2026年高考数学一轮复习专练：指对同构问题（附答案）

§3.5指对同构问题

【重点解读】把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单

调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式

问题.

题型一双变量地位同等同构

例1若对OOrVzVa都有In仔）12A•?-2xi成立，则。的最大值为（）

A.lB.2C.eD.2e

答案B

（Y\"1工2

解析由In住）<2X2~2X\,（）<ri<.r2<n,

得riY2（In孙一Inri）<2r2—2x.\,

X^X2

即Inxo—Inx\<———,

*2

,22

有lnM+—<lnjq+-,

x2X1

令/U）=lnx+：（x>（））,贝U/U2）勺*D,

所以汽忏；尹爱，

令/V）>0=x>2,令/（x）<0=>0<r<2,

所以函数./U）的单调递增区间为（2,+8）,单调递减区间为（0,2）,

所以当0v为令2<2时，.火念）5»）恒成立，

所以0<〃W2,故a的最大值为2.

思维升华含有地位同等的两个变量足，闷或x,）•或。，力的等式或不等式，如果进行整理（即同构）后，等

式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应月函数单调性解决.

跟踪训练1若0<X1<X2<l,则下列不等式正确的是（)

A.xilnxi<3nxiB.xilnxi>X2lnxz

CMnxi<xilnxiD.x21nxi>Ailnxi

答案c

解析令/(x)=.Hnx,则f(x)=1+lnx,

当0<x<l时，义工)的正负不能确定，故Mln加与MEE的大小不能确定，故选项A,B错误；

令gQ.尸殍，则g，(X尸等，

当(Xx<l时，/*)=上髻>0,则g(x)在(0,1)上单调递增，

因为O<X1<V2<1,

所以式汨)%8),即屿<电，即冲11k4瓶不，故选项C正确，选项D错误.

X1x2

题型二指对同构法的理解

指对同构的常用形式

(1)积型：(危Wblnb,一般有三种同构方式：

①同左构造形式："'Win加2,构造函数人刈一代『；

②同右构造形式：ealnea^b\nb,构造函数./U)=Hnx;

③取对构造形式：〃+ln々Win4+ln(ln+(a>0,b>\),构造函数/(x)=x+lnx.

(2)商型：,一般有三种同构方式：

aIno

①同正构造形式：竺wW,构造函数yu)=£；

ciInox

②同右构造形式：鼻,构造函数儿0=占；

IneaInb八'Inx

③取对构造形式:a-ina^lnb—ln(lnb)(a>0,/?>1),构造函数")=x—Inx.

(3)和、差型：e"±a>〃±lnZ?,一般有两种同构方式：

①同左构造形式：ea±a>e]nh±\nb,构造函数次外=8"；

②同右构造形式：eu±lnert>Z?±lnb,构造函数/(x)=x±lnx.

例2(1)(多选)若e"+a9+lnb(a,b为变量)成立，则下列选项正确的是()

A.a>lnbB.«<lnb

C.ea>bD.e“v〃

答案AC

解析方法一由e"+a>/?+hi〃，

可得e"+«>eln"+Inb,

令、/U)=e'+x,则加)次nb),

因为./U)在R上是增函数，

所以<7>lnb,即ea>b.

方法二由e"+a>b+lnb,

可得e"+lne">〃+lnb,

令gQ)=x+hix,则g(e")>g(Z?),

因为g(x)在(0,+8)上是增函数，

所以e'>b,即a>\nb.

(2)(2025・宜春模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应

的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于。的方程aeb2=e4和关于〃的方程Hln人

-2)=e3；-l(«>0,Z?>e2)可化为同构方程，则(力的值为.

答案e8

解析对优“2=e4两边取自然对数，

得In。+。=6,①

对伏加〃-2)=萨)两边取自然对数，

得hib+ln(ln〃-2)=32—1,

即In/?-2+ln(ln〃-2)=37—3,②

因为方程①②为两个同构方程，

所以37—3=6,解得2=3,

设F(^)=lnx+x且x>0,则尸。)=；+1>0,

所以尸(x)在(0,+8)上单调递增，故网幻=6的解只有一个，

所以«=In/?—2,

则ab=b(\n/?-2)=eV3-|=e8,

思维升华利用恒等式x=lne'和、=心，，通过幕转指或幕转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的

函数的单调性进行研究.

