用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆

锥，圆柱的体积比圆锥的体积大（）立方厘米。

12.如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56

厘米，表面积比原来增减40平方厘米，原来圆柱体的体积是（）立方厘米。（兀取

13.明明看一个立体图形，从前面看到的是下面A图，从上面看到的是下面B图（单位:

dm）。这个立体图形是（）,体积是（）dn?。

6

A图B图

14.一个圆柱的底面直径是4分米，高是6分米，它的表面积是（）平方分米，一

个与它等底等高的圆锥的体积是（）立方分米。

15.如图，直角三角形A3C如果绕AC旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥

乙。已知A8:AC=4:3,则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为（）<>

16.用一张长6分米，宽3分米的长方形纸（厚度不计）围成一个容积最小的圆柱体，这个

圆柱体的容积约为（）升。（兀取3）

17.一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个

底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是（）分米。

18.一个正方体木料的高减少5cm,它的表面积就减少2（）（）cm2,原来的这个正方体木料的体

积是（）cn?。如果将这块木料切成一个最小的圆柱，则这个圆柱的体积是

（）cnP。

19.如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm,将乙容器中的水全部倒入

甲容器中，这时水深（）cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5：1的圆锥形容器

中，刚好倒满，那么圆锥的高是（）cm。

1Ocm10cm

三、解答题

20.一个圆锥形的麦堆，底而圆长12.56米，高1.5米，如果每立方米小麦重450克，这堆小

麦重多少克？

21.李叔叔做5节底面直径2分米，长8分米的圆柱形通风管，至少要多少平方分米的铁

皮？

22.手工课上，小明用橡皮泥做了一个底面直径是20cm、高是12cm的圆柱，这个圆柱的体

积是多少立方厘米？

23.如图所示，壁虎在一座油罐的下底边A处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的9处

有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着

油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击，请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行

多少米才能捕到害虫？（万取3.14,底面圆长取整数）

3.82米

24.健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是4（）厘米，高是L2米。在一次训练

中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少

平方米？（结果保留两位小数）

25.如图：这是一个圆柱形礼盒。

（1）做这个礼盒至少要用多少平方厘米的硬纸壳？（接口处不计）

（2）如图：用丝带捆扎起来（系蝴蝶结用去30厘米长的丝带），这条丝带至少长多少厘米?

