苏科版九年级数学上册期末复习题 第2章 对称图形-圆-直线与圆的位置关系（含答案）

期末复习题一一直线与圆的位置关系

题型1:证明某直线是圆的切线

1.如图，48是。。的直径，射线交。。于点〃，£'是劣弧40上一点，且=过点£'

作EF_1.BC于点凡延长FE和BA的延长线交于点G.

(2；若4G=6,GE=60求。。的半径.

2.如图，。0是△A8C的外接圆，且A8=AC,点〃在岗•上运动，过点〃作0E〃BC,DE交AB

的延长线于点区连结AD、BD.

A

(1；求证：ZADE=NF；

⑵当点〃运动到什么位置时，DE是。。的切线？请说明理由.

(3；当48=5,8。=6,求。0的半径.

3.如图，AB是。。的直径、4。是。。的弦，给出下列信息:

①DE_L4C于点E；②4。平分NC4B；③ED切。0于点D.

请从以上三条信息中选择两个作为补充条件，余下一个作为结论，组成一个真命题，并说明理

由.

你选择的补充条件是,结论是(填序号).

题型2：切线的性质定理

4.如图，已知。。是的内切圆，4=90°,00与BC,AC,48的切点分别为D,

E,F,若AC=8,BC=6,则。0的半径为（）

5.如图，四边形0ABe是平行四边形，以。为圆心，04尤半径的圆交4B于0,延长4。交。。于

E,连接CO,CE,若CE是。。的切线，

⑴求证：CD是。。的切线；

（2）若8C=3,OC=4,求平行四边形OABC的面积.

6.如图，在矩形;4BCD中，AB=4,AD=5,40、AB、BC分别与。0相切于E、F、G三点

过点。作O。的切线交于点M,切点为N,则0M的长为（）

A.2B.2V5C.

D酒

题型3：切线的性质和判定的综合应用

⑴若4B=6cm,则两个同心圆组成的圆环面积为.cm2；

⑵若以A为圆心，48长为半径画弧，交大圆于点0,连接40,请在备用图中补全图形，猜想力。

与小圆的位置关系，并说明理由.

8.如图，48是。。的弦，。为过点B的切线上一点，且={C,D,E,尸分别在AB,BC,AC

上，且40=BE,AF=BD.连接EF.

A

⑴求证：AC是00的切线；

⑵若4=50°,求4DF的度数.

9.九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深

入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看.

已知半圆。和△4CB.半圆。的直径OE=12cm,在△4CB中，NACB=90°,ZABC=30°,

BC=12cm.半圆0的直径DE和△4CB的边CB在水平直线/上.

（1：如图1,ZiACB保持不动，半圆。以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始

终在直线［上.设运动的时间为£（s）,当t=0时，半圆。在ZkABC的左侧，OC=8cm.当£为何

值时，△力BC某一条边所在的直线能与半圆。所在的圆相切？

图1

⑵如图2,将图1中的△4CB绕点C逆时针旋转至的位置.△4CB保持不动，半圆。仍

然以原来方式运动，请直接写出△4BC的边能与半圆。所在的圆相切（切点在边上）时的t可取

的一切值.

图2

题型4：应用切线长定理求解

10.如图，PA.PB切。。于力、B,P。及其延长线分别交。。于。、D,4E为。。的直径，连

aD

接AB、AC,下列结论：①CB=OE；②=/DOE；③4C平分々4B；④44B=ZBAE-,

其中正确的有（）

A.①@③B.①②③④C.①②④D.②③④

11.如图，已知4=90°.

A

⑴在图中，用尺规作出的内切圆的圆心。（保留痕迹，不必写作法）；

（2）画出O。与边BC,/C的切点。、E、尸，连接DE,若与=40°则

/DEF=；

（3）若4c=6,BC=S,则所作内切圆半径=.

12.已知线段力£、A尸与。。相切，切点分别为E、F,z71=^=90°,AF=BF.

⑴过点C作。。的切线（在线段BC的上方）与AE的延长线交于点。，切点为点G.（要求：尺

规作图、保留作图痕迹、不写作法).

⑵求证：8C与O。相切.

⑶若40=3,BC=6,求0。的半径.

题型5：应用切线长定理求证

13.如图，48为。。的直径，且A8=12cm,AM和BN是O。的两条切线，0C切。0于点E,

交AM于。，交ZyN于点C,设y1。=X，DC=y.

(1)求证；/DOC=90°；

⑵求y与久的函数关系式？

⑶若“、y是方程/―13t+旭=0的两个根，求x、y的值.

14.【课本再现】如图1,PAfPB是。。的切线，A,B为切点，AC是O。的直径.若/8AC=

25°,

⑴求NP的度数.

(2)【变式设问】如图2,AC是。。的直径，PA与。。相切于点4B为。。上一点,4C的延

长线与射线PB相交于点〃，若/。+2/8力。=90°,求证：PA=PB.

