等式性质与不等式性质（原卷版及参考答案）

第03讲等式性质与不等式性质

题型一数(式)的大小比较........................................................................2

题型二判断不等式正确性........................................................................3

题型三利用不等式求值或取值范围..............................................................5

课时精练...................................................................................6

【基础回顾】

知识点1.两个实数比较大小的方法

a-b>0d>b,

a—b=0d=b,(a,bGR).

{a-b<g«b

知识点2.等式的性质

性质1对称性：如果。=从那么〃=〃；

性质2传递性：如果。=4b=c,那么。=c；

性质3可加(减)性：如果。=〃，那么。±c=加:c；

性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bcx

性质5可除性：如果。=。，c¥0,那么

知识点3.不等式的性质

性质1对称性：a>b<=tb<a；

性质2传递性：a>b,b>c=a>c；

性质3可加性：〃>/?uw+c>Z?+c；

性质4可乘性：a>b,c>0=>ac>bc；a>b,c<0=>ac<hci

性质5同向可加性：a>b,c>d^u~\-c>b~\-d\

性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0=ac>bd；

性质7同正可乘方性：a>b>0^a,l>b,l(neN,n>2).

【必备知识】

不等式的两类常用性质

⑴倒数性质

①〃/?>（）w；

②〃<〃<（）w

③a>b>0,0<cvd=4>g；

LC<

®0<a<x<b或4<X<Z?VO=4<：2.

U人C4

⑵有关分数的性质

若a>b>0,m>0,则

①真分数的性质（糖水不等式）

bb-\-mbb—m

r-,->----（b—m>0）；

aa-rmaa-m

②假分数的性质

aa-\~maa-in

行三*—〃“））•

题型一数（式）的大小比较

比较大小的常用方法

⑴作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

⑵作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

（3）构造函数，利用函数的单调性比较大小.

【例题精讲】

1.（2026•黑龙江哈尔滨•三模）下列各式大小比较中正确的是（）

A.V7—V5>V3B.Lan-<sin-

V5—S5

1

C.21n3<31n2D.log《V

2.（2026・山东聊城•二模）已知正数Q,/）,c满足log/>log”>0,则下列说法正确的是（）

A.c>1B.a<b

C.ac>bcD.cb>ca

3.（2026・广东揭阳•二模）已知a,b,cER,且a>b,则下列说法正确的是（）

A.-<-B.ac2>be2C.a2>b2D.ea>eb

ab

4.（2026•四川攀枝花•二模）若正实数a,b满足a>匕，且Ina•Mb>0,则下列不等式一定成立的是（）

ab+1a+bha

A.\ogab<0B.a-^>b-^C.2>2D.a<b

5.（2026•甘肃•一模）已知a,b£R,贝『'a>b>0”是心%>%的（）

Q+1a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2026・四川泸州•模拟预测）下列命题为真命题的是（）

A.若则e±>e入B.若Q>b>1,则三>4；

C.若avbv0,则。2<。力<炉；D.若a<b<0,贝Ucosa<tanb.

7.（2026•天津南开♦一模）已知Q<b<0,c>d>0,则下列结论不成立的是（）

A.ac<bdB.a2c>b2dC.-4-c>74-dD.a-c>b-d

ab

（多选）8.（2026•陕西•模拟预测）如果a,b,c,d€R,QbHO,则下列说法正确的是（）

A.若a>b,RO-<7

ab

B.若ac?>be?,Ma>b

C.若a>b,c>d,Mac>bd

D.若b>a>0,c>0,则把V2

Q+Ca

（多选）9.（2026•安徽合肥•一模）已知正实数a,b,c满足avbvc,且|a-l|>|c-l|>|b-l|,则（）

A.a<1B.b>1C.ac<1D.be>1

（多选）10.（2026•黑龙江大庆•二模）下列命题正确的是（）

A.若a>b,则ac?>be?

B.若Q>瓦evd,则a-c>b-d

C.若a>b>0,则狐>孤

D.若a>b,则.

a2b2

题型二判断不等式正确性

判断不等式的常用方法

⑴利用不等式的性质逐个验证.

⑵利用特殊值法排除错误选项.

⑶作差法.

（4）构造函数，利用函数的单调性.