26.小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后,

表面积比原来增减了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最小的圆锥体摆件，

削去的体积是多少外方厘米？

27.沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的

长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？

12cm

30cm

28.如图，李师傅把一个圆柱形木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积增减157平

方厘米；如果沿着直径截成两部分，表面积增减240平方厘米。这个圆柱形木料的表面积是

多少平方厘米？

第七章：立体图形

专题23：圆柱与圆锥

（7大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）

「0考点导览

考点01:圆柱的侧面积

考点02：圆柱的表面积

考点03：圆柱的体积

考点04：圆柱的容积

考点05：圆锥的体积（容积）

考点06：圆柱与圆锥体积的关系

考点07：立体图形的切拼（圆柱与圆锥）

回知识点梳理

知识点01:圆柱

1.圆柱的认识

（1）底面：圆柱有两个底面，是完全相同的两个圆。

（2）侧面：圆柱的侧面是一个面，展开后是一个长方形或正方形。当圆柱底面圆长和高相

等时，侧面展开是正方形。

（3）高：两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。

2.圆柱的表面积

（1）圆柱的表面积等于两个底面积减上侧面积。

（2）计算公式为S=2*2+271rh,其中r为底面半径，h为高。

3.圆柱的体积

圆柱的体积计算公式为丫=兀％,其中r为底面半径，h为高。

【易错点拨】

（1）无盖圆柱（如水桶）的表面积;S制+S也。

-1-

（2）烟囱、通风管、压路机滚筒：只有侧面积，无底面。通风管、烟囱等的表面积=5财

（3）半径与直径混淆：看清给的是r还是d。

（4）圆柱横切：增减2个圆形底面；竖切增减2个长方形。

（5）切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积

变大。

知识点02：圆锥

1.圆锥的认识

（1）底面：圆锥的底面是一个圆。

（2）侧面：圆锥的侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。

（3）高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有一条高。

2.圆锥的体积

（1）圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的

1

-O

3

（2）圆锥的体积公式：随柱=，!•下

（3）圆柱与圆锥的关系

①等底等高：V谁柱，V柱=3V篌；

②体积相等、底面积相等：h产3h柱；

③体积相等、高相等：S镣底=3S柱帐。

【易错点拨】

（1）圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距

离。

（2）等底等高关系混淆：在体积相等的情况下，V垠柱，V柱=3V推。

重难点题型讲解

考点01：圆柱的侧面积

【典型例题】大厅内有8根同样的圆柱形支撑柱，每根高5米，底面圆长是3.14米。给这些

支撑柱的表面刷油漆，刷油漆的面积是（）平方米。如果每克油漆可漆2平方米,

需要油漆（）克。

-2-

【答案】125.662.8

【分析】给圆柱形支撑柱的表面刷漆，就是求圆柱的侧面积，圆柱的侧面积=Ch,把数据代

入公式计算，再除8求得刷漆的总面积，再除以2即可求得需要油漆质量。

【详解】3.14x5x8

=15.7x8

=125.6（平方米）

125.6+2=62.8（克）

刷油漆的面积是125.6平方米，如果每克油漆可漆2平方米，需要油漆62.8克。

【变式训练1】一个圆柱形纸盒，侧面展开是一个边长15cm的正方形，这个圆柱形纸盒的侧

面积是（）cm2c

A.225B.47.1C.45

【答案】B

【分析】由题意可知，这个圆柱形纸盒的侧面积等于正方形的面积，根据“S正方形=@2,,求出

这个纸盒的侧面积。

【详解】15x15=225（cm2）

这个圆柱形纸盒的侧面积是225cm?。

【变式训练2】一节圆柱形铁皮烟囱的长是1.5m,底面直径是0.2m,做100节这样的铁皮烟

囱，至少需要（）m2的铁皮。

【答案】94.2

【分析】烟囱相当于无两个底面的圆柱体，所需的铁皮面积就是求圆柱的侧面积，根据圆柱

的侧面积=乃以，把数据代入公式计算，求得每节烟囱所需的铁皮面积，再除100即可。

【详解】3.14x0.2x1.5x100

=0.628x1.5x100

=0.942x10()

-3-

=94.2(m2)

考点02：圆柱的表面积

【典型例题】一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面直径3分米，高5分米。做这个水桶大约要

用多少铁皮？

【答案】54.150平方分米

【分析】所需铁皮的面积就是这个无盖圆柱形水桶的表面积，根据圆柱的表面积=底面积+

侧面积，侧面积=底面圆长x高，代入数据，即可解答。

【详解】3.14x(3+2)2+3.14x3x5

=3.14x1.52+3.14x3x5

=3.14x2.25+9.42x5

=7.050+47.1

=54.150(平方分米)

答：做这个水桶大约要用54.150平方分米的铁皮。

【变式训练1】一个圆柱的底面直径是8cm,高是10cm,把它平均分成若干等份，拼成近似

的长方体，表面积增减了()cm?。

【答案】80

【分析】把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，其表面积增减了2个以高为长，底面半径为

宽的长方形的面积。长方形的面积=长乂宽，据此回答即可。

【详解】(8*)x1()x2

=4x10x2

=40x2

=80(cm2)

-4-

【变式训练2】一个圆柱形的蓄水池，从里面量底面半径2米，深3米，在它的内壁与底面

抹上水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？

【答案】50.24平方米

【分析】根据题意，蓄水池抹水泥的部分包括圆柱的侧面积和一个底面积（无盖）。已知底面

半径为2米，深（即高）为3米，利用圆柱侧面积公式（C=2兀rh）和底面积公式（S=

仃2）,兀取3.14,分别求出侧面积和底面积，最后将两者相减即可求出抹水泥部分的总面积.