15.如图，在RtZkABC中，ZBAC=90°,N%8c的平分线交AC于点0,以点。为圆心，OA长

为半径的圆与4c相交于点£

⑴求证：BC是。。的切线；

⑵若48=5,BC=13,求CE的长.

题型6：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系

16.如图，在△48。中，BC=6,AC=8,AB=10,。。是它的内切圆，用剪刀沿。。切线

OE剪一个△AOE,则△40E的周长为.

17.如图，在RtaABC中，ZBAC=90。，力。为中线，若4B=10,AC=24,设△480与△ACO

的内切圆半径分别为rI，r2,则匚的值为（）

r2

C三

・33

18.如图，把RtZkOAB置于平面直角坐标系中，点4的义标为（0,4）,点8的坐标为（3,0）,

点P是RtZkOAB内切圆的圆心.将RtZkOAB沿％轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与工

轴重合，第一次滚动后圆心为Pi，第二次滚动后圆心为P2,…，依此规律，第2020次滚动后，

题型7：圆外切四边形模型

19.如图，正方形EBF/,正方形和正方形HLGO都在正方形A8CD内，且=”D.Q0

分别与AE,EI,HL,4”相切，点M恰好落在。0上，若8F=4,则。0的直径为.

20.如图，O。的外切四边形/BC。中相邻的三条边/B:8C:C。=3:4:5,周长为32,则

AD=.

21.如图所示，已知。。的外切等腰梯形ABCO,力0||BC,AB=DCf梯形中位线为E尸，求证:

EF=AB.

题型8：三角形内心有关应用

22.如图，点。是△4BC的外心，点/是△ABC的内心，连接OB,L4.若ZC4/=36°,则ZOBC

的度数为()

A.20°B.18°C.16°D.15°

23.如图，ZM8C的内切圆与8C、C4、AB分别相切于点D、E、F,若的半径为r,4=a,

则(4尸+BO—48)的值和4DE的大小分别为(

BDC

A.2r,900-aB.0,900-aC.2r,90°D.0,90°

24,已知，如图，AB为O。的直径，ZkABC内接于OO,BC>4C,点P是△ABC的内心，延

长CP交。。于点。，连接8P.

(1；求证：BD=PD；

(2；已知。0的半径是3&，CD=8,求BC的长.

题型9：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系

25.如图所示的是周长为15cm的三角形纸片小刚想用剪刀剪出它的内切圆00,他先

沿着与相切的DE剪下了一个三角形纸片B0E.若4C=4cm,则三角形纸片BDE的周长为

26.如图，△A8C的内切圆。0与BC,48分别相切于点D,E,F,且力8=5cm,BC=7cm,

CA=6cm.

(1)求4尸的长.

⑵已知SFBC=6Vsem2,求。。的长.

27,(1)如图①，在中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足为D.若AB=15,AC=8,

则4D的长为；

（2）如图②所示，某工厂剩余一块△4BC型板材，其中AB=100cm,BC=160cm,AC=

140cm.为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件,你认为可

以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心。的位置，并求出。。的半径，若

不可以，请说明埋由.

题型10：三角形内切圆与外接圆综合

28.如图，锐角△4BC.

（尺规作图）（备用图）

⑴分别作出△ABC的外接圆O。、ZkABC的内切圆O0’（尺规作图，保留作图痕迹）；

（2：已知点。是△A8C外接圆的圆心，点0,是△A8C内切圆的圆心.试探究N30C与N3。'C的

度数之间的关系；

⑶如果NB0C=100°,那么NB。’C的度数是多少？

29.如图,已知正方形48co的边长为2,/?£△MNP的直角顶点飘落在线段80上，直角边MN

经过点4直角边MP与直线交于点E,连接/E.设点。为△/ME的内心，当点。在AABD的

内部（包括边界）时，0M的取值范围是.

30.如图，。。为△力BC的外接圆，其中4=50°,点/为△4BC的内心，连接川并延长交

。。于点〃，连接/C,CD,则27CO=

A

题型11：过圆外一点作圆的切线（尺规作图）

31.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：0。和00外一点「.

求作：过点P的O。的切线.

作法：如图，

①连接0P;

②分别以点。和点P为圆心，大于：0P的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点;

③作直线MN,交0P于点C；

④以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交。。于A,B两点;

⑤作直线P4PB.

直线PA,PB即为所求作。。的切线.

⑴请根据上述作法完成尺规作图；

⑵连接040B,可证4MP=N0BP=90°,理由是」

⑶直线P4,P8是。。的切线，依据是

32.已知P是O。外一点，用直尺和圆规过点P作O。的切线.以下是甲、乙两人的作法:

C.甲的作法错误，乙的作法正确D.甲的作法正确，乙的作法错误

33.如图，正方形中，8c是。。的直径，点E是。。上的一动点（点E不与点8,C重合,

且在BC左侧）.

⑴尺规作图：做出点E使得=NDEC；

⑵在（1）的条件下，延长0E交于F,求证/F=BF+OB.

