陕西省2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷

陕西咸阳市实验中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷

一'单选题

1.设复数z=3-i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为10cm,下底半径为18cm,母线长为17cm,侧面

计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为

)

A.969兀cm2B.952兀cm2C.864兀cm2D.476兀cnr

3.有一块四边形的菜地，用斜二测画法画出它的直观图是直角梯形，如图所示，NA8C=45"AD//BC,

AB=AD=\,DCLBC,则这块菜地的面积为（）

C.1+走

D.2+x/2

2

4.设有两条不同的直线〃?、〃和两个不同的平面“，6,下列说法正确的是（）

A.若〃?//（X,成6且。〃怯则〃如

B.若〃?u(x,〃(26且〃?〃“，贝JO//0

C.若丽，=U（X,则加//。

D.若mu(X,〃ua,且ml/B，nJ/B，则。

5.已知向量。=（1,2）,力=（3,1）,则白在〃上的投影向量为（）

1一3-5-

A.”B.如C.~bD.~b

222

6.如图，某建筑物的高度BC=300m,一-架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15。，地面某

处A的俯角为45°,且/BAC=60。，则此无人机距离地面的高度PQ为（）

AB

A.100mB.2（X）mC.300mD.200V2m

7.棱长均为2的四面体的外接球体积为（）

44

§产B.46式C.D.J3K

8.在△ABC中，设就:瓶：=茄厂记-，那么动点M的轨迹必通过△//C的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

二'多选题

9.已知复数马=l+i,4=2-i,则下列说法正确的是（）

A.2i|=j2

B.z©的实部为1

Z113.

C1=+1

马55

D.若"-〃-同=正，则标+〃的最大值为8

10.如图所示，圆锥50的底面半径,•=6,®5（7=1,A8是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与8

不重合的一点，则下列命题正确的是（）

A.圆锥SO的体积为TT

B.圆锥SO的表面积为（2、6+3）TT

C.aSBM的面积的最大值是6

D.有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点4爬行到点B,则蚂蚁爬行的最短距离为&TT

11.已知。，江c分别是VA8C三个内角A,B,。的对边，则下列说法错误的是（）

A.若A>8,则sinA>sinB

B.若VA8C是边长为1的正三角形，则蒜.力理避

2

C.若B=gb=6,。=2,则VA8C有两解

D.若acosA=〃cosB,则V/18C是等腰直角三角形

三'填空题

12.已知空间两个角/4BC与/AB'C,若AB//A'B',BC//B'CfNABC=66。，则NA8'。=.

13.已知正方体人ACO-AiiGR的棱长为2,平面仪过体对角线BQ,且与直线人4平行，则平面a截该正

方体所得截面的周长为.

14.如图，在VABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同两点M,N.设

AB=mAM,AC=nAN,〃？>0,n>0,m+2n=tmn,则1的最小值为.

四、解答题

15.已知复数z=（泞-3〃?+2）+（渥-4m+3）i,meR.

⑴若z是实数，求机的值.

⑵若z是纯虚数，求小的值.

⑶若z对应复平面上的点在第四象限，求〃，的范围；

16.如图，在平行四边形A8CO中，点E,F,G分别在边48,A。，8c上，且满足AE=）AB,AF=\

33

2

AD,BG=—BC,设AB=a，AD-b.

（1）用a，b标EF,EG；

(2)若EF1EG,ABEG=2ab,求角A的值.

17.已知向量T=O2),6=(1,M，且“与〃的夹角为7r.

a~4

"♦***

⑴求卜+2小

⑵若与£+〃的夹角为锐角，求实数入的取值范围.

18.在VABC中，角48C的对边分别为a,b,c,满足在+4-加=/.

⑴求角C的大小；

⑵若“+b=8,求VA3c周长的最小值；

⑶若VA8C是锐角三角形，且。=26，求VA8C面积S的取值范围.

19.如图，四棱锥P-ABC。中，AB=BC=LAD,AD//BC,乙尸,”分别为线段AD,PC,CD的中点，AC

与BE交于0点.

P

⑴求证：4P//平面

⑵求证：平面OF"〃平面P人。；

⑶设平面PBC交平面PAD于直线I.

①求证：BC||/;

②求^一的值.

VF-EHD

参考答案

1.D

【详解】由题意知，复数z在复平面内对应的点的坐标为（3,T）,位于第四象限.