【详解】2x3.14x2x34-3.14x22

=2x3.14x2x3+3.14x4

=37.68+12.56

=50.24（平方米）

答：抹水泥部分的面积是50.24平方米。

考点03：圆柱的体积

【典型例题】下图是棱长为6cm的正方体，它的棱长总和是（）cm。若瘠正方体削

成一个最小的圆柱，体积是（）CITP。（结果保留兀）

【答案】7254兀

【分析】已知正方体的棱长是6cm,根据正方体的棱长总和=棱长x12,求出它的棱长总和;

将正方体削成一个最小的圆柱，那么圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的

体积公式丫=704，求出圆柱的体积。

【洋解】正方体的棱长总和：

-5-

6x12=72(cm)

圆柱的体积：

7TX（6-J-2）2X6

=XX32X6

=%x9x6

=54兀（cm3）

【变式训练1】一根圆柱形油管，内直径是2分米，油在管内的流速是4分米/秒，每秒流过

的油是（）立方分米。

【答案】12.56

【分析】把每秒流过的油看成是一个圆柱，圆柱的底面直径是2分米，高是4分米，根据圆

柱的体积=底面积x高，据此解答。

【详解】3.14x（2+2）2x4

=3.14x12x4

=3.14x1x4

=3.14x4

=12.56（立方分米）

【变式训练2】把一个直径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似

的长方体，这个长方体前面的面积是18.84平方厘米，圆柱的体积（）立方厘米。

这个长方体的表面积比原来增减（）平方厘米。

【答案】37.6812

【分析】把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么这个长方体的长等于圆柱底面圆长的一

半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；

根据圆杆的体积公式V=7iFh,求出圆柱的体积：

-6-

拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积，长方形的宽等于圆柱的底面

半经，长方形的长等于圆柱的高；根据长方形的面积公式5=2＞求出一个面的面积，再除

2,就是增减的表面积。

【详解】长方体的长：3.14x4+2=6.28（厘米）

长方体的宽：4"=2（厘米）

长方体的高：18.84:6.28=3（厘米）

圆柱的体积：

3.14x22x3

=3.14x4x3

=37.68（立方厘米）

长方体的表面积比原来增减：2x2x3=12（平方厘米）

考点04：圆柱的容积

【典型例题】越剧是仅次于京剧的第二大剧种，越剧《九斤姑娘》中有一段叫《箍桶记》，其

中就讲到箍桶千奇百怪，五花八门。箍桶匠制作了一个圆柱形无盖箍桶（如下图），底面直径

是6dm,高是7dm。制作这个箍桶至少用了（）dm?的木板，这个箍桶最多能装水

【答案】190.14197.82

【分析】制作这个箍桶的木板的面积就是求圆柱的侧面积减一个底面积，求这个箍桶的容积

可先求圆柱的体积再把单位转化为容积单位L,根据5侧=7r"、S="2、！/="2九，代入数

据计算。

【详解】3.14x6x7+3.14x（6+2）2

=3.14x6x7+3.14x32

=3.14x6x7+3.14x9

=131.88+28.26

-7-

=190.14(dm2)

3.14X(6^2)2X7

=3.14x32*7

=3.14x9x7

=197.82(dm3)

=197.82(L)

制作这个箍桶至少用了190.14dm2的木板，这个箍桶最多能装水197.82L。

【变式训练1】营养学家建议，12岁儿童在天气较热时，每日喝水应不少于1500毫升。用底

面直径6厘米，高10厘米的圆柱形水杯喝6满杯水，达到要求了吗？()

A.没达到B.达到了C.无法计算

【答案】B

【分析】根据圆柱的体积公式V=7ir2h(兀取3.14),求出水杯的容积，再除6求出每天一共

喝水的毫升数，最后与1500毫升进行比较，即可得出判断。

【详解】3.14x(64-2)2x10x6

=3.14x32x10x6

=3.14x9x10x6

=28.26x10x6

=282.6x6

=1695.6(立方厘米)