题型12：圆内知识综合（圆的综合问题）

34.在△力BC中，ZBAC=90",AB=AC,P为边BC上一点,点B与点E关于直线4P对称，过

点B作BC的垂线，交线段C4的延长线于点D,连接OE交直线4P于H,连接BE,CE,设NEAP=a.

（1；如图，当0°<a<45°时.

①求的大小（用含a的式子表示）；

②清用等式表示线段EH,OE,CE之间的数量关系，并证明；

（2；当45°Va<90°时，请直接写出线段之间的数量关系.

35.如图，。。的直径AB=8,弦力C=4,过。。上一点〃作切线0E,交4c的延长线于点区

若DEJLAC,则0E的长为()

A.3B.2V3C.4D.4V3

36,已知48为00的直径，AB=8,C为。。上一点，连接C4,CB.

(。如图①，若C为”的中点，求“CAB的大小和AC的长；

(2)如图②，若AC=2,。。为。。的半径，且0D1CB,垂足为E,过点。作。0的切线，与力C

的延长线相交于点F,求尸。的长.

题型13：圆与三角形的综合（圆的综合问题）

37.如图，A8是。0的直径，C是脑的中点，连结4c并延长到点〃，使AC=CD,E是OB的

中点，连结CE并延长交DB于点E

⑴求证：B0是。0的切线；

⑵若AF交。。于点区连接BH,0B=2,求8H的长.

38.如图，△48。内接于0。〃8是00的直径，过点C作CO_LBD于点。，且8c平分

⑴求证：CO是。。的切线；

⑵若4c=6,CO=2,求O0的半径.

39.如图，是。。的直径，C,〃是。。上两点，连接AC,BC,CO平分NNC。，CEJ.DB交

08延长线于点E.

（1；写出图中与NZC。相等的一个角：

⑵求证：CE是。。的切线；

题型14：圆与四边形的综合（圆的综合问题）

U

40.点4,M,N在。0上，将MN沿MN折叠后，与4M交于B.

⑴若/MAN=70。，求NANB的度数.

D

⑵如图，点8恰是翻折所MN得的中点，若MH=MN,求Z4MN的度数.

41.如图,A,B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点。表示射门点，连接4&8C,

则44CB就是射门角.在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越

大.球员甲带球线路ED与球门线48垂直，〃为垂足，点。在E。上，当NZCB最大时就是带球

线路ED上的最佳射门角.若AB=8,BD=2,则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，DC的

长度为（）

A.4B.6C.2V5D.2V15

42.如图1,在矩形/BCO中，AB=3cm,BC=4cm,点P以1.5cm/s的速度从点A向点B运

动，点Q以2cm/s的速度从点C向点B运动.点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0<t<2）,QM

是APQ8的外接圆.

DCDC

（。当t=l时，OM的半径是_cm,OM与直线⑺的位置关系是」

⑵在点P从点力向点B运动过程中，①圆心M的运动路径长是_cm；②当OM与直线/D相切时,

求t的值.

⑶连接PD,交OM于点N,如图2,当NRPD=N7V8Q时，求£的值.

题型15：圆与函数的综合（圆的综合问题）

43.如图，已知OP的半径为1,圆心P在抛物线y=—^/+1上运动，当OP与％轴相切时,

圆心P的横坐标为.

44.如图，在平面直角坐标系中，。产的半径为5,圆心户坐标是（5,a）（z?>5）,函数y=x

的图象被。/^截得的弦力夕的长为4连，则a的值是

45.在平面直角坐标系内，以原点0为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=g％+2追上运

动，过点P作该圆的一条切线，切点为A,则PA的最小值为（）

A.3B.2C.V3D.V2

题型16：其他问题（圆的综合问题）

46.点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向％轴，y轴作垂线段，若垂线段

的长度的和为4,则点P叫做“垂距点”.例如：下图中的P（l,3）是“垂距点”.

（1；在点4（2,2）,8（|,-1）,C（-l,5）中，是“垂距点”的点为」

（2）求函数y=2x十3的图象上的“垂距点”的坐标；

⑶的圆心7的坐标为（1,0）,半径为r.若0T上存在“垂距点”，则r的取值范围是

47.如图，在边长为1的正方形4BC0中，将射线4C绕点力按顺时针方向旋转a度（0Va4

360°）,得到射线4E,点.机是点〃关于射线4E的对称点，则线段CM长度的最小值为（）

A.V2B.V2-1C.V2+1D.2-V2

48.已知点〃（x（）,y0）和直线y=/ex+b,求点/5到直线y=々x+b的距离d可用公式4=

生零计算.根据以上材料解决下面问题：如图，。。的圆心C的坐标为（1,1）,半径为1,

vl+H

直线47的表达式为y=—2x+6,尸是直线力〃上的动点，。是。。上的动点，则收的最小值

是.

参考答案

题型1:证明某直线是圆的切线

1.(1)证明：连接。E,

.•.婕=ETE.

•••zfl=^2.

OB=0E,

•••=^3.

•••/I=N3.

・•・OE||RF.

•••EF1BC,

:.OE1GF,

又•，,0E是半径.