2.B

【详解】如下图所示:

T

由题意可知制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为2x兀x（10+18）x17=9523/.

3.A

【详解】在直观图中，过点A作/1£_L8C,垂足为点E,

则在RtZXABE中，AB=1,/A6E=45。，所以8E=ABsin45。=正，

2

AD=\,所以CK=AQ=1,

月f以BC=BE+EC=U+1・

2

由此可还原原图形如图所示.在原图形中，AD=\,A3'=2,9。=/+1，

2

且A'D7/8'C,A'B'1B'C,

所以这块菜地的面积为S==（A7）'+9C）A6

4.C

【详解】对于A选项,若〃?/似，砌8且O//6,则，〃与〃平行、相交或异面，A错;

对亍B选项，若小UO(,〃u0且就/〃，则(X与6平行或相交，13错・；

对于C选项，若。/力，〃?u(X,由面面平行的性质可知〃?/#,C对；

对于D选项，若mu(X,〃ua,且〃?//怯〃〃。，则口与6平行或相交，D错.

5.A

【详解】向量。=(1.2),/?=(3.1),

则a在/，上的投影向量为辿£=小1±3;.段%一.

U(即)

6.B

BC300

AC=

【详解】由题意，在中，ZBAC=60°,BC=300,所以sin60。

T

在aACQ中，NAQC=450+15°=60°,Z1QAC=180°-45°-6()。=75。,

月〒以NACQ=180°-75°-60°=45。，

_=AQ=四包丝二竺%二200立

4QAC

由正弦定理,

sin45°sin60,)。sin60°忑

2

乂zMPQ为等腰直角三角形，所以PQ=AQsin450=200x=200.

2

故选项B正确.

7.B

【详解】作P在底面48c上的投影，连接PO,AO,则外接球球心。|位于PO上,

连接4。1，

n

设外接球半径为R,则八a二。。产R,已知。=2,则

22=2\P,

A0=XXPX

323

PO=JAP2—AO2=

在R/a4OO中，AO1+OO2=AO\即=R"

1

III3)3

解得A=史，

2

4n/?347r(向丫

V=—3—=x|I=J57t.

8.C

【详解】设3c的中点是o,

HIT：uiT2uuuruuuruuuruuurunruuuruuuruuur

AC-AB=(AC+4〃)(4C-4〃)=2AOBC=2AMBC,

即(AO-AM)BC=MOBC=0,所以MO_L3C，

所以动点M在线段8c的中垂线上，故动点M的轨迹必通过VABC的外心,

故选：C.

【详解】由Z1=l+i,得㈤=J]2+]2=6,A正确;

2

z,z2=(l+i)(2-i)=2-i+2i-i=3+i,实部为3,B错误;

zl+i(l+i)(2+i)l+3i13.

C正确;

z22-i(2-i)(2+i)555

由条件得：|(|-«)+(l-/；)i|=V2,

平方得：3-l)2+S—1)2=2,

该式表示：点（。，力）在以（1,1）为圆心、、反为半径的圆上,

是点肛切到原点（0,0）的距离的平方:

原点到圆心（1,1）的距离为配工=J2,圆上点到原点的最大距离为J5+拉=23,

故,+加的最大值为（2点）2=8,D正确.

10.AB

【详解】圆锥SO的底面半径一二6，高SO=1,所以母线长为2；

对于A.圆锥SO的体积为V=；xTTx瓜%1=11,所以A正确：

对亍B.圆锥SO的表面积为S=TTx班条x3/=（23第）TT,所以B正确；

对亍C.由轴截面为等腰三角形SAB,且顶角为4S6=2/850=2x60。=120。，

当等腰aSBM的顶角为90。时，aSBM的面积取得最大值为：S=[x2x2xsin9O0=2,所以C错误；

aJV.9?2

对于D.圆锥的底面圆周长为2和，所以侧面展开图的圆心角为仪=’三瓜TT,所以圆锥侧面展开图中圆弧

r

AB=J^_^=JTT,蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点6,则蚂蚁爬行的最短距离为线段A6,且

AB<IAB=赤，所以D错误；

故选：AB.