1695.6立方厘米=1695.6毫升

1695.6毫升V1500毫升

所以达到要求了。

【变式训练2】将一个长18分米、宽12分米的长方形铁片减工成一个圆桶，另减一个底，

则这个圆桶的最小容积是()立方分米。(接头处忽略不计，兀取3)

A.324B.216C.1296D.864

-8-

【答案】B

【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，要使围成的圆柱

体积最小，要以长边为底面圆长，宽为圆柱的高。根据圆柱的体积（容积）公式：丫=叱％,

把数据代入公式解答。

【详解】3x（18=3+2）2x12

=3x（6:2）2x12

=3x32x12

=3x9x12

=27x12

=324（立方分米）

这个圆桶的最小容积是324立方分米。

故答案为：A

考点05：圆锥的体积（容积）

【典型例题】一个圆锥形沙堆，底面圆长12.56米，高1.2米。如果每立方米沙子重1.7吨，

这堆沙子约重多少吨？（得数保留整数）

【答案】9吨

【分析】圆的圆长=2打，先用圆长除以2万求出半径，再代入体积公式S=g夕2〃求出体积,

最后用体积除上1.7吨即可。

【详解】半径：12.56:3.14;2=2（米）

体积：3.14x22X1.2xi=5.024（立方米）

3

5.024x1.7=8.5408（吨）«9（吨）

答：这堆沙子约重9吨。

【变式训练1】一个圆锥的高是10厘米，体积是157立方厘米，这个圆锥的底面积是

-9-

()平方厘米。

【答案】47.1

【分析】根据圆锥体积公式：体积=底面积x高:3,可得底面积=体积x3：高，代入数值即可

解答。

【详解】157x34-10

=4714-10

=47.1(平方厘米)

【变式训练2】有一块正方体木料，它的棱长是6cm,把这块木料削成一个最小的圆锥，这

个圆锥的体积是()cm3。

A.216B.169.56C.56.52

【答案】A

【分析】正方体削成一个最小的圆锥，圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高等于正

方体的棱长，根据圆锥的体积=底面积x高吊，据此解答。

【详解】3.14x(6:2)2X6X：

=3.14X32X6X1

=3.14x9x6x2

3

=28.26X6XL

3

=169.56x2

3

=56.52(cn?)

这个圆锥的体积是56.52cm3o

考点06：圆柱与圆锥体积的关系

【典型例题】等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是18.84立方厘米，它们的体积相差

()立方厘米。

-10-

A.3.14B.6.28C.9.42D.12.56

【答案】A

【分析】圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍。由题意可得圆柱的体积+圆锥的体

积=18.84,根据圆柱的体积=圆锥的体积x3,用体积之和-（3+1）求出圆锥的体积，体积

之差=圆锥的体积x（3-l）o

【详解】圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍。

18.84+（3+1）

=18.8494

=4.71（立方厘米）

4.71X（3-1）

=4.71x2

=9.42（立方厘米）

它们的体积相差9.42立方厘米。

【变式训练1】把一段体积是42.9立方分米的圆柱形木料削成一个最小的圆锥，圆锥的体积

是（）立方分米。

【答案】14.3

【分析】要削出最小的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高。根据体积公式，等底等高时，VMW=

5V阅柱，所以用圆柱体积42.9立方分米除以3,即可求出圆锥体积。

【详解】42.9+3=14.3（立方分米）

【变式训练2】一个圆柱和一个圆锥等底等高。如果它们的体积相差12m3,那么圆锥的体积

33

是（）m,圆柱的体积是（）mo

【答案】618

【分析】根据圆柱的体积=底面积X高，圆锥的体积=gx底面积X高可知，等底等高的圆柱体

积是圆锥体积的3倍。可以把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份，它们的体积

-11-

差是3—1=2份。已知体积差是12立方米，用体积差除以份数差，求出一份数，也就是圆锥

的体积，再用圆锥的体积除3,即可求出圆柱的体积。

【详解】圆锥体积：

12+(3-1)

=124-2

=6(m3)

圆柱体积：6x3=18(n?)