跟踪训练2（多选）对不等式or+e">ln（〃x）+法进行指对同构时，可以构造的函数是（）

AJ（x）=lnx+xB.y（x）=xlnx

C7W=x+e'D.於）=卷

答案AC

解析由恒等式x=lne”可得ov=lne。'，

所以ax+ea'>ln（/?A）+bx可变形为

Iny+泮>1岫）+版,

构造函数/（工）=lnx+x,

可得J（e巧X版）•

同理，由恒等式X=dnx可得/>=那限），

所以仆+e"、>lnSx）+/u:可变形为ax+ear>ln（/?x）+eln（/z'},

构造函数/U）=x+e',可得如词或InSx））.

题型三同构法的应用

例3（1）设实数Q0,对于任意的x>\,不等式女恒成立，则〃的最小值为.

答案-

e

解析由ke"21nx得kt*2xlnx.

即h/Beifnx,

令危）=比［则逐"）宓Inx）.

因为/（»=（%+1威.

所以j"）在（-1,+8）上单调递增，

因为tr>0,In,v>0,

所以Lv^lnx,即女》竽，

令帖尸%>1），则〃。）=等.

当了E(1,e)时,〃。)>0,3)单调递增;

当xe(e,+8)时，。。)<0,〃(幻单调递减，

所以力。)max="(e)=工,即22工，

ee

所以k的最小值为士

e

2-m

(2)(2025•衡阳模拟)已知〃?是方程de-2+(e—])mx=2的一个根，贝iJe=T+(e—1)ln机等于()

A.lB.2C.3D.5

答案B

解析^-24-(6—l)lnx=2<=>ec,nHx-2+elnx+x—2=x+lnx=e,nx+lnx,

设刖=e，+f,则八/)=d+l>0恒成立,故W)单调递增,

由/(elnx+x—2)=,/0nx)得elnx+jr—2=lnx,即(e—l)lnx=2—x.

因为俄是方程keL2+(e—l)]nx=2的一个根，

所以(已一l)lnm—2—m,

2-m

所以m=e^T,

2—Tn

所以e=T+(e—l)ln/〃=〃?+(e—l)ln〃?=〃?+2—/〃=2.

思维升华常见的同构函数有：①於)=当；②/&)=xlnx;③/2=疣';@W=卷.

其中①④可以借助野=寨=/，②©可以借助Ae'=(lncr)cT=(ln)=山】/进行指对互化.

跟踪训练3⑴(2024.吕梁模拟)若关于x的不等式—工小+办对Vx£(O,I)恒成立，则实数。的取

值范围为()

A.(-8,0]B.[-l,0]

C.[-l,4-oo)D.[0,+8)

答案C

解析由在(0,1)上恒成立，

可得詈箕在(()，1)上恒成立，

即胃^在(°，1)上恒成立，

当众0时,捺<0,鬻>0，

不等式缺省在(0，1)上显然成立；

当〃<0时,令.")=根,

则Hlnx)勺g+x)在(0,1)上恒成立,

八幻=号，当在(一8,1)时，八外>0,所以外)在(一8,1)上单调递增，

又当工£(0,1)时，lnx£(—8,0),a+xW(-8,I),

所以只需lnx<a+x在(0,I)上恒成立，

即a>lnx-x在(0,1)上恒成立.

令g(x)=lnx-x,0<r<l,

则g'(x)=?>0,

即gQ)在(0,1)上单调递增，

其中g(l)=ln=,故。三熟1)=-1,

所以一lWa<0.

综上，42一1.

(2)已知e为自然对数的底数，。"均为大于1的实数，若外/1+〃<句,则()

A/<e/iB./?>ew+,

C.ab<cD.ab>e

答案B

解析由r/e^'+^lnb,可得ael,+i<h\nb-b=b(\nh-\)=b\n-,即ealnea<-ln-,

eee

设%)=xlnx,可得/(e")勺(J,

因为a>l,可得e“>e,

又因为Z?(ln/?-l)>0,b>l,所以ln/?>l,即/»e,所以e,

易知当x>l时，八x)=lni+l>0,可得函数yu)在(1,+8)上单调递增，

所以ert<-,即b>c"”.

e

课时精练

［分值：45分］

一、单项选择题(每小题5分，共10分)

1.设A>0,y>0,若e'+ln)>x+)，，则下列选项正确的是()

A.jc>yB.x>lny

CjVyD.x<lny

答案B

解析不等式炉+1”>叶)，等价于

e'—x>y—Iny,

令/U)=e'—x,

贝ilyilny)=e")—Iny=y—Iny,

，不等式e'—x>y—Iny等价于./WMlny),

V/(x)=eA-l,

・••当x£(0,+8)时，八幻>0，段)在区间(0,+8)上单调递增,

・,・若)，£(1,+8),则ln)，£(0,+8),

由.")刁Un)，)有x>\ny;

若了£(0,1］,则hiyWO,

由.r>0,有x>lny.