・・・6尸是。。的切线.

(2)解：设0A=OE=r,

•••OE1GF,

・•・/GEO=900.

在GOE中，

vOG2=GE2+OF2,AG=6,GE=6&,

(6+r)2=(6>/2)2+r2.

解得•r=3.

O。的半径是3.

2.(1)证明：在△48C中，VAB=ACt

：.ZABC=NC.

•:DE〃BC,

：.^ABC=/E,

:・/E=NC.

XVZADB=NC,

：.ZADB=ZE.

(2)解：当点〃是瓠BC的中点时，0E是。。的切线.理由如下:

当点。是弧”的中点时，则有4DIRC,旧人。过圆心〃.

又,：DE〃BC,

：.AD1ED.

・••0E是O0的切线.

D

(3)解：连结B。、A0,并延长40交BC于点居则4FJLBC,

A

•・FB=ACf

：.BF“BC=3.

又・・ZB=5,

：.AF=7AB2-BF2=4.

设00的半径为r,

在Rtz\0B/中，OF=4-r,0B=r,BF=3,

.*.r2=32+(4—r)2,

解得r=f,

8

・・.。。的半径是勺.

8

3.(1)选择的补充条件是①②，结论是③.

证明：连接。0,

VOA=0D,

•••/040=/004,

*：AD^^ZCAB,

：.Z0AD=ZDAE.

：.ZDAE=NODA,

,：DE1ACf

・•・ZAED=90°,ZDAE+ZADE=90°,

，ZODA+ZADE=90°,即/ODE=90°,

•・・。。是圆的半径，

•••EO切。。于点。.

(2)选择的补充条件是①@,结论是②.

证明：连接。D,

VOA=OD,

：.ZOAD=/OZM,

,：DE1ACf

ZAED=90°,ZDAE+ZADE=90°,

「ED切00于点D,

/ODE=90°,

••・^ODA+^ADE=90",

AZDAE=/ODA,

：.ZOAD=ZDAE,

即AD平分4L4B.

（3）选择的补充条件是②③，结论是①.

证明：连接。0,

\'0A=OD,

：,ZOAD=Z0DA,

•・・ED切。。于点D,

，/ODE=90°,

二^ODA+ZADE=90°,

•・FO平分/C/B,

A^OAD=N7L4E,

AZDAE=NODA,

ZDAE4-ZADE=90°,

ZAED=90",ZDAE+ZADE=90°,

即DEJLAC于点、E.

题型2：切线的性质定理

4.B

解：连接00,OE,

NC=90°,AC=8,B(:=6,

AB=y/AC24-BC2=V824-62=10,

•••00与BC,AC,AB的切点分别为AE,F,

ABC1ODtAC1OE,AE=AF,BD=BF,CD=CE,

AE+BD=AF+BF=AB=10,

CD+CE=2CD=AC+BC-(AE+BD)=8+6-10=4,

二CO=2,

vZODC=NC=NOEC=90°,OD=OE,

四边形ODCE是正方形，

:.OD=CD=2,

.•.0。的半径长为2,

故选：B.

5.(1)解：:CE是。0的切线，

，Z0EC=90°,

连接。。，如图,

•・•四边形0A8C是平行四边形，

：.0C||AB,

：.ZEOC="ZCOD=ZODA,

•：0D=04,

：.^A=ZODA,

:./EOC=/DOC,

在AEOC和△00C中，

OE=OD

VZEOC=ZDOC,

oc=oc

：.LEOC三△OOC(SAS)

ZODC=NOEC=90°,

：.0D1CD,

，CD是。。的切线;

(2)解：过。作。F_LOC于凡如图2,

•・•四边形048C是平行四边形，

0A=BC=3,

由(1)得。01CD

在RtZkCO。中，0C=4.OD=OA=3,

・•・CD=y/OC2-OD2=V7,

X

V-2xCDxOD=S^OCD=2-OCxDF,

.CDOD3近

oc4

•••平行四边形。4BC的面积=OCxDF=4x—=3夕.

4

6.D

解：连接。E,OF,ON,OG,如图所示,

在矩形ABCO中,

<4=/B=90°,CD=AB=4,

•・FD,AB.BC分别与O。相切于E,F,G三点,

ZAEO=ZAFO=NOFB=/BGO=90°,

••・四边形4F0E,FBG。是正方形，

'.AF=BF=AE=BG=2,

：.DE=3,

•・・。〃是0。的切线，

:・DN=DE=3,MN=MG,

二•CM=5-2—MN=3-MN

在RtZ\OMC中，DM2=CD2+CM2,

(3+NM)2=(3-NM)2+42,

4

：,NM=-,

3

.p..,,413

••DM=o3H—=—.

33

故选：D.