【例题精讲】

1.（2026•河北秦皇岛•模拟预测）已知实数a,8满足Q>b,且△则（）

GD

A.ab>0B.a+b>0C.a+b<0D.ab<0

2.（2026•青海西宁•二模）已知a>b>0>c,则下列不等式一定正确的是（）

A.ac>beB.a(a+c)>b(b+c)C.ci(b—c)>b(a—c)D.

3.（25-26高三下•上海浦东新•期中）已知实数a,b,c满足Q>b>l>c,则下列结论一定正确的是（）

A.ac>bcB.bc<1

C.\ogab十logda>2D.a+c>b

4.（2026•上海杨浦,二模）设Q>b,下列不等式中恒成立的是（)

A-B.a2>b2C.a3>b3D.

5.（2026•重庆•二模）已知avbvc,则（）

A.ac<bcB.ac<b2

C.2a+b<2b+cD.b—a<c—b

6.（2026・辽宁抚顺•一模）若aER且a>1,则下列结论正确的是()

A.ac>cB.ac2>cC.a2>aD.a+c>1

7.（2026•山东日照•一模）已知lna>lnb>0,c>0,则（）

A.2a<2bB.—<-

a+ca

C.乎痼D.ab+1>a+b

（多选）8.（2026•河北雄安•模抵预测）下列说法正确的是（）

A.3x€R,x2+3x4-2<0

B.若％WR,则“x>=是足<3〃的充要条件

C.x2+的最小值为3

X2+3

D.若含〉言则a*

（多选）9.（2026・山西吕梁•二模）茗a>b>c>d,则下列不等式正确的是（）

A.ac23456>be2B.a+c>b+dC.a—d>b—cD.>—

a-ba-c

（多选）10.（2026•河北沧州•二模）若a>0,b>0,Q+b=4,则（）

—

A.Cl7b—0B.—a+7b—1

C.Va+Vb<2>/2D.12<a24-3d2<48

题型三利用不等式求值或取值范围

利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点

⑴必须严格运用不等式的性质.

⑵在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整

体与己知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

【例题精讲】

1.（25-26高一上•江西•月考）已知一2VQ+2b<5,-3<a-b<l,则a+b的取值范围是（）.

87

A（-彩）B.

297

C.D•（-消）

2.（25-26高一I：•河南•开学考试）已知max｛a,瓦c｝表示a,b,c中的最大者，若a>0,b>0,则max｛：,j,2a2+

〃｝的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2025•河北沧州•模拟预测）已知2VQW4,-1<b<0,则2a-b的取值范围（）

A.[4,9）B.（4,9）C.（5,8]D.（5,8）

4.（25-26高一下•四川成都•期中）若1Va+b<4,—2VQ—bv4,则a+3b的取值范围是（）

A.-5<a+3/J<1B.-2<a4-3b<10C.-2<a+3b<9D.—5<a+

3b<10

5.（25-26高一下•河南商丘•月考）已知一IMx+yWl,l<x-y<2,则4%-2y的取值范围是（）

A.[2,7]B,[3,8]C.[2,8]D.[5,10]

6.（2026・山东•模拟预测）当时，满足8"Vloga%（Q>0,QHl）,则a的取值范围是（）

A.（0,5B.住,1）C.（1,⑹D.（V3,3）

7.（25-26高一上•河北衡水•期末）已知关于%的不等式a/+加+c>O（a,b,cER）的解集为（一5,1）,则

学的取值范围为（）

A.（—oo,-10]B.[—10,-Foo）C.（-6,+8）D.[—6,4-co）

（多选）8.（25-26高三上•云南楚雄•期中）已知3CQV10,5<b<30,则下列结论正确的有（）

A.2<-<10B.11<2a+b<50

a

C.2<b-a<20D.-<^-^<22

10b

（多选）9.（25-26高二上•广东•期中）已知工+三=2,则（）

mn

A.若m>n>0,则m>|

2

B.若77i>0>n»则九<——

3

C.当771>0,九>0时，2m+九的最小值为4

D.当m>0,n>0时，mri的最小值为2

（多选）10.（25-26高一上•湖北十堰•期中）下列是真命题的是（）.

