2026年中考数学二轮复习：一元二次方程及其应用（学案）

一元二次方程及其应用

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.一元二次方程的相关概念

(1)概念：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是①的整式方程

(2)一般形式：ax2+hx+c=,h,c为常数，a®0)

2.一元二次方程的解法

解法适用情况或步骤

2

直接开⑴当方程缺少一次项时，即方程or+c=0(存0fcic<0)；

平方法(2)形如(X+m)2=八(论0)的方程

⑴常数项为。，即方程ax2+bx=0(存0)；

因式分

(2)一元二次方程的一边为0，而另一边是易于分解成两个一次因式的乘积

解法

注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式

适用于所有一元二次方程，求根公式为③(从-4。企0)

公式法

步骤：(1)使用求根公式时要先把原一元二次方程化为一般形式，方程的

右边一定要化为0;

(2)判断b2-4加、的正负：若炉-4〃c•④0,则原方程无实数解；若

b2-⑤0,则原方程有实数解

注：将《,。，c代入公式时应注意其符号

适用于：(1)二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；

(2)各项的系数比较小且便于配方的情况

步骤：以2f-8/4=0为例

⑴变形：将二次项系数化为1,得x2-4x+2=0；

配方法

(2)移项：将常数项移到方程的右边，得.F-4x=-2；

(3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2-4/4二-2

+4,即(x-2)2=2；

⑷求解：用直接开平方法求解，得r=2+鱼，&=2-企

3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

⑴根的判别式：〃-叫做一元二次方程加+"+c=0(存0)的根的判别式

⑵一元二次方程根的情况与判别式的关系：

①〃.4*>0Q方程有两个不相等的实数根;

②〃-44c=00方程有两个相等的实数根；

③方2-4"<()0方程没有实数根

⑶根与系数的关系：若一元二次方程加+云+c=()(存012-4碇川)的两实数根

分另！J为,X2,则即+X2=--/XI-X2=-

aa

4.一元二次方程的实际应用

⑴变化率二邕暨X100%;

基础量

平均

(2)设a为原来量，当机为平均增长率，增长次数为2,b为增长后的量时,

变化

率问则⑥二b；

题(3)设a为原来量，当帽为平均下降率，下降次数为2力为下降后的量时,

贝!J⑦=b

(1)利润=售价-成本；

利润Q)利润率=翌x100%;

।J成本

问题人

⑶每每问题：单价每涨。元，少卖〃件若涨价y元，则少卖的数量为就

练考点

1.若关于X的方程(％-3).^-8A-10=0是一元二次方程，则k的取值范围

是

2.解方程：f-3x+2=0.

3.一元二次方程x2-x+4=0的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根

B,有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

4.关于x的一元二次方程1-+3=0的一个根是1,则该方程的另一个根

为一.

5.为了满足师生的阅读需求，某校园图书馆的藏书从2022年至2024年两年内由

5万册增加到7.2万册，则这两年藏书的年平均增长率为.

6.某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.调查发现,当销售价为2900元

时，平均每天能售出8台.调查发现，若销售价每降低50元，则平均每天能多售

出4台.

⑴若销售价降低1元,则平均每天能多售出台；

⑵已知商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱降价

大元,可列方程为.

高频考点

考点1一元二次方程及其解法

例1（人教九上习题改编）用适当的方法解下列方程：

(1)5。-3)2=45；(2)f+4x=12；

⑶，4x+3=0；(4)/+3x+1=0.

变式1用配方法解一元二次方程3/+6x・1=0时，将它化为(x+4=b的形

式，贝(J。+b的值为()

A.-B.-C.2D.-

333

考点2一元二次方程根的判别式

例2已知关于x的一元二次方程(Z-2)f+4x-1=(),请回答下列问题：

(1)若原方程有实数根，则k的取值范围是；

⑵若原方程有两个相等的实数根，则k的取值范围是；

⑶若原方程有两个不相等的实数根,则攵的取值范围是；

(4)若原方程没有实数根，则k的取值范围是.

易错警示

本题容易出现的错误是忽略“一元二次方程中二次项的系数不等于0”这个条件.

变式2若方程(x-1)2=〃z+2无实数根，则m的取值范围为()

A.m<-2B.m<-2C.m>-2D.m>-2B

变式3(2023广州)已知关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根，则

-I)2-(JT^fc)2的化简结果是()

A.-1B.1C.-}-2kD.2攵-3

考点3一元二次方程的根与系数的关系

例3(人教九上习题改编)设山，M是方程r-6x+2=0的两个实数根，则：

喏+/一;

(2)%1+%2=；

(3)%1%2+%1%2=.

变式4若一个关于x的一元二次方程的两根互为相反数，请你写出一个满足条

件的方程：.

考点4一元二次方程的实际应用

例4根据市场需求，某公司的业务规模快速扩大，如图是该公司用来生产一种

无盖长方体容器的矩形原料，该矩形原料的长为20cm,宽为16cm.

⑴随着技术逐年更新，该矩形原料的成本不断下降，前年一张矩形原料的成本是

50元，今年一张矩形原料的成本是32元，求这种矩形原料成本的年平均下降率；

4I_U

例4题图

⑵将该矩形原料的四角剪去四个相同的小正方形，然后把剩余部分(阴影部分)

沿虚线折起可做成一个无盖长方体容器.若该无盖长方体容器的底面积为140

cm2,求剪去的小正方形的边长；

⑶若该无盖长方体容器的成本是50元/个，如果以100元/个销售,每天可以售

出200个，为尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，公司决定降低售

价，市场调查发现销售单价每降低1元，销售数量就增加20个，则当该公司将

销售单价定为多少元时，每天的销售利润为16000元？

真题及变式

命迤点1一元二次方程及具解法

1.若x=1是方程x2-々=0的根，贝!J。.