题型3：切线的性质和判定的综合应用

7.(1)解：连接。40C,

•••大圆的弦48是小圆的切线，切点为点C,

.•・OC

AC=-AB=3,

2

OA2-OC2=AC2=9,

两个同心圆组成的圆环面积为：

71X0A2--7TX0C2

=n(OA2-0c2)

=97r(cm2),

故答案为：9TT；

(2)解：补全图如下：

理由如下：连接。A、OB、OC、0D,过。点作OE_LAD于区

•••OA=0AfAD=AB,OB=OD,

•••△OAD=△OAB(SSS),

:.OE=OC,

•••40与小圆相切.

8.(1)证明：连接。4OB,

A

B

'：AC=BC,

「•/CAB=/CBA,

\0A=OB,

：.^OAB=NOBA,

ZCAO=NCBO,

TBC是。。的切线，

，/CBO=90°,

ZCAO=90°.

•••04是0。的半径，

二•AC是。。的切线；

(2)解：在尸与ABED中，

(AD=BE

NCAB=NCBE

(AF=BD

：,LADF三△BEO(SAS),

AZADF=/BED,

'：AC=BC,NT=50°,

・•・ZCAB=ZCBA=：x(180°-50°)=65°,

「ZADF+ZFDE+ZBDE=180°,/BED+ZCBA+/BDE=180°,

，/EDF=NCBA=65°.

9.(1)解：①如图1,

A

图1

当点E与点C重合时，AC1OF,OC=OE=6cm,4c与半圆0相切,

此时点。运动了8—6=2cm,所求运动时间为：t=2+2=l(s).

②如图2,当点。运动到点C时，过点。作。48,垂足为F.

图2

在Rt△尸08中，480=30°,OB=12cm,

则。F=6cm,即。尸等于半圆。的半径，

所以nB与半圆。所在的圆相切.

此时点。运动了8cm,所求运动时间为：t=8+2=4(s).

③如图3,当点。运动到的中点时，AC10DfOC=0D=6cm,4c与半圆0相切.

图3

此时点。运动了8+6=14cm,所求运动时间为：t=14+2=7(s).

④如图，当点。运动到B点的右侧，且0B=12cm时，

过点。作0Q_L4B,垂足为Q.

A

在Rt/iQOB中，ZOBQ=30°,则OQ=6cm,

即。Q等于半圆。所在的圆的半径，

所以直线与半圆。所在的圆相切.

此时点。运动了32cm,所求运动时间为：t=324-2=16(s).

综上所述，当t=ls,4s,7s,16s时，△ABC的一边所在直线与半圆。所在的圆相切.

(2)解：①如图，当△ABC的边AC与半圆0所在的圆相切(切点在边上)时，

假设切点为凡连接OF,则0F14C,OF=6cm,

•:KB〃DE,

：.=/B=30°,

，Z2=60°"=30°,

222

：,ZCF=OC,OC=OF+FCf

=4百cm,

此时点。运动了8—4j5(cm),所求运动时间为：t=(8-4V3)4-2=4-2V3(s).

②如图，当的边BC与半圆。所在的圆相切(切点在边上)时，

,：AB//DE,

・•・/I=ZB=30°,

'.OC=12cm,

此时点0运动了12+8=20(cm),所求运动时间为：t=204-2=10(s).

VZS=30°,

ACG=^BC=6cm,BG=^3CG=675cm,4G=翁=2岳m,

,:AB〃DE,

・•・边力B上所有点到DE的距离都是6cm,等于半圆。所在的圆的半径，

所以边与半圆。所在的圆相切.

当半圆。与边相切于点力时，点0运动了8—2通(cm),所求运动时间为：£=(8—2百)+2=

4-V3(s),

当半圆。与边相切于点8时，点。运动了8+6b(cm),所求运动时间为：C=(8+6A/5)+2=

4+3A/3(S),

故当△4BC的边AB与半圆0所在的圆相切(切点在边上)时，4-V3<t<4+3V3,

综上，当4一遮<t<4+3仃或£=4—2j5(s)或七=10(s)时，△的边能与半圆0所在的

圆相切(切点在边上).

题型4：应用切线长定理求解

10.A

解：连接。8,如图,

A

^为

由切线性质知，A。124,OBA.PB,

在AP/OAPB。中，悌：器，

：,LPAO三△PBO(HL),

；.ZAOC=/COB,

。D

：.BC=AC9

VZAOC=/DOE,

OD

'：AC=DE,

aa

:,CB=DE,①正确；

由切线性质知，AB1OP,PA=PF,

・•・ZAOP+ZBAO=90°,ZPAB=/PB4,

又'「OA1AP,

Z./PAB+ZBAO=90°,

，ZPAB=NAOP=ZABP=NDOE,

•••②正确；

\*^AOC=NCOB,OA=OB,

•••OC是AB的垂直平分线，

^ACO+ZBAC=90°,

'：OA=OC,

^ACO=ZOAC,

•••^OAC+ZBAC=90°,

又•・・NZP4C+ZOAC=90°,

：./PAC=ZBAC,

•XC平分ZPAB,③正确;

④若=则CA=OA,即△04C是等边三角形,

根据已知条件无法得到这一结论，故④错误.

故选：A.