综上所述，x>lny.

2.若关于x的不等式e'+x+ln22mx+ln〃z恒成立，则实数小的最大值为()

X

A.2B.eC.3D.e2

答案B

解析由题意得，加>0,x>0,

不等式等价于e"+x2"ir+ln(〃ix)恒成立，

即ex+lne'2〃ix+ln(〃M恒成立，

令7U)=x+lnx,

则不等式转化为/(。,)2/(根1),

因为/")=1+》0,

所以函数./U)在(0,+8)上单调递增，

所以,则至2〃?.

X

令g(x)=9,x>0,

则gQ尸笔12,

则当0<x<l时,g\x)<0,g(x)单调递减；当x>\时，8。)>0,g)单调递增,

所以当x=l时，g(x)有最小值，

即g(»min=g(l)=e,则mWe,

则m的最大值为c.

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

3.(2025・邯郸模拟)已知a>0,bWR,e是自然对数的底数，若〃+e・a+lna,则。一〃的值可以是()

A.-lB.lC.2D.3

答案BCD

解析设函数«Y)—x+e"

则人幻在R上是增函数，

所以b+e”—(a+lna)=〃+e'—(In«+”")=</?)—/(Ina)=0,

所以b=\na,即a=eb,所以a-b=^—b,

令g(jc)=cx-x,则g'(x)=e、-1,

当x<0时，g3<0,g(x)单调递减；当A->0时,g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(x)2g(0)=l,从而a—1,结合选项，选项BCD符合题意.

4.(2024・盐城模拟)若不等式"一e'ln〃<0在x£[2,+8)上恒成立，则实数。的值可以为()

A.3eB.2eC.eD.2

答案BCD

解析由题意得00,

由6/x-elna<0得会詈=黑,

设府)甘，则八劝=，,

当x<\时，八x)>0,.")单调递增；当x>l时，/(x)<0,/W单调递减，

又和))=0,/1)=-,当Q0时，危)=9>0恒成立,

ec

所以7U)=W的图象如图所示,

沐盘，即.”)qina),e2,

对于A,当a=3e时,ln«=ln3+l>2,根据图象可得凡0勺(In“)在［2,+8)上不恒成立，A错误；

对于B,当a=2e时，ln«=ln2+ie(l,2),根据图象可得./(心/(Ina)在［2,+8)上恒成立，B正确；

对于C,当〃=©时，lna=l,根据图象可得7U卜川na)在［2,+8)上恒成立，C正确；

对于D,当(7=2时，Ina=\n2,

又加2)=提=撕212)=?,

因为3X-ln2-3x4=ln2x/2-4,

2e2e2

且2>/2>e,e2>6,

即ln2V2>I,^<1,

HP/In2)^2),

根据图象可得/U)勺(Ina)在［2,+8)上恒成立，D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分〕

5.(2025・长春模拟)不等式华20(〃<0)对,+8)恒成立，则实数〃的取值范围是

答案［—e,0)

解析由m一华20可得

xa

尔'、一华=一〃|nX©Fnx

xa

令其1)=沅，。>0),则人］)=(工+1把'>(),

故/U)在(()，+8)上单调递增，

因为a<0,%e(i,+8),贝iJ-Hnx>0,

则“r)电一alnx),可得—a\nx,

即心一日对Vx£(l,+8)恒成立，

令g(“尸拿e，

则心尸端，

由g'(x)=O可得x=e,故当l<xve时，gQ)<0,当x>e时，g<x)>0,

所以g(x)在(1,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，

所以g(x)min=g(e)=e,

得心(一高Lx

又a<0,所以一eW〃<0.

6.(2025，渭南模拟)已知实数.11,x2满足63=，,InX2=~2，则士1厩=

答案4

解析由0句=?,

可得上1铲I=4,故即>0,

由InX2=^2，可得诏In蟾=4,

可得J11诏.]n以=4,故Inxf>0,

令外)=xe"WJ/(xi)=/(lnxl),

/(x)=(x+