2.若一元二次方程/+for+c=0（b,c为常数）的两根xi,无2满足-3<xi<-1,1

<X2<3,则符合条件的一个方程为.

命题点2一元二次方程根的判别式

3.若关于x的一元二次方程f+2x+c=0有两个相等的实数根则c=.

命邈点3一元二次方程根与系数的关系

4.已知xi阳是一元二次方程f-2犬二0的两个实数根，下列结论•错•误的是（）

A.XI#X2B.xf-Zri=0C.xi+X2=2D.x^xi=2

4.1变思维——结合两根关系求系数

若关于x的一元二次方程x2-2x+〃=0两根为》,E,且上十三二3,则P的值

X1x2

为（）

C.-6D.6

新考法

5.［数学文化］我国古代数学著作《增删算法统宗》记载咽中方形”问题：“今有

圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边

三步无疑.内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形的田，中间有

一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边

到圆周，每边相距3步远如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水

平就是第一了.如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是.

第5题图

6.［综合与实践］

【主题】探究日历中的奥秘.

【素材】2024年10月1日是我国成立75周年纪念日,本月日历如图所示.

步骤一：在本月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）；

步骤二：设这四个数从小到大依次为a,h,c,

【观察】小方框中的4个数。c,d,总存在着某种数量关系

【猜想与应用】⑴请用含a的式子表示b,c,d\

⑵若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为128,求这个最大数.

0

第6题图

考点精讲

-b±lb2-4ac

①2②#③氏二一

三-tv---@<⑤N

⑥q(1+m)2⑦。(1-tri)2

练考点

1.#3

2.解：/=/?2-4〃c=(-3户4x1x2=1,

.3+x^l—p.3-VT

•-X=--QyiX=——,

.,j=2或x=1；

一题多解法

U-l)U-2)=0,

x-1=0或x-2=0,

解得x=1或X=2.

22

3.D［解析］'：a=\,b=-1,c=4t：.A=Z?-4ac=(-1)-4x1x4=-15<0,

•••方程没有实数根.

4.3【解析】=1,c=3,且汨“2二工，由题可知，xi=1,.32=3,即另一个

a

根为3.

5.20%

6(展；(2)(2900-x-2500)(8+||)=5000

高频考点

例1解：⑴等式两边同除以5，得(x-3y=9,

开平方，得X-3二±3,

解得X1=6,X2=0；

(2)等式两边同加上4,得f+4x+4=16,

即(x+2户=16,

.•其+2=±4,

**.A|=2,X2=-6；

⑶原方程可变形为Q-3)(x-1)=0z

「.x-3=0或x-1=0,

•»A|—3)X2=1/

(4),.Y/=1,8=3,c=1,

：.A=b2-4ac=32-4xlxl=5,

-b±lb2-4ac-3+75

••A——

2a2r

-3+\/5-3-遍

/.A|=----2---',X2=----2----.

变式1B【解析】•「3W+6x-1=0,.e.3X2+6x=1,x2+2x-,则x2+2x+1

3

2

=；+1,即(x+1)=；,^a-I,b=^t：.a+/?=;.

例2⑴泛-2目后2【解析】由题意得，42-4x(/：-2)x(-1)>0，且％-2r0,

解得后-2且厚2.

(2火二-2【解析】由题意得，42-4x(Z・2)x(-1)=0,且攵-2加，解得攵二-

2.

(3派>・2且后2【解析】由题意得,42-4x(4-2)x(-1)>0,且z-2邦,解得

k>-2且原2.

(4)k<-2【解析】由题意得，42-4x(^-2)x(-1)<0,且&-2r0,解得k<-

2.

变式2A［解析］,•方程(x-l)2=m+2无实数根,「.m+2<0,：.m<-2.

变式3A【解析】••・关于x的方程9・(2%・2)x+F-1=0有两个实数根，.・./

=［-(2k-2)］2-4x1x(3-1)>0,整理得-81+8C0，，右1,-1W0,2-k>0,

•--l)2-(=・(％-1)-(27)二-1.

例3(1)3［解析】'."x2-6x+2=0,/.xi+X2=-2=6,x\xi=-=2,+—=

aaXix2

^^=3.

"2

(2)32【解析］由⑴得xi+及=6,x\xi=2,+腐=Q+X2)2-2x\X2=36-4

=32.

(3)12【解析】由⑴得Xl+%2=6,X\X2=2".瓷X2+X虑=X2X|(X|+X2)=2x6=12.

变式4/-4=o(答案不唯一)【解析】设所求方程式好+版+c=0,•「方程的

两根互为相反数b=x\+X2=0,-=C=Xl-X2<0，.二所求方程为r+c

aa

=0(c<0)，.二满足条件的方程可以为x2-4=0(答案不唯一).

例4解：(1)设这种矩形原料成本的年平均下降率为R,

由题意得50(1-幻2=32,

解得xi=1.8(舍去),X2=0.2=20%.

答：这种矩形原料成本的年平均下降率为20%；

⑵设剪去的小正方形的边长是犬cm,则长方体容器底面的长为(20-2x)cm,宽

为(16-2x)cm,

由题意得(20-2x)(16-2x)=140,

解得xi=3,足=15,

,.当x=15时，16-2x<0,15不符合题意，舍去,

答：剪去的小正方形的边长为3cm；

⑶设该公司将销售单价定为x元，

由题意得(x-50)1200+20(100-x)］=16000z

整理，得x2-160x+6300=0,

解得Xi=70,X2