11.(1)解：如图，点。即为△ABC的内切圆圆心，

由切线长定理得FC=EC,BD=BE,

;NT=90°,

?.ZCEF=1(180°-90°)=45°,

/ABC=40°,

/BED=1(180°-40°)=70°,

，/DEF=1800-ZFEC-/BED=180°-45°-70°=65°

故答案为：65°；

(3)解：设△ABC内切圆的半径为八

\•在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6fBC=8,

：.AB=y/AC2+BC2=10,

:.SAARC=•BC=[x6x8=24,AB+AC+BC=24,

•••Sf8c=[(4B+4C+BC)r,

•R_25"BC_2X24_?

••一AB+AC+BC-24一,

故答案为：2.

12.(1)解：如图，连接E。并延长E。交BC于点H,以C为圆心CH为半径作瓠交。。于点G,

连接CG,延长CG交AE的延长线于点。，连接OG、OC、OF,

E、。

HMC

：,CG=CH,

•・・埃段4E、4口与。。相切，切点分别为E、F,AF=BF,

，ZAEH=90°,ZAFO=90°,OE=OF,AB=2AFt

;N4=NB=90°,

・•・四边形ABE”是矩形，

・•・/EHB=90°=/EHC,EH=AB=2AF,BH=AE,

VZ21=90°,ZAEH=90°,ZAFO=90°,

••・四边形4E0F是矩形，

又：OE=OF,

・•・四边形AEO尸是正方形，

：.OE=OF=AF=AEt

：.AB=2AF=2OE,

•・"B是O。的直径，即点H在OO上,

：,0G=OH,

在AOCG和△OC”中，

OG=OH

CG=CH,

OC=OC

：,△OCG三△OCH(SSS),

/./OGC=ZOHC=90°,即CO1OG,

TOG是O。的半径，

二•CO与。。相切于点G,

则CD即为所作;

(2)证明：由(1)知：N0HC=900即BCJL。“，且点H在。。上,

••・BC与。。相切；

(3)解：设。。的半径为r,

过点。作OM1于点M,则N7)MB=90。=/DMC,

:44=夕=90°,AD=3,BC=6,

，四边形力BMO是矩形，

二•BM=4。=3,DM=AB=2OE=2r,

，CM=BC-BM=6—3=3,

•・FD、CD、BC都是OO的切线，

：,DG=DE=3-rtCG=CH=6—r,

.**CD=CG+DG=6—r4-3—r=9—2r,

在RtzXOMC中，CD2=DM2+CM2,

：.(9-2r)2=(2r)2+32,

解得:r=2,

•••0。的半径为2.

题型5：应用切线长定理求证

13.(1)证明：•••04、OE是0。的两条切线，

ZAD0=NED0,

同理可得，NBC0=NEC0,

•••42为0。的直径，4M和BN是0O的两条切线，

：,AM1AO,BN1OB,

:,AM〃BN、

:./ADC+/BCD=180°,

・•・ZODC+NOCD=90°,

/DOC=180°-90°=90°；

(2)解：过点。作OEJ.BC,垂足为F,

则四边形48FD为矩形，

DF=AB=12,BF=AD=X,

•；。0切AM、BN、。。于4、B、E,

:.DE=AD=x,CE=CB=y,

CF=y—x,CD=x+yy

在Rt^OC5中，DC2=DF2+CF2,gP(x+y)2=(y-x)2+122,

・•・xy=36,

36

•••)'=7-

(3)解：,.♦%、y是方程尸一i3£+m=0的两个根，

・•・x+y=13,即％+m=13,

整理得，x2-13%+36=0,

解得，

=4,x2=9,

则为=

9,y2=4,

•••x=4,y=9或％=9,y=4.

14.(1)•・•P4PB是O。的切线

・•.OA1AP,PA=PB

•••ZBAC=25°

/ABP=ZBAP=90°-25°=65°

・•・4=1800-2x65°=50°.

(2)根据题意，^PAO=90°

可潺4。=BO

ZOAB=NOBA,/DOB=2/BAC

又•：ZD^-2ZBAC=90°

•••/D+/DOB=90°

・•・/DBO=90°

・•.P8是O。的切线

PA=PB.

/BAD=90°,

：,AD1BAt

IBD平分4BC,

：.AD=DF,

•・F0是G)D的半径，DFIBC,

・・・BC是OO的切线；

(2)解：VZBAC=90°,

•••AB与。0相切，

YBC是。。的切线，

：,AB=FB,

'：AB=5,BC=13,

：,CF=13-5=8,AC=y/BC2-AB2=V132-52=12,

在RtAOFC中，设DF=DE=r,

WJDF2+CF2=CD2,即产+82=(12—r)2,

解得：r=¥

J

,•"E=g，

：

.CE=AC-AE=12--3=—3,

・•・CE的长为

J

题型6：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系

16.12

解：如图，设△4BC的内切圆切三边于点F、H、G,连凄OF、OH、OG,

由切线长定理可知4F=4G,BF=BH,CH=CG,

「DE是。。的切线，

：.MD=DF,EM=EG,

*：BC=6,AC=8,AB=10,

222

：.AB=AC+BCf

/.ZACB=90°,

则四边形。HCG是正方形，

•••0。是△ABC的内切圆，

，内切圆的半径=[(CH+CG)=^AC+BC-AB)=2,

：.CG=2,

：.AG=AC-CG=8-2=6,

,\AF=AG=6,

AAOE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=66=12.