11.BD

【详解】VABC中，大角对大边，若A>B,则

由正弦定理-^―=~^—=2R,贝！a=2RsinA,/?=2RsinB,

sinAsinB

2i?sinA>2RsinB,即sinA>sin8,故A正确；

正三角形中|A同=|阂=1,AB,BC夹角为120°,

,———————O(1)14

AB-BC=\AB\\BC[cos\20=lxlx^_2j=_?弓,故B错误;

已知8=1，b=也，c=2,

6

所以1=csin故VABC有两解，故C正确；

由正弦定理得o=2RsinA,/?=2RsinB,则〃354=儿058可化为

sinAcosA=sinBcosB,即sin24=sin28,有两种情况：

2A=28,即A=8,V/WC为等腰三角形；

或2A=兀-25,即A+6=±,V/仍。为直角三角形；

2

所以aA8C不一定是等腰直角三角形，故D错误.

12.66°或114。

【详解】因为AB//4B,BC/IB'C,故/49。=66。或N4'B'C=

114。,故答案为:66。或114。

13.4+川2

【详解】

如图，因为＜Z平面BDD】B[,u平面BDDS,

所以AAt//平面BDD'Bi,又Bju平面BDD冏,

所以平面a截该正方体所得截面即为正方体对角面BDD冏,

易知BD=BiDi=2也,

所以平面直截该正方体所得截面的周长为4+4J2.

14.孚

【详解】由题意募｛AB+AC)=^A/-2曲一，又“ON共线，则加+〃=2,

/??>0,/；>0,m+2〃=tmn,

山"7+2〃12II2%、1(.m2n\1C

所以/==}+}]=(〃?+〃)=勿3+7+下q>7213+22,

当且仅当上='，即〃?=4-2J2"=22时取等号，即，的最小值为上正.

nm2

15.(1)加=1或"？=3；

(2)m=2；

（3）2<rn<3.

【详解】（1）因为z为实数，

所以〃户一4〃7+3=0,解得/〃=1或"1=3.

fw2-3m+2=0

（2）因为z是纯虚数，所以有《，解得切=2.

―4〃？+3/0

\nr-3m+2>0

⑶因为z对应复平面上的点在第四象限,所以有

解得2<〃?<3.

----*j—|--—2T2_*TT

16(1)EF=卜一",EG=b+a-(2)

33333

-----.-♦I——♦|•1**1T

【详解】(1)由平面向量的线性运算可知£尸二人尸-AE=।AQ-1A8=b-a,

3333

----------------------►2------*2------2-*

EG=EB+BG=-AB+-AD=h+a.

3333八八

(2)由题意，因为以1七G,所以EF•EG=(/?-«)-[+〃)=(。一a,G+a)

339

1(%〃)2。+%)=2(5-。0+%)=2.解"=件,

2

所以则可化简上式为一+

AB.EG=a­—G+”)=2"WcosA+2W=2\a\\b\cosAtcosA=2cosA,解得

33333

cosA=),又4e(0,TT),故A=7

23

17.(1)2、后；

⑵S-1)U(-1=).

2_

【详解】(1)由向量"*=(0,2),力=(1,M)，得-=-=_____,且一.b=2m，

a|a|2,\b\J〃户+1a

兀--ab2m公

由a与〃的夹角为，得cos〈a,b〉=-~>==S,解得m=1,则力=(1,1),

4\a\\b\2斤12

于是«+2h=(0,2)+2(1,1)=(2,4),所以\a+2b|=VF+47=275.

(2)由(1)知向量b=(l,l),

则7-M=（0,2）-入（1,1）=（A,2-入）,7+力=（0,2）+（1］）=（1,3），

由「一儿与Z+/，的夹角为锐角，得（了_从）.（a+方）>0且［一儿与鼠/）不共线,

3（2-X）-X>0、3、

，解得入右且入会-1,

3

所以实数4的取值范围为（YO,-DU（-1A.

2

18.⑴」

3

⑵12

⑶（正叫

【详解】（1）因为白？+乂-岫=〃，所以标+及一c?=,

、cr+lr-rab1

由余弦定理可得cosC===

2ab2ab2

因为Ce(0,7r),所以C=［；

3

(2)因为o2+〃=(a+-lab=64-2ab,

所以c?=a'+加一H?=64-3ab,

由基本不等式可知8=〃+Z>22j茄，当且仅当〃=。=4时等号成立，

所以a。W16,寸216即cN4,

所以当〃=%=c=4时，V48C周长有最小值为12；

(3)由正弦定理可得-7=刍=-7，所以〃=4sinA,〃=4sinB,

sinAsinBsinC

因为八+B+C=TI,所以8=_1-A,

贝！ja/?=16sinAsinf=16sinAjs