考点07：立体图形的切拼(圆柱与圆锥)

【典型例题】把一个圆锥沿着高切开，切成形状、大小完全一样的两个部分，结果表面积之

和比原来增减了48dm工已知圆锥的高是6dm,原来圆锥的半径是()dm,体积是

()dm3c

【答案】4100.48

【分析】先根据圆锥沿高切开后增减的表面积，用总面积除以2求出单个等腰三角形切面的

面积，再结合三角形面积公式5="；2和圆锥的高，求出圆锥的底面直径，接着用直径除以

2得到底面半径，最后把半径和高代入圆锥体积公式丫=、』(兀取3.14),求出圆锥的体

积。

【详解】单个新增三角形面积：48-2=24(dm2)

圆锥底面直径：24x2:6=8(dm)

圆锥底面半径：8:2=4(dm)

圆锥体积：|X3.14X42X6

=1x3.14x16x6

3

=3.14xl6x(6x1)

3

=3.14x16x2

=100.48(dm3)

【变式训练1】把一根长2米的圆柱形木料锯成两段，表面积增减了4平方分米，这根木料

-12-

的体积是（）立方分米。

A.80B.40C.120D.4

【答案】B

【分析】先根据“1米=10分米”把2米转化为20分米，把一根圆柱形木料锯成两段，表面积

增减2个截面的面积，先根据增减的表面积除以2,求巴一个截面的面积；再根据长方体的

体积公式丫=51］，求出这根木料的体积。

【详解】2米=20分米

截面的面积：4/2=2（平方分米）

这根木料的体积：2x20=40（立方分米）

【变式训练2】将底面圆长为62s厘米，高为20厘米的圆柱沿直径切开，表面积噌减

（）平方厘米。

【答案】800

【分析】将圆柱沿直径切开，切面是长为高，宽为底面直径的长方形，表面积增减两个切面

的面积。先用底面圆长除以不算出底面直径，再用底面直径高x算出•个切面的面积，再除2

即为增减的表面积。

【详解】62.8:3.14x20x2

=20x40

=800（平方厘米）

所以，表面积增减800平方厘米。

逾0真题演练

一、选择题

1.将圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高不变，则圆柱的体积扩大为原来的（）

倍。

A.2B.4C.6D.8

-13-

【答案】B

【分析】圆柱的体积=底面积X高，底面积=兀心，若底面半径扩大到原来的2倍，则圆柱的

体积应扩大到原来的22倍，据此解答。

【详解】22=2x2=4

将圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高不变，则圆柱的体积扩大为原来的4倍。

2.一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是（）。

A.7t:1B.2TC:1C.1:1D.1:n

【答案】C

【分析】圆柱的侧面展开图是正方形，说明圆柱的高=圆柱的底面圆长；可以设圆柱的直径

为I厘米，根据圆的圆长公式“C=nd”求出圆柱的底面圆长，即圆柱的高：最后根据求出的数

据计算底面直径和高的比即不。

【详解】设直径为1厘米，则圆柱的高=万乂1=不（厘米）

因此，这个圆柱的底面直径和高的比是1"。

3.如下图，一瓶900亳升的果汁正好倒满下图中的三个杯子（两种杯子的杯口直径相同）。

这样的一个圆锥形杯子最多能装（）亳升果汁。

-阜空y…

___•-.一・

A.120B.150C.200D.240

【答案】B

【分析】由图和题意可知，圆柱形杯子和圆锥形杯子等底等高，当圆柱和圆锥等底等高时，

圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把1个圆柱形杯子转化成3个圆锥形杯子，说明（3+1+1）