故答案为：12.

17.D

解：设△ABO的内切圆为O/,O/与48、AD.BD分别相切于点E、F、G,

・・・BC=yjAB2+AC2=V1024-242=26,

S△.=*«/1C=|X10X24=120,

•・FO为斜边BC上的中线，

：,AD=BD=CD=-BC=13,

2

•*^£^ABD=S^ACD=5s—BC—60,

连接/E,IF,IG,IA.IB./D.贝!]/E=/F=/G=r「

•SMH/+SM。/+=6°，SAB±/E,AD±IF,BD±/(?,

X10q+1XyTi+|X=60,

解潺：q=R,

•J

同理可得，|xl2r24-1x^r2+|x^r2=60,

解得丁2=9，

•0一至10一在

••丁-12-7S，

「2T18

故选：D.

18.(8081,1)

解：如图，作PO_L04交0A于D,PF^OB交0B于F,连接力P、OP、PB,

•••点4的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),

:.0B=3,OA=4,

AB=y/OA2+OB2=V42+32=5,

•・•点P是RtZkCMB内切圆的圆心，PDJL04,PF_LOB,PE_L4B,

PD=PE=PF,

设PD=PE=PF=r,

•：S^AOB=zOA-OB=-x3x4=6,SLA0B=S&APB+S&AOP+^AOPB=,PE4--OA-

PD+^OB•PF，

-2x5r+2-x4r+2-x3r=6,

解得：r=1,

.•・P(1,1)，

•・♦将Rt/i048沿％轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为

Pl,第二次滚动后圆心为P2,

・•・由图可得P2的坐标为：(3+5+4—1,1),即(11,1),

设Pi的横坐标为X,

根据切线长定理可得：%-3=3-1,

解得■:%=5,

Pi(5,l),

二「3的坐标为(3+5+4+1,1)，即(13,1),

,每滚动3次为一个循环，

2020+3=673...1,

.♦.第2020次滚动后Rt△048内切圆的圆心B020的横坐标是：673x(3+4+5)+5=8081,

即P2020的横坐标是8081,

二「2020(8081,1),

故答案为：(8081,1).

题型7：圆外切四边形模型

19.16-8V2

解：如图所示，连接4C,过点。作。P_LAO于P,过点。作。Q_L于Q,

APHD

BFC

「正方形EBF7,正方形MFCG和正方形HLGD都在正方形ABCD内,

二/ACD=/MCD=ZDAC=45°,

•・・。0分别与AE,EI,HL,4H相切，

•••四边形4Q0P是正方形，

过点。，M,

•.•四边形4BC0为正方形,

AAC=V2AB,0A=y[2OP,AD=BC.

vBF=HD.

.­•AH=FC.

设O。的直径为X,则

FC=AH=x.

SF=4,

...AB=BC=x+4.MC=V2%,AM=怨x

“3x/2+l

•••AC=---2---x

-AC=V2AB,

解辱：x=16—8y/2.

即。。的直径为16—8V2.

故答案为：16—8V2.

20.8

解：如图,

C

•二0。的外切四边形4BC0,

：.AE=AH,BE=BF,CF=CGfDH=DG,

S.AB+CD=BC+ADf

":AB:BC:CD=3:4:5,

・••设48=3x、BC=4x.CD=5x,则3x+5x=4x+AO,即=4x,

•・•四边形ABC。的周长为32,

3%4-5%+4%+4x=32,解得：x=2,

：.AD=4x=8.

故答案为：8.

21..・•等腰梯形ABCD是。。的外切等腰梯形,

AAD+BC=AB+CD=2AB,

•・,梯形中位线为EF,

.,.AD+BC=2EF,

AEF=AB.

题型8：三角形内心有关应用

22.B

解：如图，连接。C,

•・•点0是△ABC的外心，

：,0C=OB,

丁点/是△ABC的内心，ZCAI=36°,

•・//平分/B4C,

・••ZBA1=NCAI,

：.ZBAC=2ZCAI=72°,

ZBOC=2ZBAC=144°,

ZOCB=NOBC,且NOCB+ZOBC+NBOC=180°,

•••2/OBC+144°=180°,

・•・/OBC=18°,

故选：B.

23.D

解：如图，连接/F,IE.

A

•「△ABC的内切圆。/与BC,CA,AB分别相切于点〃，E,F,

:.BF=BD,AF=AEyIFLAB,IELAC,

：.AF+BD-AB=AF+BF-AB=AB-AB=^AFI=ZAEl=90°,

:・/ElF=180°-a,

AZEDF=-ZEIF=90°--a.

22

故选：D.