A.已知%>0,y>0,且4x+y=L则上二”的最大值为5

B.已知2Vx<4,-1<y<0则x-y的取值范围为（2,5）

C.已知a>b>c且二^十止之旦恒成立，实数m的最大值是3十2左

D.若%>0,y>0j+：+2y+；=9,则x+2y的最大值是6.

课时精练

一、单选题

1.（25-2G高一下•湖南长沙•期中〉已知a>b>0,c>0,d<0,则下列正确的是（）

A.->7B.->-C.ac<beD.ad>bd

abab

2.（2026・上海松江•模拟预测）若实数a、b满足小,块,则下列不等式恒成立的是（）

A.a>b>0B.a>0>b

C.a>|b|D.|a|>|b|

3.（25-26高一下•贵州•期中）已知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b,c>d,则£>fB.若。2>炉，贝卢>：

abab

C.若c>a>b,则=-<—-D.若a>b>0且m>0,则>—

c-ac-oa+ma

4.（2026山东德州•二模）已知a力为正实数,c为实数,则“a>b”的充要条件可以是（）

A.ac>beB.ac>bc

C.a+->bD.a+\na>b+\nb

ab

5.（25-26高一下•浙江•期中）设a、b.cWR,则"c>a>匕〃是“J->七”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（25-26高一上•浙江杭州•期中）已知mb,c,d均为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b,c>d,则a+b>c+dB.若/>匕2,则一。<一^

C.若c>a>b>0,则工>工D.若a>b>0且m>0,则^^>三

C-Qc-bb+mb

7.（25-26高三下♦北京海淀•开学考试）设a,〃，c为非零实数，且Q>c,b>C,则（）

A.a2+b2>2c2B.ab>c2

C.2a2b>4CD.-4-7>-

abc

8.（25-26高一上•山东济南•期末）若a>b>0,c<0,则下列不等式成立的是（）

A.a+c<b+cB.ac>bc

C.->-D.c—-<c—-

abab

二、多选题

（多选）9.（25-26高一下•河南信阳•期中）下列命题正确的是（）

A."a=1〃是?=a"的充分不必要条件

a

B.若命题pTnWN,n2>2n,则命题p的否定为：Vn€/V,n2<2n

C.若｛nB=0,则A=0或B=0

D.若a>b,且c>d,则ac>bd

（多选）10.（25-26高二下•浙江舟山•期中）下列命题正确的是（）

A.若a>b>0且c>0,则：>手

bb+c

B."a>1〃是“一二<1”的充要条件

a

C.若则的最小值是5

D.不等式Ax?\kx\1>0对一切实数x恒成立，则0<k<4

（多选）11.（25-26高三下•江西抚州•月考）若a,b是任意正实教，且;>今则下列不等式成立的有（）

A.。2。26Vb2026B.->1

a

C'（……。•岛）。>岛）"

三、填空题

12.（25-26高一下•山东德州•月考）已知1W2x-y工2,-1W2x+3yW1,则6%+y的取值范围为

13.（25-26高一上•上海宝山•期末）已知x,yWR,x>0,y>0,且X+2y=l,则下列命题中正确的是

（1）xy的最大值为，；（2）3+：的最小值为4企；

（3）/+y2的最小值为点⑷言段>1.

14.（25-26高一下•辽宁盘锦•开学考试）记max{a,b,c}表示a,b,c中最大的数，已知a+b+c=0,abc=4,

则max{a,瓦c}的最小值为.

第03讲等式性质与不等式性质

题型一数（式）的大小比较

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】BD

9.【答案】AC

10.【答案】BC

题型二判断不等式正确性

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】AC

9.【答案】BC

10.【答案】BCD

题型三利用不等式求值或取值范围

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】BD

9.【答案】ACD

10.【答案】BCD

课时精练

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

2.【答案】C

9.【答案】AB

10.【答案】AC

11.【答案】ABD

12.【答案】[1,5]

【分析】利用不等式待定系数配凑求解

【详解】设6%+y=m(2x—y)+n(2x+3y)

展开得6x+y=(2m+2n)x+(-m4-3n)y

对比系数列方程得伫黑解得｛:二:

所以6x+y=2(2%-y)+(2x+3y)

因为142%-yW2,-1<2x+3y<1

所以2x1<2(2x-y)<2x2,即2<2(2x-y)<4