个圆锥形杯子可以装900亳升的果汁，最后用果汁的总体积除以圆锥形杯子的个数求出一个

圆锥形杯子最多能装果汁的体积，据此解答。

【洋解】分析可知，1个圆柱形杯子可以装果汁的体积等于3个圆锥形杯子可以装果汁的体

积。

-14-

900；（3+1+1）

=900+5

=120（毫升）

所以，这样的一个圆锥形杯子最多能装120亳升果汁。

故答案为：A

4.四个同样大小的圆柱拼成一个高为4（）厘米的圆柱时，表面积减少了72平方厘米，原来小

圆柱的体积是（）立方厘米。

A.120B.470C.480D.720

【答案】B

【分析】四个同样大小的圆柱垂直拼接成一个大圆柱，总高度为40厘米，因此每个小圆柱的

高度为10厘米。拼接过程中，每两个圆柱接触会减少两个底面积，四个圆柱拼接三次，共减

少六个底面积。表面积减少72平方厘米对应这六个底面积，因此每个底面积为12平方厘

米。小圆柱的体积等于底面积除以高，即12x10=120立方厘米。

【详解】（4—1）x2

=3x2

=6（个）

72:6=12（平方厘米）

12x10=120（立方厘米）

所以原来小圆柱的体积是120立方厘米。

故答案为：A

5.一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，口知圆锥与圆柱体积的比是1：6,圆锥的高是

4.8cm,圆柱的高是（）cm。

A.28.8B.9.6C.1.6D.0.8

【答案】B

【分析】已知一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，圆锥与圆柱体积的比是1：6,设圆锥的体积

-15-

是IcrrP,则圆柱的体积是6cm3；

根据圆锥的体积公式V=：Sh可知，圆锥的底面积S=3V-h,据此求出这个圆锥的底面积，

也是圆柱的底面积；

根据圆柱的体积公式V=Sh可知，圆柱的高卜=丫与，据此求出这个圆柱的高。

【详解】设圆锥的体积是lcm3,则圆柱的体积是6cm3；

圆锥的底面积：1x3+4.8—0.625(cm2)

圆柱的高：6:0.625=9.6(cm)

所以，圆柱的高是9.6cm。

故答案为：B

6.如图所示，把直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的圆锥的体积是()立方

厘米。

A.12.56B.37.68C.18.84D.50.28

【答案】B

【分析】通过观察图形可知，以直角三角形的一条直角边(3厘米)为轴旋转一周，得到一

个底面半径是2厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：丫=:兀/人把数据代入公

式解答。

【详解】根据分析：

V=—nrzh

3

-X3.14X22X3

3

=-x3x3.14x22

3

=1x3.14x4

=3.14x4

-16-

=12.56(立方厘米)