24.(1)证明：:/g为O。的直径，

ZACB=90°,

•.•点P是△4BC的内心，

ZACD=/BCP=45°,/CBP=ZABP,

・♦・/ABD=ZACD=45°,

•・♦/DPB=/BCP+ZCBP=45°+NCBP,/DBP=ZABD+ZABP=450+48P,

・•./DPB=ZDBP,

・•・BD=DP.

(2)解：如图，连接40,过点8作BH1CO于H,

c

H

Vx和…/J

、、、、■I，，，，

、、11////

.y/

♦.♦48为。0的直径，。。的半径是3或，/480=45°,

AAB=6V2,ZkABO是等腰直角三角形，

.-.BD=叵AB=叵X6鼻=6,

22

v/BCD=45°,BH1CD,

••・NBCH=NCBH=45°,

.-.BH=CH,

・•・BC=立BH,

222

vBD=DH+BHf

・•.36=(8-BH/+BH2,

・♦・BH=4±日

・•・BC=4V2±2,

vBC>AC,AC2+BC2=AB2=72,

:,BC>6,

・・・BC=4a+2.

题型9：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系

25.7

解：设三角形/BC与。。相切于点M,N,F,0E与。。相切于点G.

由题意，得4M=AF,CN=CF,BM=BN,DM=DG,EG=EN.

0

•••三角形纸片4BC的周长为15cm,4C=4cm,48+4C+BC=15cm,AM+CN=AF+CF=

AC=4cm,:.AB+BC=11cm,

••・三角形纸片BDE的周长=DB+DE+BE=BD+DG+GE+BE=BM+BN=AB+BC—

AC=7cm.

故答案为：7.

26.(1)解：:△ABC的内切圆。。与BC,CAtAB分别相切于点〃，E,居

AF=AF：,RF=RD,CD=CE,

设A/7=AE=%,则—%,EC=DC=6—x,

根据题意得：5—x+6—x=7

解得：x=2cm

•••AF=2cm,BD=5-x=3cm,EC=6—x=4cm,

则AF的长为2cm；

(2)AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm,

，半周长s

2

又S—Bc=6V6cm2,

6V6=r-9,

•.r—,

则。。的长为Mem.

3

27.解：(1)VZBAC=90',AB=15,AC=8

：.BC=>/AB2+AC2=17

9：AD1BC

：.S^ABC=^ABAC=^BC-AD

：

.-2x15x8=-2x17AD

・120

.-AD=—；

17

(2)可以.

•・•三角形内最大的圆是三角形的内切圆，

・•.所求圆的圆心是△4BC的内心，

作44BC和/4CB的平分线BE,CF交于点0,

则点。就是裁出的最大圆型部件的圆心。的位置，

过点。作OH_LBC于H,02，4。于「，。。_148于。，连接。4,OB,0C,过点4作,4MJL8C于

M,如图所示：

设BM=xcm,。0的半径为Rem,

AB-100cm,BC-160cm,AC-140cm,

•••CM=(160-x)cm,

在中，由勾股定理得：AM2=AB2-BM2=1002-%2,

在Rt△力CM中，由勾股定理得：AM2=AC2-CM2=1402-(160-%)2,

1002—%2=1402—(160-%)2,

解得：x=50,

AM=V1002—x2=50V3(cm),

11

・••SAABC=-BC-AM=-X160X50A/3=4000V3(cm2)

•・•点。为△ABC的内心，

:.OH=OP=OQ=Rem,

S&OBC+S4OCA+=S公ABC，

・•・-BC•OH+-AC-OP+-AB-OQ=4000\/3,

222

即(100+160+140)/?=800075,

R=20-\/3.

题型10：三角形内切圆与外接圆综合

•••△48。的外接圆。。、△48。的内切圆。。’即为所求;

(2)解：ZBOC=90"+QBOC,理由，

4

•・•点。是外接圆的圆心，

，/BOC=24,

•・•点。’是△ABC内切圆的圆心

：

.ZOBC=-2ZABC,2NOCB=、ACB,

,?^ABC+ZACB+4=180°,

：,ZOBC-VZOCB=-ZABC+-ZACB=i(180°-4)=90°--ZA.

222v72

AZBOC=1800-(/O8C+NOCB)=180。-(900=900

:./BO'C=90°+-^BOC；

4

(3)解：由(2)得，ZBO-C=900「/BOC,

4

二ZBOC=100°,

・•・/BOC=90°+-x100°=115°.

4

29.0<DM<2

解：当点时与点〃重合时，点〃与点。重合，此时点。为△40C的内心.

•.•四边形为正方形，

••・BO为4OC的平分线，

.•.点。在BO上.此时OM最短.

如图，当点。落在AB上时，DM最大.

过点朗作MF_LAD于点R”6,8。于点6;MKJ.AB于点K.

■:/GBM=45°,

:./GMB=45°,

是等腰直角三角形，

・•・MG=GB.

•••MGII4B,MK||GB,MG=GB,MG1.BC,

・•.四边形MGBK是正方形，

.•・MG=MK.

vMF||A