所以得到的圆锥的体积是12.56立方厘米。

故答案为：A

7.下面四组图形中，圆柱和圆锥体积不相等的是()。

S=3cm2S=3cm2

S=3cm2S=6cm2

【答案】C

【分析•】圆柱的体积V=Sh,圆锥的体积V=：Sh,分别把圆柱和圆锥的底面积和高代入体

积公式计算并比较即可。

【洋解】A.圆柱：3x2=6(cm3),圆锥：；x3x6=6(cm3),相等，不不符合题意；

B.圆柱：3x2=6(cm'),圆锥：gx9x2=6(cm3),相等，不不符合题意；

C.圆柱：3x2=6(cm?),圆锥：；x6x3=6(cm3),相等，不不符合题意；

D.圆柱：3x2=6(cm3),圆锥：1x9x6=18(cm3),不相等，不符合题意。

故答案为：D

二、填空题

8.一块正方体木材的棱长是4分米，这块木材的表面积是()平方分米，把它切成

一个最小的圆柱，圆柱的表面积是()平方分米，体积是()立方分米。

【答案】9645.3650.24

-17-

【分析】第①空：正方体表面积：正方体有6个完全相同的正方形面，每个面的面积是“棱

长x棱长”，因此表面积公式为6x棱长x棱长。代入棱长4分米，可得6x4x4=96平方分米。

第②空：要切出最小的圆柱，需让圆柱的底面直径和高都等于正方体4分米长的棱长，先利

用“S忸=兀曲，，代入直径和高计算出侧面积；再利用"="2x2”代入r计算出2个底面积，最后

由“侧面积+2个底面积”求出圆柱的表面积。

笫③空：依据体积公式为=代入半径和高计算出圆柱体积。

【详解】第①空：6x4x4=24x4=96（平方分米）

第②空：d=4分米，r=4-2=2（分米），h=4分米

3.14x4x4

=12.56x4

=50.24（平方分米）

3.14X22X2

=3.14x4x2

=12.56x2

=25.12（平方分米）

50.24+25.12=45.36（平方分米）

第③空：

3.14X22X4

=3.14x4x4

=12.56x4

=50.24（立方分米）

9.一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积相差36立方厘米。这个圆柱的体积是

（）立方厘米。

【答案】54

【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的

体积是3份，相差（3-1）份；用体积差除以份数差，求出一份数，再用一份数除3,求出

圆柱的体积。

-18-

【详解】36：（3-1）

=36：2

=18（立方厘米）

18x3=54（立方厘米）

这个圆柱的体积是54立方厘米。

10.一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积

比是（）。

【答案】1：3

【分析】根据圆锥的体积=底面积x高：3,圆柱的体积=底面积x高，解答此题即可。

【洋解】假设圆锥和圆柱的高都是1,圆柱的底面半径是I,则圆锥的底面半径为3c

圆柱的体积：^xpxl=^

圆锥的体积：力3以1：3=3万

乃：3兀=1：3

因此，一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体

积比是l：3o

11.小悦同学用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆

锥，圆柱的体积比圆锥的体积大（）立方厘米。

【答案】108

【分析】由于圆柱和圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。整个橡皮泥的体积为

216立方厘米，是圆柱和圆锥的总体积。设圆锥体积为V,则圆柱体积为3V,总体积为

4V,可求出V,再计算圆柱体积与圆锥体积的差。

【详解】设圆锥的体积为V立方厘米，则圆柱的体积为3V立方厘米。

根据题意，圆柱和圆锥的总体积为216立方厘米，

因此：

V+3V=216

-19-

4V=216

V=216：4

V=54

圆锥的体积为54立方厘米，圆柱的体积为3x54=162立方厘米。

圆柱的体积比圆锥的体积大：162-54=108立方厘米。

答：圆柱的体积比圆锥的体积大108立方厘米。

12.如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56

厘米，表面积比原来增减40平方厘米，原来圆柱体的体积是（）立方厘米。（兀取

【答案】251.2

【分析】将一个圆柱切开后拼成一个近似长方体，高不变，体积不变，长方体的长等于圆柱

的底面圆长的一半（m）,用这个长方体的长12.56除以3.14即可求得圆柱的底面半径；拼成

的长方体表面积比圆柱多了长方体的左右两个面，这两个长方形的面的长和圆柱的高相等，

宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增减40平方厘米，先用40+2求出一个面的面积，再除

以半径，即可求出高，最后根据长方体的体积=长、宽x高，代入数据，即可求出圆柱的体

积。

【详解】12.56+3.14=4（厘米）

40-2:4

=20:4

=5（厘米）

12.56x4x5

=50.24x5

=251.2（立方厘米）

则原来圆柱体的体积是251.2立方厘米。

-20-

13.明明看一个立体图形，从前面看到的是下面A图，从上面看到的是下面B图（单位:

dm）o这个立体图形是（），体积是（）dm：

6

A图B图

【答案】圆锥45.36

【分析】先根据从前面看到的三角形、从上面看到的圆形，判断出这个立体图形是圆锥；再

用圆锥的底面直径除以2求出半径，结合已知的高，代入圆锥体积公式：丫=：70%（兀取

3.14）,即可求出体积。

【详解】这个立体图形是圆锥。

体积：1x3.14x（6=2）2x8

=1X3.14X32X8

=；x3.14x9x8

=1x9x3.14x8

=3x3.14x8

=9.42x8

=45.36（dm3）

14.一个圆柱的底面直径是4分米，高是6分米，它的表面积是（）平方分米，一

个与它等底等高的圆锥的体积是（）立方分米。

【答案】100.4825.12

【分析】（1）利用圆柱表面积公式圆柱的表面积=底面积x2+侧面积，底面积=不产，侧面积=开力（万

取3.14）,由此代入数据即可解答；

（2）先利用圆柱的体积公式圆柱体积=底面积x高求出这个圆柱的体积，等底等高的圆锥体积是

圆柱的;，再除以3即可得出等底等高的圆锥的体积。

-21-

【详解】（1）底面积:3.14X（4+2）2

=3.14x22

=3.14x4

=12.56（平方分米）

侧面积：3.14x4x6

=12.56x6

=75.36（平方分米）

表面积：12.56x2+75.36

=25.12+75.36

=100.48（平方分米）

（2）圆柱体积：12.56x6=75.36（立方分米）

圆锥体积：75.36+3=25.12（立方分米）

一个圆柱的底面直径是4分米，高是6分米，它的表面积是100.48平方分米，一人与它等底

等高的圆锥的体积是25.12立方分米。

15.如图，直角三角形A8C如果绕AC旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥

乙。已知A8:AC=4:3,则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为（）o

【答案】4:3

【分析】A3:AC=4:3,可把AB看作4,AC看作3。根据题意可知，绕AC旋转一周得到圆锥

甲，甲圆锥的底面半径是4,高是3；绕AB旋转一周得到圆锥乙，乙圆锥的底面半径是3,

高是4,根据圆锥的体积公式：V=l^r2A,把数据分别代入公式求出甲、乙两个圆锥的体

积，然后根据比的意义，求出甲、乙两个圆锥体积的比。

【详解】；乃x4?X3

Ic，,

=一x3乃x16

3

-22-

=.TXI6

二16%

-x32x4

3

=；7TX9X4

=3兀’4

=12乃

16万：12乃

=（16乃：44）:（12^4-4^）

=4：3

圆锥甲与圆锥乙的体积之比为4：3o

如图，直角三角形A8C如果绕AC旋转一周得到圆锥甲；如果绕AB旋转一周得到圆锥乙。已

知A3:AC=4:3,则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为4:3。

16.用一张长6分米，宽3分米的长方形纸（厚度不计）围成一个容积最小的圆柱体，这个

圆柱体的容积约为（）升。（兀取3）

【答案】9

【分析】长方形纸围圆柱体可围成两种形状的圆柱体：

情况1：以长方形的长6分米为圆柱的底面圆长，宽3分米为圆柱的高；

情况2：以长方形的宽3分米为圆柱的底面圆长，长6分米为圆柱的高；

先根据底面圆长公式C=2仃求出底面半径；再根据圆柱的体积公式v="2人代入对应的半径

和高的值算出体积；最后比较两种情况下体积的大小，选出容积较大的圆柱体即可。

【详解】情况1：以长方形的长6分米为圆柱的底面圆长，宽3分米为圆柱的高：

6+（2"）

=6+（2x3）

=6+6

=1（分米）

3X12x3

=3x3

-23-

=9（立方分米）

情况2：以长方形的宽3分米为圆柱的底面圆长，长6分米为圆柱的高：

3+（2万）

=3+（2x3）

=3+6

=0.5（分米）

3XO.52X6

=3x0.25x6

=4.5（立方分米）

9<4.5,所以容积最小的圆柱体体积是9立方分米，又因为1立方分米=1升，所以容积约为

9升。

17.一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个

底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是（）分米。

【答案】6

【分析1根据题意，把一个圆柱形零件熔铸成一个圆锥形零件，则零件的体积不变；

先根据圆柱的体积公式丫=北斗，求出零件的体积；根据圆的面积公式S=w2,求出圆锥的

底面积；再根据圆锥的高h=3V：S,求出这个圆锥形零件的高。

【详解】圆柱的体积：

3.14x（4+2）2x8

=3.14x